2022-2023学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
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第1页（共15页） 2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（多选）下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑚2
−𝑚−1)𝑥𝑚2
+𝑚−3
是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为
（ ）
A．1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣1
4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒
适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分
别为
√
55
，
√
33
，
√
2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
5．已知a为实数，使“∀x∈[3，4]，x﹣a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞4 B．a＞5 C．a＞3 D．a≥4
6．已知函数f（x）由下表给出，若f（f（x
0））＝f（1）+f（3）•f（4），则x
0＝（ ）
第2页（共15页）
x 1 2 3 4
f（x） 1 3 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g（x）＝f（3x）+
√𝑥的定义域为（ ）
A．（0，1] B．[0，2
3] C．[−2
3，
1] D．(0，2
3]
8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，
请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的
31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表
中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个
64次方根是（ ）
真数 常用对数 真数 常用对数
2 0.30 11 1.04
3 0.48 12 1.08
4 0.60 13 1.11
5 0.70 14 1.15
6 0.78 15 1.18
7 0.85 16 1.20
8 0.90 17 1.23
9 0.95 18 1.26
10 1.00 19 1.28
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．若不等式ax2
+bx+c＞0的解集是（−1
2，2），则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．a﹣b+c＞0
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．集合A＝{1，2}和B＝{（1，2）}表示同一个集合
B．函数f（x）=√3+2𝑥−𝑥2
的单调增区间为（﹣1，1） 第3页（共15页） C．若log
23＝a，log
27＝b，则用a，b表示log
4256=𝑏+3𝑎+𝑏+1
D．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，𝑓(𝑥)=𝑥2
+1
𝑥−1，则当
x＜0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2
−1
𝑥+1
11．已知a＞0，b＞0，且2a+8b＝1，则（ ）
A．2a﹣8b＞﹣1 B．
√𝑎+2
√𝑏≥1
C．𝑎𝑏≤1
64 D．𝑎2
+16𝑏2
≥1
8
12．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）+f（y）＝f(𝑥+𝑦
1+𝑥𝑦)，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则以下
结论正确的是（ ）
A．f（0）＝0 B．f（x）为奇函数
C．f（x）为单调减函数 D．f（x）为单调增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．
13．计算；（1
2）﹣log23
＝ ．
14．已知f（2x）＝3x2
+1，则f（x）＝ ．
15．已知函数𝑓(𝑥)={2|𝑥|，
𝑥≤𝑚
𝑥2
−2𝑚𝑥+5𝑚，
𝑥＞
𝑚，其中m＞0，
（1）若函数f（x）在（0，+∞）单调，则实数m的范围是 ；
（2）若存在互不相等的三个实数x
1，x
2，x
3，使得f（x
1）＝f（x
2）＝f（x
3），则函数𝑦=
√1+
𝑚−𝑚
的值域为 ．
16．已知x，y为正实数，则𝑦
𝑥+16𝑥
2𝑥+𝑦的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）求8114−（
√
5−
√3）0
+(8
27)−13的值；
（2）已知x+x﹣1
＝14，求𝑥12+𝑥−12+4
𝑥2
+𝑥−2
−200的值．
18．（12分）已知命题p：对任意实数x，不等式mx2
﹣2x+12＞
0都成立，命题q：关于x的方程4x2
+4（m
﹣2）x+1＝0无实数根．若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）=𝑥+𝑏
𝑥2
−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， 第4页（共15页） （1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心
的圆的四分之一部分，其中E（0，1）（0＜t≤25），AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2
+50
（a＞0）的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50（单
位：米，下同）．
（1）试将DF用a和t表示；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．
21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2𝑥−𝑥2}，集合B＝{x|x2
﹣x+a﹣a2
＜0}．
（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；
（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．
22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；
①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函
数的“优美区间”．
（1）求证：[0，2]是函数𝑓(𝑥)=12𝑥2
的一个“优美区间”．
（2）求证：函数𝑔(𝑥)=4+6
𝑥不存在“优美区间”．
（3）已知函数𝑦=ℎ
(𝑥)=(𝑎2
+𝑎)𝑥−1
𝑎2
𝑥（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m
的最大值．
第5页（共15页） 2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：∵集合N＝{3，4，5}有3个元素，
∴N的真子集的个数为23
﹣1＝7，
故选：C．
2．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（ ）
A． B．
C． D．
解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，
对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合；
对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；
对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；
对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；
故选：BC．
3．已知函数𝑓(𝑥)=(𝑚2
−𝑚−1)𝑥𝑚2
+𝑚−3
是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为
（ ）
第6页（共15页） A．1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣1
解：∵函数𝑓(𝑥)=(𝑚2
−𝑚−1)𝑥𝑚2
+𝑚−3
是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，
∴{𝑚2
−𝑚−1=1
𝑚2
+𝑚−3＜
0，解得m＝﹣1，
故选：D．
4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒
适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分
别为
√
55
，
√
33
，
√
2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
解：因为(
√
55
)10
=52
=25，(
√
2)10
=25
=32，
又25＜32，所以
√
55
＜
√
2，
又(
√
33
)6
=33
=9，(
√
2)6
=23
=8，所以
√
33
＞
√
2，
故
√
55
＜
√
2＜
√
33
，
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，
故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C．
5．已知a为实数，使“∀x∈[3，4]，x﹣a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞4 B．a＞5 C．a＞3 D．a≥4
解：∵∀x∈[3，4]，x﹣a＜0为真命题，
∴a＞x
max，∴a＞4，
∵（5，+∞）⫋（4，+∞），
∴使∀x∈[3，4]，x﹣a＜0为真命题的一个充分不必要条件是a＞5，
故选：B．
6．已知函数f（x）由下表给出，若f（f（x
0））＝f（1）+f（3）•f（4），则x
0＝（ ）
x 1 2 3 4
f（x） 1 3 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意可得，f（1）＝1，f（3）＝1，f（4）＝2，
∴f（f（x
0））＝f（1）+f（3）•f（4）＝3，
∴f（x
0）＝2，
