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第一章 复数与复变函数解读

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复变函数与积分变换第一章(1).

复变函数与积分变换第一章(1).

第一章复数与复变函数本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示;复变函数的概念。

第一节复数及其代数运算本节给出复数的概念，以及相应的运算。

1.1.复数在平面上的几何表示1.1.1复数的概念Z = AT-Fiy 其中，兀』为实数，，为虚单位，I 2=-1 实部：Re(z) = X 虚部：Im(z) = y(real part) (imaginary part) 注：与实数不同，一般虬 任意两个复数不能匕较大小. 例：2 + 2T>l, l+iv3 + 4d, —lvzvl 的！1.1.2 复数的平面几何表示(1)点表示(复平面表示)x 轴—实轴 y 轴—虚轴平面—复平面(z 平面) 平面内横坐标为兀, 纵坐标为y 的点.----- 对应 —对应?=兀+巧 < ----- 实数对(乂」)<——>⑵•向量表示复数z与从原点o至U点Z = x +4y的向量一一对应。

注：(1)平面内起点为Z],终点为乙2的向量2忆2对应的复数G 一Z](2)平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。

J长度 ------------- 濮"斑・[方向-------------- 角I复数-my复数的模:称向量嬴的长度厲为复如的模,£己作|z性质：（l）z < x + y x < Zy y < z(2) |z2 - Z||的几何意义:TS -Z］对应着向量牛2 ______________O/• 1^1 ~Z2|表示悬1与Z2间的距离。

Z2例：方程|z-l+i =10表示平面内以点为圆心，半径为10的圆周以实轴的正向为始边，以向量云为终边的角的弧度笏称为复魏:的辐角记作Argz （argument:辐角，变元）Argz有无穷多个值，每两个值相差2兀的整数倍。

辐角主值：满足条件-兀＜&0＜兀的辐角気记作arg Z注：Argz = argz + Ikn (k = 0,±l,+2,…)给定复数z的辐角，辐角主值的算a.确定复数z = x + iy所处复平面的象限及对应的向量;b.从图形上确定circtg— e argz G (-兀，创x 2 2及二者的关系；得到argz;c.辐角Argz = argz 2kn (k =0,±l,...).例：求复数=2-2i,z? =-1 +孙的辐角，辐角主值。

第一章 第三节、复变函数

第一章 第三节、复变函数

2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε

复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
n 的内接正 边形的顶点，当 k 0 时，w0 称为主值。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
答疑解惑
1、复数能否比较大小，为什么？
答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的； 而复数是无序的，所以不能比较大小。
假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保 持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取和加以讨论：
而z 1 0的根为z0 1
则 z4 1 0 的其余三个根即为所求
由 z4 1 0 得
z 4 1 cos 0 2k i sin 0 2k
4
4
张
长
华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 cos 0 i sin 0
1 2
r1

2


3 2
r1i


3 2
r2

2


1 2
r2i
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例5 求方程 z3 z2 z 1 0 的根。并将
z3 z2 z 1分解因式。
解 ∵ (z 1)(z3 z2 z 1) z4 1 ，
满足 arg ( z) 的
辐角主值: 辐角值（仅有一个），
记作arg(z). - arg( z)
即：
注 ：z 0的辐角不确定，Arg (0)无意义
z 0时，Arg( z ) arg( z ) 2k ( k 0,1,2, )

第一章 复数与复变函数——工程数学

第一章 复数与复变函数——工程数学

3 2i 2 3i
解：法一（商的公式）
z1 z2
(
x1x2 x22
y1 y2 y22
)
i(
x2 y1 x22
x1 y2 y22
)
3
2 22
(2) 32
3
i
2 (2) 33 22 32
i
法二（共轭性质）
___
___
z1 z2
z1 z2
___
z2 z2
z1 z2 | z2 |2
(3 2i)(2 (2 3i)(2
称x为z的实部(Re al), 记 Re z x 称y为z的虚部(Imaginary),记 Im z y
例如：z 2 i, 则 Re z 2, Im z 1
特别地，当y 0时,则z x为实数；
当x 0且y 0时,则z iy, 称为纯虚数；
2020/6/19
5
定义2：设两复数z1 x1 iy1与z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2，y1 y2
2020/6/19
3
第一章 复数与复变函数
➢ 1.1 复数 ➢ 1.2 复数的三角表示 ➢ 1.3 平面点集的一般概念 ➢ 1.4 无穷大与复球面 ➢ 1.5 复变函数
2020/6/19
4
第一节 复数
➢ 一、复数的基本概念
定义1：设x与y都是实数，称x iy为复数，
记为：z x iy
称i为虚数单位，且定义i2 1或i 1
9
例 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 4． 证明：z1 z2 z1z2 2Re z1 z2 证明：z1 z2 z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1 iy1)(x2 iy2)

复变函数第三版课件第一章

复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1

复变函数第一章张建国

复变函数第一章张建国

z = r = 1+ 3 = 2 ．
于是从（1.1.2）即得
1 3 ． cos θ = − , sin θ = − 2 2
3
利用（1.1.7） ，算得辐角主值与辐角分别为
2π arg z = , − 3
2π Argz = − + 2 kπ , 3
Hale Waihona Puke k 为整数．如果 θ 取主值，那么 z 的三角式与指数式分别为
Arg (
z1 ) = Argz1 − Argz 2 ． z2
（1.1.11）
根据复数与向量的对应关系， 公式 （1.1.8） 说明： 表示乘积 z1 z 2 的 向量是由表示 z1 的向量旋转一个角度 Argz 2 并伸长 （缩短） 到 z 2 倍得 到的．特别地当 z 2 = 1 时，乘法就变成了只是旋转，例如： iz 相当于 将 z 所对应的向量沿逆时针方向旋转
结合律： z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 , 分配律： z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3 .
由于实数是复数的特例，我们在规定复数的四则运算时的一个基 本要求是复数的运算法则施行于实数时，能够与实数运算的结果相一 致． 复数 x − iy 称为 z = x + iy 的共轭复数，记作 z ．显然有 z = z ， 所以 x + iy 与 x − iy 互为共轭复数．关于复数的共轭运算，不难证明如 下性质：
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1e iθ1 ， z 2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r2 e iθ 2 ，

复变函数-第一章-复数与复变函数

复变函数-第一章-复数与复变函数

y
28
1 i
2
q

4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1

z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1

z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。

第一章复数及复平面

第一章复数及复平面

复数的四则运算:
复数的四则运算定义为:
(a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2 ) + i (b1 ± b2 )
(a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1a2 b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 )
(a1 + ib1 ) a1a2 + b1b2 a2b1 a1b2 ) = 2 2 +i 2 2 (a2 + ib2 ) a2 + b2 a2 + b2
其中,a,b,c,d是实常数. 解:利用 zz = x 2 + y 2 ,
z + z = 2 x, z z = 2y
得:azz + β z + β z + d = 0
1 其中,β = (b + ic ). 2
例2
设
z1 + z 2 = z1 + z 2 , z1 z 2 = z1 z 2
z1 , z2 是两个复数,证明:
π
有四个根.
复球面与无穷大:
在点坐标是(x,y,u)的三维空间中,把 xOy 面看作是 z 平面.考虑球面S:
x + y + u = 1, z = x + iy
2 2 2
取定球面上一点N(0,0,1)称为球极. 我们可以建立一个复平面C到S-{N}之间的 一个1-1对应(球极射影):
x'+iy ' z = x + iy = 1 u'
+ i sin( Argz 1 + Argz 2 )]
=| z1 || z 2 | [cos( Argz 1 + Argz 2 )

第一章 复变函数

第一章 复变函数

3
第二节 复变函数
§1.2.1区域与约当曲线

1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与复连通域
1. 区域的概念
设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 外点 内点，则称G是开集。 z •区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。
sin 3 3cos 2 sin 3 3sin 4sin 3
例: 求
3in0
3
1 3 1 3 即0 1, 1 i , 2 i. 2 2 2 2
0 2k 0 2k 1 cos i sin , ( k 0,1,2). 3 3
§1.1.2 复数的表示方法


1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， x iy 一对有序实数x, y ), z (
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 ， 则 标 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
例5. 将z sin i cos 化 为 三 角 形 式 与 指 数 式. 形 5 5


两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2

高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。

3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。

向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。

复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。

复变函数第一章

复变函数第一章

1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x

复数与复变函数

复数与复变函数

第一章、复数与复变函数1.1知识提要1.复数的概念形如iy x z +=的数称为复数，其中y x ,为任意实数，)1(2-=i i 称为虚单位，y x ,又称为z 的实部与虚部，记为).Im(),Re(z y z x ==iy x z +=与直角坐标系平面上的点),(y x 成一一对应，平面称复平面.22y x z +=表示复数z 的向量的长度，称复数的模.)/tan(x y Arc Argz ==θ称为z 的辐角，表示z 的向量与x 轴正向间的交角的弧度数.其中满足πθπ≤<-的0θ称为辐角z 的主值，记作.0a rcz =θ2.复数的各种表示法（1）复数iy x z +=可用复平面上点),(y x 表示。

（2）复数iy x z +=可用从原点指向点),(y x 的平面向量表示.（3）复数的三角表达式为)sin (cos θθi r z +=，其中θ,z r =为0≠z 时任一辐角值.（4）复数的指数表达式为θi re z =。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面.3.复数的代数运算（21,z z 不为零）（1）21z z =当且仅当两复数实部与虚部分别相等。

（2）,0=z 当且仅当z 的实部与虚部同时为0.（3）,111iy x z +=,222iy x z +=则).()(212121y y i x x z z ±+±=± （4）).()(2112212121y x y x i y y x x z z ++-=即,2121z z z z ⋅=2121Arcz Arcz z z Arg +=（5）)./()()/()(/222221122222212121y x y x y x i y x y y x x z z +-+++= 即,//2121z z z z =.)/(2121Arcz Arcz z z Arg -=（6）).sin (cos θθn i n r z n n +=（7）[].1,,1,0,/)2sin(/)2cos(/1-=+++=n k n k i n k r z n n πθπθ在几何上，n z 的n 个值恰为以原点为中心，n r/1为半径的圆内接正n 边形的n 个顶点. 4.曲线与区域（1）设),()()(t iy t x t z +=，其中)(t x ，))((b t a t y ≤≤为实变量t 的单值连续函数，则)(t z z =)(b t a ≤≤表示复平面上的一条连续曲线.一条没有重点的连续曲线称简单曲线或约当曲线.如果简单曲线的起点与终点重合，称简单闭曲线.如果在b t a ≤≤上，)(t x ')(t y '连续，且对每一t 值，有[][],0)()(22≠'+'t y t x 称曲线)(t z 是光滑的.任意一条简单闭曲线分复平面为三个部分.曲线C 为边界，有界区域为C 的内部，无界区域为C 的外部.（2）复平面上的非空连通开集称为区域.区域连同其边界称闭区域.若在复平面上区域D 内任作一条简单闭曲线，其内部总属于D ，称D 为单连通域.若D 不是单连通域，则D 为多连通域.5.复变函数设G 为一个复数集，若有一个确定法则存在，使对于任一G z ∈，有一个或几个复数iv u +=ϖ与之对应，则称复变数ω是复变数z 的函数，记作).(z f =ϖ复变函数在几何上表示z 平面上一个点集G （定义集合）到ω平面上一个集合*G （函数值集合）的映射（或变换）.ω称为z 的像（映像），z 称为ω的原像. 6.复变函数的极限 设)(z f =ϖ在点0z 的某去心邻域ρ<-<00z z 内有定义，A 为一确定常数.若对任给的,0>ε存在相应0>δ，使对满足δ<-<00z z 的z ，恒有ε<-A z f )(，则称A 为)(z f 当z 趋向0z 时的极限，记作.)(lim 0A z f z z =→ 由于0z z →的方式的任意性更强，因此复变函数的极限定义比一元实函数极限定义要求苛刻得多.复变函数极限的运算法则与实函数极限运算法则相同.7.复变函数的连续性如果)()(lim 00z f z f z z =→，称)(z f 在0z 连续.若)(z f 在区域D 内每一点都连续，称)(z f 在D 内连续.iv u z f +=)(在点000iy x z +=连续的充要条件为u 和v 在点),(00y x 连续.复变函数连续性的运算法则与实函数连续性运算法则相同.学习与考试要求（1） 熟练掌握复数的各种表求方法以及四则、乘幂和共轭运算.（2） 了解区域的概念.单连域、多连域的区分.（3） 了解曲线、光滑曲线、简单闭曲线的定义，能用复数的方程或不等式表示一些常见的区域和曲线.（4） 掌握复变函数的概念，理解映射的意义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系.（5） 了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续性的异同. 重点与难点重点是复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念.难点是复球面概念，复变函数理解为复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限与连续性。

复变函数与积分变换第1章复数与复变函数幻灯片PPT

复变函数与积分变换第1章复数与复变函数幻灯片PPT

，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法那么知复数的加减法与向量
的加减法一致，于是在平面上以
为邻边的平行四边形的对角线 就表示
复数z1+z2〔图1.2〕，对角线 就表示复数z1-z2.
图1.2
页 退出
复变函数与积分变换
由上述几何解释知下面两个不等式成立：
出版社 理工分社
其中
表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距
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复变函数与积分变换
复数域 形如
1.1复数
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的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作
x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称为纯虚数；特别
地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与 y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z〞、“点z〞及“向量 〞三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是
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复变函数与积分变换
例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为
它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 〔图1.5〕.
图1.5
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复变函数与积分变换

复变函数第1章 复数与复变函数

复变函数第1章 复数与复变函数
1、乘积
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！

《复变函数与积分变换》第一章__哈工大包革军版

《复变函数与积分变换》第一章__哈工大包革军版

平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它 o 对应.
zxiy
(x,y)
x
x
建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系， 因此可以用XOY平面上的点表示复数z.
这时把XOY平面平面称为复平面. 有时简 称为z平面. 或用拉丁字母С表示 (complex number,复数）
第1章 复数与复变函数
就是z的辐角的一般表达式.
q
o
x
x
第1章 复数与复变函数
22
q 满足 的复数z的
辐角
使用函数命令angle()可以求出复数的辐 角, 但是只能对数值量进行运算, 并且计算出 的是辐角主值, 单位是弧度. >> x=sym('x','real');y=sym('y','real'); >> x=3;y=4;z=x+y*i; >> theta=angle(z) theta =
z1 z2
与
z1 z2
.
z1 3 4 i (34i)(1i) z2 1 i (1i)(1i)
(34)(43)i 7 1 i .
2
22
z 1 7 1 i . z2 2 2
例 1.2
解:
求 ik i1 i,
i 2 1,
i3ii2i, i4i2i21,
……
i4n 1,
(3) 复数的商
z1 ( x1 +y1i) = (x1+y1i)(x2-y2i) z2 ( x2 y2i) (x2 y2i)(x2-y2i)
= (z1x1 xz 22+y1yx2 22 ) iy(2x22y1-x1y2) z2 z2
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