5[1].4 平面向量应用举例

§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( )(6)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－43或λ>0.( )1．(2014·重庆)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92B ．0C ．3D.1522．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C. －322D ．－3152(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6题型二 求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B ．－126C.112D ．－112(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 题型三 数量积的综合应用例3 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．已知向量m ＝(2sin(ωx ＋π3)，1)，n ＝(2cos ωx ，－3)(ω>0)，函数f (x )＝m ·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[－5π6，π12]时，求f (x )的值域．高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．12．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10)D ．(7，－6)5．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．106．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 8．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．312．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( ) A.13 B.23 C.43D ．2 13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.14．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．15．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．§5.4 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．()(4)在△ABC中，若AB→·BC→<0，则△ABC为钝角三角形．()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－33．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________． 题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .(1)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33B.92C. 3D.94(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34题型二 向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________． 题型三 平面向量在解析几何中的应用例3 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________．三审图形抓特点典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝ ________.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →2．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形D ．菱形3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.7．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值． (2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |212．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．15．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n ＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2.(1)求内角A的大小；(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．。

例2. 设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用 向量证明：PQ∥AB.
证明：
设 DC ＝λ AB (λ>0)，
∵ PQ ＝ AQ － AP ＝ AB ＋ BQ － AP 1 ＝ AB ＋ ( BD － AC ) 2 1 ＝ AB ＋ [( AD － AB )－( AD ＋ DC )] 2 1 ＝ AB ＋ ( CD － AB ) 2 1 1 ＝ ( CD ＋ AB )＝ (－λ＋1) AB ， 2 2 ∴ PQ ∥ AB ，又 P、Q、A、B 四点不共线，所以 PQ∥AB.
→ 证明：如图所示，设CB＝a， → → CA＝b，AB＝c，则 a＝b＋c， ∴a2＝(b＋c)· a ＝a·b＋a· c ①
又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角等于∠B, 故 ① 式 可 化 为 ： |a|2 ＝ |a||b|cosC ＋ |a||c|cosB， 即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB， 也即a＝bcosC＋ccosB.
2．如图所示，四边形 ABCD 是正方形，
P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形，
证明：PA⊥EF.
证明：以点 D 为坐标原点，DC 所在直 线为 x 轴建立坐标系，设正方形的边长 为 1，| DP |＝λ(0<λ< 2)，
2 2 λ， λ)， 2 2 2 2 E(1， λ)，F( λ，0)， 2 2 2 2 于是 PA＝(－ λ，1－ λ)， 2 2 2 2 EF ＝( 2 λ－1，－ 2 λ)， 2 2 2 2 ∵ PA· ＝ ( － λ )· ( λ － 1) ＋ (1 － λ )· ( － λ) EF 2 2 2 2 2 2 2 ＝－ λ· ( λ－1＋1－ λ) 2 2 2 2 ＝－ λ×0＝0， 2 则 A(0,1)，P( ∴ PA⊥ EF ，即 PA≤x≤1)， → → ∴PC＝(1－x)DC， → → → → → PA＝DA－DP＝DA－xDC， → → → → 1→ PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋ DA， 2 → → 5→ → ∴PA＋3PB＝ DA＋(3－4x)DC， 2

图３ Ｃ Ｂ Ｇ Ｐ A Ｑ l

A B

C D

Ｍ Ｎ

平面向量在几何中的应用举例 以向量为工具，可以将几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，使问题思路更简明，形象直观，从而较易解决几何问题．下面就平面向量在解几中的应用说明如下： 变式练习：在平行四边形ABCD中，如图３，点M是AB 的中点，点N在线段BD上且有BN=13BD， 求证：Ｍ、Ｎ、Ｃ三点共线． 答案提示：设AB＝a，BC＝b，则12MBa， 12MCa＋b，又1133BNBD( b－a)，

故12MNMBBNa＋13( b－a)＝16a＋13b＝13（12a＋b）＝13MC． 又,MNMC共点Ｍ，所以Ｃ、Ｎ、Ｍ三点共线． ２．证明垂直问题 解：建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为１，

DP，则2222(0,1),(,),(1,),(,0)2222APEF

∴22(,1)22PA，22(1,)22EF， ∵22()(1)22PAEF＋22(1)()22＝０， ∴APEF，即PA⊥EF． 点评：对于条件中出现垂直较多或对称关系较多，一般要考虑坐标法，尤其是问题中涉及求边长、周长、面积等问题时，更能引起我们朝这方面来思考．坐标法是将某些几何位置关系转化为代数运算，避免了繁杂的思维活动过程，降低了题目难度，利于解题． ３．解证比值问题

例３ 如图２，设点Ｇ是ABC的重心，AB＝a，AC＝b， 过点Ｇ的直线l分别与线段AB，AC相交于P，Q两点， A B C M

Ｐ N

设APma，AQnb（,mn是正实数）． 求证：当直线l绕点Ｇ旋转时11mn为定值． 证明：设直线AG与BC相交于点M， 则M是线段BC的中点． ∵点G是ABC的重心， ∴221332AGAM( a＋b)= 13( a＋b) ① ∵P、G、Q三点共线， ∴PG与PQ共线． 设PG=PQ，则 ()AGAPPGAPPQAPAQAP (1)(1)APAQma＋nb ②

4.4平面向量应用举例班级 姓名 学号一、高考目标：1、经历用向量方法解决力学问题、简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程。

2、体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、知识再现1、平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题。

2、用向量方法解决几何问题一般分三步：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系3、用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象。

三、考点示例类型之一：平面几何中的向量应用例1、如图，O 为ABC ∆的外心,E 为ABC ∆内一点,满足,→→→→++=OC OB OA OE 求证:→→⊥BC AE类型之二:平面解析几何中向量的应用例2、已知O 为坐标原点，A 点坐标为)2,2(，B 点坐标为)1,4(，在x 轴上有一点P ，使→→∙BP AP 取得最小值，求P 点坐标及此时APB ∠的余弦值。

类型之三：向量在物理中的应用例3、如图，一条河的两岸平行，河的宽度m d 500=，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度h km v /10||1=，水流速度h km v /2||2=，问行驶航程最短时，所用时间是多少？四、达标作业1、 已知,3||=→a 2||=→b ，→a 与→b 的夹角为 30，求||→→+b a ，||→→-b a2、 （06全国）已知向量→→b a ,满足|→a |=1，|→b |=4，且→a ∙→b =2，则→a 与→b 的夹角为3、 已知→a =（1，0），→b =（1，1），λ为何值时，→a +→b λ与→a 垂直。