《含绝对值的不等式解法与一元二次不等式解法》测试题

2
解: 依 题 意 , 得 a 1 5
2
b
5 1,
. 5
1 a
5 1.
,b
a4
不 等 式 x bx a 0 为 5 x 4 x 1 0,
2
即 ( 5 x 1)( x 1) 0,
所 求 不 等 式 的 解 集 为{ x | 1 x
1
a
3 x
(3)若 A B为 仅 含 有 一 个 元 素 的 集 合 , 则 a 1, 故 a的 取 值 范 围 是 { a| a 1} .
4.解下列不等式：
(1)(x-2)(x2+x-2)(x2-x+3)≤0； (2) (4x2-20x+18)/(x2-5x+4)≥3 解: (1) 原 不 等 式 为 : ( x 2)( x 2)( x 1) 0 由
(1)当 m 0时 , 原 不 等 式 为 -2( x -2)>0, x 2. 2 (2)当 m 1时 , 原 不 等 式 为 ( x -2) >0, x 2. 2 (3 )当 m 0 时 , 原 不 等 式 为 ( x 2 )( x ) < 0. m 2 (4)当 0 m 1时 , 原 不 等 式 为 x 2. 2 2 m ( x 2 )( x ) > 0. x 2或 x . m m 2 (5 )当 m 1时 , 原 不 等 式 为 ( x 2 )( x ) > 0. m 2
x a x a x b (1) (2) (3 ) x b x b x a
b a
x a (4) x b
a
xa
b

集合中涉及一元二次不等式、绝对值不等式、对数不等式分式不等式，维恩图的应用精练20题（含详细解析）一、选择题1．已知集合{}{}|3|20A x x B x x =<=->，，则A B ⋂=（）A ．()32-，B ．()23，C ．()03，D ．()3-∞，2．集合{}2Z |1A x log x =∈<，{}2|20B x x x =--≤，则A B ⋂=（）A ．{01}，B ．{1}C ．{101}-，，D ．{1012}-，，，3．已知集合A={y|y=}，B={x|y=lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A∩B ）=（）A ．[0，12）B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞）C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞）4．已知集合{}21012A =--，，，，，()2{|ln 56}B x y x x ==--，则A B =⋂（）A ．{}21012--，，，，B ．{}2-C ．{}012，，D ．{}210--，，5．设集合{|1M x x =≤或3}x ≥，{}2|1N x log x =≤，则集合MN =⋂（）A ．(]1-∞，B ．(]01，C ．[]12，D ．(]0-∞，6．设集合{}0123A =，，，，{}3|1B x log x =<，则R A B ⋂=ð（）．A ．{}0123，，，B ．{}03，C ．{}0D ．{}12，7．设集合{31}{32}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣，，∣，，U 为整数集，U ()A B ⋃=ð（）A ．{|3Z}x x k k =∈，B ．{31}xx k k Z =-∈∣，C ．{32}xx k k Z =-∈∣，D ．∅8．已知集合(){}(){}22101A x y x y B x y x y =-+==+=，∣，，∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．19．已知集合{}121N 28402x A x B x x x m +⎧⎫=∈<<=-+=⎨⎬⎩⎭∣，∣，若1A B ⋂∈，则A B ⋃=（）A ．{}123，，B ．{}1234，，，C ．{}012，，D ．{}013，，10．已知集合{{02}M xy N x x ===<<∣，∣，则M N =⋂（）A ．{|01}x x <≤B ．{|12}x x ≤<C ．{2}xx <∣D ．{0}xx >∣11．已知集合{301x A x y B x x -⎧⎫===<⎨⎬-⎩⎭∣，∣，则A B =⋃（）A ．()3-+∞，B ．[)3∞-+，C ．()33-，D ．[)33-，12．设集合{}2|01P x log x =<<，{}|2Q x x =≤，则（）A ．P Q ⋂=∅B ．RPQ =⋃C ．P Q⊆D ．Q P⊆13．设全集为R ，集合3|02x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}|1B x x =>，则()R A B =⋂ð（）A ．{}|32x x -≤<B ．{}|31x x -≤<C ．{}|31x x -≤≤D ．{}|12x x <≤14．已知R 为实数集，集合2|11A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}|13x x -<≤B ．{}|23x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x -<<15．若集合{}2|6750A x x x =--<，则R A =ð（）A ．1{|2x x <-或5}3x >B ．1{|2x x ≤-或5}3x ≥C ．5{|3x x <-或1}2x >D ．5{|3x x ≤-或1}2x ≥16．设集合{}2*|20A x x x x N=--<∈，，集合{|B x y ==，则集合A B ⋂等于（）A ．1B ．[)12，C ．{}1D ．{}|1x x ≥17．设全集R U =，集合{}012345M =，，，，，，{|N x y ==，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A ．()2-∞，B ．(]2-∞，C ．{}01，D ．{}012，，18．已知集合{}1|212x A y y x -==≤≤，，(){}|2B x y lg x ==-，则下列结论正确的是（）A ．A B⊆B ．[]02A B ⋂=，C ．(]2A B ⋃=-∞，D ．()R RA B ⋃=ð19．已知全集U R =，集合2{|2}A y y x ==+，集合{}2|90B x x =->，则阴影部分表示的集合为（）A ．[]32-，B ．()32-，C ．(]32-，D ．[)32-，20．已知集合{}0.71,xA x x R=∈，2{|20,}B x x x x R =--<∈，则AB =⋂（）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()1,2-答案解析部分1．【答案】A【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法【解析】【解答】解：由题意可得：{}{}|3|33A x x x x =<=-<<，{|2}B x x =<所以()32A B ⋂=-，.故答案为：A.【分析】根据题意求集合A ，再利用交集运算求解.2．【答案】B【知识点】交集及其运算；利用对数函数的单调性比较大小；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：因为集合{}2|1A x Z log x =∈<，所以22log 2log x <，且2y log x =单调递增且0x >所以02x <<，且x Z ∈，所以集合{}1A =，因为集合{}2|20B x x x =--≤，所以()()210x x -+≤，所以12x -≤≤，所以集合{|12}B x x =-≤≤，所以{}1AB =⋂，故答案为：B.【分析】首先对集合A 中对数进行化简，结合对数函数的定义域，得到集合A 的解集，再对集合B 中一元二次不等式进行求解，得到集合B 的解集，最后求出交集.3．【答案】D【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：集合A={y|y=}={y|y≥0}=[0，+∞）；B={x|y=lg （x ﹣2x 2）}={x|x ﹣2x 2＞0}={x|0＜x ＜12}=（0，12），∴A∩B=（0，12），∴∁R （A∩B ）=（﹣∞，0]∪[12，+∞）．故选：D ．【分析】求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果．4．【答案】B【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解： ()2ln 56y x x =--，∴2560x x -->，求得6x >或1x <-，∴{|16}B x x x =-或，∴{}2A B =-⋂.故答案为：B.【分析】先根据对数函数定义域求出集合B ，再根据交集的定义求AB ⋂.5．【答案】B【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法【解析】【解答】由21log x ≤，解得02x <≤，∴{|01}N x x =<≤，∴{|01}MN x x =<≤⋂.故答案为：B【分析】先求出集合{|01}N x x =<≤，再求MN ⋂.6．【答案】B【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数的性质与运算法则【解析】【解答】 31log x <，解得03x <<，∴{}|03B x x =<<，∴{}R |03B x x x =≤≥或ð，∴{}R 03A B ⋂=，ð.故答案为：B【分析】根据交集和补集定义求R A B ⋂ð.7．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】由已知{31}{32}A xx k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣，，∣，分析可知A 为被3除余1整数的集合，B 为被3除余2整数的集合，故当全集为整数，此时U ()A B ⋃ð为3的整数倍，即{|3Z}x x k k =∈，.故选：A.【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补AB ⋃的结果.8．【答案】A【知识点】子集与真子集；交集及其运算【解析】【解答】解：集合B 中圆的半径为1，圆心（0，0）到集合A 中直线的距离212d ==<，所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合A B ⋂中有两个元素，其子集个数为4.故选：A.【分析】集合A 代表直线上点的集合，集合B 代表圆上的点的集合，判断直线与圆的位置关系确定直线与圆的交点个数，即为集合中元素的个数.9．【答案】D【知识点】并集及其运算；交集及其运算；指数函数单调性的应用【解析】【解答】因为{}{}{}11|28|113|22012x A x x x x x +⎧⎫=∈<<=∈-<+<=∈-<<=⎨⎬⎩⎭N N N ，，若1AB ∈⋂，则1B ∈，可得140m -+=，解得3m =，则{}{}2|43013B x x x =-+==，，所以{}013A B =⋃，，.故答案为：D.【分析】根据题意结合指数函数单调性求集合A ，再根据交集结果求集合B ，进而可得结果.10．【答案】A【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法【解析】【解答】因为{{|1}M xy x x ===≤∣，所以{|01}MN x x =<≤⋂.故答案为：A.【分析】根据二次根式的性质化简集合M ，再求解集合的交集即可.11．【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由{A xy ==∣得{}|3A x x =≥-，由()()303101x x x x -<⇔--<-，得{}|13B x x =<<故A ∪B=[-3，+∞).故选：B.【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解出答案.12．【答案】C【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算【解析】【解答】因为对数不等式201log x <<的解集为{}|12x x <<，所以{}|12P x x =<<，又{}|2Q x x =≤，所以P Q P ⋂=，A 不符合题意；Q P Q ⋃=，B 不符合题意；P Q ⊆，C 符合题意，D 不符合题意；故答案为：C.【分析】化简集合P ，根据集合的运算和集合的关系逐项进行判断，可得答案.13．【答案】C【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】()(){}3203|0||32220x x x A x x x x x x ⎧⎫⎧+-≤+⎪⎪⎧⎫=≤==-≤<⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，又{}R |1B x x =≤ð，(){}R |31A B x x ∴=-≤≤⋂ð.故答案为：C.【分析】求出集合A 中元素范围，再求()RAB ⋂ð即可.14．【答案】C【知识点】交、并、补集的混合运算；指数函数单调性的应用【解析】【解答】图中阴影部分表示R B A ⋂ð，由211x <-，得1x <或3x >，所以{}R |13A x x =≤≤ð，由1242x<<，解得12x -<<，所以{}|12B x x =-<<，故{}R12BA x =≤<⋂ð，故答案为：C ．【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，求得集合A B ，，结合补集和交集概念及运算，即可求解.15．【答案】B【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：依题意，()(){}15|35210|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎩⎭，则R 1{|2A x x =≤-ð或5}3x ≥.故答案为：B.【分析】根据不等式的解法，求得15|23A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，结合补集的运算，即可求解.16．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】由题得{}{}{}2**|20N|12N 1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，，，{{}{}{}222||0|1|1B x y x log x x log x log x x ===≥=≥=≥，{}1A B ∴=⋂.故答案为：C.【分析】求解一元二次不等式化简集合A ，求出B ，然后直接利用交集运算得答案.17．【答案】C【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解答】集合{}012345M =，，，，，，{{}||2N x y x x ===≥，所以{}U |2N x x =<ð，图中阴影部分表示的集合为(){}U 01M N ⋂=，ð。

第12讲 不等式的解法 陆慕高级中学 袁卫刚 何贵宝一、高考要求掌握一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式的解法． 二、两点解读重点：三类不等式解法．难点：解含字母参数的不等式． 三、课前训练1．关于x 的不等式|2|x m ->的解集为R 的充要条件是 （ ） （A ）0m < （B ）2m ≥ （C ）0m ≤ （D ）2m ≤2．不等式02)1(≥+-x x 的解集为 （ ） （A ）),1[∞+ （B ）}2{),1[-∞+ （C ）)1,2[- （D ）),2[∞+-3．不等式a x x <-+-|3||4|的解集为非空集合，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1<a（B ）1>a（C ）1≥a （D ）43<<a4．关于x 的不等式()()0x a x b x c--≥-的解为12x -≤<或3x ≥，则点(,)P a b c +位于（ ）（A ）第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限四、典型例题例1 不等式13lo g (1)1x ->-的解集为( )（A ）{x |x >4} （B ）{x |x <4} （C ）{x |1<x <4} （D ）{x |1<x <32}例2 已知关于x 的不等式0ax b +<的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02a xb x ->-的解集是 （ ）（A ）(1,2) （B ）(1,2)- （C ）(,1)(2,)-∞-+∞ （D ）(2,)+∞例3若不等式2222x x a y y ++≥--对任意实数x y 、都成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）0a ≥ （B ） 1a ≥ （C ）2a ≥ （D ） 3a ≥例4关于x 的不等式12a x >-（其中0a >）的解集为 ．例5 已知关于x 的不等式052<--axax 的解集为M ．（1）当4=a 时，求集合M ；（2）若M M ∉∈53且，求实数a 的取值范围．例6已知21,:(2)10,:(1)(2) 1.a P a x Q x a x >-+>->-+试寻求使得,P Q 都成立的x 的集合．第12讲 不等式的解法 过关练习1．不等式||(12)0x x ->的解集是 ( ) （A ）1(,)2-∞ （B ）1(,0)(0,)2-∞ （C ）1(,)2+∞ （D ）1(0,)22．不等式2||60()x x x R --<∈的解集为 （ ） （A ）{|33}x x x ><-或 （B ） {|22}x x x ><-或 （C ）{|22}x x -<<（D ） {|33}x x -<<3．设{}2||1|2,|0x A x x B x x-⎧⎫=-<=>⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）． （A ）{}|13x x -<< （B ）{}|02x x x <>或 （C ）{}|10x x -<< （D ）{}|1023x x x -<<<<或4．若不等式2lo g 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，则a 的取值范围是（ ）．（A ）1116a ≤<（B ）1116a <<（C ） 1016a <≤ （D ） 1016a <<5．若2()(1)2(1)3(1)0f x a x a x a =+--+-<对于一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）．（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ） (,2)-∞- （D ）(,2)(1,)-∞-+∞6．不等式lg(2)lg(2)x x x +>+的解集是__________________． 7．解关于x 的不等式.1||,11≠>++a ax ax 其中8．设函数f (x )＝｜x －a ｜，g (x )＝ax (a ＞0)． (1) 解关于x 的不等式：f (x )＜g (x )；(2) 记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值．第12讲 不等式的解法参考答案 课前训练部分1.A2.B3.B4.A 典型例题部分例1. 解：由13lo g (1)1x ->-,得1113331lo g (1)lo g lo g 33x ->-=,即013x <-<,即14x <<.选C例 2. 解：由题意得1b a=-且0a <,∴02a xb x ->-即2bx a x -<-，即(2)()0b x x a--<.选A.例3. 解：221x x a a ++≥-，221y y --≤即11a -≥，2a ≥.选C. 例4. 解：1210022a x a a x x --->⇒<--.当0a >时21(2)()0a x x a+--<，则1(2,2)x a ∈+.例5.解：（1）当4=a 时，不等式为04542<--xx ，解之，得 ()5,2,24M ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭. （2）当25≠a 时，3,5M M ∈⎧⎨∉⎩ 350,955025a aa a -⎧<⎪⎪-⇒⎨-⎪≥⎪-⎩ 59,3125.a a a ⎧><⎪⇒⎨⎪≤<⎩或()51,9,253a ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭. 当25=a 时，不等式为0255252<--xx ， 解之，得()1,5,55M ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭， 则M M ∉∈53且， ∴25=a 满足条件. 综上可知(]51,9,253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 例6. 解：由题意，要使,P Q 都成立，当且仅当不等式组2(2)10,(1)(2)1a x x a x -+>⎧⎨->-+⎩成立.此不等式组等价于12,()(2)0.x ax a x ⎧>-⎪⎨⎪-->⎩①当12a <<时，则有12,2,x ax x a ⎧>-⎪⎨⎪><⎩或而111(2)20,2a a a a a a --=+->∴>-， 所以122x x a a>-<<或 ;②当2a =时，322x x >≠且 ;③当2a >时，则有12,2,x ax x a ⎧>-⎪⎨⎪<>⎩或所以122x a x a >-<<或. 综上，当12a <<时，使,P Q 都成立的x 的集合是122x x x a a ⎧⎫>-<<⎨⎬⎩⎭或; 当2a =时，使,P Q 都成立的x 的集合是322x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且;当2a >时,使,P Q 都成立的x 的集合是122x x a x a ⎧⎫>-<<⎨⎬⎩⎭或. 过关练习1.B2.D3.D4.A5.C6.(2,1)(1,)--+∞7. 解：,0)1()1(01>+--->+--+ax a x a ax ax ax 即若01,1>+->a x x a 则得原不等式的解集为}1|{a x x x -<>或; 若01,1<+-<ax x a 则,①当,1,11<-<<-a a 时得原不等式的解集为}1|{<<-x a x ；②当1,1>--<a a 时，得原不等式的解集为}1|{a x x -<<.8. 解:（1）①当1=a 时，21>x ；②当10<<a 时，aa x a a-<<+11;③当1>a 时，aa x +>1 .（2）①当1=a 时，1)(min -=x F ；②当10<<a 时，2min )(a x F -=;③当1 a 时， min )(x F 不存在．。

一元二次方程、不等式考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}错误!Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅2.分式不等式与整式不等式 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(x 1，x 2)，则a <0.( √ ) (3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × )(4)不等式x －ax －b≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × ) 教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >1答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确；而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a<x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时， 原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4，①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1. ③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx2－bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0，由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a.②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a.③当a <0时，1－1a>1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4a －22＋16a －2<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝x 2－4x ＋3>0，f4＝4x －1＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g －2＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2>2，g 2＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解， 即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0，即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5B ．－133C ．－4D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立，则a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 恒成立，又x ∈[1,3]时，x ＋4x≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤－4，∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( ) A ．(－2，－1) B ．(－3，－6) C ．(2,4) D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( ) A ．a 2＝4b B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4 答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0， 所以a 2＝4b ，所以A 正确； 对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a2，即a ＝2时等号成立，所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系， 知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误；对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ，则|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确． 7．不等式3x －1>1的解集为________． 答案 (1,4) 解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0.9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×－4＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0. 当a ＋1＝－1，即a ＝－2时， 原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时， 原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时， 原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ， 又f (x ＋2)－f (x )＝16x ， 得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2. (2)因为存在x ∈[1,2]， 使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立， 令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]， 故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2， 即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3 答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1， 所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－4xmin ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时， 1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以1x2－4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4≥－4，当且仅当x ＝12时，等号成立，所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m m ＋4＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3.13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________． 答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析 对于方程x 2＋ax －2＝0， ∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根， 又∵两根之积为负， ∴必有一正根一负根， 设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0， 即5a ＋23>0， 解得a >－235.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪32<a ≤2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a . 当2a >1，即a >12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }， 则3<2a ≤4， 解得32<a ≤2；当2a ＝1，即a ＝12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解， 所以a ＝12不符合题意；当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}，则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12.综上，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx >0，f x ＋k <0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围；(2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b2，0×5＝c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0.所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，f x ＋k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2x 2＋2kx ＋k 2－10x ＋k <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个， 可得该正整数解为6， 可得6<5－k ≤7， 解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)． (2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2， 即tx 2－5tx －1≤0， 当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧t ·1－5t ·－1－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以t －5t －1≤0， 解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。