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2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷含详解

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2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】令f﹣1（5）=a，则f（a）=5．解得答案．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数性质，原函数过（a，b）点，反函数过（b，a）点，是解答的关键．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞=，代值计算即可【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式即可得出，【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．=C5r（2x）5﹣r，【解答】解：设求的项为T r+1今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：80【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，由此能求出其中恰好有1个二等品的概率．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f （4），可得|a+1|≤4，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为10．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由数列分析可得该等比数列的首项与公比，计算可得其前n项和S n==（3n﹣1），解不等式3n﹣1＞18×2018，解可得n的值．【解答】解：根据题意，等比数列为{a n}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和S n==（3n﹣1），若S n＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，注意分析该数列的首项与公比．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得l=9，由此能求出此圆锥的表面积．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥结构特征等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用三角函数的周期性，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的周期性，属于基础题．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线OM与ON的斜率之积为2，得：2x1x2﹣y1y2=0，由向量的坐标运算、向量相等得到x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，把M、N代入双曲线方程化简，结合式子的特点化简2x2﹣y2，得到点P的轨迹方程，根据双曲线的定义即可得到所求定值．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）+（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4+4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=20﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=20，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为﹣=1的两个焦点为：F1（﹣，0）、F2（，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，双曲线的定义，两个向量坐标形式的运算，解题时要认真审题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积，属于中档题15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．33【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，列出方程组，求出，由此能出该食品在33°C的保鲜时间．【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．【点评】本题考查该食品在33°C的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2【考点】HV：反三角函数．【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）=0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）=0的解，即可得到所求和．【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2 =0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x32+arcsin（cosx3）﹣=0，x1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．【点评】本题考查反三角函数的定义和性质，以及函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）求出AD1∥BC1，∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角，由此能求出异面直线BC1与CD1所成的角．（2）由，能求出三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）直接利用向量的数量积和三角函数的关系式的恒等变换求出C的值．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积求出结果．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p ∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意，由数列的前n项和公式分析可得a n=S n﹣S n﹣1=2pn﹣p+2，﹣a n=2p=2，结合题意可得p的值，代入a n=2pn﹣p+2中计算可分析可得a n+1得答案；（2）根据题意，表示出数列{C n}，分n为奇数、偶数两种情况分析，求和即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，则a n=2p（n+1）﹣p+2，+1﹣a n=2p=2，∴a n+1∴p=1，a n=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，关键是求出数列的通项公式．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知可得，且，联立可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由斜率公式、根与系数的关系及k AB+k AC=﹣1，可得m=﹣2k﹣1，得到直线方程y=kx+m=kx﹣2k﹣1，由直线系方程可得直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）直线l AE：x+y﹣1=0，求得|AE|，设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，联立后由判别式等于0求得t值，求出两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离，再求出△AEP面积S的不同取值范围，然后对面积分类分析△AEP的个数．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算能力，属难题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数封闭的定义封闭求出两个函数的值域即可判断f（x），g （x）是否在（0，1）上封闭；（2）根据封闭的定义以及反函数的定义得到关于k的不等式组，解出即可；（3）得到p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，因为f（x）是单射，就有了f（D1）⊊D1．接着令D n+1=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则f n（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D﹣D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D﹣D1，即D1⊆D，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D﹣{p}）=f（D）﹣{f（p）}=D1﹣{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令D n=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．+1【点评】本题主要考查函数值域的求法，以及与函数有关的新定义，综合性较强，难度较大．。

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2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。

2018年上海中学自主招数学试卷-含答案详解

2018年上海中学自主招数学试卷-含答案详解

2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。

上海市浦东新区普通高中2025届高考仿真卷数学试题含解析

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上海市浦东新区普通高中2025届高考仿真卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知函数()2ln 2x x f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ）A ．48B ．36C ．42D ．314．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥6．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B 2C ．223D ．237．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283 C ．5 D ．410．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．6 11．若()*3n x n N x x ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a aa x dx --=（ ） A ．36π B ．812π C ．252π D ．25π12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学真题试卷(上海卷)(秋考)含逐题详解

2018年高考数学真题试卷(上海卷)(秋考)含逐题详解

2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分,考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名,准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔,水笔或圆珠笔作答非选择题.一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中,2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1),则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位）,则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,6714a a +=,则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数,且在(0,)+∞上递减,则 α=_________.8.在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E ,F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF •的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克,3克,1克砝码各一个,2克砝码两个。

从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ）,前n 项和为n S 。