【人教A版】高中数学选修2-1：立体几何中的向量方法

高中数学《3.2立体几何中的向量方法》教案新人教A版选修2-1

3.2 立体几何中的向量方法空间距离

利用向量方法求解空间距离问题， 能够回避此类问题中大批的作图、 证明等步骤， 而

转变为向量间的计算问题．

例１如图， 已知正方形 ABCD的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD的中点， GC⊥平面 ABCD，

且 GC＝ 2，求点 B 到平面 EFG的距离．

剖析：由题设可知 CG、 CB、 CD两两相互垂直，能够由此成立空间直角坐标系．用向

量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG的向量，它的长即为点 B到平面 EFG的距离．

解：如图，设 CD 4i ， CB 4j ， CG 2k，以 i 、 j 、k 为坐标向量成立空间直

角坐标系 C－ xyz ．

由题设 C(0,0,0) ，A(4,4,0) ，B(0,4,0) ，D(4,0,0) ，

E(2,4,0) ，F(4,2,0) ， G(0,0,2) ．

uuur uuur (4, 2,0) ， ∴ BE (2,0,0) ， BF

uuuur (0, 4, 2) uuur (2, 4, 2) ，

BG ， GE

uuur

(2, 2,0)

EF ．

设 BM 平面 EFG，M为垂足，则 M、 G、E、F 四点

共 面 ， 由 共 面 向 量 定 理 知 ， 存 在 实 数 a 、 b 、 c ， 使 得 uuuur uuur uuur uuuur

(a b c 1) ， BM aBE bBF cBG

uuuur

a(2,0,0) b(4, 2,0) c(0, 4,2) ＝ (2 a+4b, － 2b－ 4c,2 c) ． ∴ BM

由 BM 平面 EFG，得 BM GE， BM EF ，于是

1 立体几何中的向量方法辅导教案

学生姓名 性别 年级 学科 数学

授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课

共（ ）次课 课时：2 课时

教学课题 人教版 选修2-1第三章 3.2立体几何中的向量方法 同步教案（基础）

教学目标 知识目标：和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积

能力目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

情感态度价值观：情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣

教学重点与难点 重点：利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；空间向量基本定理及其意义．利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；

难点：能用向量方法证明线面的平行或垂直；.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题.用向量方法求空间角的大小；

教学过程

（一）空间向量及其运算

知识梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量．

(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．

(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．

2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.

(2)平面向量定理的向量表达式：a＝λ1e1＋λ2e2，其中x，y∈R，e1，e2为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝1.

第三章空间向量与立体几何复习

设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：

学习目标

1．掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.

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自学探究

问题1. 空间向量的基本概念，运算规律有哪些？

【试试】已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )

A． (33，33，－33) B． (33，－33，33)

C． (－33，33，33) D． (－33，－33，－33)

问题2. 用向量解决立体几何中的平行，垂直，距离，角度这些问题所使用的方法是什么？

【试试】若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )

A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确

【技能提炼】

1. 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力1F、2F、3F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且123200FFFkg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

【变式】上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？

【思考】在现实生活中的问题，我们如何转化为数学中向量的问题来解决？具体方法有那些？

它能带来什么好处？

2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD

PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB

(2)求证:PB⊥平面EFD

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点

主标题：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点

副标题：从考点分析立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：向量证平行，向量证垂直，向量求角，易错点

难度：2

重要程度：4

【易错点】

1．平行关系

(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)

(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√)

2．垂直关系

(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.(√)

(4)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)

剖析：

1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．

2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.