计算物理学基础授课课件资料

aij , i,
j
1, 2,
, n.
k
2021/4/29
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矩阵的谱半径
定义 设n阶矩阵A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，矩
阵的谱半径定义为
实特征值为绝对值
( A) max i .
复特征值为模
1 i n
由2-范数的定义知， A 2 1 (AT A).
谱半径与矩阵范数的关系
定理 0.3 ρ(A)≤‖A‖.
定理 0.1 有限维空间Rn上的所有范数都等价。
容易验证：
（1）‖x‖2≤‖x‖1≤ n1/2‖x‖2； （2）‖x‖∞≤‖x‖2≤ n1/2‖x‖∞； （3）‖x‖∞≤‖x‖1≤ n‖x‖∞。
3种范数 相互等价
2021/4/29
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证明提示：（1）
由 x12+ x22+ … + xn2≤(|x1|+ |x2|+… +| xn|) 2，
学习和了解物理计算的桥梁
2021/4/29
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计算物理方法是研究并解决物理问题的数值近似解 的方法，简称计算物理，也叫算法物理等。
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算 及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样 构成的完整计算步骤称为算法。ຫໍສະໝຸດ 2021/4/292
运算量： 一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。
证明 设λ为矩阵A的任一特征值，x为对应的特征向量，
由矩阵的定义知，
|λ|‖x‖=‖λx‖=‖Ax‖≤‖A‖‖x‖.
因为‖x‖≠0，所以，|λ|≤‖A‖.由λ的任意性，定理
得证。
‖x‖≠0，因为特征值 λ满足特征方程， 即 | λ I－A|=0, 所以，Ax= λx有非零解x。

➢ 理论物理 ➢ 实验物理 ➢ 计算物理？？？
2020/4/2
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1.1 什么是计算物理？
理论物理是分析的科学，它从一系 列的基本原理和基本假设出发，列出相 应的数学方程，运用传统的或现在的数 学方法求出问题的显式解析解，用这些 解析解的结论去解释物理现象，预见新 的现象，指导实验。
2020/4/2
Computational Physics
计算物理基础
➢ 34 学时: 24学时课堂，10学时上机 ➢ 每隔两周，上机一次，30人/组
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课程目的
计算物理是以电子计算机为工具、采用数学方 法解决物理问题的应用科学。
本课程的目的在于对计算物理进行一些入门指 导，使大家在学完本课程后，在组织一些较大 规模的计算时心中有数，少走弯路。
牛顿力学方程只有二体问题是可解得，三体以 上的问题折磨了全世界许多优秀的数学家和理论物 理学家，仍然没有解析解。
量子力学的薛定谔方程，除了氢原子和简谐振 子外没有一个真实的物理问题可以找到解析解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
20世纪40年代初，在由于战争的需要开始了核 武器研制。涉及的问题：流体动力学过程、核反应 过程、中子输运过程、光辐射输运过程、物态变化 过程等；都是十分复杂的非线性方程组，不可能用 传统的解析方法求解。
2020/4/2
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1.2 计算物理的起源、形成与发展
1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作， 于1955年5月写出Los Alamos 研究报告LA1940。这篇秘密报告历经多年、解密后被正式 收入《费米全集》。这篇具有重大意义的报告， 被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它 提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的 重大发展。

§1.3编程1.程序编辑器的使用程序编辑器可以完成程序编辑,调试和管理。

1.1编辑程序•打开编辑器窗口•输入以下内容x=0:0.1:6;%设置自变量A=[x;4*x];%构造矩阵B=sin(A);%求正弦函数值plot(x,B(1,:),x,B(2,:))•用test1.m 存盘•在指令窗中运行test1排版注意格式用%表示注解，用...分行运行结果不显示用分号不用中文作文件名数字不在文件名开头调试程序方法breakpoints 设置中断点,debug 调试，Profile 查看运行时间。

1.2设置搜索路径1.用File/Set Path 打开路径设置(Set Path)窗口如图所示。

2.窗口中的目录就是搜索路径之下的目录，搜索路径之下的程序才能运行。

3.work 文件夹是提供给用户的文件夹。

用Add Folder 添加新目录。

各个按钮的含义为Add Folder把指定的目录加入搜索路径Add with subfolders 把指定目录及其子目录加入搜索路径Move to Top 将选定的目录移到最上面Move to Bottom 将选定的目录移到最下面Move Up将选定的目录向上移动Move Down选定的目录向下移动Remove将选定的目录移出搜索路径Save保存新加入的目录Revert取消本次操作Default恢复默认设置2.两类程序文件mfiles以m为扩展名的程序文件scriptfiles指令文件functionfiles函数文件2.1函数与函数文件初等函数：如sin,cos,tan,log,log10,exp,...。

>>help elfun特殊函数：如legendre,besselj,bessely,...。

>>help specfun用户自建函数方法：1.用函数文件;2.用函数句柄符号@;3.用符号变量。

例：建立函数f(x,θ)=cos2(x2)+θ，求x=3,θ=2.1的函数值。

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第一章 基本数学运算
本章将介绍数值计算中一些基本的运算，例如插值、拟合、数值微分、数值积分和求根等．
第一节 插 值 (Interpolation)
当我们要从一组不完全的或离散的数据中获取某些局部的信息时， 需要使用函数的插值． 也就是说， 对于函数 y = f ( x ) （通常是一个未知的或是一个较复杂的函数）， x ∈[ a , b] ，若已知 [ a , b] 上一系列点
x − x1 x − x0 ， l1 ( x ) = ， 被称为线性插值的基函数． 误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ 1 ( x ) = O h 2 ， x 0 − x1 x1 − x 0
( )
其中 h = x1 − x0 为步长． (2) 二次插值 已知函数表
x y
x0 y0
x1 y1
n 次插值多项式为
ϕ n ( x ) = ∑ y i li ( x )
n
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − x n ) ， i = 0,1,2,L , n ，被称为 n 次插值的基 ( xi − x 0 )( xi − x1 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L( xi − x n ) 函数．误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ n ( x ) = O(h n +1 ) ，其中 h 为步长．
目
录
目
录
第一章 基本数学运算 .................................................................... 1 第一节 插值 ........................................................................ 1 第二节 拟合 ........................................................................ 3 第三节 数值微分 .................................................................... 7 第四节 数值积分 .................................................................... 9 第五节 求根 ....................................................................... 15 第二章 常微分方程的初始问题 ........................................................... 23 第一节 几种简单的数值解法 ......................................................... 23 第二节 Runge-Kutta 方法 ............................................................ 28 第三节 多步法 ..................................................................... 36 第四节 稳定性 ..................................................................... 40 第五节 动力学中的有序和混沌 ....................................................... 44 第三章 边值问题和本征值问题 ........................................................... 51 第一节 物理学中出现的边值问题和本征值问题举例 ..................................... 51 第二节 Numerov 算法 ............................................................... 52 第三节 边值问题的 Green 函数法 ..................................................... 57 第四节 打靶法 ............................ ........................................ 64 第五节 一维 Schrödinger 方程的定态解 ................................................ 69 第四章 特殊函数和 Gauss 求积法 ......................................................... 74 第一节 特殊函数 ................................................................... 74 第二节 Gauss 求积法 ............................................................... 81 第三节 量子散射的 Born 近似和程函近似 .............................................. 86 第五章 矩阵中的数值计算方法 ........................................................... 96 第一节 物理学中的矩阵 ............................................................. 96 第二节 矩阵的基本运算 ............................................................. 98 第三节 一般矩阵的本征值问题 ...................................................... 104 第四节 对称矩阵的本征值问题 ...................................................... 108 第六章 椭圆型微分方程 ................................................................ 117 第一节 离散化和变分原理 .......................................................... 117 第二节 求解边值问题的一种迭代方法 ................................................ 119 第三节 关于离散化的进一步讨论 .................................................... 127 第四节 二维定态流体力学 .......................................................... 132 第七章 抛物型微分方程 ................................................................ 139 第一节 简单的离散化和条件稳定性 .................................................. 139 第二节 隐式格式和回代法 .......................................................... 143 第三节 高维扩散 .................................................................. 151 第四节 本征值问题的迭代方法 ...................................................... 155 第五节 含时间的 Schrödinger 方程 ................................................... 162