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第六章 《万有引力与航天》-----知识提纲

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第六章 《万有引力与航天》知识提纲一、知识网络托勒密：地心说人类对行 哥白尼：日心说星运动规 开普勒 第一定律（轨道定律）行星 第二定律（面积定律）律的认识 第三定律（周期定律）运动定律万有引力定律的发现万有引力定律的内容 万有引力定律 F ＝G221rm m引力常数的测定万有引力定律 称量地球质量M ＝GgR 2万有引力 的理论成就 M ＝2324GTr π与航天 计算天体质量 r ＝R,M=2324GTR πM=GgR 2人造地球卫星 M=2324GTr π宇宙航行 G2rMm = mrv2mr 2ωma第一宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度11.2km/s 地三宇宙速度16.7km/s二、重点内容讲解1、计算重力加速度（1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

F 引=G2RM =6.67*1110-*2324)10*6730(10*98.5=9.8(m/2s )=9.8N/kg即在地球表面附近，物体的重力加速度g ＝9.8m/2s 。

这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。

（2）即算地球上空距地面h 处的重力加速度g ’。

有万有引力定律可得： g ’＝2)(h R GM +又g ＝2RGM ，∴gg '＝22)(h R R+，∴g ’＝2)(hR R +g（3）计算任意天体表面的重力加速度g ’。

有万有引力定律得： g ’＝2''R GM （M ’为星球质量，R ’卫星球的半径），又g ＝2RGM ，∴gg '＝2)'('R R MM ∙。

注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。

由于这个向心力很少，我们可以忽略，所以在地球表面的物体F 引=G 2、天体运行的基本公式在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。

因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。

因此可的以下几个基本公式。

（1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M ，行星（或卫星）的圆轨道半径为r ，则向心力可以表示为：F 引=F 向，n F ＝G2rMm ＝ma ＝mrv2=mr 2ω=mr 2)2(Tπ=mr 2)2(f π=m ωv 。

（2）五个比例关系：（r 为行星的轨道半径） 向心力：n F ＝G2rMm ，F ∝21r； 向心加速度：a=G2rM , a ∝21r；① G 2rMm ＝mr v2；得v ＝r GM ，v ∝r1；②G2rMm ＝m r 2ω ；得ω＝3rGM ，ω∝31r；③G2rMm ＝mr 2)2(Tπ；得T ＝2πGMr3，T ∝3r ；（3）v 与ω的关系。

在r 一定时，v=r ω,v ∝ω;在r 变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r 不断变化，v 、ω也随之变化。

根据，v ∝r1和ω∝31r，这时v 与ω为非线性关系，而不是正比关系。

3、引力常量的意义根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G2rMm ＝mr 2)2(Tπ∴k GM Tr ==2234π.这实际上是开普勒第三定律。

它表明k Tr =23是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。

在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。

它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。

4、估算中心天体的质量和密度（1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得： G2rMm ＝mr 2)2(Tπ， ∴M ＝2324GTr π（2）中心天体的密度方法一：中心天体的密度表达式ρ＝VM ，V ＝343R π（R 为中心天体的半径），根据前面M 的表达式可得：ρ＝3233RGT rπ。

当r ＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝23GTπ。

此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T ，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

方法二：由g=2RGM ,M=GgR 2进行估算，ρ＝VM ，∴ρ＝RG g π435、稳定运行与变轨运行 （1）稳定运行：某天体m 围绕某中心天体M 稳定做圆周运动时，始终满足F 引=F 向，即： 22GM m mv rr=所以v ＝rGM ，故r 越大时，v 越小；r 越小时，v 越大；（2）变轨运行：某天体m 最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足22G M m m v rr=，由于某原因其v 变大，此时其所需要的向心力2n m v F r=变大，万有引力2G M m F r=引不足以提供向心力时，m 就做离心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v 比原轨道1处的v 小；反之，若在轨道1处v 突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v 比原轨道1要大；三、常考模型规律示例总结1. 对万有引力定律的理解（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。

（2）公式表示：F=221rm Gm 。

（3）引力常量G ：①适用于任何两物体。

②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体（可看成质点）相距1m 时的相互作用力。

③G 的通常取值为G=6。

67×10-11Nm 2/kg 2。

是英国物理学家卡文迪许用实验测得。

（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。

当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。

②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r 是指两球心间的距离。

③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。

（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。

②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。

③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。

〖例1〗设地球的质量为M ，地球的半径为R ，物体的质量为m ，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：A 、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。

A 、 物体距地面的高度为h 时，物体与地球间的万有引力为F=2hGMm 。

B 、 物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。

D 、物体离地面的高度为R 时，则引力为F=24RGMm〖答案〗D〖总结〗（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。

（2）F=221rm Gm 。

中的r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。

（3）F=221rm Gm 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C 的推理是错误的。

〖变式训练1〗对于万有引力定律的数学表达式F=221rm Gm ，下列说法正确的是：A 、公式中G 为引力常数，是人为规定的。

B 、r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C 、m 1、m 2之间的引力总是大小相等，与m 1、m 2的质量是否相等无关。

D 、m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。

〖答案〗C2. 计算中心天体的质量解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。

ma Tmr mr rmv rGMm ====2222)2(πω式中M 为中心天体的质量,Sm 为运动天体的质量,a 为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T 为运动天体的周期,r 为运动天体的轨道半径.(1)天体质量的估算通过测量天体或卫星运行的周期T 及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有22)2(Tmr rGMm π=,得2324GTr M π=注意:用万有引力定律计算求得的质量M 是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.用上述方法求得了天体的质量M 后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积334R V π=,进而还可求得天体的密度.3233RGT rVM πρ==如果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为23GTπρ=规律总结:① 掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的.② 物体在天体表面受到的重力也等于万有引力.③ 注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径. (2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：2222)2(Tmr mr rmv rGMm πω===根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即mg RGMm =2（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星〖例2〗已知月球绕地球运动周期T 和轨道半径r ，地球半径为R 求（1）地球的质量？（2）地球的平均密度？ 〖思路分析〗（1） 设月球质量为m ，月球绕地球做匀速圆周运动， 则：22)2(Tmr rGMm π= ，2324GT r M π=（2）地球平均密度为3233334RGT rRM ππρ==答案：2324GTr M π=； 3233RGT rπρ=总结：①已知运动天体周期T 和轨道半径r ，利用万有引力定律求中心天体的质量。

②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R 来计算。

〖变式训练2〗人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R ，探测器运行轨道在其表面上空高为h 处，运行周期为T 。

（1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T 1，则行星平均密度为多少？ 答案：（1）232)(4GTh R M +=π；323)(3RGT h R +=πρ （2）213GT πρ=3. 地球的同步卫星（通讯卫星）同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h ，同步卫星又叫做通讯卫星。

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(完整版)第六章万有引力与航天知识点总结

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万有引力与航天1、开普勒行星运动定律(1).所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.(2).对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.(3).所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 32a K T= （K 只与中心天体质量M 有关） 行星轨道视为圆处理，开三变成32r K T =（K 只与中心天体质量M 有关）2、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。

表达式：122,m m F G r=2211kg /m N 1067.6⋅⨯=-G 适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球。

(质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点)3、万有引力定律的应用：（天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R, 轨道半径r ，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度n a ，卫星运行周期T)两种基本思路：1．万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h )人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h ）：r GM v =，r 越大，v 越小；3r GM =ω，r 越大，ω越小；GM r T 324π=，r 越大，T 越大；2n GMa r =，r 越大，n a 越小。

(1)求质量：①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：= G M m R2→2gR M G = ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：23224GT r G r v M π==求密度34/3M M V R ρπ==2高空物体的重力加速度：mg = G2)(h R Mm + 3、万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。

必修2第6章万有引力与航天知识点总结

必修2第6章万有引力与航天知识点总结

常用要有GMm/r^2=mr(2π/t)^2=(mv^2)/r=(mv2π)/T=mrw^2密度=3g/4πRG(R为该星球的半径）mg=GMm/r^2应用变式求天体质量(以地球质量计算为例①知月球绕地球运动的周期T,半径r由GMm/r^2=mr(2π/t)^2得,M=4(π^2)(r^3)/GT^2②知月球绕地球运动的线速度v和半径r由GMm/r^2=(mv^2)/r,得M=(rv^2)/G③知月球绕地球运动的限速的v和周期T由GMm/r^2=(mv2π)/T得M=(2πvr^2)/TG=(Tv^3)/2πG④知地球的半径r和地球表面的重力加速度g由黄金代换(mg=GMm/r^2)知M=gr^2/G做万有引力的题目也就是简单的天体力学记住公式是最基本的许多题都是套公式的非常简单要拿高分看下面下面说一下需要注意的一. 建立两种模型确定研究对象的物理模型是解题的首要环节，运用万有引力定律也不例外，无论是自然天体（如月球、地球、太阳），还是人造天体（如飞船、卫星、空间站），也不管它多么大，首先应把它们抽象为质点模型。

人造天体直接看作质点；自然天体看作球体，质量则抽象为在其球心。

这样，它们之间的运动抽象为一个质点绕另一质点的匀速圆周运动。

二. 抓住两条思路无论物体所受的重力，还是天体的运动，都跟万有引力存在着直接的因果关系，因此，万有引力定律在这些问题中的应用十分广泛。

但解决问题的基本思路实质上只有两条：思路1：利用万有引力等于重力的关系即思路2：利用万有引力等于向心力的关系即式中a是向心加速度，根据问题的条件可以用来表示。

其实最主要的公式还是一个也就是F=GMm/R^2＝mg =mv^2/R=mw^2R＝mR4π^2/T^2.[解题过程]万有引力1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r^2 （G＝6.67×10^-11N*m^2/kg^2，方向在它们的连线上）3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝5.第一、二、三宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r 地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r 地:地球的半径。

万有引力与航天知识点总结

万有引力与航天知识点总结

第一单元【本讲教育信息】一. 教学内容：第六章 万有引力与航天 第一节 行星运动第二节 太阳与行星的引力二. 知识要点：1. 知道地心说和日心说的基本内容，知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；知道所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。

2. 理解太阳与行星间引力的存在。

能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式。

了解万有引力定律得出的思路和过程，理解万有引力定律的含义，掌握万有引力定律的公式；知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。

三. 重难点解析：1. 地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的。

太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

2. 日心说宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动。

地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动。

天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。

与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。

3. 开普勒对行星运动的描述（1）第一定律：太阳系中各个行星以椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

（2）第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

如果时间间隔相等，即t 2 －t 1=t 4－ t 3，那么面积A=面积B 。

由此可见，行星在远日点a 的速率最小，在近日点b 的速率最大。

图中太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，其表达式为：23TR ＝k ，其中R 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕太阳公转的周期，k 是一个与行星无关的常量，但k 的大小与中心天体的质量有关。

4. 太阳与行星间的引力（1）推导假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么；太阳对地球的吸引力为地球绕太阳做圆周运动提供向心力。

万有引力与航天重点知识归纳

万有引力与航天重点知识归纳

万有引力与航天重点知识归纳考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：k Ta =23。

其中k 值与太阳有关，与行星无关。

中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k TR =23，R ——轨道半径。

2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。

（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。

（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。

（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。

3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。

①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。

由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。

(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。

在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GM g mg h R Mm Gh h +=⇒=+，所以g h R R g h 22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。

考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度1．T 、r 法：232224)2(GTr M T mr r Mm G ππ=⇒=，再根据32333,34R GT r V M R Vπρρπ=⇒==，当r=R 时，23GT πρ=2．g 、R 法：GgR Mmg RMm G 22=⇒=，再根据GRg VM R V πρρπ43,343=⇒==3．v 、r 法：Grv M r v m r Mm G 222=⇒=4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,32222=⇒==考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则22R GM g mg R Mm G =⇒=。