2018年高中数学人教A版选修2-1： 3.2 立体几何中的向量方法 (16张)

1 立体几何中的向量方法辅导教案

学生姓名 性别 年级 学科 数学

授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课

共（ ）次课 课时：2 课时

教学课题 人教版 选修2-1第三章 3.2立体几何中的向量方法 同步教案（基础）

教学目标 知识目标：和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积

能力目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

情感态度价值观：情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣

教学重点与难点 重点：利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；空间向量基本定理及其意义．利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；

难点：能用向量方法证明线面的平行或垂直；.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题.用向量方法求空间角的大小；

教学过程

（一）空间向量及其运算

知识梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量．

(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．

(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．

2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.

(2)平面向量定理的向量表达式：a＝λ1e1＋λ2e2，其中x，y∈R，e1，e2为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝1.

●

O ● P

P 人教A版选修1-1教案

3.2 立体几何中的向量方法

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知

识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间

的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面

间的位置关系.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.

【教学重点】：

平面的法向量.

【教学难点】：

用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

一、复习引

入

1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？

2． 什么叫直线的方向向量？

3． 回顾平面向量基本定理。 为探索新知识做准

备.

二、探究新

知

一、点、直线、平面的位置的向量表示

1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？

如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P

的位置就可以用向量OP

来表示．称向量OP

为点的位置向量。

2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直

线在空间的位置吗？

要求学生自己寻找

空间中的几何元素

点、直线、平面的

位置的向量表示方

法。

基点

)(RaAP=a

l

A

ml//



//如图，点A和a

不仅可以确定直线l

的位置，还可以具体表示出l

上的

任意一点P。

3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的

位置吗？

如图，点O和a

、b

不仅可以确定平面

的位置，还可以具体表示出

内的任意一点P.

4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

第三章 3.2 第1课时

A级 基础巩固

一、选择题

1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则导学号 21324937( B )

A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交

[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.

2．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；

②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；

③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；

④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．

其中正确的个数为导学号 21324938( C )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

[解析] DD1∥AA1，AA1→＝(0,0,1)；BC1∥AD1，AD1→＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，AD→＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，AC1→与平面B1CD不垂直，∴④错．

3．(2017·菏泽高二检测)已知A(1，－3,5)，B(－1，－1,4)是直线l上两点，则下列可作为直线l的方向向量的是导学号 21324939( B )

A．(1,1,0) B．(4，－4,2) C．(－3，－3,0) D．(4,4,2)

4．(2017·福州高二检测)已知向量n＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是导学号 21324940( D )

A．(0,3，－1) B．(2,0，－1) C．(－2,3，－1) D．(－2，－3,1)

5．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则导学号 21324941( D ) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝152 C．x＝10，y＝15 D．x＝10，y＝252

[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b，