《一道含绝对值不等式题的多种解法》

解绝对值不等式题根探讨

题根四 解不等式2|55|1xx．

［题根4］解不等式2|55|1xx．

［思路］利用｜f(x)｜0) -a

［解题］原不等式等价于21551xx，

即22551(1)551(2)xxxx

由（1）得：14x；由（2）得：2x或3x，所以，原不等式的解集为{|12xx或34}x．

［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551yxxy与的的图象，解方程2551xx，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式

［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|2x－2x－6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x+1>2－x或x+1<－(2－x)

解得x>12或无解，所以原不等式的解集是{x|x>12}

(2)原不等式等价于－3x<2x－2x－6<3x

即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或

2

所以原不等式的解集是{x|2

［收获］形如|()fx|<()gx，|()fx|>()gx型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①|()fx|<()gx－()gx<()fx<()gx

②|()fx|>()gx()fx>()gx或()fx<－()gx

1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）234xx≤1

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解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．

一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法

去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有：

1．定义法去掉绝对值符号

根据实数绝对的意义，即| x | =(0)(0)xxxx，有：

| x |＜c(0)(0)cxccc；| x |＞c(0)0(0)(0)xcxccxcxRc或；

2．利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．

3．平方法去掉绝对值符号．

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．

4．零点分段法去掉绝对值符号．

所谓“零点分段法”是指：设数x1，x2，x3，…，xn是分别使含有|x－x1|，|x－x2|，|x－x3|，…，|x－xn|的代数式中相应的绝对值为零，称x1，x2，x3，…，xn为相应绝对值的零点，零点x1，x2，x3，…，xn将数轴分为n＋1段，利用精品资源

中职数学基础模块上册《含绝对值的不等式》

绝对值函数在数学中是一个重要的概念，它在解决不等式问题时具有特殊的作用。本文将详细介绍含有绝对值的不等式及其解法，以帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、含有一个绝对值的一元一次不等式

我们先从最简单的情况开始，即含有一个绝对值的一元一次不等式。例如：|x - 2| < 5 或 |2x + 3| ≥ 1。

对于这类不等式，我们可以分成两种情况进行讨论，即：当绝对值内的表达式大于等于0时，不等式本身不变；当绝对值内的表达式小于0时，原不等式变成取反不等号的形式。

例如，对于不等式 |x - 2| < 5，我们首先得到 x - 2 ≥ 0 或 x - 2 < 0，即 x ≥ 2 或 x < 2。然后我们分别讨论这两种情况下的解集：

情况一：x ≥ 2。在这种情况下，原不等式变为 x - 2 < 5，解得 x < 7。因此，当 x ≥ 2 且 x < 7 时，原不等式成立。

情况二：x < 2。在这种情况下，原不等式变为 2 - x < 5，解得 -3 <

x < 7。因此，当 -3 < x < 2 时，原不等式成立。

综上所述，原不等式的解集为 -3 < x < 7。

二、含有一个绝对值的一元二次不等式

接下来，我们来讨论含有一个绝对值的一元二次不等式。例如：|x²

- 4x + 3| ≥ 2 或 |2x² - 5x + 2| < 7。 对于这类不等式，我们需要运用一元二次函数的性质进行解题。首先，我们可以将绝对值函数拆分成两个不等式：

① x² - 4x + 3 ≥ 2 或 x² - 4x + 3 ≤ -2；

② 2x² - 5x + 2 > -7 且 2x² - 5x + 2 < 7。

然后，我们分别求解这些不等式：

① 当 x² - 4x + 3 ≥ 2 时，即 x² - 4x + 1 ≥ 0，我们求得其解得 x ≤ 1 或

x ≥ 3。当 x² - 4x + 3 ≤ -2 时，即 x² - 4x + 5 ≤ 0，我们求得其解得无解。因此，取交集，得到 x ≤ 1。

数学篇绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对

值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中

解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是

去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值

的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题

的四个“妙招”，以供大家参考.

一、分类讨论

一般地，若x为非负数，则|x|=x；若x为负数，则|x|=-x.由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值

符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，

往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进

行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零

点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区

间，再在各个区间上对绝对值内部式子的符号进行讨

论，去掉绝对值符号，便可通过解不等式求得问题的

答案.

例1.解不等式||x+3-||1-2x<1.

解：令x+3=0，1-2x=0，可得x=-3和12，

则-3和12把实数集R分成三个区间()-∞,-3，

éëöø-3,12，éëöø12,+∞.

当x<-3时，不等式可化为()-x-3+()2x-1<1，

解得x<5，

所以不等式的解为x<-3；

当-3≤x<12时，不等式可化为3x+2<1，

解得x<-13，

所以不等式的解为-3≤x<-13；

当x≤12时，不等式可化为-x+4<1，

解得x>3，

所以不等式的解为x>3.综上可得，原不等式的解集为{}x|x<-13或x>3.

求出各个绝对值内部式子的零点后，将实数集划

分为几个区间，可直接运用分类讨论法在每个区间上

讨论绝对值内部式子的符号，便可根据绝对值的性质

去掉绝对值符号，最后综合三种情况即可.

二、采用平方法

利用绝对值的性质|a|2=a2，也可以去掉绝对值符

号.当确定不等式两边的式子都是非负的时，可根据绝

对值的性质，将不等式平方，这也不失为一种切实可

行的好方法.但该方法并非完美，它的缺点是平方后的

式子比较冗长繁杂，此外求得的解还有可能是增根.

例2.解不等式2<||x2-2x-1<7.