滑动面表示符号：平移为a/2、b/2或c/2时，写作a、b或c；沿体对角线平移1/2距离，写作n；沿面对角线平移1/4距离，写作d。
(2)螺旋轴：由回转轴和平行于轴的平移构成。 图1-24为3次螺旋轴，绕轴回转120º并沿轴平移c/3。螺旋轴按其回转方向有右旋和左旋之分
螺旋轴表示符号：21(表示2次、c/2)，31(表示3次、c/3、右旋)，32(表示3次、c/3、左旋)，41(表示4次、c/4、右旋)，42(4次、c/2)，43(表示4次、c/4、左旋)， 61(6次、c/6、右旋)，62(6次、c/3、右旋)，63(6次、c/2)， 64(6次、c/6、左旋)， 65(6次、c/3、左旋)
所有对称要素归纳：
回转对称轴：1、2、3、4、6
对称面：m（2）
对称中心：1（z）
回转-反演轴：3、4、6
滑动面：a、b、c、n、d
螺旋轴：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65
(二)点群、单形及空间群
点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群 1 2
2/m
同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。如错误！未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：
单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称表1- 3 32种点群及所属晶系
晶 系 三 斜 单 斜 正 交 四 方 菱
方 六 方 立 方
要 素 1 m m m 2 4 3 6 2 3
2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推 型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。，错误！书签自引用无效。，错误！书签自引用无效。所示
聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态
晶体结构
空间点阵――最小单元（原子或分子）
基矢，位矢，格矢，最小单元（原胞）
倒空间的原胞
晶体对称性——点群、空间群
晶系列举（群论）
● 七大晶系，14种布喇菲格子
简立方
立方晶系 体心立方
● 半导体晶格 面心立方
六角晶系 六角格子
晶体学原胞与固体物理学原胞（六角）――最小单元
晶体学原胞与固体物理学原胞（体心）
晶体学原胞与固体物理学原胞（面心）――金刚石结构
倒空间是正空间的傅立叶变换
倒空间的原胞（体心立方）――正空间（面心立方）
半导体能带――布里渊去
晶面指数
电子的波动性
晶体的对称群与空间群的分类与表示
晶体是由原子、分子或离子按照一定的几何排列规律而形成的固体物质。晶体的结构对于物质的性质和行为具有重要影响，而晶体的对称性则是晶体结构研究的核心之一。晶体的对称群和空间群是描述晶体对称性的重要工具，本文将探讨晶体的对称群与空间群的分类与表示。
一、晶体的对称群
对称群是指在某种操作下保持晶体结构不变的一组操作的集合。晶体的对称群可以分为平移对称群和点群。平移对称群是指晶体在平移操作下保持不变的一组操作，而点群则是指晶体在旋转、镜面反射和反演操作下保持不变的一组操作。
对于平移对称群，可以通过研究晶体的晶格来进行分类。晶格是指晶体中原子、分子或离子排列的周期性重复结构。根据晶格的性质，可以将晶体的平移对称群分为14种布拉菲格子。这些布拉菲格子包括简单立方格子、体心立方格子、面心立方格子等。每种布拉菲格子都具有特定的对称性操作，如平移、旋转和镜面反射等。
对于点群，可以通过研究晶体的晶体学元胞来进行分类。晶体学元胞是指晶体中最小的重复单元，可以通过平移操作得到整个晶体。根据晶体学元胞的对称性，可以将晶体的点群分为32种。这些点群包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系和六方晶系等。每种点群都具有特定的对称性操作，如旋转、镜面反射和反演等。
二、晶体的空间群
空间群是指晶体在平移、旋转、镜面反射和反演等操作下保持不变的一组操作。空间群是对称群的扩展，包含了更多的对称性操作。根据晶体的对称性，可以将晶体的空间群分为230种。 空间群的表示可以通过国际晶体学表（International Tables for Crystallography）中给出的符号来进行。这些符号包括Hermann-Mauguin符号和Schoenflies符号。Hermann-Mauguin符号是一种简化的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群。Schoenflies符号是一种更详细的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群的具体对称性操作。
晶体点群、空间群简要归纳
本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：
若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书
太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...
1.对称操作、对称元素
对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：
1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群
物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类
第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质
性质1：点群这个集合可以写成C
k(2π/n)、IC
k′2π/n′
的形式，其中
n,→
k′
,n′
取有限个⽅向和值；C
k(2π/n)是绕→
k
轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即
K=G∩SO(3)
∘.
点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：
1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+
同构,其中，G+
=K∪K+
, ⽽K+
定义
为:K+
={Ig∣g∈G, 但 g∉K}
根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+
