三章函数的应用章末复习课网络构建核心归纳1.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.2.函数零点存在性定理(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.3.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________；(2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1，3)内至少有一个零点.而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增.故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f (x )共有2个零点.法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x .如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解.综上，函数f (x )共有2个零点.(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知，若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0，2).答案(1)2 (2)(0，2)【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是( )A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为c<0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根.a答案 D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，结论x0解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1，2).因为所以x0≈1.125(不唯一).【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )A.1.2B.1.35C.1.43D.1.5解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根.答案 C要点三函数的实际应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题. 【例3】 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x （0≤x ≤5），11（x >5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8（0≤x ≤5），8.2－x （x >5）. (2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7，∴1<x ≤5. ②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2， 所以5<x <8.2.综上，当1<x <8.2时，有y >0，即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. (3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6； 当x >5时，∵函数f (x )单调递减， ∴f (x )<f (5)＝3.2(万元).综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.【训练3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1) (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解 (1)依题意可得： ①当0<x ≤3 500时，y ＝0. ②当3 500<x ≤5 000时，y ＝(x －3 500)·3%＝0.03x －105.③当5 000<x <8 000时，y ＝45＋(x －5 000)·10%＝0.1x －455.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤3 500，0.03x －105，3 500<x ≤5 000，0.1x －455，5 000<x <8 000.(2)因为需交税300元， 故有5 000<x <8 000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7 550. 答：刘丽十二月份工资总额为7 550元.基础过关1.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)与(2，3)解析 易知f (x )在(1，＋∞)上单调递减，f (2)＝1>0，f (3)＝23＋ln 12＝23－ln 2<0，所以f (x )在(2，3)内只有一个零点.答案 B2.实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A.2B.奇数C.偶数D.至少是2解析 由零点存在性定理，f (a )f (b )<0，f (c )f (b )<0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有一个零点，在(b ，c )上至少有一个零点，而f (b )≠0，所以y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为至少2个.选D. 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)解析 易知当x >0时，2x －1＝0有一个根，所以需使函数y ＝e x＋a (x ≤0)有一个零点，即方程e x ＋a ＝0(x ≤0)有一个根，即a ＝－e x .由x ≤0，得－e x∈[－1，0)，故a ∈[－1，0). 答案 D4.用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次.解析 设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n <0.001，即2n >100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 答案 75.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.解析 在同一个坐标系中作出函数y ＝|x 2－2x |和y ＝a 2＋1的图象，如图所示，易知a 2＋1>1，由图知方程有2个解.答案 26.方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由.解 不存在.理由如下：因为当x <0时，－1x >0，所以x 2－1x>0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0.7.某地的出租车价格规定：起步价为a 元，可行3公里，3公里以上按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算(这里a ，b ，c 规定为正的常数，且c >b )，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若取a ＝14，b ＝2.4，c ＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？(2)求车费y (元)与行车里程x (公里)之间的函数解析式y ＝f (x ).解 (1)由题意可知，起步价(3公里以内)是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8－3＝5(公里)的收费是5×2.4＝12(元)，总共收费14＋12＝26(元)，故他应付出租车费26元.(2)3公里以内，即起步价是a 元，即0<x ≤3时，y ＝a (元)；大于3公里而不超过10公里时，即3<x ≤10时，收费y ＝a ＋(x －3)b ＝bx ＋a －3b (元)；大于10公里时，即x >10时，收费y ＝a ＋7×b ＋(x －10)c ＝cx ＋a ＋7b －10c (元).所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<x ≤3，bx ＋a －3b ，3<x ≤10，cx ＋a ＋7b －10c ，x >10.能力提升8.已知函数f (x )的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A.y ＝2xB.y ＝4－4x ＋1C.y ＝log 3(x ＋1)D.y ＝3x解析 由于图象过点(1，2)，可排除C ，D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y <4，而y ＝2x 可无限大，排除A ，选B.答案 B9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－2]∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－2，2)解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x )的示意图，如图，则不等式f (x )<0的解为－2<x <2，故选D.答案 D10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )的两个零点一个大于2，一个小于2， ∴f (2)<0，∴22＋2a ＋a －1<0，解得a <－1. 答案 (－∞，－1)11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 2012.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元.13.(选做题)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.解 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ， 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1，3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.章末检测(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析由二分法的定义可知选A.答案 A2.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )A.至多有一个交点B.必有唯一个交点C.至少有一个交点D.没有交点解析∵f(a)·f(b)<0，∴f(a)与f(b)异号，即：f(a)>0，f(b)<0或者f(a)<0，f(b)>0，显然，在[a，b]内，必有一点c，使得f(c)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个，故选B.答案 B3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )解析A：与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2只在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D. 答案 D4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点解析 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D. 答案 D5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( ) A.y ＝0.2x B.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x10D.y ＝0.2＋log 16x解析 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 答案 C6.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：那么方程x －3＋3A.2.1 B.2.2 C.2.3D.2.4解析 由参考数据可知f (2.25)·f (2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点的近似值，也即方程x －3＋log 3x ＝0的根的近似值. 答案 C7.函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为( )C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数，即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1.∵⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，x －3≠0，解得x <0，∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为1.故选A.答案 A8.函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 由已知可知，函数f (x )＝3x＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0，1)，故选C.答案 C9.已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A.2 B.3C.4D.与a 的值有关解析 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根.故选A.答案 A10.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x(a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )C.± 5D.－ 5解析 设投放x (0≤x ≤20)万元经销甲商品，则投放(20－x )万元经销乙商品，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5，∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x ≤20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.答案 A11.已知函数f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1解析 f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，即y ＝|lg x |与y ＝2－x有两个交点，由题意x >0，分别画y ＝2－x 和y ＝|lg x |的图象，发现在(0，1)和(1，＋∞)上分别有一个交点，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，那么在(0，1)上有2－x 1＝－lg x 1，即－2－x 1＝lg x 1.①在(1，＋∞)上有2－x 2＝lg x 2.②①②相加有2－x 2－2－x 1＝lg x 1x 2，∵x 2>x 1，∴2－x 2<2－x 1， 即2－x 2－2－x 1<0，∴lg x 1x 2<0， ∴0<x 1x 2<1，故选D. 答案 D12.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A.600元B.900元C.1 600元D.1 700元解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元).又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.解析函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.答案 314.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.解析由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4，故答案为(0，4).答案(0，4)15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.解析设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y ＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.答案1416.给出下列四个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.其中正确的序号是________.解析 对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 的定义域不相同，故不是相等函数，故②错；对于③，当x 0取大于等于4的值都可使当x >x 0时，有2x >x 2成立，故③正确；对于④，函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上不连续时，既使有f (a )·f (b )<0，f (x )在(a ，b )内也不一定有零点.故④错. 答案 ③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 3＋1.解 (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)， 令f (x )＝0，可解得x ＝－18，或x ＝1，所以函数f (x )的零点为－18和1.(2)因为f (x )＝x 2＋x ＋2，令x 2＋x ＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实数解.所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点. (3)因为f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)， 令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为－1.18.(12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.解 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x ≤0，即x ≥1时，log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log14x >0，即0＜x ＜1时，log 14x ≤12，解得12≤x <1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19.(12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).解 令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点.由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1，2)内.20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.21.(12分)如图，直角梯形OABC 位于直线x ＝t (t ≥0)右侧的图象的面积为f (t ).(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 解 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝（3＋5）×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ， 所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，0≤t ≤2，10－2t ，2<t ≤5.(2)函数f (t )的图象如图所示.22.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件. (1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60； 当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为( ) A.{1，2，4} B.{2，3，4} C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}解析 ∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4}，又B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝{0，2，4}.故选C. 答案 C2.可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )解析 由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f (x )有唯一确定的实数值与之对应，只有D 符合.故正确答案为D. 答案 D3.同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数 A.f (x )＝－(x ＋1)2＋2B.f (x )＝3|x |C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D.f (x )＝x －2解析 A.若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数图象关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B.若f (x )＝3|x |，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C.若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足.D.若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 答案 C4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2D.3 解析 f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (1)＝2e1－1＝2，即f (f (2))＝2. 答案 C5.函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(1，2)解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.答案 C6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( ) A.13 B.－13C.3D.－3解析 设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得：α＝－3，所以幂函数解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得：x －3＝27，所以x ＝13.答案 A7.函数f (x )＝2－x ＋ln(3x ＋2)＋12x－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1∪(1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－23，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，3x ＋2>0，2x －1≠0，解得－23<x ≤2且x ≠0，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2].答案 A8.设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.b <a <c C.c <b <aD.a <b <c解析 因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5>0.3，所以0.50.5>0.30.5，即a >b ，c ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，而1＝0.50>0.50.5，所以b <a <c .故选B.答案 B9.若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析 由f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2，0<a <1，再由对数的图象可知A 正确. 答案 A10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0， 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝2log 245＋15＝1.故选A. 答案 A11.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )<0的解集是( )A.(－3，0)∪(1，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，0)∪(1，3)解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x )<0；当x ∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0；∵(x －1)·f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f （x ）<0，可解得－3<x <0或1<x <3，∴不等式的解集是(－3，0)∪(1，3)，故选D. 答案 D12.已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[23，＋∞) B.(0，1]∪[3，＋∞) C.(0，2]∪[23，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析 y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数图象在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，恒成立；②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，需要(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3.综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞). 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________.解析 因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝a x －2－3必过定点(2，－2).答案 (2，－2)14.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间).解析 ∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0， ∴f (3)·f (4)＞0，故x 0∈(2，3). 答案 (2，3)15.设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1，5，6}，则集合A ＝________，B ＝________.解析 (∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{1，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，7，8，9}，又(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，所以A ∩B ＝{4，9}，所以A ＝{2，4，8，9}，B ＝{3，4，7，9}.答案 {2，4，8，9} {3，4，7，9}16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x ，（x ≥4），log 2x ，（0<x <4），若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图.由图可知实数k 的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(10分)计算下列各式的值： (1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋23×14×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.18.(12分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x＋x ，求f (x )的解析式.解 由题意，当x ＝0时，f (x )＝0.∵x >0时，f (x )＝2x＋x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x＋x ， 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.19.(12分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围. 解 (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}. A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}. (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3； 综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].20.(12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a >0且a ≠1). (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )>0.解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴－12＜x ＜12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.(2)由(1)知F (x )的定义域关于原点对称， 又F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－ log a (1＋2x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数.(3)∵f (x )－g (x )>0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )>0， 即log a (2x ＋1)>log a (1－2x ).①当0<a <1时，0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a >1时，2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.21.(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.解 由题意可知，图甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1，30)和(6，10)两点.从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2. 所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了. (3)设当第m 年时的规模，即总出产量为n ， 那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34) ＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2， 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条. 22.(12分)已知函数f (x )＝a ·2x －2＋a2x＋1(a ∈R ).(1)试判断f (x )的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x )为定义域上的奇函数， ①求函数f (x )的值域；②求满足f (ax )<f (2a －x 2)的x 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (x )＝a －22x ＋1.任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x2－2x1）（2x 2＋1）（2x1＋1）. ∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2， ∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数.(2)∵f (x )是定义域上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0，。
