数学大师

數學大師：尤拉(Leonhard Euler, 1707~1783)

劉豐榮

正修科技大學工管系

高雄縣鳥松鄉澄清路840號

Email：lfr@https://www.doczj.com/doc/a59986330.html,.tw

“Lisez Euler, Lisez Euler, c’est notre maitre a tous“

“Read Euler, Read Euler, he is the master of us all.”

“讀尤拉，讀尤拉，他是我們全能的大師” ~ Lapace

摘要

數學史上，從沒有出現如尤拉(Leonhard Euler, 1707~1783)一樣創作力如此旺盛的天才。他用畢生76年的創作歲月為我們留下73冊偉大科學鉅著『尤拉全集』(oper omnia)，其中包括886本書及近千篇的學術論文。他的研究範圍幾乎含蓋所有科學領域，數學方面包括分析、代數、數論、幾何。物理方面則包括力學、光學、聲學、彈道。此外還涉及天文、航海、地理、建築、社會福利、保險等等。他的作品不論是在質或在量上都屬上乘之作，更令人佩服的是他許多作品都是在1771年兩眼全盲後所完成。

有人形容他是數學的巴哈(The Bach of Mathematics)，也有人稱他為數學界的莎士比亞(The Shakespeare of Mathematics)。他不只是一為科學創作高手，他更是一位謙和敦厚，帄易近人的好老師。數學家拉普拉斯(Laplace, 1749~1827)形容他是「全能的大師」。

本文是作者繼「Eureka！Eureka！阿基米德的數學」、「偉哉牛頓」後之「向數學大師致敬」系列之作。希望透過簡明清晰的筆觸，為學子們介紹這位大師的成就與風範。文分三段，第一段是尤拉的生帄簡介，在第二段探討尤拉的數學成就，第三段介紹這位大師之風範及其教育精神。

關鍵字：1.尤拉。 2.尤拉公式。 3.變分法。

Leonhard Euler (1707~1783), a Great Master of

Mathematics

Feng-Jung Liu

General Knowledge Education Center, Cheng Shiu University

Abstract

In the history of mathematics, there was not a mathematics talent as creative and prolific as Leonhard Euler (1707~1783). He spent his entire life of 76 years on writing 886 books and nearly 1,000 research papers, which were all collected in the great work left to us, Leonhardi Euleri Opera Omnia (Complete Works of Leonhard Euler) published in 73 volumes. In fact, the scope of his research almost covered all the science fields. For mathematics, his works were about analysis, algebra, category, and geometry; and for physics, his works were about mechanics, optics, acoustics, and ballistics. Besides, he involved in the studies of astronomy, navigation, geography, architecture, social welfare, insurance, and so on. No matter qualitatively or quantitatively, his works were valuable and contributive. The most admirable thing about him was that many of his works were completed after his both eyes became totally blind as from 1771.

Some people considered Euler to be “The Bach of Mathematics,” and some people called him “The Shakespeare of Mathematics.”Nevertheless, he was not merely a talent in scientific creation, but also a humble, honest, sincere, amiable and good teacher who was easy to approach. Another mathematician, Laplace (1749~1827) described him as a “master of us all.”

This is another paper of the researcher following the essays of “Eureka, Eureka! Archimedes’ Mathematics” and “Marvelous, Newton!” in the serial study, “Salute to Masters of Mathematics.”It is hoped that through the clear and explicit explanation in this paper, the great master of mathematics, Leonhard Euler can be introduced to students. The paper is divided into three sections: the first section introduces the entire life and events of Euler; the second section investigates the mathematical achievements of Euler; and the third section presents the manner and education spirit of the great master

Keywords: 1. Euler. 2. Euler formula. 3. Calculus of Variation.

一、生帄

十七、十八世紀是西方近代數學發展的重要時期，支配這個十八世紀之靈魂人物是白努利(Bernoulli)家族的成員以及本文的主角尤拉(Leonard Euler, 1707~1783)。他是歷史上最多產的作家，他的作品不論在純理論科學或在應用科學之各領域上都屬於上乘之選。他的成就可以跟另外三位大數學家阿基米德(Archimedes, 287~212 B.C.)、牛頓(Newton, 1643~1727)、高斯(Gauss, 1777~1855)並列。

Euler，1707年4月15日生於瑞士的Basel，父親保羅(Paul Euler, 1670~1745)是一位傳教士，曾於Basel大學學習過神學，並與雅各.白努利(Jacob Bernoulli, 1654~1705)學習過數學。為了有助於了解尤拉的生帄，我們得先簡單地介紹Basel 這個城市及Bernoulli這個偉大的家族。

Basel自1263年起便是瑞士的一個自由城市。它在17世紀之前已逐漸發展成為一個商業及貿易重鎮。到了十八世紀又有Bernoulli家族的坐鎮而使得這個城市變成一個歐洲之學術重鎮。

Bernoulli家族是歐洲最著名的科學家族。三代共產生8位偉大的數學家及科學家。這個家族在十七至十八世紀的歐洲科學發展史上扮演非常重要的角色，他們的祖先於1583年為了躲避天主教徒對新教徒的迫害，由比利時的Antwerp逃亡至法蘭克福，爾後再搬至Basel。

家庭的主要成員是老尼古拉.白努利(Nicolaus Bernoulli, 1623~1708)，他有三子分別是雅各(Jacob, 1654~1705)、尼古拉(Nicholas, 1662~1716)、約翰(Johann,

1667~1748)。為了方便介紹將其家譜，將其主要成員列表如下：「20」

表1

Euler家族和Bernoulli家族關係非常密切，Paul Euler不僅與Jacob Bernoulli學習過數學，在大學期間並常住在Bernoulli家中，日後Leonhard Euler亦常與Johann 學習數學，而Daniel I與Euler的私交非常不錯，二人曾於1725年一起前往俄國之聖彼得堡科學研究院研究講學，而Jacob II則與Euler的孫女結婚。

小Euler 出生不久，Paul 便舉家遷移至離Basel城不遠的鄉村Riehen居住。Euler 的父親希望他能繼承衣砵成為一位傳教士，因此在Euler 帅年時就安排他進入Basel 大學學習神學、希臘文以及希伯來文，這為Euler奠立深厚的語文基礎。事實上Euler 本身極具語文天份，他日後的文章曾以德文、法文、拉丁文、希臘文、俄文等不同文字寫成。在當時Johann Bernoulli任該校的數學教授，他除了教授基礎數學課程外，並為少數資優學生講授高等數學及物理。Euler自然成了他的忠實聽眾，他的數學才華，終究引起Johann 的注意，他每週一次義務地指導Euler的數學。在Euler日後的回憶錄中曾寫道：「…，不久，我找到了一個把自己介紹給著名的Johann Bernoulli 教授的機會，…，他實在忙極了，因此斷然拒絕給我個別授課，但是他給了我許多更加寶貴的忠告，使我開始獨立地學習更困難的數學著作，儘我所能地去研究它們，如果我遇到甚麼障礙或困難，他允許我每星期六下午去找他，他總是親切和藹地為我解答一切疑難，…，無疑地，這是在數學學習上獲得成功的最好方法。」[16, p. 660]

1722年，Euler 15歲完成大學學業，並未如父親所願成為一位傳教士，而選擇

了另一興趣成為一位數學家。這驗證了Bernoulli 大家長老Nicholas的預言：「Euler 註定要成為一位偉大的數學家，而非成為一位Riehen的鄉村牧師。」。

1723年，他拿到碩士學位，其論文在於探討並比較笛卡兒和牛頓兩人的哲學差異。1726年Euler 完成Basel 大學博士學位，而在此期間他接受過Johann Bernoulli 的指導研讀Varignon、笛卡兒、牛頓、伽利略、van Schooten、Taylor、Hermann及Wallis 等當代數學家的作品。1727年，他19歲完成第一篇論文「On isochronous curves in a resisting medium」成功地解出當年巴黎科學院(French Academy) 所提出之「關於船桅的問題」，分析出船桅設立的最佳位置，獲得第二名，有趣的是Euler那時甚至還沒有看過真正的帆船。此後一生Euler成為巴黎科學獎的獲獎常客，自1738年~1772年共獲得12次巴黎科學院獎金。

Euler的學術生涯主要可分為三個階段：(一)、1727~1741年之俄國聖彼得堡科學院時期。(二)、1741 ~1766年之德國柏林科學院時期。(三)、1766 ~1783年之聖彼得堡科學院時期。

聖彼得堡科學院是彼得大帝受萊布尼茲(Leibniz, 1647~1716)的建議所設立，當時聚集了一批著名的科學家坐鎮，包括數學家哥德巴赫( C. Goldbach)、數學家丹尼爾.白努利(Daniel I Bernoulli)、物理學家赫爾曼(J. Hermann)、三角學專家梅爾(F. Maier)及天文學家德萊索(J.N. Delicle)等，使之成為能與巴黎科學院、柏林科學院相抗衡的科學研究重鎮。1727年Daniel I Bernoulli 獲得俄國聖彼得堡科學院(St. Petersburg Academy)之邀請講學研究，Daniel推薦Euler 擔任他的醫學研究助理。當Euler踏入聖彼得堡的第一天，凱薩琳女皇便去世，政權旁落於暴虐集團手中，新的統治者視科學為非必要的奢侈品，甚至想將科學院關閉。而在混亂中Euler只好接受軍事部門的邀約成為海軍上尉軍官，進入數學研究部門工作。

1733年Daniel受不了俄國的政治氣氛決定返回自由的瑞士，而其工作則由Euler 接任，經一番努力Euler便成為科學院之數學研究領域的主要靈魂人物。他極想擁有一個穩定的家庭生活，經友人介紹認識了彼得大帝宮廷畫師Gsell的女兒Catharina。兩人很快墜入情海，並共結連理。Euler的子女相繼出世，這位多產的數學家一共生了13個子女，但除了5個外其餘的在帅年便夭折。Euler很喜歡小孩，常在創作論文時將孫子抱在膝上，或是在兒孫環繞的遊戲中進行思考計算。隨著子女不斷的增加，家計日益沉重，Euler只得日夜不停的工作以資應付。傳說Euler常常在家人兩次叫他吃飯的半個小時間內趕出一篇論文，而且將之任意擱置在論文堆裡，當科學院或印刷商需要時，便隨手至最頂層拿出一疊交差應付，以致他的文章發表的時間常常順序顛倒。

1730年，小沙皇過世，Anua Ivauovna (安娜一凡諾英娜)當上女皇，但在政治上卻在其寵臣歐內斯特.約翰.德.比隆之主政下，俄國過了10年的血腥統治。雖然如此

女皇仍相當重視科學研究工作的進行，在這10年其間Euler 埋首於科學研究工作，但不幸的事情也開始發生於他的身上。1735年他為了贏得巴黎科學院的獎金投身於一天文問題的研究，這個讓一流天文學家得忙上好幾個月的難題，Euler 只花3天便解決。但也因為如此超時的工作使他賠上健康，他生了一場大病幾乎喪命，後來雖能痊癒，卻導致其右眼失明。而在俄國這段期間，Euler 除研究工作外，同時為俄國初等中小學寫過教課書，並替政府之地理部門繪製地圖，改良衡量制度，並設計社會福利及保險制度。在聖彼得堡的頭14年，Euler 的數學研究成果非凡，截至1741年離開為止，他完成了近90種著作，公開發表55種，其中包括在1736年所著的兩卷力學經典『力學或運動科學的分析解說』(Mechnic sive motus scientia analytic exposita)。

1738年和1740年是Euler 研究成果最豐碩的兩年，他分別拿到兩次巴黎科學院研究大獎。而在1740年Euler 收到柏林科學院之研究講學邀請。一開始他選擇留在俄國繼續其研究工作，但由於政治的混亂不安，促使 Euler 改變初衷。於1741年接受德國腓特烈大帝( Frederich the Great)之邀請前往柏林任職。Euler 在1741年7月19日離開俄國，7月25日抵達柏林，最初以非常愉快的心情接受新職，他在與友人的通信中提及：「我可以從事我最喜歡的工作(研究)，國王甚至稱我為他的教授，我想我是世上最快樂的人。」。( I can do just what I wish (in my research). The king calls me his professor, and I think I am the happiest man in the world . )。

但事與願違，在柏林的24年歲月中Euler 過得並沒如有初期想像中那麼如意，主要是因為腓特烈大帝喜歡作風圓滑的廷臣而不是個性單純、作風直率的Euler 。雖是如此，腓特烈大帝仍非常讚賞Euler 的才華，而Euler 也充分利用他的才華替德國解決許多諸如造幣、水管鋪設、運河開挖、年金計算等問題。在柏林期間他一共寫了380篇論文，其範圍含蓋各科學領域包括變分法、行星運行軌跡計算、重兵器設計、砲彈軌跡計算、船舶設計、月球運動、差分方程及兩卷數學經典『無窮分析引論』(Introductio in analysin infinitorum, 1738)、『微分學原理』(Institutiones calvuli differentials, 1755)和一本通俗科普著作『給德國公主的書信』(Letters to a princess of Geomany)。

1759年柏林科學院院長Manpertuis 去世，Euler 曾被考慮為繼任人選之一，然而因腓特烈大帝不喜歡Euler 的行事風格而有意另邀請法國數學家達朗伯特

(Alembert D', 1717~1783)至柏林主持院務。腓特烈大帝有意在Alembert D'面前輕貶Euler ，甚至諷稱Euler 為「數學的獨眼龍」。Alembert D'雖然在學術觀點上與Euler 有些相左，但他仍直率的告訴腓特烈大帝：「現今沒有任何一位活著的數學家能取代Euler 的地位，把任何其它的數學家置於Euler 之上對他而言都是一種侮

辱。」。1766年，59歲的Euler 還是由於皇帝相處的不合及考慮到子女日後的前途，

選擇離開德國再度赴俄。

1766年Euler離開柏林再次重返他的第二故鄉聖彼得堡科學院，但諸事不順，另一場大病幾乎使他喪命。1771年他家遭到大火侵襲，家當幾乎全毀，只有他本人和一些手稿被搶救出來，接著又遭到洪水侵襲，這些災難也間接造成他雙眼全盲。

D'等人都來信來安慰在日益喪失視力的日子裡許多數學家如Lagrange、Alembert

他。而Euler本人卻以堅強樂觀的態度面對一切，他從不發出絲毫怨言，對於失明的事則表現得十分鎮定。正如耳聾對於貝多芬一樣，失明一點也不影響他的創造力。他在最後一點視力消失前，就學會讓自己習慣於用粉筆在大理石板上書寫公式，然後讓他的子女或學生當抄寫員，再以口授方式解釋其內容。如數學史家E.T Bell描述：「那個時代整個數學領域的主要公式都完全精準的裝在他的腦海中。」，Euler 憑藉著超人的記憶能力及非凡的心算能力，在沒有視力的黑暗歲月裡他的創作力不減反增，其作品無論在質或量上皆不減失明之前的水準。Euler的作品中有一半以上都是在兩眼全盲的這段期間所完成，其中包括三卷數學經典『積分學原理』(Institutiones calculi integralis, 1768~1770)。

1776年69歲的Euler再度遭受到人生另一重大的打擊，陪他多年的愛妻與世長辭。基於生活照顧的需要，第二年Euler再婚，其對象是他前妻的同父異母的妹妹Salome Abigail Gsell。

晚年的Euler並未因歲月的摧殘而減低他的創作力，他始終保持充沛的體力及一顆清醒的頭腦直到死亡來臨的前一刻。1783年9月18日，77歲的Euler在計算完「氣球升高的定律」及「天王星運行的軌跡」後，在與孫子玩耍中安詳的離開人間。

終其一生，Euler以每年帄均800頁的寫作速度發表極高水準的學術論文。在他死後近50年，聖彼得堡科學院仍不斷再整理及出版他的作品。他生前所發現的著作及論文計有560餘種，並留下大量手稿。1911年瑞士自然科學協會開始出版『Euler 全集』(oper omnia)，計劃出版84冊。正如法國物理學家孔多塞(J.A. Condorcet, 1743~1794)對Euler的評語：「Euler停止計算，便停止生命。」(He ceased to calculate and to live)。[14, pp. 130~152]、[16, pp.659~689]、[21]

二、Euler的數學成就

以科學成就而言，Euler可謂是全能的大師，其研究範圍遍及各科學領域，從理論科學到應用科學各領域都能找到他的足跡，在應用科學方面舉凡天文、物理、力學、水利、船桅、聲、光、武器設計、福利保險等等無所不包。

1. 在天文方面：他曾於1753年出版「月球運動理論」(Theoreia Mous Lunaris)。1774年發表「行星與慧星運動理論」(Theoreia Motuum Planetarum et Cometarum)計算出行星之攝動及在滯性介質之拋物體運動路徑，及三體問題的近似解之新方法。事

實上Euler早在1748年便以一篇研究土星及木星的運動之攝動獲得巴黎科學院獎金，天文的研究一直都是Euler的最愛，一直到他逝世的前一刻仍在計算天王星的運動軌跡。

2. 在光學方面：1771年發表3大冊的「屈光學」(Dioptricce)研究關於望遠鏡的製作，並以分析的方法探討光的振動問題，他甚至將光的質點理論應用到血液流動上。

3. 在聲學方面：他曾研究過聲音的傳播理論及和諧問題，為日後傅立葉(Fourier, 1768~1830)的工作鋪路。

4. 在力學方面：他於1736年出版力學經典『力學或運動科學的分析解說』(Mechanica sive motuvs scientia analytice)，簡稱『力學』(Mechanica)，在書的導論中Euler 概述了這門學科各個分支之巨大研究計劃，並首次將數學分析的方法引入力學中，作全面性的研究，這本書共分兩卷，第一卷研究質點在真空中和有阻力的介質中自由運動的理論，第二卷則研究質點受外力的強迫性運動。在書中他詴圖通過定義和論證結合，證明「力學」如同「幾何」一樣是一門可以藉由演繹邏輯推演出許多命題的「合理科學」。1765年所著的『剛體運動理論』(Theoria motus coporum solidorum)，Euler為剛體運動和剛體運動力學概念奠立基礎，其中包括剛體定點運動可用三個角度(Euler 角)的變化來描述。

5. 在流體力學方面：Euler早在1741年於聖彼得堡出版兩卷『航海學』(Scientia navalis)，其中第一卷論述浮體帄衡之一般理論，第二卷則討論流體力學在船舶上運用。1757年，Euler一口氣相繼發表三篇關於流體力學的論文：『流體的帄衡之一般原理』(Principes gentraux de letat d’equilihre des fluides)、『流體運動的一般原理』(Principes generaux du movement des fluids)及『流體運動理論續篇』(Continuation des rechrches sur la theorie du mouremont des fluids)。1761年出版『流體運動原理』(Prinapia motus fluidorum)一書，在這些著作中Euler創立了利用偏微分方程方法解決物理問題，並導出理想的流體力學模型，建立了流體運動的基本方程(即連續介質運動的Euler方程)奠定了流體力學的基礎。

6.熱力學方面方面：Euler於1738年以『火的論述』(Essay of fire)一文得到科學

院獎金[16, pp681~685]。

Euler的數學工作許多是與天文、力學等應用科學緊密結合的，但他也沒有忽略純理論數學如整數論等有趣的問題研究。應用科學可以說是Euler研究數學的主要靈感來源之一。他常先將物理問題表示成數學型式，而為了解決這些問題，進而提出新的數學方法，並將這些新的數學方法推廣成另一門新的數學領域。例如Euler為了解決Johann Bernoulli所提出的擺線之最速降問題進而提出「變分法」之數學概念。

由於他所處的時代正是數學分析啟蒙時期，這使得Euler的許多數學工作都是傳

承萊布尼茲(Leibniz, 1647~1716)及白努利家族的微積分工作，他將微積分學進一步推廣到複數領域，並對微分方程、橢圓函數、變分法、微分幾何理論提出許多開創性的見解，為18、19兩世紀的數學分析發展奠定基礎，使得他獲得了「分析學的化身」之封號，正如他的老師Johann Bernoulli 寫給他的信中所說：「當我在介紹高等分析的時候它還是個孩子，而你正把它帶大成人。」

在數學方符號方面，他為我們創造許多今日數學常用符號如：

1734年的函數符號)(x f 。

1736年的圓周率π、自然指數底數e 。

1748年的正、餘弦sin 、cos 。

1753年的正切tan 。

1755年的自變數增量x ?、級數和∑。

1777年的單位虛數i 。

並我們留下許多經典名著如：

1. 1741年的『求證最大值和最小值的曲線方法或等周問題的解答』

( Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes, sive Solutuo Problematis Isoperimtrici)。

2. 1748年的『無窮分析引論』( Introductio in Analysin Infinitorum)，簡稱『引

論』(Introductio)。

3. 1755年的『微分原理』( Institutiones Calculi Differentials)。

4. 1768~1770年的『積分原理』(Institutious Calculi Integralis)。

其中『無窮分析引論』是一本可媲美歐幾里得(Euclid)之『幾何原本』(Elements)的教科書，Euler 以清晰流暢的筆觸重新整理前人的發現及寫下自己的見解，配合後來的兩本書『微分原理』、『積分原理』為往後微積分的發展鉤勒出正確的方向。接著讓我們一起分享Euler 的偉大數學成就：

(一)、微積分學方面

『無窮分析引論』( Introductio in Analysin Infinitorum)，簡稱『引論』(Introductio)。1748年Euler 所著的『引論』(Introductio)共分為兩冊，第一冊基本上是為發展其微積分之所需而寫的必備基本代數基礎，第二冊則探討幾何學。 第一冊的主要內容有第一章『函數概念』(De fundionibus in genere)、第四章「用無窮級數解釋函數」(De explicatone functionum per substitutionem)、第六章「指數與對數」(De quantitatibus exponentialibus ac logarithmis)、第八章「三角函數」(De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis)及第十六章「數的分解」(De partitione numerorum)。而第二冊之幾何學則詳細說明二次方程式所定義之曲線(即圓錐曲線)的幾何性質，包括漸近線、曲率中心之性質探討以及高次曲線的性質的討論。這本書在數

學發展史上具有幾個重大的意義：

(1). 它首先將「函數」這個概念置於微積分發展的中心地位，使得「函數」成為近代數學發展的主要研究對象。

函數的觀念源自於文藝復興時其的伽利略(Galileo Galilei, 1564~1645)。他首次找出自由落體之移動距離S 與所花時間t 之關係：22

1gt S =。而萊布尼茲(Leibniz, 1646~1716)首次將「函數」(function)這個字引入數學中，表示附屬於曲線上之各種幾何數量。Johann Bernoulli 首先從解析的角度定義函數，他於1718年將函數定義為變數x 與常數所構成的任何表示式，並以Φ(x)表示x 的函數。

Euler 在「引論」之第一章一開始便給了函數如下的定義：「一個變量的函數是由此變量及常數任意組合的解析表示。」(Quantitas constans est quartitus determinate perpetuo eundem valorem servans)。而他的解析表示(Analytic expression)是指所有代數式、指數式、對數式及所有的三角函數。同時他將代數式(Algebraic function)分為

兩大類：(a). 有理函數：只含變數之四則運算。如432

++x x 、6524523232+-+-+x x x x x 等、(b). 無理式：含根式，如12++x x 。同時他也定義了超越函數(transcendental function)：凡非代數式之函數，如三角函數等稱之[5, pp.122~132]、「17, pp.15~16」。 後來他又在1755年的「微分原理」書中補上更廣泛的函數定義：「若某些量與其他量有關，後者有變化時，前者跟著變化，則前者的量稱為後者的量的函數。」、「所以無論以任何方式決此關連都可以，所以若x 為一變量，所有由它所決定的任何方式與之相關連的量都稱為函數。」，而在1768~1770年所著的「積分原理」中更進一步引入更廣泛的函數定義：「在x y 帄面上徒手畫出的曲線所表示的y 與x 之關係。」

[1, p310]。

(2). 在「引論」中，首次將對數看成乘冪來定義同時也將三角函數看成數值而非線段之比之表示法。在『引論』第七章Euler 首先以無窮小方法導出「e 數」：

若a> 0，a 1≠，10=a 。若ε為無窮小數，則εεk a +=1，其中k 為一常數。 R x ∈?，令無窮大數εx N =，則N N N N x N kx k a a a )1()1()(+=+===εεε…(1) +--+-++=333

222!3)2)(1(!2)1()(1x k N N N N x k N N N N kx N (由二項式定理得)… (2) 因N 為無窮大，可得 =-=-=

N N N N 211

故(2)式可改寫成 ++++=!3!2113

322x k x k kx a x

代入1=x 得 ++++=!

3!213

2k k k a 取1=k 時，Euler 將此數命名為”e ”， 即得 ++++=!

31!2111e ，其近似值約為2.7182882845904523536028… 又將此結果代入(1)得N N x N

x e )1(lim +=∞→])(1[lim 221 +++=∞→N x C N x C N N N ]!2)1(1[l i m 22

+-++=∞→N

x N N N x N N =]!

3!21[lim 3

2 ++++∞→x x x N …(3) 此為今日自然指數函數展開式。

Euler 也考慮對數：1+y=N N x k a a )1(εε+== (4)

εN y a =+?)1(log .

又由(4)式得N y k 1)1()1(+=+ε

k y N

)1)1((1-+=?ε， 故得)1)1(()1(log 1-+==+N a y k

N N y ε…(5) 因當1=k 時，以e 取代a a ，故得]1)1(([lim )1log()1(log 1-+=+=+∞→N N e x N x x

)]1!

3)21)(11(1!2)11(111([lim 32-+--+-++=∞→ x N N N x N N x N N N ])12)(1(!311!21[lim 32

2 +--+--=∞→x N N N x N N x N 故 -+-

=+323121)1log(x x x x ， 此為Euler 之對數函數展開式「1, pp. 311~314」、「17, pp. 122~129」。

(3). 他利用無窮級數展開式研究三角函數性質，使三角函數擺脫對幾何學的依賴成為「分析學」之一分支。

Euler 在『引論』中首次以現代的手法表示三角函數，在他之前正弦(sin)和餘弦(cos)函數是相對於給定半徑R 之圓上之線段。如下圖角A 的正弦是指圓心角為2A 之弦的一半a ，而餘弦則指圓心至弦之垂直長b 。

圖1

而Euler 在『引論』第八章( [17, pp.135~152] ) 中定義正、餘弦函數如下： sinx 與cosx 表示一單位圓上所張弧長為x 之圓心角之正弦與餘弦。

圖2 Euler 並指出正弦和餘弦函數的周期性，並導出正、餘弦之和角公式：

z y z y z y sin cos cos sin )sin(?±?=±

z y z y z y sin sin cos cos )cos(??=±

積化和差公式及和差化積公式如：

2)cos()cos(cos cos z y z y z y ++-= 2

)cos()cos(sin sin z y x y z y +--= 2cos 2sin

2sin sin b a b a b a -+=+

2

cos 2cos 2cos cos b a b a b a -+=+。 以及今日大家所熟知的隸美弗定律(De Moivre rule)

1,),sin (cos )sin (cos -=∈?±=±i N n n i n i n θθθθ [17, pp. 135~140] 。 不止如此，Euler 還更進一步導出三角級數及著名的”Euler 公式”

令ε為無窮小數，而N 為無窮大整數，則

N i N i N )sin (cos sin cos εεεε+=+，

N i N i N )sin (cos sin cos εεεε-=- 兩式相加得))sin (cos )sin ((cos 21cos N N i i N εεεεε-++=

兩式相減得))sin (cos )sin ((cos 21sin N N i i i

N εεεεε--+= 利用二項式定理展開上二式得

+?---+?--=--εεεεεε4122sin cos !

4)3)(2)(1(sin cos !2)1(cos cos N N N N N N N N N N εεεεεεε55321sin cos !5)5)(3)(1(sin cos !3)2)(1(sin cos sin ?---+?---

?=---N N N N N N N N N N N N +…(#)

令x N =ε，1cos =ε而εε=sin 。當N 為無窮大時，N=N -1=N -2=…

-+-

=?42!41!211cos x x x ， -+-=53!

51!31s i n x x x x 又(#)二式可改寫成

)(21])1()1[(21cos ix ix N N e e N ix N ix x -+=-++= )(21])1()1[(21sin ix ix N N e e i

N ix N ix i x --=--+= x i x e ix sin cos +=?，此為著名的Euler 公式，它奇妙地將指數函數與三角函數緊密地連結。

而當π=x 時，我們可得 01=+πi e ，Euler 認為它是世上最美麗的公式，它結合了數學界基本運算加、乘、指數，將數學中最重要的五個數字π,,,1,0e i 作巧妙地結合，Euler 把這個公式掛在聖彼得堡科學院的大門口 [1, pp. 314~317]、[4, pp.

442~444]、「17, pp. 141~147」。

(4)在無窮級數方面，Euler 首次使用正弦函數之展開式，表示π之數值。

1698年Jacob Bernoulli 曾於『無窮級數論文集』 (Tractatus de serebus infinits)中證明其結果小於2，Jacob 的作法如下：

首先注意到因2)1(2+>k k k ，故3141<，6191<，…，2

)1(112+

得 +++++++<++++++2

)1(110

1613111161914112k k k =))

1(12011216121

(2 +++++++k k =])4131()3121()211[(2 +-+-+-=2 但這個結果始終讓Jacob Bernoulli 束手無策，Jacob 曾以絕望的口吻說：「假如任何人發現此種讓我們落荒而逃的解答；請與我們聯絡，我們將感激不盡。」。

1734年於聖彼得堡的第一年Euler 巧妙地利用sinx 的無窮展開式成功解得其結果為6

2

π，這個不尋常的聰明推導方法證明Euler 不愧為第一流的數學家。 考慮方程式sin x= 0

0!

7!5!37

53=+-+-? x x x x 又此方程式有無窮多個根 πππ3,2,,0±±±，去掉0並將此方程式除以x 得 0!

7!5!31sin 6

42=+-+-= x x x x x 之根為 πππ3,2,±±± 故 +-+-=!7!5!31sin 642x x x x x = )91)(41)(1(22

2222π

ππx x x --- 比較2x 項係數得 +++=?2

2291411321πππ +++=?9

141162

π 到目前為止這個公式仍是所有數學公式中最奇特之一，這只是Euler 展露才華之冰山一般角，他更以新的手法重新證萊布尼茲之另一重要結果：

4

7151311π=+-+- 。

他考慮0sin 1=-x 之根為 ,2

7,25,23,2ππππ--

，Euler 認為這些根皆為二重根（因為x y sin =與直線1=y 相切，而在這些根之導數為0），故0sin 1=-x 。 0!

5!315

3=+-+-? x x x 之根為 ,25,25,23,23,2,2ππππππ-- 故得 +-+-=-+-=-!5!31)521()321()21(sin 15

3222

x x x x x x x πππ 比較兩邊x 項係數，可得 ππππ74543441+-+-

=-， 即4

7151311π=+-+- 。 Euler 又將 )91)(41)(1(sin 22

2222π

ππx x x x x ---=以2π=x 代入得 )64

11)(3611)(1611)(411(2

1----=π )6463)(3635)(1615)(43(2=?

π

????????????=?5533116644222π

， 此為英國數學家華立茲(Wallis, 1616~1703)於1656年首次取得之計算π的著名公式。

不僅如此，Euler 還以相同的手法取得更多的公式如：

24

641)91411(41)2(1641361161412

22ππ=?=+++=+++++ k 8246)36116141()16191411(491251911222πππ=-=+++-++++=++++ 及90

18021256181116114

44ππ==++++++ k 。 8

5131112

222π=+++ 32

5131112

333π=-+-

90

5131114

444π=+++ 這種將整數次冪之倒數和與π之間的關係，Euler 取得空前的結果，他一直作到自己覺得膩了為止「2, p218」、[8, pp. 255~257]、[22]。

(5)今日連分數之理論基礎源自於Euler 的『引論』。他在書中討論如何以連分數的方式來表示級數以及逆向操作的過程，在連分數方面Euler 之第一篇論文為 『De Fraction ibus continuis 』，此外他在『引論』中也導出許多有趣的結論如：「每個有理數均可以寫成有限繁分數，而無理數則可以寫成無限繁分數」。

如 5

111213561213652136171317631757+++=++=++=+=+=。 又例如 求2之連分數。

考慮二次方程式122=+x x

x x x +=-=

?21,12且 故 +++=2121

21

x ，因此 ++++=21

212112。

Euler 在『引論』中曾導出許多與e 及π有關的連分數 如 +++

+

+

+

+=61141112111

2e

+++++=2

2

2

2

7553321114π ++++=-+141

101

61211e e [10, p. 80]、「11, pp. 316~318」、「17, pp. 362~380」。

Euler 的『微分學』

1748年的『引論』是Euler 發展其『分析』的基礎，為其微積分學之代數需要之作，1755年的『微分原理』( Institutiones Calculi Differentials)則考慮微積分本身的內容，本書有以下特色：

(1). 它以微分學的定義開始：「微分是確定函數得到無窮小增量與變量的那些無窮小增量之比的方法，它們是變量的函數。」出發，接著他又進一步加強解釋函數是甚麼：「然而，當量以這樣的方式依賴於其他的量，即(前者)隨著(後者)改變而改變自身，則(前者)叫做(後者)函數。…」

(2). 雖然Euler 熟知微分學在幾何上的許多應用，但他堅持這本書是純粹為『分析學』所寫的，故整本書中找不到任何一張圖。

(3). 對於微分的處理方式：利用有限差分法及他在『引論』中所導出之超越函數之無窮級數展開式，然後再排除較高階之無窮小項所得，推導出萊布尼茲的微分公式。至於高階的無窮小項可忽略的理由Euler 解釋：「無窮小量同有限量相比較變為零，鍳於考慮有限量因而可以將其捨棄。」、「從而無窮小的分析忽略數學的嚴格性的反對意見消失了，…，因為沒有捨棄別的甚麼只是根本就沒有甚麼。」「9, p. 444」

例如：若n x y =，則二項展開式得

n n x dx x dy -+=)(

n n n n x dx x n n dx nx x -+-++=--))1(2

1(221 21)1(2

1dx n n dx x n -+=- dx x n 1-=。(捨棄2dx 項) 「3 p. 318]、 [6, p.99」、[9, p.455]

又例如一般微分之乘法、除法規則：

pq dq q dp p pq d -++=))(()(

dpdq qdp pdq ++=， 捨棄dpdq 項

=pdq+qdp 。

在除法規則方面Euler 先導出dq

q +1之幾何展開式： )1(1122

++-=+q

dq q dq q dq q ++-=32

21q

dq q dq q =21q dq q -。 則

q p q dq q dq q

p dq q dq q dq p q

p dp p dq q dq q dq q dq p q p dq q dq p q p dq q dp p q p d --=---+=-+-+-+=-++=-++=)1()項捨棄()()())(()(1)()(222232q dpdq q pdq q dp --=， 捨棄2q

dpdq 項 2)(q

pdq qdp q p d -=?「1, p. 319」、[18, p. 109] 。 關於指數與對數函數微分作法如下：

x dx x x e e e d -=+)(

)1(-=dx x e e

)!

3!2(3

2 +++=dx dx dx e x

捨棄高階無窮小項 dx e x =。

x dx x x d log )log()(log -+= )1log(x

dx += -+-=33

2232x

dx x dx x dx 捨棄高階無窮小項 x

dx =。 至於三角函數及反三角函數之作法如下：

x dx x x d sin )sin(sin -+=

x dx x dx x sin sin cos cos sin -?+?=

x dx dx dx x dx dx x sin )!

5!3(cos )!4!21(sin 5

342--+-+-+-= )!

3(cos )!4!2(sin 3

42 +-+-+-=dx dx x dx dx x 捨棄高階無窮小項 xdx x d cos sin =?「1, p. 320」、 [18, pp. 137~138] 。

關於反三角函數x y 1sin -=之微分Euler 則從「Euler 公式： y i y e iy sin cos +=」

著手，因x y 1sin -=，故y x sin =。

得y i y e iy sin cos +=ix x +-=21

)1log(12ix x i

y +-=? 得ix x idx dx x x i dy +-+--=-22

121)1(1 2

221111x dx ix x x x i i -?+---= 21x dx

-= 「1, p. 321」、[18, p. 132]。

而當x y 1tan -=，則21sin x

x

y += 2111sin tan x x

d x d +=?--

2222222221111111111121)1(11x

x x x x x x x x x x

+=++?+=++?-+?+-=

[1, p. 321、[18, pp. 133~134]。

Euler 的積分學

作為微積分三部曲之最後一部的『積分原理』(Institutiones Calculi Integralis)，書

一開始Euler 便給了積分的定義：「它是以某量的給定的微分關係中求出量本身的方法。」即積分為微分的逆運算，而不把積分看成求面積的方法。這個概念承繼萊布尼茲及Johann Bernoulli 。在書中的內容陳述各個類型函數之積分(即求反導數的技巧)，並處理一些微分方程問題。Euler 列舉許多求反導數(antiderivative)的公式如：

1,1

1-≠++=+?n C x n a dx ax n n C x a dx x a +=?log

C e a

dx e ax ax +=?1 ?+-=C x xdx cos sin

C x dx x +=--?12sin 11

同時他也討論部分分式之分解技巧，及有理函數如22x a -、22x a +等積分方法。而在一階線性微分方程方面，則處理：Qdx Pydx dy =+得其通解為

Qdx e e y Pdx Pdx ???=-。

如同『微分學』和一樣，Euler 的『積分學』是『分析學』的一部份，故書中並沒有討論任何幾何的應用，甚至連求面積、曲線長等今日微積分課本之基本章節都沒有。對Euler 而言「積分」只是微分的反運算，書中甚至沒有討論到定積分的計算。

Euler 的微積分作品對於當時的數學教育影響極深，一直到18世紀末他的作品仍被列為經典教科書，直到19世紀法國大革命後，因數學教育內容有不同的需求，刺激了新的教材的編寫，才逐漸取代Euler 的作品「4, pp. 446 ~ 447」、[23] 。

(二)、三角級數

所謂三角級數是指型如：

)sin cos (21)(1

0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=之級數，其中n n b a ,為常數。而最有名的是傅利葉級數 (Fourier Series)。

1807年，年輕的法國數學家傅利葉(Joseph Fourier, 1768~1830)向法國科學院提出一篇關於熱傳導的論文中宣告：「在一區間上之任意定義的週期函數，都可以寫成正、餘弦函數之和。」，更精確的說：「任意一個定義於區間),(ππ-上的函數都可以

数学大师陈省身的最后岁月

数学大师陈省身的最后岁月 12月3日晚上7点14分，93岁的陈省身，世界级的数学大师、微分几何之父，永远停止了美丽的计算。 他的数学，至美，至纯。 他的一生，至简，至定。 ●陈省身，世界级的数学大师。 ●陈省身开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省身示性类”等领域的研究。他是惟一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被国际数学界尊为“微分几何之父”。 ●他曾任教于西南联合大学、美国普林斯顿大学、芝加哥大学和加州大学伯克利分校，创建原中央研究院数学所、美国国家数学研究所、南开数学研究所。 ●2000年，陈省身定居南开大学。他殚精竭虑地为把中国建成数学大国贡献了毕生心血。 12月3日，从早晨一直到下午5点，陈省身的病情都显得很平稳。他静静睡在天津医科大学总医院一间单独的病房里，神态宁静而安详。他的女儿、女婿，南开大学数学所的几位弟子，还有常年照顾他生活起居的几位工作人员，不时蹑手蹑脚走到他的床前探望。 从11月30日开始，死神就频频想带走这个顽强的老人——他的心脏，出现了两次剧烈的心房颤动，血压最低降到了63，他多次昏迷过去。而在这之前，他从来没有心脏方面的病症。他也从来不喜欢看医生，像一个孩子一样不喜欢医院的味道，甚至每次体检都要南开大学的校长亲自做半天动员。 真的是老了。在11月25日，他居然主动打电话给他的保健医生，说“我要去看你”，但当时的心电图检查并没有发现问题。到了29日上午，他的护工发现他没有什么精神，也不爱说话了，便赶紧叫医生过来检查，发现他的血糖和心肌酶指标都很高。在大家的劝说下，这一次他才住进了医院。 昏迷，然后是略微清醒一点，再是昏迷。先生在弥留之际说，“我要走了，我要去数学的圣地——希腊报到了。” 12月3日晚上7点14分，93岁的陈省身，这位世界级的数学大师、微分几何之父，在自己心脏错误的运算公式上打上了一个红色的叉号，永远停止了美丽的计算。 这一刻，以他的名字命名的“陈省身星”依然在太空闪耀。 一篇未完成的论文 就在11月中旬，他还不断约人到他家里去谈他最关心的4个数学难题，当时他声音洪亮，争论起来精神头十足。 “我很后悔，我们当时应该劝他少做一点、少想一点。每个人都去跟他谈一两个小时，去的人多了，更激发了他研究的热情，这对他的健康是很不好的。” 南开大学“长江学者奖励计划”特聘讲座教授汪徐家事

数学大师启示录_黎曼

数学享有崇高的声誉还有一个原因，是数学为精密的自然科学提供了某种可靠的变量，没有数学，它们是无法做到的。 ——爱因斯坦 最美妙的对比 作家曹雪芹(约1715—1763)一生只写了一部《红楼梦》，可是这部作品值得用金边把它镶嵌起来。这用来形容黎曼的工作同样十分恰当。在短促的一生中，黎曼的全部著述合起来只有不厚的一卷，可是他的每一篇论文无不具有深远的革命意义。可以这样说，没有黎曼的工作，近代科学思想的伟大革命就不可能实现，除非后来有人创造出黎曼所发明的概念和数学方法。可惜在他发明的大树结出硕果以前，他已经与世长辞。要是当时的医学达到今天的水平，他至少还能多活二三十年，那么，在科学史上将会用金光闪闪的大字 1

这样写着： “黎曼——19世纪的牛顿、爱因斯坦!” 1826年9月17日，乔治·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼诞生 于德国北部汉诺威的伯莱塞兰士村。父亲乔治是村里路德新教的 牧师，年轻的时候曾经参加过反对拿破仑的战争。母亲卡萝廷·爱 芭是法庭顾问的女儿。他们俩一共生育了6个子女，伯恩哈德排行第二。汉诺威当时相当落后，农村里因为缺少牲口，还普遍在用人力拉犁。偏僻乡村的小牧师的薪金少得可怜。要养活偌大的8口之家，不能不显得捉襟见肘，力不从心。因此，黎曼家的孩子个个身体瘦弱，营养不良，他们大都过早地离开了人世。母亲也在孩子们长大以前结束勤劳的一生。但是，物质生活的清苦，没有剥夺黎曼一家生活的温暖和愉快。父母亲善良的心地和温和的性格给子女们以良好的影响。兄弟姐妹们相亲相爱，其乐融融。伯恩哈德一生始终保持着儿时生活的美好回忆，并对故乡怀有深深的思念之情。 小黎曼生性十分胆小，羞怯。他不敢在公众场合中露面，更害怕在大庭广众中讲话。一切熟悉黎曼的朋友都喜爱他腼腆谦逊的性格。可是，在科学思想上，他却是出奇地大胆。他蔑视一切困难险阻，在科学的领地上纵横驰骋，创造出一个又一个奇迹。这实在是 在一个人的身上可能有的最最美妙的对比。 2

中国学生数学好与不好的原因

中国人的数学为什么好，为什么不好 大象公会11月25日17:05 分享到：教育竞赛数学分类: 热点摘要: 中国人的数学好，似乎是全世界公认的事实，但中国的数学研究却相当落后，为什么会这样？ 文|大象公会 世界人民已经懒得吐槽美国学生的数学水平了，正如他们已习惯于惊叹中国学生的天才。 脱离计算器就不会四则运算，把sinx/n算成“six”，美国学生闹的笑话层出不穷，每隔一段时间，舆论就兴起“救救孩子”的呼吁。相比之下，中国学生的能力之强，令大多数美国中学生咋舌。 网络中广为流传的美国学生在数学试卷上闹出的笑话

中国人的数学为什么好 在经合组织发起的国际学生评估项目（PISA）中，上海的中学生在数学水平测试中超过其他75个城市，排名第一。英国人不胜羡慕，立刻邀请了60名上海中学数学老师赴英介绍经验。 来源：OECD2012年国际学生评估项目（PISA） 另外，其制定的各国家和地区15岁学生数学成绩排名，大陆尚未作为整体参加测试，但中国上海的成绩高居第一，美国只排在36位。 除了日常的教学，竞赛的成绩也体现了这一差距。 国际数学奥林匹克竞赛是面向中学生的最著名竞赛之一，自1985年中国参赛以来，19次获总分第一。中国以外，只有韩国、罗马尼亚、保加利亚和苏联（俄罗斯）、伊朗和美国获得过总分第一，其中，美国仅仅获得过一次。 好事的美国媒体当然会反思。9月份时，《华尔街日报》援引波士顿东北大学和德克萨斯农工大学两位教授的研究成果，将落后的原因归

纳为语言问题。 也就是说，中国、日本、韩国、土耳其等国语言带有天然的数学优势，比如汉语，10个基础汉字就能呈现所有数字，而英语却要20个不同的单词，影响了头脑运算效率。 不同语言中，中文、日语、土耳其语都可以运用凑十法表现数字，英语则不能。来源：wsj 运算过程中，“凑十法”（make a ten）的应用与否也影响颇深。就是说，若能将数字首先凑十计算，似乎就更加清晰快速。如“9+5”，用“凑十法”可分解为“9+1”，然后“10+4”，而英语母语者却不能顺畅的将之分解。同样，“11+17”能被中文等换为“10+1+10+7”，“eleven+seventeen”就无法如此。 一些学者也反复思考这一问题，最经典的应当是有怪才之称的马尔科姆?格拉德威尔（Malcolm Gladwell），他在《异类：不一样的成功启示录》一书中以《稻田与数学》为题专门分析研究了中国人的数学为什么特别好这个现象。

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“两条直线平行与垂直的判定”教学设计 李晓峰 一、教材分析 .本节课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的3.1.2介绍的两条直线平行与垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别。值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明。 新课改对必修课程最突出的要求是：“力求体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系， 体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”.而解析几何本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想.对于本节内容是在学习直线的倾斜角与斜率的基础上，重点是通过代数方法得到两条直线的平行与垂直的几何结论，正体现了用代数方法研究几何问题的思想。 本节的知识结构是 ↓ 二、课标的分析 <<普通高中数学课程标准>>明确指出将直线的倾斜角代数化，在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线的几何要素；能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 从课标中这部分内容标准的要求，可看出：在教学中，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时应注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力。 三、教学对象的分析 学生在学习本节课之前，已经在初中学过平面内两条直线平行的判定，在前面也学过了空间中直线与直线平行的判定，为本节课的学习奠定了一定的基础。因此，学生学习本节课的困难不是很大，但是也该预见到学生的基础参差不齐，并且没有形成良好的学习习惯，不愿意动手、动脑，这也给教学带来了一定的难度。

期中考后家长会的发言稿

期中考后家长会的发言稿 尊敬的家长： 您好！ 首先我要想家长们表达一份谢意，感谢您一直以来对我们工作 的支持与配合。 这次家长会早就想开了，因为各种各样的事情，所以耽搁到今天。上半学期的工作主要跟大家谈两点： 关于班级下一步的教学工作，跟家长们交流以下几点： 拼音学结束了，开始学习课文，学习写字。这学期，我是下定 决心把孩子们的字写好的。但琐碎的事情实在太多，从期中考试到广播操，这个星期为了迎接市里的一个活动，整整忙了一个星期，后面还不知道有什么事情呢，在学校很难保证练字的时间。但这件事我还真不放心给孩子们带回家去，以前把练习册带回去做，每次收上来，我都要花很长的时间在订正上，所以习字册我一直是在学校做的，效果一般，如果带回家会怎样，我都不敢想象。习字册我在学校做了，但孩子们在家也是要写字的，请家长们记住一句话“提笔即是练字时”，在家里一定要督促孩子写好每一个字。写不好，擦掉重来。你跟他（她）

认真了，他（她）对自己的要求就严格了。如果时间不够，偶尔我会把习字本带回家去，请家长严格要求。现在大部分孩子的字写得不错的，如果孩子们的字大多是1星和2星的，字写不好，建议家长买适合孩子的字帖在家描红。 如果没有特殊情况，每天晚上语文和数学都会有作业。以前，经常发现孩子把有错误的作业带到学校来。这样子，就违背了作业的初衷，原本是为了巩固知识的，变成了巩固错误。孩子的错误在家庭里没能得到及时的纠正，在学校因为学生多，因为事情忙，老师很有可能没照应到，错误越积越多，孩子的成绩怎能好？期中复习的时候，我经常给孩子们一张纸，一张纸上就做一种题型，正确的就扔垃圾箱了，错误的留下来，有时间把题目抄到黑板上，让孩子做，做对了，那张纸扔了，做错了，讲给孩子听，下次再做。如此反复，有多少题目是孩子们做不好呢？请家长首先要检查孩子的作业，还要和孩子一起检查作业，关键要教孩子检查作业。这三步工作做好了，我敢保证，您的孩子一定能学好的。 从这个星期开始，我为孩子们准备了一个本子，每天写一句话。这个星期的写话是孩子们先说，我写在黑板上，然后再抄下来。下个星期开始，就让孩子们带回家去自己写了，请家长们检查后让孩子第二天早上带到学校来给我改。这是有弹性的作业，愿意做就做，不愿做就算，我不会给孩子们压力。每天一句话的好处有很多，写话为写

走近大师 感受数学 --杭州小学数学观摩听课有感

走近大师感受数学--杭州小学数学观摩听课有感非常感谢学校领导给我这个机会去杭州参加“千课万人”全国小学数学“新常态课堂”研讨观摩会,这次活动汇聚了全国著名教育专家、名师、教授学者。名师专家通过自己的课堂实践或报告讲座，给予了我们这些一线教师最前沿的引领，最智慧的启迪。如罗明亮老师的《小数的意义》；俞正强老师的《植树问题》；张齐华老师的《确定位置》；黄爱华老师的《数的加减法》；吴正宪老师的《用字母表示数》和华应龙老师的《阅兵中的数学故事》等。几天的学习让我近距离感受着大师们独特的教学魅力，耳闻目睹他们在课堂上的精彩演绎，让我学到了很多新的教学方法和新的教学理念。 当我再次翻开听课笔记，浙江省特级教师俞正强老师为我们执教的《植树问题》一课又一次浮现在眼前。课堂上俞老师没有用任何多媒体设备，却用一支粉笔成就了一堂“智慧”与“生动”相遇的数学课！俞老师摒弃了原教材中关于“间隔数和棵树”的抽象模型建构，从“20米绳，每5米分一段，能分几段？”和“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”这两题的对比入手，在充分复习“平均分”的基础上，引导学生进行“段”与“点”的区别，抓住“段”与“点”的关系，使学生逐渐认识到植树问题只是除法意义在生活中的延伸，帮助学生充分建立起“点数与段数关系”的植树问题模型。与此同时，在深刻建构“两端都种”的“正宗”植树问题模型基础上，顺势带出另外两种植树问题模型，即“一端不种-1”和“两端都不种-2”，轻重缓急，学以致用。当课堂上一些孩子被以往结论所牵绊，丢失了探索知识本真的能力时，俞老师却并不急，一次又一次的从孩子出问题的地方开始，让孩子们在情景演示中明白了植树问题要看实际情况，而不是简单的记住口诀。这就是大师的

阿基米德

数学之神—阿基米德 摘要：本文主要简述了阿基米德的生平事迹，并从数学、力学、机械制造方面分析了阿基米德的主要著作及其研究方法，主要介绍了穷竭法和双重归谬法的结合使用。也讲述了一些阿基米德的发现过程中的一些轶事，包括阿基米德单人拖船、浮力原理的发现等。从而更加深刻的了解数学之神的神奇之处。 关键词：阿基米德；数学；研究方法 引言 美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。 1生平经历 公元前287年，阿基米德诞生于希腊西西里岛叙拉古附近的一个小村庄，他出生于贵族，与叙拉古的赫农王（King Hieron）有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。阿基米德的意思是大思想家，阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。 阿基米德出生时，在当时古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，意大利半岛上新兴的罗马共和国，也正不断的扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起。阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角斗场所。 公元267年，也就是阿基米德十一岁时，阿基米德被父亲送到埃及的亚历山大城跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。亚历山大城位于尼罗河口，是当时世界的知识、文化贸易中心，学者云集，人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达。 阿基米德在亚历山大跟随过许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里德，阿基米德在这里学习和生活了许多年，他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，对其后的科学生涯中作出了重大的影响，奠定了阿基米德日后从事科学研究的基础。

绰号叫苦瓜的数学大师柯西

绰号叫苦瓜的数学大师柯西 张文亮 关键词：数学家，柯西不等式，无穷 编者按：柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法；他的《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》摆脱了微积分单纯的直观理解和物理解释，引入了严格的叙述和论证，形成了微积分的现代体系。冯·诺伊曼所说：“严密性的统治地位基本上由柯西一手建立起来”。 柯西第一个把无穷小定义为以零为极限的变量，定义了上下极限，最早使用极限符号；他最早给出收敛性的准则；他最早估计了幂级数的收敛半径；他最早对泰勒展开给出完善证明并确定其余项公式；他以极限概念定义了函数的连续性、无穷级数的收敛性、函数的导数、微分和积分；他定义了广义积分。 柯西是单复变函数论的创立者，给出了复幂级数收敛圆、复积分及残数理论；最早探讨微分方程解的存在性，并提出强函数等方法；他研究了置换群理论和行列式理论，得到了宾内特(Binet)-柯西公式；对光学、力学和天文学有深入研究；奠定了弹性理论的基础，其中以其姓氏命名的定理就有16个。 柯西不等式也称为柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式。此不等式虽然简单，但却非常重要，并有广泛的应用：在证明不等式、求极值、线性代数的内积、数学分析的无穷级数、函数空间内积、概率论的方差和协方差、微分方程解的正则性研究等方面都有应用。 人无完人。对待两位当时尚未成名的数学新秀阿贝尔、伽罗瓦，柯西表现得过分冷漠和虐待：对阿贝尔关于椭圆函数论的那篇开创性论文，对伽罗瓦关于群论那篇伟大的开创性论文，不仅未及时作出评论和指导，还“可恶”地将他们送审的论文遗失了。柯西拿到阿贝尔的论文后，随便翻翻就扔到纸堆里了。 柯西的数学渊博而深奥；数量也仅次于欧拉。不同的是他著作质量参差不齐，曾被评为“高产而轻率”。有个故事：法国科学院《会刊》于1835年创刊，因柯西论文太多太快以致印刷费严重超支。因此科学院通过了至今有效的规定：所有论文最长4页。

莱布尼兹学术成就

莱布尼兹是17.18世纪之交德国最重要的数 学家、物理学家和析学家，一个举世罕见的科学天 才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识 宝库做出了不可磨灭的贡献. 生平事迹 来布尼xx出生士德困东鄙来比镯的一个书杳 之家，)‘一泛接触占希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确 的学术目标.巧岁时，他进了莱比锡大学学习法律，还)‘一泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价.在听了教授 讲授欧几里德的《几何原木》的课程后，莱布尼兹对 数学产生了浓厚的兴趣.17岁时他在耶拿大学学习 了短时期的数学，并获得了析学硕士学位. 20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》.这是一篇关于数理逻辑的文章，其基木思想是 出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结 果.这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧 和数学才华. 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后 便投身外交界.在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡 事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、 费尔马、帕斯卡等人的著作.和牛顿并蒂双辉共同奠 定了微积分学.1700年被选为巴黎科学院院士，促 成建立了柏林科学院并仟首仟院长. 始创微积分 17世纪卜半叶，建立在函数与极限概念基础上 刊微积分理论风还向生丁.微积分思想，最早叫以退 溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积 的方法.1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在 1673-1676年间也发表了微积分思想的论著.只有 莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确 地找到了两者内在的直接联系:微分和积分是互逆 的两种运算.而这是微积分建立的关键所在.只有确 立了这一基木关系，才能在此基础上构建系统的微 积分学.并从对各种函数的微分和求积公式中，总 结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展 成用符n5表示的微积分运算法则. 来布尼xx在数字万向的成就足巨人的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域.他的一系列 重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基 础.莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数 的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论.在后 来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的.

数学大师启示录_帕斯卡和费马

这是惊人的，起源于赌博的概率理论，竟会成为人类知识的最重要的对象。 ——拉普拉斯我找到了许许多多极其优美的定理。 ——费马 出类拔萃 在法国中南部僻静的克莱蒙费朗城，有一座雅致的白色楼房，四周大树环抱，前面绿草如茵。1623年6月19日，一个婴儿呱呱 地哭叫着在这里诞生。他就是法国杰出的数学家、物理学家、哲学家和文学家——布莱斯·帕斯卡。 布莱斯的父亲埃利纳·帕斯卡是地方救护会会长，学识渊博，乐善好施，在当地很有名望。母亲安东尼达·白戈妮是位心地善良、容貌美丽的妇女。可惜红颜薄命，在一次突发的急病中，她撇下年仅4岁的布莱斯和他的姐妹吉尔帕蒂和杰克琳，猝然去世。 1630年，帕斯卡一家由克莱蒙费朗迁到巴黎。这时候布莱斯刚

7岁。孩子早熟，普通学校里的课程他学起来毫不费力。可是，他 体弱多病。父亲为了避免孩子用脑过度，亲自指导他学习，只教他古典语言，不让他接触数学。谁知“弄巧成拙”，埃利纳对数学讳 莫如深的态度，反而激起孩子强烈的好奇心。他常常询问父亲有关数学的问题，埃利纳总是避而不答。布莱斯12岁了。有一回他又缠着父亲，提出他的老问题：“爸爸，几何是什么?您给讲讲吧!”经 不住孩子不断的请求，埃利纳终于给他做了一个简明而生动的介绍。这不啻在干柴上点了一把火。长期被压抑的热情一下子迸发出来。几何学的大门虽然刚露出一道细缝，里面透出来的诱人光芒已经使布莱斯头晕目眩，如醉如痴。他按捺不住心头的激动，决心用自己的智慧和毅力去敲开这扇庄严的大门。 布莱斯·帕斯卡钻研几何的事迹，在数学史上传为美谈。一开始，没有任何书本暗示，他证明出一个重要的几何定理：三角形三内角之和等于两直角。这一了不起的成就使他大受鼓舞。父亲更是高兴得热泪盈眶。这件事似乎还不够神奇。据姐姐吉尔帕蒂说，布莱斯在看到欧几里得《几何原本》以前，就独立发现了这本书的前32个定理，甚至连顺序也完全相同。“三角形三内角之和等于两直角”，恰好是《几何原本》的第32个定理。一般认为，布莱斯无疑是独立地发现和证明了《几何原本》的一部分定理，但是吉尔帕蒂的说法可能言过其实，因为这几乎是不可思议的事。 两年以后，14岁的布莱斯就跟随父亲到明尼兹修道院，参加梅森神甫主持的每周讨论会。会员都是著名的学者：费马、德札尔

11900数学大师启示录_庞加莱190402

你若想从随机的相互作用中得到最大的机会，你就必须经常在脑子里反复思考这些东西。我想庞加莱讲过这种话。 ——迈克尔·阿蒂亚 可以毫不夸大地说，拓扑学作为科学的分支，是在19世纪由庞加莱奠基的。 ——谢尔盖·诺维可夫 有生理缺陷的孩子 位处法国东北，不乏美景的历史名邑南锡是座小城。1854年4月29日，就在小城南锡，诞生了一位彪炳千古的大数学家——亨利·庞加莱。 亨利的父亲，莱昂·庞加莱一生从医，是南锡大学生理学教授。作为一位名医，他还是医师公会成员，公务繁忙。亨利的母亲是位贤慧的女性。她聪明机敏富有灵气。小亨利出生不久，她察觉婴儿手脚活动不大正常。这使母亲感到不安。亨利有了妹妹阿兰以后，母亲不再做别的事，集中精力悉心照料两个孩子。在循循善诱的母

亲教育下，小亨利的智力发展很快。但是他仍然没有摆脱身体不灵活的阴影。仔细观察分析之后，父母确信，这是亨利的运动神经调节官能很差的缘故。 上学以后，人们看到小庞加莱左右两只手都能写字画画，可是写的字，画的画，都不好看。妈妈感觉，儿子手脚不灵便的毛病恐怕没有希望改掉了。5岁时，雪上加霜，小亨利染上了白喉，更损 害了他的神经系统。喉咙麻痹的症状延续了9个月才逐渐缓解。后来发现，亨利的视力也受到影响。儿子的健康问题成了母亲的心病。做医生的父亲也无能为力。患白喉以后很长一段时期，亨利因虚弱而常常发蔫，胆小怕事。人们看到，他不再参加小男孩间粗野的打闹；也很少和妹妹及街坊小朋友一块儿玩。他的娱乐就是自个儿看书和跳舞。1859年达尔文发表《物种的起源》。可能受到达尔文学说传播的影响，庞加莱对大自然的演变和动植物的进化发生了浓厚的兴趣。他一直很喜欢动物。如果美国女生物学家卡森的《寂静的春天》早出版100年，庞加莱可能会参加动物保护协会。不料他一次摆弄来复枪时误伤了一只小鸟。这使他十分痛苦和愧疚。除了在战争时期强制的军事训练，他再也不摸那些火器了。 妈妈发现，阅读时小亨利看得很快。相当厚的一本书，两天他就看完了。更令人吃惊的是，他还能把书中故事讲出来；甚至可以说出那些事印在书中哪些页上，真可谓过目不忘。这使妈妈又惊又喜。继续观察得知，经过很长时间的往事，他也能清晰地回忆起来。后来到高年级，他的视力不行，看不清黑板上的板书而无法记笔记。

中国近现代数学家

中国现代数学家 1. 华罗庚 自学成材的天才数学家，中国近代数学的开创人！！在众多数学家里华罗庚无疑是 天分最为突岀的一位!! 华罗庚通过自学而成为世界级的数学家，他是解析数论、矩阵几何学、典 型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域的 中都作岀卓越贡献。在这些数学领域他或是创始人或是开拓者！从某种意义上他也 是位传奇数学家，一生最高文凭是初中，早年在美国取 得巨大成就后，闻知新中国成立后，发出"粱园随好，非久居之处”呼吁在国外的科 学家学成回去报效祖国，跟他同时代在闻讯回国的科学家，许多都 为中国做岀了巨大贡献，其中最著名的有： 导弹之父钱学森：为中国火箭，导弹做岀贡献两弹元勋邓稼先：为中国创立了原子 弹，氢弹等； 回国后华罗庚开创了中国的近代数学，并建立了中科院数学研究所，培养了大批数学家如陈景润，王元等号称华学派，后来致力于应用数学，将数学应用于工业生产，推广"优选法”和"统筹法"! 由于华罗庚的重大贡献，有许多用他的名字命名的定理，如华引理、华不等式、华算子与华方法。 另外华罗庚还被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。 美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院院士”。 中国最著名的五大数学家。 他的经典名言是：勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。 天才在于积累，聪明在于勤奋。 2. 陈省身—微分几何之父 陈省身，汉族，美籍华人，国际数学大师、著名教育家、中国科 学院外籍院士，“走进美妙的数学花园”创始人，20世纪世界级 的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力 攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发 展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、 嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就 了一批世界知名的数学家。 美国国家科学院院士（1961年）， 第三世界科学院创始成员（1983年）， 英国皇家学会国外会员（1985年）， 意大利国家科学院外籍院士（1988年）， 法国科学院外籍院士（1989年）。 1994年当选为中国科学院首批外籍院士。 他是现代微分几何的开拓者，曾获数学界终身成就奖----沃尔夫奖

数学大师谈数学中的几何美

数学大师谈数学中的几何美 “数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。 今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望你们专家能够原谅。今天讲的几何学倒是我的专长，我研究几何学45年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几 何学来，以后更应用到很多方面。 现在我们来讲几何的起源。几何起源很老，基本上有4000 年的历史。古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了，具有一种美感。于是他们开始研究几何，这种美感令人赞叹。几何图形，在埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。 1、泰勒斯。 到公元前68年，在希腊文明中才得到明确的推崇。第一位 对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓 得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，

利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个很大的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。 2、毕达哥拉斯 他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，这里不是一个人，是一群数学家。他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。这个概念一路影响到今天，不仅仅是几何本身，早在16世纪发展解析几何的时候，就用到坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用数字来描述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布影响到空间几何，也受到空间几何的影响，这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。 3、柏拉图的三个著名几何问题 第三个重要的人物是柏拉图（Plato），他是一位哲学家也是数学家，他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy （也称柏拉图学园），相传他的文章讲“不懂几何学者，不能

数学家的故事读后感共8篇

数学家的故事读后感共8篇 篇一：数学家的故事读后感 今天我读了《数学家华罗庚的故事》这一篇文章，华罗庚是我国著名的数学家，中国科学院院长。 华罗庚小时候是个调皮、贪玩的孩子，可对数学却很感兴趣。他在读完中学后，因为家里贫穷，交不起学费，从此华罗庚失学了，他回到家后只能依靠卖点小东西生活。 不能上学并没有阻挡华罗庚爱学习的势头，他从此以后便自己学，一年到头华罗庚几乎每天都要用十几个小时来学习，勤奋好学的他走进了数学王国……。 1932年在熊庆来教授的帮助下，华罗庚到了清华大学数学系当 一名管-理-员，他一人干几个人的事，却还在继续自学……。 功夫不负有心人，华罗庚终于成了我国著名的数学家! 读了《数学家华罗庚的故事》我明白了，一个人不论干什么事都

要坚韧不拔，那样才可以达到自己的要求，实现自己的梦想! 暑假里，我读了一本书，书的名字叫《数学家的故事》，讲述了 许多数学名人的故事。比如毕达哥拉斯、阿基米德、高斯……其中，我最感兴趣的是关于祖冲之的故事。 1 篇二：《数学家的故事》读后感 祖冲之是我国南北朝时期一位伟大的科学家，他对圆周率的计算得出了非常精确的结果。这篇文章讲的是祖冲之经过很长时间的编写，终于写成了《大明历》，他上书皇帝，请求颁布实行。皇帝命令主管 天文历法的宠臣戴法兴进行审查。但是戴法兴思想保守，是个腐朽势力的卫道士，他极力反对新历法。面对戴法兴的刁难、攻击，祖冲之寸步不让，和他唇枪舌剑的辩论。最终，《大明历》没有通过，后来 在祖冲之去世后10年，《大明历》才颁布实行。 读了这个故事，使我对祖冲之坚贞不屈的精神非常敬佩。正因为他有这样的精神，才能持之以恒地坚持。是啊，任何事情要取得成功，都离不开“坚持”两个字。不由地，我想到了许多人，有文化名人、

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第八章二元一次方程组学案 班级: 姓名：: §8.1 二元一次方程组（预习书P93—95） 预习重点难点 重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解； 难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。 知识点一二元一次方程 回顾：（1）什么叫方程？（2）什么叫方程的解？ （3）什么叫解方程？（4）什么叫一元一次方程？ 1、二元一次方程的概念 我们来看一个问题： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 思考：（P93） 以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗? 场数＋场数＝总场数；积分＋积分＝总积分， 这两个条件可以用方程 x＋22， 2x＋40 表示。 观察：这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同? 2、归纳：叫做二元一次方程 注意：1.定义中未知数的项(单项式)的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1 2.二元一次方程的左边和右边都应是整式 3、二元一次方程的一般形式：+ + c = 0 （其中a≠0、b≠0且a、b、c为常数） 注意：1.要判断一个方程是不是二元一次方程，一般先要把它化成二元一次方程的一般形式，再根据定义判断。 4、二元一次方程的解

数 学 家 的 故 事 简 直 惊 呆 了 ( 2 0 2 0 )

一生中必看的30个故事 zt 1、断箭不相信自己的意志，永远也做不成将军。春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙.果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭。我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军。” 把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都

只能是自己。 2、生命的价值不要让昨日的沮丧令明天的梦想黯然失色！在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，手里却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人，他问：“谁要这20美元？”一只只手举了起来。他接着说：“我打算把这20美元送给你们中的一位，但在这之前，请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团，然后问：“谁还要？”仍有人举起手来。他又说：“那么，假如我这样做又会怎么样呢？”他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它。尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱。“现在谁还要？”还是有人举起手来。“朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票，你们还是想要它，因为它并没贬值，它依旧值20美元。人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么，或将要发生什么，在上帝的眼中，你们永远不会丧失价值。在他看来，肮脏或洁净，衣着齐整或不齐整，你们依然是无价之宝。” 提示：生命的价值不依赖我们的所作所为，也不仰仗我们结交的人物，而是取决于我们本身！我们是独特的——永远不要忘记这一点！ 3、昂起头来真美别看它是一条黑母牛，牛奶一样是白的。珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。

迈克尔孙干涉仪

迈克尔孙干涉仪 摘要：迈克尔孙在1881年设计了一种独特的干涉仪，并用它从事了多方面的研究。迈克尔孙干涉仪设计精巧、用途广泛，是许多现代干涉仪的原型，曾经在以太零漂移实验，推断光谱精细结构和用光波波长标定标准米尺等实验中发挥了重要作用。本文从单色光波长的测定和光场的时间相干性研究两组实验探讨了迈克尔孙干涉仪的原理及其广泛应用。 关键词：迈克尔孙干涉仪；干涉；单色光波长；光场；时间相干性。 1 光的干涉基本现象和单色光波长的测定 1.1实验原理 1.1.1迈克尔孙干涉仪简介 迈克尔逊干涉仪的光路和结构如图1与2所示。M1、M2是一对精密磨光的平面反射镜，M1的位置是固定的，M2可沿导轨前后移动。G1、G2是厚度和折射率都完全相同的一对平行玻璃板，与M1、M2均成45°角。G1的一个表面镀有半反射、半透射膜A，使射到其上的光线分为光强度差不多相等的反射光和透射光；G1称为分光板。当光照到G1上时，在半透膜上分成相互垂直的两束光，透射光（1）射到M1，经M1反射后，透过G2，在G1的半透膜上反射后射向E；反射光（2）射到M2，经M2反射后，透过G1射向E。由于光线（2）前后共通过G1三次，而光线（1）只通过G1一次，有了G2，它们在玻璃中的光程便相等了，于是计算这两束光的光程差时，只需计算两束光在空气中的光程差就可以了，所以G2称为补偿板。当观察者从E处向G1看去时，除直接看到M2外还看到M1的像M1ˊ。于是（1）、（2）两束光如同从M2与M1ˊ反射来的，因此迈克尔逊干涉仪中所产生的干涉和M1′～M2间“形成”的空气薄膜的干涉等效。反射镜M2的移动采用蜗轮蜗杆传动系统，转动粗调手轮（2）可以实现粗调。M2移动距离的毫米数可在机体侧面的毫米刻度尺（5）上读得。通过读数窗口，在刻度盘（3）上可读到0.01mm；转动微调手轮（1）可实现微调，微调手轮的分度值为1×10-4mm。可估读到10-5mm。M1、M2背面各有3个螺钉可以用来粗调M1和M2的倾度，倾度的微调是通过调节水平微调（15）和竖直微调螺丝（16）来实现的。 图1

高斯的成就和启示

“数学王子”高斯的成就和启示 【摘要】正如亨利·庞加莱所说：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径 是研究这门科学的历史和现状。”高斯是近代数学奠基者之一，和牛顿、阿基米德被誉为数学史上三大杰出的数学家。他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献，“数学王子”是对他一生的成就恰如其份的颂赞。除此之外，高斯还在天文学、大地测量学和物理学有杰出的研究成果，为后世人们的研究工作奠定基础。本论文主要从数学领域谈谈高斯的重要成就和给我们的启示，并圆内接正十七边形的画法。 【关键词】高斯成长经历数学成就正十七边形启发 一、家庭背景 “数学王子”高斯的门第决不是王族。约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friederich Gauss ，1777年4月30日—1855年2月23日)出生于德意志不伦瑞克一个简陋的村舍里。高斯的祖父是一个贫穷的农民，生活贫困。父亲格哈德作为园丁、水渠管理人和砌砖工人艰苦地劳动一生，是一个正直、极为诚实的粗鲁的人。孩提时代的高斯尊重顺从他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。然而他的父亲常常根据自己的人生经验来为年幼的高斯规划人生，曾尽一切力量加以阻挠儿子完成不朽的工作。 幸运的是，高斯有一位鼎力支持他成才的母亲罗捷雅和慧眼识才的舅舅弗里德里希。罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，她对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了一些伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友波尔约问道：“高斯将来会有出息吗？”波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”，为此她激动得热泪盈眶。 高斯的舅舅弗里德里希是一个非常聪明有天分的人，他发现他姐姐的孩子有着敏锐、不肯安静的头脑，于是就在这个年轻天才的身上倾注自己的才智，通过他特殊的人生哲学唤起高斯的敏捷的逻辑思维。正是由于弗里德里希的慧眼识才，才使得高斯走上科学研究的道路，成为一位罕见的“数学王子”。 二、数学成就 在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的。人们不知道阿基米德在什么时候显露出天才的迹象。牛顿最早表现出他极高的数学才能时，可能也没有受到注意。虽然看起来难以置信，高斯却在3岁以前就显示出了他的天才。有一天，他观看父亲算帐，计算结束后，父亲念出了钱数准备写下时，身边传来细小的声音：“爸爸，算错了，应该是……”。核对账单的结果，表明高斯说的数是对的。 10岁时，他的老师出了一道数学题：求1+2+3+4+……+100。而高斯在五分钟后就给出了正确答案：5050。高斯是这样计算的：1与100、2与99、3与98……每一对的和都是101，而100以内这样的数共有50对，101×50=5050。他的这种计算方法，代数上称为等差级数求和公式。 1792年，高斯进人布伦斯维克的著名学院(卡罗琳学院)深造，攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作，并且立刻精通了这些数学家的著作。

走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告

走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告 2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。 数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。 报告中郑教授分五个部分进行阐述： 一、从数学抽象谈起 郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。 （父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？” 子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。） “数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”数学最基本的特性是抽象性。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。 学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。数学是模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。 二、数学中的分类 分类与思考：数学中分类与生活中分类不同。什么是数学中的分类？数学中又为什么要进行分类？

《数学大师：从芝诺到庞加莱》读后感

《数学大师：从芝诺到庞加莱》读后感 寒假期间，我认真阅读了美国著名数学史家贝尔所著《数学大师：从芝诺到庞加莱》一书。该书深入浅出的介绍了数学发展的历程，从古希腊的几何学，经历牛顿的微积分学，再到概率论、符号逻辑等等，都有详略合宜的叙述。同时，本书又告诉我们，数学家们并不是一群躲在象牙塔里冥思苦想、不食人间烟火的怪人，他们除了智力过人外，也和我们一样有着世俗的欲望和追求，经历着常人的喜悦和苦恼。本书以历史上30多位数学大师的生平为主线，分章讲述了他们的杰出贡献、性情喜好和生活轶事。这本书也是一本思想史，追述了从古代到20世纪数学思想的伟大发展。它以清晰的笔触、幽默的手法，对复杂的数学思想作了巧妙地分析和论述。无论是数学专业人士，还是一般读者，都可以从本书中获得很多关于数学和数学发展的知识，而对那些久闻其名的大数学家，也会有更真切地了解。 本书作者贝尔1883年出生于苏格兰的阿伯丁。早年就学于英格兰。1902年到美国，进斯坦福大学学习，l904年取得文学士学位。1908年在华盛顿大学做研究生，兼事教学，1909年获该校文学硕士学位。1911年进哥伦比亚大学，1912年获该校哲学博士学位。此后回华盛顿大学任数学讲师，1921年成为教授。1924年夏～1928年夏任教于芝加哥大学，1926年上半年任教于哈佛大学，随之受聘为加州理工学院的数学教授。贝尔是美国国家科学院院士，曾任美国数学协会主席，美国数学学会和美国科学促进会副主席，《美国数学学会会报》、《美国数学学报》和《科学哲学》编委。他曾获美国数学学会的博歇(Bocher)奖。其著作除本书外，还包括《紫色的蓝宝石》(1924)、《代数的算术》(1927)、《揭穿科学之谜》和((科学的皇后》(1931)、《命理学》(1933)以及《探索真理》(1934)等。 通过阅读这本书，我获得了很多收获。数学科学的发展是靠着一代又一代人的不懈努力而发展起来的，从古代的阿基米德、欧几里得，到近代的笛卡尔、牛顿，再到现代的一位位在数学的各个分支默默工作的数学家。一代人继承上一代人的工作，不断把数学这门科学发展下去，这使得今天的数学从一棵幼苗变成了枝繁叶茂的参天大树。事实上，任何一门学问的发展都是依靠一代又一代人的努力和传承，这样人类的知识越来越丰富，文明越来越繁荣。那么作为现代的青年人应该认真研究和学习前辈给我们留下的知识、方法和习惯，然后再去不断创新，把以前的东西加以改进、完善和扩充。这要求青年人珍惜时间、博览群书、认真思考、身体力行。 我认识到了数学家之所以能成为数学家，决定因素不是智力，而是其他方面