上海市历年高考数学试题汇编：数列与极限

数列（2018秋6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = 答案：14（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．答案：1（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解：（1）22a =，30a =，42a =．（2）21122a a a =-=-，321222a a a =-=--．① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()22112a a =-，得11a =．② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()211142a a a -=-，得12a =去）或12a =综合①②得11a =或12a =．（3）假设这样的等差数列存在，那么212a a =-，3122a a =--．由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）． 以下分情况讨论：()2f x x =-{}n a 1()n n a f a +=*n N ∈10a =234,,a a a 10a >123,,a a a 1a 1a① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾； ② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n =，所以{}n a 是一个等差数列；③ 当10a ≤时，则公差()2111220da a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．综合①②③可知，当且仅当11a =时，123,,a a a 构成等差数列．（2013理23）给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．解：（1）232,10a a c ==+．（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>； 当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；当4n a c <--时，()128248n nn a a a c c c c +-=---≥-----=．0c >()24f x x c x c=++-+1()n n a f a +=*n N ∈12a c =--2a 3a *n N ∈1n n a a c +-≥1a 1a所以，对任意n N *∈，1n n a a c +-≥．方法二： 要证：24x c x c x c ++-+-≥ 24x c x c x c ++≥+++当0x c +<时，等式右边为0，不等式显然成立 当0x c +≥时，等式化为()()242x c x c ++≥+显然 （3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，nac ≥-，从而，1()8n n n a f a a c +==++．由于{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+．① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =． 当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20naa c ≥=>-，所以，1()8n n n a f a a c +==++，而218aa c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；② 若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118aa d a c =+=++，所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求．综上，1a 的取值集合为[){},8c c -+∞--．（2015理17）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 答案：B（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,ii a a+的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；② A B =∅且*AB N =，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2n na =且{}n a 与{}nb 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．【解】（1）因为4,4A B ∉∉，所以4A B ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以416420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802++++-+++=⨯--=． （3）设{}n a 的公差为,d d N *∈，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24na n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．（2014年理23）已知数列满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． {}n a① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,nd nd +≥-⎧⎨-≥-⎩1,2,,1n k =-．当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--．所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．（2014文23）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =．① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤．② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件．③当d <时，9998a aaa <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<．综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．答案：解：由，，得， 由，得，，，，，依次类推，得全体偶数项相等， 所以 （2017春21）已知函数()21log 1xf x x+=- （1）解方程()1f x =；（2）设()()1,1,1,,x a ∈-∈+∞ 证明：()11,1ax a x -∈--，且()11ax f f x f a x a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；1()1f x x=+{}n a 11a =2()n n a f a +=20102012a a =2011a a +265133+11a =2()n n a f a +=312a =579112358,,,35813a a a a ====2()n n a f a +=211n n a a +=-20102012a a =2010201220101111a a a =-=-201012a -=20082010201011a a a =-=22010a a =2011813a a +==（3）在数列{}n x 中，()11,1x ∈-，()113113n n n nx x x ++-=--，n N *∈，求1x 的取值范围，使得3n x x ≥对任意n N *∈成立答案：（1）13x =； （3）11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2016理11）无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}n a的前n项和.若对任意*∈Nn，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为______________.答案：4（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2015理22文23）已知数列{a n }与{b n }满足a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（n ∈N *），求证：数列{b n }的第0n 项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-． 答案：（1）65n - ；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2016年理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明：必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g xx =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2013理1）计算：20lim 313n n n →∞+=+ ．答案：13（2018秋10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n N ∈），前n 项和为n S ，若11lim2n n n S a →∞+=，则q =答案：3（2017年春 8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，则12lim nn na a a a →∞+++=______答案：32（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，∴ （2013文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ． 0B ．14C ． 2D ． (),n n n P x y ()2N 1nx y n n *-=∈+222x y +=1lim1n n n y x →∞-=-1-12-12n →∞21n x y n -=+21x y -=221x y +=()1,111n n y x --(),n n n P x y ()1,1222x y +=()1,11-1lim11n n n y x →∞-=--答案：D（2016理17）已知无穷等比数列}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S Snn =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a答案：B思考：1,a q 需要满足____________答案：110,0,22a q ⎛⎫⎛⎫<∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2014理8文10）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m nn a a a a →∞=+++，则q =___知识点13：数列与函数的性质结合（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足,且公差． 若，则当= ．时,．答案：14 （2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m的最小值为 ． 答案：8（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100 答案；Cx x tan sin +{}n a ⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a 0≠d 0)()()(2721=+⋯++a f a f a f k0)(=k a f 2sin sin...sin 777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100 答案：D（2013理17）在数列{}n a 中，21n na =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i =；1,2,,12j =），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A ．18B ． 28C ． 48D ． 63 答案：A（2018秋21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.解析：（1）1112n n nb a -=-≤，所以{}n b 与{}n a “接近”； （2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈，{}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,,b b b 使得210b b ->，320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-． （2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得25sin 1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4nc n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n nd c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n nc aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a q 、的取值范围．答案：（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）02a q >⎧⎨≥⎩（2017秋19）共享单车问题：每月供应量⎩⎨⎧+∞∈+-∈+=),4[47010]3,1[1554n n n n a n ，*N n ∈，每月损失量()*5N n n b n∈+=，保有量Q 为na的累计量减去n b 的累计和；（1）求第4月的保有量；（2）2(46)8800n S n =--+，记n S 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？。

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.2.（ 2010年上海高考文12） 在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅，当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= .答案：453．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：124.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：15.（2011年上海高考文2）3lim(1)3n nn →∞-=+ 答案：2-6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0l im||n n Q P →∞= 答案：37.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .答案：878.（2012年上海高考文14）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .答案：3+135269. (2013年上海高考理1）计算：20lim313n n n →∞+=+ ．答案：1310.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．答案：230d11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．答案：15二、选择题12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D13.（2012年上海高考文18）若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C14.（2012年上海高考理18）设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100答案：D15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63答案：A16.（2013年上海高考文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）．A. 0B.14C. 2D. 22 答案：D三、解答题17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。

(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编-专题05.数列、数学归纳法与极限-理(含解析)work Information Technology Company.2020YEAR（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题05.数列、数学归纳法与极限 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．2. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数x x f a log )(=的图像过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 【答案】C 【解析】4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．5. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 26. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim 的数值是 ．7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++ ．二．能力题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________． 2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为……………………（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054-3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 ． 4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.【答案】12n m -【解析】试题分析：依题意可得112m a -=.因为以2m 为分母组成属于集合1A 的元素为2222(1),,,m m m m m m m -⋅⋅⋅即12(1),,,m m m m-⋅⋅⋅.所有这些元素的和为1a .所以221212(1)m a a m ++⋅⋅⋅+-=-.即212212(1)m a a m ++⋅⋅⋅+-=+同理3123312(1)m a a a m ++⋅⋅⋅+-=++.…. 12312(1)n n n m a a a a m ++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+.所以可得12n a a a ⋅⋅⋅+++=12n m -.考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.5. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数21(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是-------------------- （ ） A ．23 B ． 21C ．33D ．3三．拔高题组1. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数． （1） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式；（3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n =，使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++<，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ，当n λ>时，都有n S m >．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---试题解析：（1）()()()()()=++=+=+=-2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n()()()()()() 3,2,2,122,8284816161,2,,2 =++=+=++=+=-f j f j f j f j j j j n．----（3分）132113n m +⇒+>-23log 1113n m ⎛⎫⇒>-- ⎪-⎝⎭， 令λ=23log 113m ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则当n λ>时，都有n S m >，∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．------------------------------------（18分）考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合问题．2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21n n n ba c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n nbc -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， …………………（１分）所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+n n n n bb ac ，3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a(*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．（1）若点1(1,)a与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B =，将集合C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ． 【答案】（1）31n b n =-；（2）参考解析；（3）2(*)n n c a n N =∈【解析】(3)当1b =时,设0m C ∈,则0m A ∈,且0m B ∈,设0()tm a t =∈*N ,0(1)1()m a s s =++∈*N ,则(1)1ta a s =++,所以11t a s a -=+,因为,,a t s ∈*N ,且2a ≥,所以1t a -能被1a +整除.○1当1t =时,11a s a -=∉+*N ；○2当2()t n n =∈*N 时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-,所以t a b -能被1a +整除.4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？110a = 29.5a =3a = 4a = …………12b =2b =3 3b =4b = …………【解析】试题分析：（1）由题意，数列{}n a先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数. 数列{}n b先3431316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分考点：求数列通项5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 满足n n n n n na a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．试题解析：(1) n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n =-+-++-233322n n =⋅--． 02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）．（1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．试题解析：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）………矩阵B 中第n 行的各数和1124444(41)3n n n n nn n s ++++=+++=-，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9nn s s s +++=-. ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和()()()22422421164144444429n n n s ⎡⎤=--+++++++⎢⎥⎣⎦232454+1645n n ++-⋅=． ………………………………………………（18分）考点：(1)直线与抛物线相交，数列的递推关系；（2）数列的通项公式；（3）分组求和.。

历届上海高考中的数列试题选一. 填空题 1.（05春2） =++++∞→nn n 212lim0 .2.（06春1）计算：=+-∞→3423lim n n n ； （06，4）计算：23(1)______61lim n n n n →∞+=+。

3.（07春1）计算=++∞→)1(312lim 2n n n n ；（06，4（理））计算：1lim 33+∞→n C n n ＝ ．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++； 4.（08春2）计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ . 13（02文5）在二项式nx )31(+和nx )52(+的展开式中，各项系数之和分别记为n a 、n b ，n 是正整数，则nn n n n b a b a 432lim--∞→= 。

21（03文理3）在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .－49（08春5）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .21n a n =-5.（08春9）已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 1-. （02文11）若数列}{n a 中，211,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a 。

123-n6.（05春9）设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列； （3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 （1）、（2）、（3） .（03文理8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . 10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）（03文理11）已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = 4π.7.（08春12）已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=112233a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = 1k k a a -- (2)k n ≤≤8.（05春12）已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005|n f a -取得最小值时，n = 110 .9.（06春12）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++10.（01春12）甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01）11.（04上海春7）在数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ， 点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn 3 .12.（04上海春8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 12+-n n 个点.12312312312312312312.（04上海春12）在等差数列{}n a 中，当s r a a = ）（s r ≠时，{}n a 必定是常数数列. 然而在等比数列{}n a 中，对某些正整数s r 、）（s r ≠，当s r a a =时，非常数数列{}n a 的一个例子是 r a a a a a .)0(,,,,≠--与s 同为奇数或偶数. （说明：不指出s r 、的情况，不扣分）（04文理4）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .2（04文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 组.(写出所有符合要求的组号) ①、④ ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.（05理12，文16）用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为 。

2.双曲线的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示）4.设常数，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。

5.已知复数z 满足（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。

7.已知α∈{－2,－1,－,,1,2,3}，若幂函数为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____ 8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数的图像经过点、，若，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：，，+的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.41252214x y -=a R ∈117i z i +=-（）{} n a 2121()n f x x =EF ⋅1Sn 1lim 2n n a →∞+=222()(2)f x ax =+65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，236p q pq +=²²1x y +=₁₁²²1x y +=₂₂212x x y y +=₁₂₁13.设P 是椭圆+=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）2 （D ）414.已知，则“”是“”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，是定义在D 上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）（A （B （C （D ）0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.²5x ²3y 2352a R 1a ﹥1a1﹤f x （）f x （）π61f （）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数 （1）若为偶函数，求a 的值；（2）若，求方程上的解。

2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是 ． 二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ． 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =， 答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ． 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =， 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<， 答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =， 答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ． 【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。

2015高考数学辅导资料-上海版第七章 数列与数学归纳法 基础部分1.数列的有关概念1）按一定次序排列的一列数称为数列； 2）数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法． 3）a n 与S n 的关系：11n n+1n a =S ,n =1a =S -S ,n 2⎧⎨≥⎩；【数列分析的主要方法】1）给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2）数列前n 项的和Sn 和通项an 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n+1n a =S -S 时，一定要注意条件n ≥2 ，求通项时一定要验证a1是否适合． 2.等差数列等差数列｛a n ｝的通项公式，n 1a a (n 1)d =+-，公差为d 前n 项和公式，11122n n a a n(n )S na d n +-=+= 【等差数列的典型性质】①如果m ＋n ＝p ＋q ，则a m +a n= a p +a q②如果S m 表示数列前m 项的和，则 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，公差为m 2d 【G1302W-B 】在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .解：因为数列{a n }是等差数列，根据等差数列的性质有：a 1+a 4=a 2+a 3， 由a 1+a 2+a 3+a 4=30，则a 2+a 3=15．故答案为15．3.等比数列等比数列｛a n ｝的通项公式，11n na a q -=，公比为q ；前n 项和公式，n 11n 1n a (1q ...q )a (1q )S 1q-=+++-=- ，q ≠1 【类比】n n n 1n 2n r r 1n 1x y (x y)(x x y ...x y ...y )------=-+++++ 【等比数列的典型性质】如果m ＋n ＝p ＋q ，则a m .a n= a p .a q ；*非0常数项既是等差数列，也是等比数列；【G1322W-B 】(3+5+8分)已知函数x x -=2)(f ，无穷数列{}n a 满足a n+1=f(a n ),n ∈N *（1）若a 1=0，求a 2，a 3，a 4；（2）若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值.（3）是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n …成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由.4.简单的递推数列 2. 递归数列数列的连续若干项满足的等量关系a n ＋k ＝f （a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n ）称为数列的递归关系．由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由a n ＋1＝2a n ＋1，及a 1＝1，确定的数列}12{-n 即为递归数列．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

第四部 数列专题【考点1】等差数列与等比数列1. 等差数列等差数列{}n a 的通项公式：1(1)n a a n d *()n N . 等差数列{}n a 的递推公式：1n n a a d (2)n . 等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d na 中. 等差数列{}n a 的性质： ① ()n m a a n m d .② 若m n p q ，则m n p q a a a a .③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等差数列，公差为md .④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等差数列，公差为2n d .⑤ 数列{}n a 成等差数列n a pn q ，112n n n a a a ，2n S An Bn .⑥ 若数列{}n a 是等差数列，则{}n ac 为等比数列，0c .⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，2n S S d偶奇. 当n 为奇数时，S S a 奇偶中，11S n S n 奇偶，S S n S S 奇偶奇偶. ⑧ 设n S 和n T 分别表示等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，则2121n n n n a S b T. ⑨ 若p a q ，q a p ，p q ，则0p q a ，1d . 若p S q ，q S p ，p q ，则()p q S p q . 若p q S S ，p q ，则0p q S .1.（2018年6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a ，6714a a ，则7S2.（2014春7）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S3.（2013春11）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n S4.（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a ，则357a a a5.（2017春6）若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a6.（2013文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a ，则23a a7.（2012春13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b （*n N ，2012n ），当k b 是数列{}n b 的最大项时，k8.（2017年15）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ， 则“存在*k N ，使得100k x 、200k x 、300k x 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. 0a B. 0b C. 0c D. 20a b c9.（2015春附3）已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ()n *N ，那么（ ）A. {}n a 是等差数列B. 21{}n a 是等差数列C. 2{}n a 是等差数列D. 3{}n a 是等差数列10.（2015春21）若无穷等差数列{}n a 的首项10a ，公差0d ，{}n a 的前n 项和为n S ， 则（ ）A. n S 单调递减B. n S 单调递增C. n S 有最大值D. n S 有最小值 2. 等比数列等比数列{}n a 的通项公式：11n n a a q*()n N .等比数列{}n a 的递推公式：1n n a a q (2)n .等比数列{}n a 的前n 项和公式：11(1)11n n n a a qa q S qq (1)q ，1n S na (1)q .等比数列{}n a 的性质： ① n mn m a a q.② 若m n p q ，则m n p q a a a a .③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等比数列，公比为mq .④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等比数列，公比为nq . ⑤ 数列{}n a 成等比数列211n n n a a a ，n n a p q ，(1)n n S A q .⑥ 若数列{}n a 是等比数列，则{log }c n a 为等差数列，0n a .⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，S q S 偶奇. 当n 为奇数时，1S a q S 奇偶. ⑧ 设n T 是前n 项积，T 奇表示奇数项的积，T 偶表示偶数项的积，则n T T T 奇偶. 当n 为偶数时，2n T q T 偶奇. 当n 为奇数时，T a T 奇中偶. 11.（2011春8）若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ，则63S S12.（2014春22）已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，若2n n b a ，则数列{}n b 是 （ ）A. 以q 为公比的等比数列B. 以q 为公比的等比数列C. 以2q 为公比的等比数列D. 以2q 为公比的等比数列13.（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a 的矩形面积 （1,2,i ），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 1321,,,,n a a a 或242,,,n a a a 是等比数列C. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列D. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同14.（2015理17）记方程①：2110x a x ；方程②：2210x a x ；方程③： 2310x a x ；其中1a 、2a 、3a 是正实数，当1a 、2a 、3a 成等比数列时，下列选项中， 能推出方程③无实数根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根15.（2014文23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a ，*n N ，11a .（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a ，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相 应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.16.（2014理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a ，*n N ，11a .（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a ，若1133n n n S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ，求正整数k 的最大值， 以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.17.（2013文22）已知函数()2||f x x ，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a ，*n N . （1）若10a ，求2a 、3a 、4a ；（2）若10a ，且1a 、2a 、3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ； 若不存在，说明理由.【考点2】数列通项与数列求和1. 求数列通项方法（1）公式法：等差数列通项1(1)n a a n d ，等比数列通项11n n a a q .（2）累加法（累乘法）：1()n n a a f n ，1()nn a f n a ，2n . （3）作差法（作商法）：若123n n S a a a a ，则1n n n a S S ，2n . 若123n n T a a a a ，则1nn n T a T，2n . （4）构造法：1n n a Aa B ，1n n a Aa Bn C ，1nn n a Aa B .1q n n a pa ，11n n n a a ka b，11n n n a pa qa ，其他类型.（5）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明. 2. 数列求和方法（1）求和公式法：等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d na中. 等比数列前n 项和公式：11(1)11n n n a a qa q S qq (1)q .22221123(1)(21)6n n n n (3333221)123(1)4n n n ….（2）倒序相加法：首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联. （3）错位相减法：数列通项由等差数列与等比数列相乘构成.（4）裂项相消法：将数列中的每项进行分解，然后重新组合，达到消项的目的.111(1)1n n n n ，1111()()n n k k n n k， 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ，1k，11(1)!!(1)!n n n n ，sin1tan(1)tan cos cos(1)n n n n.（5）分组求和法：将通项中有共同规律的部分进行分组，分别求和.（6）数学归纳法：对数列前n 项和进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明. 18.（2019年8）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a ，则5S 19.（2017年10）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n ，*n N ，{}n b 的项是互不相等的正 整数，若对于任意*n N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b20.（2016理11）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*N ，{2,3}n S ，则k 的最大值为21.（2013春12）36的所有正约数之和可按如下方法得到：∵223623 ，∴36所有正约 数之和22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91 （， 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 22.（2012文14）已知函数1()1f x x，各项均为正数的数列{}n a 满足11a ， 2()n n a f a ，若20102012a a ，则2011a a 的值是23.（2013理17）在数列{}n a 中，21n n a ．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列 的元素,i j c i j i j a a a a （1,2,,7i ；1,2,,12j ），则该矩阵元素能取到的不同 数值的个数为（ ）A. 18B. 28C. 48D. 6324.（2016春19）用数学归纳法证明等式2123...22n n n ()n *N 的第（ii ）步中，假设n k 时原等式成立，那么在1n k 时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k kC. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k kD. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k 25.（2016春28）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列. （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b ，11(2n n n b b ，记12n n n n c S b ()n *N ，求数列{}n c 的最小值0n c .（即0n n c c 对任意n *N 成立）26.（2012春22）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足11()()n n n n n a a b b c （*n N ）. （1）设36n c n ，{}n a 是公差为3的等差数列，当11b 时，求2b 、3b 的值； （2）设3n c n ，28n a n n ，求正整数k ，使得一切*n N 均有n k b b ；（3）设2nn c n ，1(1)2nn a，当11b 时，求数列{}n b 的通项公式.27.（2011文23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n ，27n b n （*n N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n N N 中的元素从小到大依次排列， 构成数列1c ，2c ，3c ， ，n c ， .（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列1c ，2c ，3c ， ，40c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由； （3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ）.28.（2011理22）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n ，27n b n （*n N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n N N 中的元素从小到大依次排列， 构成数列1c ，2c ，3c ， ，n c ， . （1）求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ， ，2n a ， ； （3）求数列{}n c 的通项公式.【考点3】数列单调性常结合函数性质分析数列单调性，或根据1n n a a 的大小分析数列单调性29.（2018春15）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【考点4】数列极限三个常用极限：① lim n C C（C 为常数）. ② 1lim0n n. ③ 当||1q ，lim 0n n q .我们把||1q 的无穷等比数列的前n 项和n S 当n 时的极限叫做无穷等比数列各项的 和，并用符号S 表示，即11a S q(||1)q . 30.（2019春2）计算：22231lim 41n n n n n31.（2015春4）计算：223lim 2n n n n32.（2018春2）计算：31lim 2n n n33.（2013理1）计算：20lim313n n n34.（2011文2）计算3lim(13n nn35.（2017春8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a ，则123lim nn na a a a a36.（2016春9）无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 37.（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,,n V V V ，则12lim()n n V V V38.（2014理8）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a，则q39.（2018年10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q （n *N ），前n 项和为n S ， 若11lim 2n n n S a ，则q40.（2011理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和点0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR ，记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR 依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P41.（2017年14）在数列{}n a 中，1()2n n a ，*n N ，则lim n n a（ ）A. 等于12B. 等于0C. 等于12D. 不存在42.（2015年18）设(,)n n n P x y 是直线21nx y n ()n *N 与圆222x y 在第一象限 的交点，则极限1lim1n n n y x（ ） A. 1 B. 12C. 1D. 243.（2013文18）记椭圆221441x ny n围成的区域（含边界）为(1,2,)n n ，当点 (,)x y 分别在1 、2 、 上时，x y 的最大值分别是1M 、2M 、 ，则lim n n M（ ）A. 0B. 14C. 2D.44.（2016理17）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S，下列条件中，使得2n S S （n *N ）恒成立的是（ ）A. 10a ，0.60.7qB. 10a ，0.70.6qC. 10a ，0.70.8qD. 10a ，0.80.7q45.（2013春27）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n ，数列{}n b 满足2n an b ，求12limn n b b b（）.46.（2019春18）已知数列{}n a 中，13a ，前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列，且415a ，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S，求公比q 的取值范围.【考点5】数列应用题47.（2016春附6）小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨， 方法为：当第k 天下过雨时，记1k a ，当第k 天没下过雨时，记1k a (131)k ； 他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时， 记1k b ，当预报第k 天没有雨时，记1k b (131)k ；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b 25 ，那么该月气象台预报准确的总天数为48.（2017年19）根据预测，某地第n *()n N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ，5n b n ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n （单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点6】数列新定义题型49.（2019年21）数列{}n a ()n *N 有100项，1a a ，对任意[2,100]n ，存在n i a a d ，[1,1]i n ()n *N ，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a ，2d ，求4a 所有可能的值；（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a 、d 、c 表示12100a a a .50.（2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意n *N ，存在m *N ，使 得10m nm n a c a c ，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.（1）设2n c n ，1n a n ，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；（2）设4n c n ，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c ，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq ，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.51.（2018年21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n *N ，都有||1n n b a ，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a ，n *N ，判断数列{}n b 是 否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a ，22a ，34a ，48a ，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b ，32b b ， ，201200b b 中至少有100个为正数，求d 的取值范围.52.（2016理23）无穷数列{}n a 满足：只要p q a a （,p q *N ），必有11p q a a ， 则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且11a ，22a ，43a ，52a ，67821a a a ，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a （n *N ），求证：“对任意1a ，{}n a 都具 有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.53.（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{|,}n A x x a n *N ，{|,}n B x x b n *N ，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；②A B 且A B *N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n ，42n b n ，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若2nn a 且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a ，求{}n a 与{}n b 的通 项公式.54.（2016春附7）对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a 或k k c b ，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”.（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a ，23a ，35a ，11b ，22b ，33b ， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30 ，前20项和为260 ，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合.55.（2015理23）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 、为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期；已知()f x 是以T 为余 弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f ，()4f T . （1）验证()sin3xh x x 是以6 为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b ，证明对任意[(),()]c f a f b ，存在0[,]x a b ，使得0()f x c ； （3）证明：“0u 为方程cos ()1f x 在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T 为方程cos ()1f x 在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T 都有()()()f x T f x f T .56.（2012文23）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记12max{,,...,}k k b a a a（1,2,...,k m ），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列， 如1、3、2、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C （C 为常数，1,2,...,k m ）， 求证：k k b a （1,2,...,k m ）； （3）设100m ，常数1(,1)2a ，若(1)22(1)n n n a an n ，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a .57.（2012理23）对于数集12{1,,,,}n X x x x ，其中120n x x x ，2n ，定义向量集{|(,),,}Y a a s t s X t X，若对任意1a Y ，存在2a Y ，使得120a a ，则称X 具有性质P ，例如{1,1,2} 具有性质P .（1）若2x ，且{1,1,2,}x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：1X ，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、2x q （q 为常数），求有穷数列12,,,n x x x 的 通项公式.【考点7】数列综合题型58.（2015春29）已知函数2()|22|x f x ()x R . （1）解不等式()2f x ；（2）数列{}n a 满足()n a f n ()n *N ，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ，不等式12n n S ka恒成立，求实数k 的取值范围.59.（2019春21）若{}n a 是等差数列，公差(0,]d ，数列{}n b 满足：sin()n n b a ，n *N ，记{|,}n S x x b n *N .（1）设10a ，23d ，求集合S ； （2）设12a，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b ，其中T 为不超过7的正整数，求T 所有可能值.60.（2017春21）已知函数21()log 1xf x x. （1）解方程()1f x ；（2）设(1,1)x ，(1,)a ，证明：1(1,1)ax a x ，且11(()()ax f f x f a xa ； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ，1131(1)3n nn nx x x ，n *N ，求1x 的取值范围， 使得3n x x 对任意n *N 成立.61.（2011春23）对于给定首项0x 0a ），由递推式11(2n n x x （*n N ）得到数列{}n x ，且对于任意的*n N，都有n x，用数列{}n x的近似值.（1）取05x ，100a ，计算1x 、2x 、3x 的值（精确到0.01）， 并且归纳出n x 、1n x 的大小关系； （2）当1n 时，证明：111()2n n n n x x x x； （3）当0[5,10]x 时，用数列{}n x41||10n n x x ， 请你估计n ，并说明理由.62.（2013理23）给定常数0c ，定义函数()2|4|||f x x c x c ，数列123,,,a a a ，满足1()n n a f a ，*n N .（1）若12a c ，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ，1n n a a c ；（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ； 若不存在，说明理由.63.（2015年22）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ，n *N .（1）若35n b n ，且11a ，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ()n *N ，求证{}n b 的第0n 项是最大项；（3）（文）设130a ，n n b ()n *N ，求 的取值范围，使得对任意m 、n *N ，0n a ，且1(,6)6m na a . （3）（理）设10a ，nn b ()n *N ，求 的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm.。

上海历年高考数学试题及答案汇编十一数列上海历年高考数学试题及答案汇编十一数列（2008-2021）试题1、14．（4分）（2008上海）若数列{an}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（） A．1B．2C．D．*2、11．（4分）（2021上海）将直线l1：nx+y﹣n=0和直线l2：x+ny﹣n=0（n∈N，n≥2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则Sn= ．3、14．（4分）（2021上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则= ．4、18．（5分）（2021上海）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（）A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 5、18．（5分）（2021上海）设an=sin个数是（） A． 25 ，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的B． 50 C． 75 = ．nD． 100 6、1．（4分）（2021上海）计算：7、17．（5分）（2021上海）在数列（an）中，an=2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（） A． 18 B． 28 C． 48 D． 638、8．（4分）（2021上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=q= ．9、18. (15上海)设Pn(xn,yn)是直线2x?y?的交点，则极限limn??（a3+a4+…an），则nn?N*?与圆x2?y2?2在第一象限?n?1yn?1=（） xn?11 C.1 D.2 2A.?1 B.?10、11.（4分）（2021上海）无穷数列?an?由k个不同的数组成，Sn为?an?的前n项和.若对任意n?N，Sn??2,3?，则k的最大值为________.?1il11、17.（5分）（2021上海）已知无穷等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，且m下列条件中，使得2Sn?Sn?N?恒成立的是（）（A）a1?0,0.6?q?0.7 （B）a1?0,?0.7?q??0.6 （C）a1?0,0.7?q?0.8 （D）a1?0,?0.8?q??0.7n??Sn?S.??12、10．（5分）（20017上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n，n∈N，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则n**2*= ．13、14．（5分）（20017上海）在数列{an}中，an=（﹣），n∈N，则 an（）A．等于 B．等于0C．等于 D．不存在2*（20017上海）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an+bn+c，（5分）14、15．n∈N，则“存在k∈N，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（） A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0 15、6（5分）.（2021上海文理）记等差数列则S7= 。

2（2020普陀一模）. 132lim 31n nnn +→∞+=+ 3（2020闵行一模）. 计算：23lim13(21)n n n →∞=++⋅⋅⋅+- 4（2020嘉金一模）. 计算2lim1n nn →∞=+4（2020崇明一模）. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = 4（2020青浦一模）. 我国古代庄周所著的《庄子⋅天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为n a ，则n a =5（2020虹口一模）. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a =6（2020崇明一模）. 计算：1132lim 32n nnn n +-→∞-=+ 7（2020普陀一模）. 各项都不为零的等差数列{}n a （*n ∈N ）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =8（2020杨浦一模）. 已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1()(3)2n n nn a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n ∈*N ），n S 是数列{}n a 的前n 项和. 则lim n n S →∞=8（2020徐汇一模）. 已知等差数列{}n a 的公差3d =，n S 表示的前n 项和，若数列{}n S 是递增数列，则1a 的取值范围是8（2020闵行一模）. 若首项为正数的等比数列{}n a ，公比lg q x =，且10099101a a a <<，则实数x 的取值范围是8（2020青浦一模）. 已知数列{}n a 中，11a =，1112n n n a a -+-=（*n ∈N ），则lim n n a →∞= 9（2020松江一模）. 在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是11（2020宝山一模）. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =11（2020徐汇一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1(1)32n n n n S a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是 11（2020嘉金一模）. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=16（2020青浦一模）. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④16（2020闵行一模）. 已知各项为正数的非常数数列{}n a 满足11n an a a +=，有以下两个结论：① 若32a a >，则数列{}n a 是递增数列；② 数列{}n a 奇数项是递增数列；则（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②均错误 D. ①②均正确16（2020奉贤一模）. 由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ）① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个20（2020嘉金一模）. 已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且n a 、n S 、2na （*n ∈N ）成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设1n n b ta =-（0t >），n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对于任意*n ∈N ，都有*{|}n m T b m ∈∈N , 求实数t 的值.20（2020徐汇一模）. 给正有理数i i m n 、jjm n （i j ≠，*,i j ∈N ，*,,,i i j j m n m n ∈N ，且i jm m =和i j n n =不同时成立），按以下规则P 排列：① 若i i j j m n m n +<+，则ii m n 排在j jm n 前面；② 若i i j j m n m n +=+，且i j n n <，则ii m n 排在j jm n 的前面，按此规则排列得到数列{}n a .（例如：121,,,112⋅⋅⋅）.（1）依次写出数列{}n a 的前10项；（2）对数列{}n a 中小于1的各项，按以下规则Q 排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{}n b ，求数列{}n b 的前10项的和10S ，前2019项的和2019S ；（3）对数列{}n a 中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合1232019{,,,,}A c c c c =⋅⋅⋅，A 的子集B 满足：对任意的,x y B ∈，有x y B +∉，求集合B中元素个数的最大值.21（2020宝山一模）. 已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.21（2020松江一模）. 已知数列{}n a 满足：① n a ∈N （*n ∈N ）；② 当2k n =（*k ∈N ）时，2n na =；③ 当2k n ≠（*k ∈N ）时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求1a ，3a ，9a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=（*n ∈N ）.21（2020崇明一模）. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a c +=-，记max{||,||,||}n n n n d a b c =（max{,,}x y z 表示3个实数x 、y 、z 中的最大值）. （1）若11a =，12b =，14c =，求4a 、4b 、4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a 、1b 、1c 是非零实数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.21（2020虹口一模）. 在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m ∈N ，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列.（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n nn S a a a =++⋅⋅⋅+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤， 则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； （2）已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；（3）已知21n b n =-，n ∈*N ，数列{}n c 是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围.21（2020普陀一模）. 数列{}n a 与{}n b 满足：1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*n ∈N ）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121nn n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*n ∈N 恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n nS C λ+=（*n ∈N ，2λ≥-），若存在整数k 、l ，且1k l >>， 使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.。

1（2019崇明一模）. 计算：20lim31n n n →∞+=+1（2019虹口一模）. 计算：153lim 54n nnn n +→∞-=+ 2（2019闵行一模）. 2221lim 331n n n n →∞-=++ 3（2019金山一模）. 计算：21lim32n n n →∞-=+4（2019黄浦一模）. 记等差数列{}n a ()n ∈*N 的前n 项和为n S ，若51a =，则9S = 4（2019松江一模）. 已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=4（2019徐汇一模）. 若数列{}n a 的通项公式为2111n na n n=+（n ∈*N ），则lim n n a →∞= 5（2019闵行一模）. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=6（2019浦东一模）. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=6（2019静安一模）. 在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列，设13521n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则lim n n T →∞= ()n ∈*N6（2019徐汇一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =是l 的一个法向量，已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为7（2019杨浦一模）. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是7（2019青浦一模）. 已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 7（2019宝山一模）. 如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =7（2019静安一模）. 某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数）9（2019金山一模）. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是10（2019黄浦一模）. 已知数列{}n a ()n ∈*N ，若11a =，11()2n n n a a ++=，则2lim n n a →∞=10（2019青浦一模）. 设等差数列{}n a 满足11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，若数列也为等差数列，则102limn n nS a +→∞=10（2019普陀一模）. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）11（2019浦东一模）. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ++=-++()n ∈*N ，11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A =11（2019长嘉一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12（2019杨浦一模）. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为12（2019崇明一模）. 已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立.函数1()|sin ()|n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是12（2019宝山一模）. 如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意n ∈*N ，都有n n b a kd -= ，其中k 为常数，k ∈*N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b →∞++⋅⋅⋅+=，则k = 12（2019闵行一模）. 若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <；③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）15（2019奉贤一模）. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞ D. (0,2)16（2019奉贤一模）. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A. 25 B. 50 C. 51 D. 10016（2019徐汇一模）. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A. 2 B.53 C. 32D. 43 19（2019松江一模）. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足 够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）20（2019普陀一模）. 设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）.（1）求2a 、3a 的值； （2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值；（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21（2019宝山一模）. 如果数列{}n a 对任意n ∈*N ，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”，若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，n ∈*N ，1a a =（a ∈R ）.（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围； （3）类似地：非零数列{}n b 对任意n ∈*N ，都有2n nb q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”，已知数列{}nc 中，满足1c k =（0k ≠，k ∈Z ），1112018()2n n n c c -+=⋅，n ∈*N ，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数k 使得对于任意n ∈*N ，都有1n n c c +>，若不是，说明理由.21（2019奉贤一模）. 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.（1）前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ （n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.21（2019金山一模）. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.21（2019黄浦一模）. 给定整数n (4)n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅构成以1a 为首项，d (0)d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元 素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B 中元素的个数及所有 元素之和.21（2019徐汇一模）. 已知项数为0n （04n ≥）项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①11a =，0n a m =（m 为正整数）；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =⋅⋅⋅；③任取数列{}n a 中的两项p a 、q a （p q ≠），剩下的02n -项中一定存在两项s a 、t a （s t ≠），满足p q s t a a a a +=+，则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中123,,d d d ∈*N ，求证：14d ≥，22d ≥，34d ≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.21（2019闵行一模）. 对于数列{}n a ，若存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意n ∈*N 都成立，则称数列{}n a 为“拟等比数列”.（1）已知0a >，0b >，且a b >，若数列{}n a 和{}n b 满足：12a ba +=，1b =12n n n a b a ++=，1n b +=()n ∈*N ； ① 若11a =，求1b 的取值范围；② 求证：数列{}n n a b -()n ∈*N 是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，若10c >，40350S >，40360S <，且{}n c 是“拟等比数列”，求p 的取值范围. （请用1c ，d 表示）21（2019松江一模）. 对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”； （3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.21（2019崇明一模）. 已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.（1）若11a =，2n nb =，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1{}1n b q+-为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12d =.21（2019虹口一模）. 对于n ()n ∈*N 个实数构成的集合12{,,}n E e e e =，记12E n S e e e =+++. 已知由n ()n ∈*N 个正整数构成的集合12{,,,}n A a a a =12(,3)n a a a n <<<≥满足：对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）试求1a 、2a 的值；（2）求证：“1a 、2a 、、n a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”； （3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取得最小值时，n a 的最大值.21（2019杨浦一模）. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos 2n n n a π=+，请写出3b 的值；（2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.21（2019长嘉一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.21（2019浦东一模）. 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,,n A A A A （n ∈*N ），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （n ∈*N ），使得1k k k A B A -△（k ∈*N ）都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1)f ，(2)f ，并猜想()f n ；（不要求证明）（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2m S λ≤对任意m ∈*N 恒成立？若存在， 求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：1b =1n b +=，数列{}n c 满足：11c =，1n nc +=1()2n n n b f c π+<<.21（2019青浦一模）. 若存在常数k （k ∈*N ，2k ≥）、c 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1n n nn a d ka n ca k +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N ，则称数列{}n a 为“Γ数列”，已知数列{}n b 为“Γ数列”. （1）若数列{}n b 中，11b =，3k =，4d =，0c =，试求2019b 的值；（2）若数列{}n b 中，12b =，4k =，2d =，1c =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不 等式43n n S λ≤⋅对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.21（2019静安一模）. 将n 个数1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 的连乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅记为1nii a=∏，将n 个数1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 的和12n a a a ++⋅⋅⋅+记为1ni i a =∑()n ∈*N .（1）若数列{}n x 满足11x =，21n nn x x x +=+，设111nn i iP x ==+∏，111nn i i S x ==+∑，求55P S +；（2）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2]2=，[3.4]3=，[ 1.8]2-=-，若数列{}n x 满 足11x =，21n nn x x x +=+，求20191[]1ii ix x =+∑的值； （3）设定义在正整数集*N 上的函数()f n 满足：当(1)(1)22m m m m n -+<≤()m ∈*N 时， ()f n m =，问是否存在正整数n ，使得1()2019ni f i ==∑若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由. （已知21(1)(21)6ni n n n i =++=∑，例如1821181********i i =⨯⨯==∑）。

4（2020闵行二模）. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 4（2020松江二模）. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若154a a +=，3712a a +=，则7S =5（2020宝山二模）. 已知无穷数列2(3)n na =-，n ∈*N ，则数列{}n a 的各项和为 5（2020杨浦二模）. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =6. （2020松江二模） 已知数列{}n a 的首项11a =，且满足1012n na a +=（*N n ∈），数列{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是7（2020嘉定二模）. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S =8（2020奉贤二模）. 已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是8（2020闵行二模）. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 （结果用最简分数表示）8（2020金山二模）. 数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，n ∈*N ，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=8（2020崇明二模）. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=，则lim n n S →∞=8（2020长宁二模）. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，714S =，则5a = 9（2020杨浦二模）. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a =9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=11（2020金山二模）. 我们把一系列向量i a u r(1,2,,)i n =⋅⋅⋅按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a u r ，已知向量列{}i a u r 满足1(1,1)a =u u r ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+u u r (2)n ≥，设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n，不等式log (12)a a ⋅⋅⋅>-恒成立，则实数a 的取值范围是 12（2020浦东二模）. 已知数列{}n a 、{}n b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+113()n n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2020项之和为14（2020青浦二模）. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 615（2020宝山二模）. 用数学归纳法证明135(1)(21)(1)n n n n -+-+⋅⋅⋅+--=-，n ∈*N 成立. 那么，“当1=n 时，命题成立”是“对n ∈*N 时，命题成立”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15（2020崇明二模）. 设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列C. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同16（2020奉贤二模）. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公比1q ≠，若存在数对(,)k t ，*,N k t ∈，使得k t a b =，称这样的数对(,)k t 为{}n a 与{}n b 相关数对，则这样的数对(,)k t 最多有（ ）对A. 2B. 3C. 4D. 516（2020虹口二模）. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）A. 16B. 12C. 8D. 616（2020杨浦二模）. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题 ① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ②是真命题，①是假命题D. ①和②都是假命题 16（2020长宁二模）. 在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0,1]平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线2y x =上（如图），则当n →∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S ，已知22221123(1)(21)6n n n n +++⋅⋅⋅+=++，利用此方法计算出的由曲线y x =x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为（ ） A.6 B. 3 C. 34D. 23 16（2020嘉定二模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ） A.23 B. 94 C. 12D. 16 16（2020徐汇二模）. 若数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为2020(1)n n a a +=-，2019(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意n *∈N 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. [2,1)-B. 3[2,)2-C. 1[1,)2- D. [1,1)-21（2020闵行二模）. 已知数列{}n x ，若对任意*N n ∈，都有212n n n x x x +++>成立， 则称数列{}n x 为“差增数列”.（1）试判断数列2n a n =（*N n ∈）是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*N n a ∈，121a a ==，对于给定的正整数m ， 当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合； （3）若数列{lg }n x 为“差增数列”，（*N n ∈，2020n ≤）， 且122020lg lg lg 0x x x ++⋅⋅⋅+=，证明：101010111x x <.21（2020徐汇二模）. 设数列{}n a （n *∈N ）中前两项1a 、2a 给定，若对于每个正整数3n ≥，均存在正整数k （11k n ≤≤-）使得12n n n kn a a a a k---+++=L ，则称数列{}n a 为“Ω数列”.（1）若数列{}n a （n *∈N ）为11a =，212a =-的等比数列，当3n ≥时，试问： n a 与122n n a a --+是否相等，并说明数列{}n a （n *∈N ）是否为“Ω数列”； （2）讨论首项为1a 、公差为d 的等差数列{}n a 是否为“Ω数列”，并说明理由； （3）已知数列{}n a 为“Ω数列”，且10a = ，21a =，记12(,)n n S n k a a --=+++Ln k a -（2n ≥，n *∈N ），其中正整数1k n ≤-，对于每个正整数3n ≥，当正整数k 分别取1、2、⋅⋅⋅、1n -时，(,)S n k k的最大值记为n M 、最小值记为n m ，设()n n n b n M m =⋅-， 当正整数n 满足32020n ≤≤时，比较n b 与1n b +的大小，并求出n b 的最大值.21（2020宝山二模）. 定义：}{n a 是无穷数列，若存在正整数k 使得对任意n ∈*N ，均有n k n a a +>()n k n a a +<，则称}{n a 是近似递增（减）数列，其中k 叫近似递增（减）数列}{n a 的间隔数.（1）若(1)nn a n =+-，}{n a 是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列}{n a 的通项公式为a a n n +-=-1)2(1，其前n 项的和为n S ，若2是近似递增数列}{n S 的间隔数，求a 的取值范围； （3）已知sin 2n na n =-+，证明}{n a 是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.21（2020金山二模）. 若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ∈，对任意的0n n ≥（*N n ∈），都有n k n a a d +-=（d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a =，22a =，33a =，求234a a a ++的值； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ∈，i j <，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i--.21（2020奉贤二模）. 两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*N n ∈.（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈， 记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*N n ∈，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.21（2020崇明二模）. 在无穷数列{}n a 中，*N n a ∈，且123nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）若110a =，求9S 的值； （2）若317S =，求1a 的值； （3）证明：{}n a 中必有一项为1或3.21（2020浦东二模）. 若数列{}n a 对任意连续三项i a 、1i a +、2i a +，均有221()()0i i i i a a a a +++-->（*N i ∈），则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1，2，3，4，5，⋅⋅⋅； ② 等比数列：1，12-，14，18-，116，⋅⋅⋅；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11n an a a +=（10a >），证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<；（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.21（2020长宁二模）. 若数列{}n c 满足“对任意正整数i 、j ，i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j c c c =”，则称数列{}n c 具有“性质P ”，已知数列{}n a 为无穷数列.（1）若{}n a 为等比数列，且11a =，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若{}n a 为等差数列，且公差0d <，求证：数列{}n a 不具有“性质P ”； （3）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a =，求数列{}n a 的通项公式n a .21（2020虹口二模）. 已知项数为m （*N m ∈，2m ≥）的数列{}n a 满足条件：①*N n a ∈（1,2,,n m =⋅⋅⋅）；②12m a a a <<⋅⋅⋅<；若数列{}n b 满足*12()N 1m nn a a a a b m ++⋅⋅⋅+-=∈-（1,2,,n m =⋅⋅⋅），则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列”.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：11n n a a m +-≥-（1,2,,1n m =⋅⋅⋅-）； （3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2049m a =， 求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.21（2020嘉定二模）. 已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：12nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若18a =，2m =，求7S 的值；（2）若5m =，325S =，求1a 的值；（3）若11a =，m 为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”.21（2020青浦二模）. 对于无穷数列{}n a 、{}n b ，*n ∈N ，若1212max{,,,}min{,,,}k k k a a a a a a b =-L L ，*k ∈N ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中12max{,,,}k a a a L 、1min{,a 2,,}k a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大项和最小项，已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”. （1）若31n a n =-，求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+L （1,2,3n =⋅⋅⋅），求所有满足该条件 的数列{}n a .21（2020黄浦二模）. 若数列{}n a 与函数()f x 满足：① {}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；② 数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n ∈N 都成立；则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若2nn a =（*n ∈N ），试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合， 并写出n a 关于a 、b 、n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216x y =≤上”.。

一．基础题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】221lim 2n n n n→∞+- ＝__________.2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63 【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】计算：21lim 1n n n n →∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=_________．6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：210lim323x n n →∞++= .7. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】如果()1111112312n f n n n =++++++++L L (*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项.8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .10. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.13. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】函数x ay =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2nn a a a Λ______．14. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.15. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．16. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________．考点：等比数列的前n 项和．17. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】计算：=+∞→133lim nnn ．二．能力题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则()()()11112(2013)2014232013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L 12014f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013213.【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知函数()() 2318,3133,3x tx xf xt x x⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*na f n n N=∈，若{}n a是递减数列，则实数t的取值范围是______________.4.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】数列{}na满足*,5221...2121221Nnnaaann∈+=+++，则=na .换n得12121111...2(1)5222nna a a n--+++=-+（2n≥），两式相减得122nna=，12nna+=，又1172a=，即114a=，故na=⎩⎨⎧≥=+.2,21,141nnn.考点：数列的通项公式.5.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.6. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ．9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f Λ .10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）11. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a 满足142a =-,()()*+∈=-+N n n a a n n n ,11，则数列{}na 的前2013项的和2013S 的值是___________．三．拔高题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.2. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】已知数列{}n a 具有性质：①1a 为正数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，21n n a a =+；当n a 为奇数时，211-=+n n a a （1）若641=a ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若321,,a a a 成等差数列，求1a 的值；(3)设)3(321N m m a m ∈≥-=且，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：521--≤+m S m n又01210m a +=-=，20m a +=，…3. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U .已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b L L ={2,4,6,,42,4}k k -L .（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-L L4. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a L 为()2,3,4,n n =L 阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=L ；②1231n a a a a ++++=L .（1）若数列{}n a 的通项公式是， 试判断数列{}n a 是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（3）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】设二次函数)()4()(2R k kxx k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+. （1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）证明：当)21,0(∈na 时，数列}{n a 在该区间上是递增数列；（3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(131n n +-+--λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.试题解析：（1）由 26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=， …………3分其值域为]21,(-∞. …………4分（2）解： 81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n nn n n n a a a a a a f a a …………6分7.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}na 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】设函数n nnn x x x x f 2222)(22++++-=Λ． （1）求函数)(2x f 在]2,1[上的值域；（2）证明对于每一个*∈N n ，在[1,2]上存在唯一的n x ，使得0)(=n n x f ；（3）求)()()(21a f a f a f n +++Λ的值．9. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，满足62=a ，n a a a a n n n n 11111=-++-++()*∈N n ， （1）求5431,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明；（3）己知02lim=∞→n n n ，设()*∈⋅=N n n a b n n n 2，记n n b b b b s ++++=Λ321，求n n S lim ∞→．21(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+--1(1)(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+-+.10. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 满足121++=+n a a n n （*N ∈n ）．（1）若数列}{n a 是等差数列，求它的首项和公差；（2）证明：数列}{n a 不可能是等比数列；（3）若11-=a ，b kn a c n n ++=（*N ∈n ），试求实数k 和b 的值，使得数列}{n c 为等比数列；并求此时数列}{n a 的通项公式．11. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．试题分析：(1)只求2a ，只要在2321++=+n S S n n 中令1n =民，则有2121131233S a a S a =+=++=+，。

上海市03-08年高考数学试题汇编数列与极限 （一）填空题1、计算：112323lim-+∞→+-n n nn n =__________。

（05上海理）2、计算：16)1(32++n n n =3．计算=++∞→)1(312lim 2n n n n （07上海春）4、计算：=+-∞→3423lim n n n 06上海春5、=++++∞→nn n 212lim（05上海春）6、计算：1lim 33+∞→n C nn ＝．（06上海理） 7、计算：131lim32n n nn +→∞+=+（08上海春）8、在等差数列中，a 5=3,a 6=－2,则a 4a 5…a 10=03上海理 9、已知数列是公差不为零的等差数列，11a =若125a a a 、、成等比数列，则（08上海春）10、已知无穷数列前项和113n n S a =-，则数列的各项和为 （08上海春）11、若首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=03上海理12、设等比数列{a n }n ∈N 的公比q ＝－21，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1＝38，则a 1＝（04上海理）13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组写出所有符合要求的组号①S 1与S 2;②a 2与S 3;③a 1与a n ;④为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和（04上海理）14、),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim =03上海理 15、在数列中，31=a ，且对任意大于1的正整数，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(lim n a n n _____________（04上海春季）16、用个不同的实数n a a a ,,,21 可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。