2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)1

2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2005.1.21.2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）： 1．=-+--→45215lim22x x x x .2. =--⎰+→xdte x tx cos 1)1(lim.3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x xx x f 在0=x 处连续，则=b .4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是 .5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )( .6.⎰-=+2223sin)sin (cos ππtdt t t .7.=⎰∞+-022dx xex.8. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b . 二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限()x x x cos ln 123sin 1lim +→.2. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx yd .3. 设x x y cos =，求dy .4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dxdy .三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx xx .2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰2)(dt t f .4. 证明方程0111304=+--⎰x dt tx 在区间)1,0(内有唯一实根.四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程.4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u nn π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限.五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有 ab a f b f ax a f x f -->--)()()()(.2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(B)专业： 姓名： 学号： 考试日期：2005.1.21.2. 答案必须写在该题后的横线上或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）： 1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x xx x f 在0=x 处连续，则=b .2. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是 .3．=-+--→45215lim22x x x x .4. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )( .5. =--⎰+→xdte x tx cos 1)1(lim.6. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b .7.⎰-=+2223sin )sin (cos ππdt t t t .8.=⎰∞+-022dx xex.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：5. 求由参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx yd .6. 求极限()x x x cos ln 123sin 1lim +→.7. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dxdy .8. 设x x y cos =，求dy .三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 5. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰2)(dt t f .6. 求⎰++3011dx xx .7. 证明方程0111304=+--⎰x dt tx 在区间)1,0(内有唯一实根.8. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.2．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.3．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u nn π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限.4．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程.五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有 ab a f b f ax a f x f -->--)()()()(.2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）： 1．=-+--→45215lim22x x x x 81.2. =--⎰+→xdte x tx cos 1)1(lim1.3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x xx x f 在0=x 处连续，则=b 1.4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .6.⎰-=+2223sin)sin (cos ππtdt t t 32.7.=⎰∞+-022dx xex1.8. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b )4,2,4(--.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 9. 求极限()x x x cos ln 123sin 1lim +→.解 ()()xx xx x ex 3s i n 1ln cos ln 1limcos ln 1223sin 1lim +→→=+ (2分)()xx xx x xx x x cos ln )3(limcos ln 3sin lim3sin 1ln cos ln 1lim222→→→==+ （4分）,18cos sin 18lim-=-=→xx xx （5分）()18cos ln 123sin 1lim -→=+∴ex x x （6分）10. 求由参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx yd .,cot sin cos t ab ta tb dxdy -=-=（3分）ta bt a ta bdxy d 32222sin sin csc -=-= （6分） 11. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos x x x x e y xx +-=' （5分）)cos ln sin (cos xxx x xx+-= （6分）12. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dxdy .解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y（4分） )0(≠++-=∴yye x ex y dxdy （6分）三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 9. 求⎰++3011dx xx . （或令t x =+1）解⎰⎰-+-=++3030)11(11dx xx x dx xx⎰+--=3)11(dx x （3分）35)1(323323=++-=x （6分）10. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .解dx xx xx xdx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+1011010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分）dx xx ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-++-=102111312ln （4分） 2ln 3121ln312ln 1=-+-=xx （6分）11. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰2)(dt t f .解⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分）65)2(2131212=--=t （6分）12. 证明方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt tx x f 041113)(设， （1分）则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t，由零点定理，至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分） 又0113)(4>+-='xx f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分）综上所述，方程0111304=+--⎰x dt tx 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.解 x x a x f 3c o s c o s )(+=' （1分）201233cos3cos)3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分)又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分）3)3(=∴πf 为极大值. （6分）2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212xy xy 得交点)2,1(-，)2,1( （2分）34)1(2)21(212212=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分）2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程.解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分） 令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22，代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM， 取)1,1,1(--=s ， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u nn π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan1π∈≥+x x x n n， （1分）140140,tantan ＋即n n n nu u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ（2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tantan ππdx x dx x n ndx x x dx x x n n n)tan 1(tan)tan(tan2402240+=+=⎰⎰--ππ（3分）x d x x d x x n n t a n t a ns e c t a n4022402⎰⎰--==ππ42tan11πxn n --=11-=n （4分）（3）1,0+≥≥n n n u u u 且，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分） 设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(.证明 设ab a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(，2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分）又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ， 于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ， 即有ab a f b f ax a f x f -->--)()()()( （4分）2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(B)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）： 1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x xx x f 在0=x 处连续，则=b 1.2. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .3．=-+--→45215lim22x x x x 81.4. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .5. =--⎰+→xdte x tx cos 1)1(lim1.6. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b )4,2,4(--.7.⎰-=+2223sin)sin (cos ππtdt t t 32.8. =⎰∞+-022dx xex1.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：13. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx yd .,cot sin cos t ab ta tb dxdy -=-=（3分）ta bt a ta bdxy d 32222sin sin csc -=-= （6分） 14. 求极限()xx x cos ln 123sin 1lim +→.解 ()()xxx x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 12203sin 1lim +→→=+ (2分)()xx xx x xx x x cos ln )3(limcos ln 3sin lim3sin 1ln cos ln 1lim222→→→==+ （4分）,18cos sin 18lim-=-=→xx xx （5分）()18cos ln 123sin 1lim -→=+∴ex x x （6分）15. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dxdy .解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y（4分） )0(≠++-=∴yye x ex y dxdy （6分）16. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos x x x x e y xx +-=' （5分）)cos ln sin (cos xxx x xx+-= （6分）三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 13. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰2)(dt t f .解⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分）65)2(2131212=--=t （6分）14. 求⎰++3011dx xx . （或令t x =+1）解⎰⎰-+-=++3030)11(11dx xx x dx xx⎰+--=3)11(dx x （3分）35)1(323323=++-=x （6分）15. 证明方程0111304=+--⎰x dt tx 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt tx x f 041113)(设， （1分）则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t，由零点定理，至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分） 又0113)(4>+-='xx f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分）综上所述，方程0111304=+--⎰x dt tx 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）16. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .解dx xx xx xdx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+1011010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分）dx xx ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-++-=102111312ln （4分） 2ln 3121ln312ln 1=-+-=xx （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212xy xy 得交点)2,1(-，)2,1( （2分）34)1(2)21(212212=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分）2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）2．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.解 x x a x f 3c o s c o s )(+=' （1分）201233cos3cos)3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分)又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分）3)3(=∴πf 为极大值. （6分）3．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u nn π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan1π∈≥+x x x n n， （1分）140140,tantan ＋即n n n nu u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ（2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tantan ππdx x dx x n ndx x x dx x x n n n)tan 1(tan)tan(tan2402240+=+=⎰⎰--ππ（3分）x d x x d x x n n t a n t a ns e c t a n4022402⎰⎰--==ππ42tan11πxn n --=11-=n （4分）（3）1,0+≥≥n n n u u u 且，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分） 设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分） 4．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+zy x 垂直相交的直线方程.解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+zy x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分） 令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22，代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM， 取)1,1,1(--=s ， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(.证明 设ab a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分）又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ， 于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ， 即有ab a f b f ax a f x f -->--)()()()( （4分）。