结构动力学试卷及答案

考生请注意：1．本试题共6 题，共2 页，考生请认真检查；2．答题时，直接将答题内容写在我校提供的答题纸上；答在试卷上一律无效；3．本试题不得拆开，拆开后遗失后果自负。

一、简述题（本题共20分，每小题5分）1．自由振动、强迫振动自由振动：系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动特性仅取决于系统本身的物理特性（质量和刚度）。

强迫振动：系统受到外界持续的激励作用而“被动地”进行振动，其振动特性除取决于系统本身的特性外，还取决于激励的特性。

2．广义坐标、振型函数广义坐标：是一种坐标形式，它是有几组互相正交的模态组成，任何变量都可由这几组模态的唯一线性组合而成。

振型函数：是一种函数形式，描述振型在几维空间中的振幅值的表现。

3．稳态响应、瞬态响应稳态响应：当系统在外力作用下，经过一段时间后，系统振动趋于稳定时的响应。

瞬态响应：当系统在外力作用下，在系统振动趋于稳定之前的响应。

瞬态响应发生在稳态响应之前，他们组合构成完整的外力作用时的振动响应。

4．哈密顿原理具有完整约束的动力学系统，在满足协调性条件、约束条件或边界条件，同时满足起始t1时刻与结束t2时刻条件的可能的位移随时间变化的形式中，真实解对应的那种变化形式使Lagrange泛函L取最小值，即2 1(T V W)0t t dt式中：T为系统的动能，V为系统的势能，W为外力所作虚功。

二．质量均为m 的两个球，系于具有很大张力T 的弦上，如图所示，求系统的固有频率。

（本题10分）解：由于弦的张力T 很大，两个球只能在竖向发生微幅振动。

（1分）如下图所示，两个球在外力1()F t 和2()F t 作用下发生竖向微幅振动，位移分别为1x 和2x 。

对两个球，分别作受力分析：外荷载；惯性力； 张力分力。

（3分）运用达朗贝尔原理，分别列出 两个球的竖向运动方程：12111()x x x mx T T F t L L-+⋅-⋅=22122()x x xmx T T F t L L-+⋅+⋅= （5分）写成矩阵形式：1112222()002()TT x x F t m L L m x T T x F t L L ⎡⎤-⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤+=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得频率方程：[][]222202T Tm LLK M T T m L Lωωω---==-- （7分） 解得： 1ω=2ω= （10分）ll l F 2(t)三．图示简支梁，梁长为4l ，在四等分处有3个质量m 1=m 2=m 3=m ，梁的抗弯刚度为EI ，忽略梁自身的质量，要求：（1）写出系统振动方程；（2）求系统的各阶固有频率； （3）画出相应的主振型。

（本题20分） 解：（1） 由柔度法建立系统振动方程：0δ112233y y y M y y y质量矩阵为：123000000m Mm m 求柔度系数，由对称性：31133912l EI δδ； 3211223321112l EIδδδδ 33113712l EIδδ； 3221612l EIδ 柔度矩阵为39117111611127119l EIδ因此，系统振动方程为：132300911711161100127119000m l m EIm 112233y y y y y y或者：391171116111271190ml EI112233y y y y y y（2） 求频率：由频率方程：0=λ-δI M代入柔度矩阵、质量，得1ω 22.45EIml ω 335.2EIml ωl l l l（3） 求振型：将上述频率代入振型方程 0=ϕλ-δi i I M )(，并进行正则化处理，可得：11 1.411Tϕ； 2101Tϕ； 31 1.411Tϕ振型图四．图示简支梁，梁长为l ，刚度EI ，梁体自身质量忽略不计，在梁体l /3和2l /3处作用质点m 1和m 2，且m 1=m 2=m ，现在质点m 2上作用一个突然施加荷载F P (t)，试求：质点m 1 和m 2的强迫振动响应。

（本题20解：1）求自振频率w j 和对应的振型j j ：求柔度系数EI l 243432211=δ=δ； EIl 486732112=δ=δ代入频率方程 0=λ-δI M ，得：011121211=λ-δδδλ-δm m mm进而求得：EI ml m 48615312111=δ+δ=λ)(； EIml m 486312112=δ-δ=λ)(因此：EI l/3m 1m 2F ( )t P l/3l/3123311695154861ml EI ml EI .==λ=ω； 333205224861mlEIml EI .==λ=ω再求振型：将上述频率代入振型方程 0=ϕλ-δi i I M )(，简化得：),( ˆ211122221212121111=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧λ-δδ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧δλ-δ-=ϕi m m m m i求得： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ϕ111ˆ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ϕ112ˆ2）计算广义质量和广义荷载：m m m M M T2110011111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕ=][*m m m M M T 2110011222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ϕϕ=][*0011011F t F t F t F T=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ϕ=)(][)()(*0022011F t F t F t F T -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ϕ=)(][)()(*3）由Duhamel 积分求解出每个广义坐标h j (t)的响应：),( d )(sin )()(**210=ττ-ωωτ=η⎰j t M F t t j jj j j)cos (d )(sin )(t m F t m F t t121001101122ω-ω=ττ-ωω=η⎰)cos (d )(sin )(t m F t m F t t121002202122ω-ω-=ττ-ωω-=η⎰4）由振型迭加求出体系的位移响应向量：)()()()(221121ϕη+ϕη=ϕη=∑=t t t t Y i i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-η+⎭⎬⎫⎩⎨⎧η=111121)()(t t )()()()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧η-ηη+η=t t t t 2121)cos ()cos ()()(t m F t m F t t y 22212102111212ω-ω-ω-ω=η+η=)cos ()cos ()()(t m F t m F t t y 22212102121212ω-ω+ω-ω=η-η=五．如图所示简支梁，忽略梁横向剪切变形的影响和阻尼的作用，其弯曲固有振动方程为44(,))()(,)0y x t m x y x t x采用变量分离法，设,)()()x t x q t ϕ，这里：()x ϕ为振型函数，()q t 为广义坐标，(1) 推导振型函数()x ϕ的表达式；(2) 根据边界条件，推导其固有振动的频率方程； (3) 求前3阶频率值，画出前3阶振型图； (4) 写出简支梁固有振动的一般解。

（本题20分）解：(1) 的表达式； )()()x q t ϕ)()()0mq t x ϕ)()0()m q t EI q t的函数，第二项仅是t 的函数，所以只有每一项都等于一个常，上式才能满足，即)()()m q t C EI q t由振动力学可知，C是个正实数，即令4Cα，上式可写成：42)()0()()0d x xq t q t αϕω 这里：24mEIωα由上式的第二式，得方程的解为：12()cos sin sin()q t C t C t A t ωωωθ令()rx x Be ϕ，代入第一式，有 44()0rxr a Be可得：1,23,4, r a ria把上述四个根代入式()rx x Be ϕ，得振型函数：1234()sin cos sinh cosh x A ax A ax A ax A ax ϕ（2）推导其固有振动的频率方程：1234()sin cos sinh cosh x A x A x A xA x ϕαααα1234()(cos sin cosh sinh )x A x A x A x A x ϕααααα 21234()(sin cos sinh cosh )x A x A x A x A x ϕααααα边界条件为：2424(0)0,0(0)0,0A A A A ϕϕ即即得：240A A由：1313()0,sin sinh 0()0,sin sinh 0l A l A l l A lA alϕααϕα即即两式相加，有32sinh 0A l α，有：30A两式相减，有12sin 0A lα由于A1不能再为零，即得频率方程sin 0l α（3）求前3阶频率值，画出前3阶振型图：解上述频率方程，得：n a l n π即得梁振动的固有频率为2()n n EI l mπω; ) ,3 ,2 ,1( =n相应地，振型函数为 1()sin n n xx A lπϕ ) ,3 ,2 ,1( =n（4）简支梁固有振动的一般解：固有振动方程的一般解为各振型的线性叠加，则得(,)sin sin()n n n nn xy x t C t l πωθ六．如图所示悬臂梁，设一阶振型函数为 )1cos2xLπ，请用瑞利法计算的一阶固有频率。

（本题10分） 梁的刚度为EI ，质量为m ，瑞利公式为：⎰⎰''=l lxx x m xx x EI 02 0221d )()(d )]()[(ϕϕω解：最大动能和势能分别为：423()32L EIKEI x dxL πψ2()0.228L Mm x dx mL ψ由瑞利公式得13.6538ω。