2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷及答案

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ;6、已知平面上动点到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为_________;7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，是11C A 的中点,则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示)。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若是关于的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________;11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ,若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________；12、如图,在正方形ABCD 的边长为米，圆的半径为1米,圆心是正方形的中心,点、分别在线段AD 、上,若线段PQ 与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以1。

5米/秒的速度从出发向移动,同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中,点在点的盲区中的时长均为_____秒(精确到0。

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x -= （D ）3y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标； （2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

2018年上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式||1x >的解集为2. 计算：31lim2n n n →∞-=+3. 设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =I4. 若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z+=5. 已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=6. 已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11AC 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示）9. 设a ∈R ，若292()x x +与92()a x x+的二项展开式中的常数项相等，则a =10. 设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是11. 设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是12. 如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为 秒（精确到）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A. 2y x -=B. 13y x = C. 12y x -= D. 3y x =14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤u u u r ，6AP AB ⋅=u u u r u u u r ，2AQ AP =-u u u r u u u r，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A. 36B. 60C. 72D. 108三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知cos y x =.（1）若1()3f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.18. 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=.（1）若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到°）.（图1） （图2） （图3）20. 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅. （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 取值范围.21. 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.参考答案一. 填空题1. (,1)(1,)-∞-+∞U2. 33. (0,1)4. 25. 156.22143x y += 7. 5 8. 180 9. 4 10. )+∞11. 1119(,]66ππ12.二. 选择题13. A 14. C 15. D 16. B三. 解答题 17.（1；（2）32-. 18.（1），(；（219.（1）14；（2）°. 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意； 2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2min g a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每 题5分）1.不等式 lxl>1的解集为3n -1 2.计算： lim -------- =.n—厂 n 23.设集合 A={xl0cx£2}，B={xl —1cxc1}，则 AC B = .4.若复数2Z =1 • i （ i 是虚数单位），则z ■z5•已知｛a .｝是等差数列，若a 2 a^ 10，则a 3 a s a 7 =6 .已知平面上动点P 到两个定点（1,0）和（-1,0）的距离之和等于 4，则动点P 的轨迹为7•如图，在长方形 ABCD —ABQU 中，AB=3，BC =4，AA =5， O 是 A 1C 1 的中点，则三棱锥A-AOB 1的体积为 ______________10.设m • R ，若z 是关于x 的方程x 2 mx m 20的一个虚根, 是 __________ .11.设 a 0，函数 f (x) =x 2(1 -x)sin( ax)，x (0,1)，若函数 y =2x T 与 y = f (x)四辩.若其中学生{ 229.设 a R ，若 I x< x与X •刍 的二项展开式中的常数项相等, x 2则|z|的取值范围第12题图的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 ___________ .12•如图，正方形 ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段 AD 、CB 上，若线段PQ 与圆0有公共点，则称点Q 在点P 的盲区”中•已知点P 以1. 5米/秒的速度从 A 出发向D 移动，同时，点 Q 以1米/秒的速 度 从C 出发向B 移动，则在点 P 从A 移动到D 的过程中，点 Q 在点P 的盲区中的时长约为 _____________ 秒（精确到0. 1）15.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.｛a n ｝是递增数列"是 S 为递增数列"的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件T16.已知A 、B 为平面上的两个定点， 且| AB | =2 .该平面上的动线段 PQ 的端点P 、Q ,满足| AP F 5, AP A^ 6, AQ = -2AP ,则动线段PQ 所形成图形的面积为（）(A) 36 (B) 60 (C) 81三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~佃题每题14分，20题16分,21题18分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）二、选择题（本大题共有 4题，满分20分，母题5分）13•下列函数中，为偶函数的是（）2(A ) y =x1(B ) y = x 3 1(C ) y=x^3(D ) y =x14•如图，在直三棱柱 ABC-ABG 的棱所在的直线中，与直线 BG异面的直线条数为（ )(A ) 1(B ) 2 (C ) 3(D ) 4(D) 108已知y =cosx .⑴若f(»3，且一[°C，求(巧)的值;(2)求函数y二f (2x)-2f(x)的最小值.18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)2X 2已知a • R，双曲线-I, -讨=1.a(1)若点(2,1)在丨上，求-的焦点坐标；(2)若a =1，直线y =kx • 1与丨相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1, 求实数k 的值.19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)利用平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥视为圆锥) 在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC_AB于C , AB=3米，0C =4.5米.(1)求抛物线的焦点到准线的距离;圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0. 01°.(2)在图3中，已知0C平行于圆锥的母线SD , AB、DE是圆锥底面的直径，求图3设a -0,函数f(x)二20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)(1) 若a =1，求f (x)的反函数f J (x);(2) 求函数y 二f(x) ・f(-x)的最大值(用a 表示)；(3) 设 g(x) =f (x) -f (x -1).若对任意 x (-：：,0] , g(x)_g(O)恒成立，求 a 的 取值范围.21. (本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分)若｛C n ｝是递增数列，数列｛a n ｝满足：对任意n • N *，存在m • N *，使得 為一 C n< 0 ,am -C n 卅则称｛a n ｝是｛q ｝的分隔数列”(1) 设C n =2n , a n = n ，1，证明：数列 佝｝是G ｝的分隔数列”(2) 设c n = n- 4 , S n 是｛c n ｝的前n 项和，d n =务」,判断数列｛S n ｝是否是数列｛d n ｝ 的分隔数列，并说明理由；n_ ________________________________________(3)设C n =aq , T n 是｛C n ｝的前n 项和，若数列｛人｝是｛q ｝的分隔数列，求实数a 、 q 的取值范围.、填空题；0 :: ax :: a 11 二12. 4.4提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则P(0,1.5t),Q(20, 20-t),0岂t 乞403，化简得(8—t)x —8y+12t=020-020—t —1.5t、选择题16. BP(x, y)的轨迹为线段 x =3,-4乞y 空4 , AP 扫过的三角形面积为12,则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60参考答案1. (」：，-1)U(1,2. 33.(0,1)4. 25. 156.2 2x y ‘ 1437. 5 8. 180 9. 411.11二 19二提示：2x -1—X = 2(1-x)sin( ax)—1 x -1 二 2(1 -x)sin( ax) = sin(ax)二 27 二 11二 7二11■:11 ■:ax , , 2-, 2二，4二，4 二，||( 6 6 6 6 6 6 x -0y —1.5t 则 I PQ :点0(10,10)到直线PQ 的距离|(8-t)10-80 创胡，化简得 3t 2 愀-128_0 .(8 -1)2 83即于『3，则0十邑旦1=心二J:4.413. A 14. C15. D提示：建系 A(0,0), B(2,0)，则三、解答题32a —,(t =2X (0,1]) 22 a t 3at因为-a<0，所以当X=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值,(3)a 0q _2【a A 0 ②当q .1时，G18.(1) (_ .3,0) ； (2)19.(1) 1 1 ; (2) 9.59 420.(1) 1 1 f —(x)Jog ? —.x(0 ::： X ：：： 1) ；( 2)y1 2 ( x = 0时取最值)；1 2a a 2提示：g(X )=1 y 2X「1 a 2X」-a=__X__2a 2 2X X . 3a2X21. (1)证明：存在m = 2n ，此时一 n N ,c n = 2n ：： a m = 2n 1 ：： c n2n 2 证毕(2)不是•反例:n =4时，m 无解;提示：因为｛aq n4｝为递增数列，因此a 0或者…q 10 ：：①当a 0时,0 cq v1~n N *,c n <0，因此 IH ::: T2 ：：：可=q ：：： 9C 3111因此不存在C 2 ^T m ::.C3，不合题意。

上海市教育考试院保留版权2018年春考数学第1页（共4页）2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．不等式||1x >的解集为．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = ．4．若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z +=．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为．8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．（结果用数值表示）9．设a ∈R ，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =．10．设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是．2018年春考数学第2页（共4页）11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，为偶函数的是（）．(A)2y x -=(B)13y x =(C)12y x -=(D)3y x =14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)415．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．(A)36(B)60(C)72(D)108三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x =．(1)若1()3f α=，且[0,π]α∈，求π3f α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．2018年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a ∈R ，双曲线222:1x y aΓ-=．(1)若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；(2)若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12x f x a =+⋅．(1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；(2)求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；(3)设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．图1图3图22018年春考数学第4页（共4页）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得10m n m n a c a c +--≤，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．(1)设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；(2)设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；(3)设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。

【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
15.（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得答案为D。

故答案为：D。

【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。

【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）。

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。

r +17 7y y 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.4 1 1. 行列式的值为 .2 54 1 解析：行列式 2 5答案：18=4×5﹣2×1=18.x 2- 2 2. 双曲线 4y= 1 的渐近线方程为 .解析：∵双曲线 x 2 - 24 = 1 的 a=2，b=1，焦点在 x 轴上x 2 y2b 而双曲线 a 2 - ＝1 的渐近线方程为 y = ± xb2a ∴双曲线 x 2 - 24 = 1 的渐近线方程为 y = ± 1 x2 答案： y = ± 1x23. 在(1+x)7 的二项展开式中，x 2项的系数为(结果用数值表示).解析：二项式(1+x)7展开式的通项公式为T = C r⋅ x r ， 令 r=2，得展开式中 x 2的系数为C 2 =21. 答案：214. 设常数a∈R，函数 f(x)=1og 2(x+a).若 f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则 a= .解析：∵常数 a∈R，函数f(x)=1og 2(x+a). f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，∴函数 f(x)=1og 2(x+a)的图象经过点(1，3)， ∴log 2(1+a)=3， 解得 a=7. 答案：75. 已知复数 z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位)，则|z|=.解析：由(1+i)z=1﹣7i ，1 - 7i (1 - 7i ) (1 - i ) - 6 - 8i得 z ＝ ＝ ＝ ＝ - 3 - 4i ，1 + i (1 + i ) (1 - i ) 2则 z =5 .答案：56. 记等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，若 a 3=0，a 6+a 7=14，则 S 7= .解析：∵等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，， ， 5n n 1 ⎧ a 1 + 2 d ＝0 ∴ ⎨， ⎩ a 1 + 5 d + a 1 + 6 d ＝14解得 a 1=﹣4，d=2， ∴S 7=7a 1+ 7 ⨯ 6 d =﹣28+42=14.2答案：147.已知 α ∈{﹣2，﹣1， - 1 1，1，2，3}，若幂函数 f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上2 2 递减，则α = .解析：∵α ∈{﹣2，﹣1， - 1 1 ，1，2，3}， 2 2幂函数 f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1. 答案：﹣18. 在平面直角坐标系中，已知点 A(﹣1，0)、B(2，0)，E 、F 是 y 轴上的两个动点，且 EF则 AE ⋅ BF 的最小值为 .解析：根据题意，设E(0，a)，F(0，b)； = 2 ，∴ EF = a - b = 2 ； ∴a=b+2，或 b=a+2；且 AE = (1， a )，BF = ( -2， b ) ；∴ AE ⋅ BF = - 2 + ab ；当 a=b+2 时， AE ⋅ BF = - 2 + (b + 2 ) ⋅ b = b 2+ 2b - 2 ； ∵b 2+2b ﹣2 的最小值为- 8 - 4= -3 ； 4∴ AE ⋅ BF 的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2 时， AE ⋅ BF 的最小值为﹣3. 答案：﹣39. 有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 (结果用最简分数表示). 解析：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个， 从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况，所有的事件总数为： C 3=10， 这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有：5，3，1 或 5，2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： 2 = 1. 105答案： 1510. 设等比数列{a }的通项公式为a =qn ﹣1(n∈N *)，前 n 项和为S .若limS n= 1，则 q= .nnnn → ∞a n +12解析：等比数列{a }的通项公式为 a =q n-1(n∈N*)，可得 a =1， S 因为limn= 1 ，所以数列的公比不是 1， n → ∞ a n +12x 1 + y 1 - 1 2 x 2 + y 2 - 12t 21 2 a (1 - q n ) S ＝ ，a =q n.n 1 - q1 - q n1 - qn+11 - q n1 - 1 q n1 1可得limn → ∞qn可得 q=3. 答案：3= limn → ∞(1 - q ) qn= limn → ∞==，1 - q q - 1 22 x61p+q11. 已知常数 a ＞0，函数 f ( x ) =则 a= .2 x + ax的图象经过点 P(p ， 5)，Q(q ，- ).若 2 5=36pq ，解析：函数 f ( x ) = 2 x 2 x+ ax的图象经过点P(p ， 6 5 )，Q(q ， - 1 ). 5 p 则： + 2 p + ap q＝ 2 q + aq6 - 1 5 5 ＝1 ，整理得： 2 p + q + 2 p aq + 2 q ap + 2 p + q2 p + q + 2 p aq + 2 q ap + a 2 pq= 1 ，解得：2p+q =a 2pq ，由于：2p+q=36pq ，所以：a 2=36， 由于 a ＞0， 故 ：a=6. 答案：612. 已知实数 x 、x 、y 、y 满足：x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，x x +y y = 1 ，则 + 12 1 2的最大值为 .1 12 21 2 1 22解析：设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，OA =(x 1，y 1)， OB =(x 2，y 2)，由 x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，x x +y y = 1，11221 21 22可得 A ，B 两点在圆x 2+y 2=1 上， 且O A ⋅ O B =1×1×cos∠AOB= 1，2 即有∠AOB=60°，即三角形 OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线 x+y ﹣1=0 的距离d 1 与 d 2 之和，显然 A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1 平行， 可设 AB ：x+y+t=0，(t ＞0)，由圆心 O 到直线 AB 的距离d =，2x +2 y - 12x 1 + y 1 - 1221 - t22 3 x 1 + y 1 - 12x 2 + y 2 - 122 3 2 5 5 可得2 =1，解得 t=，1 +6即有两平行线的距离为2 = 2 + ，2即+的最大值为 + .答案： +二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设 P 是椭圆 x y 2+ = 1 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. 2B. 2C. 2D. 4 解析：椭圆 x 5 3y 2 + = 1 的焦点坐标在x 轴，a= ，P 是椭圆 x 5 3 y 2 + = 1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和53为 2a= 2 . 答案：C14.已知 a∈R，则“a＞1”是“ 1＜1”的()aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：a∈R，则“a＞1”⇒“ 1＜1”，a “ 1＜1”⇒“a＞1 或 a ＜0”，a∴“a＞1”是“ 1＜1”的充分非必要条件.a答案：A15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA 1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA 1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )232 3 5 222 2A.4B.8C.12D.16解析：根据正六边形的性质，则 D 1﹣A 1ABB 1，D 1﹣A 1AFF 1 满足题意，而 C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1 一样，有 2×6=12，当 A 1ACC 1 为底面矩形，有 2 个满足题意， 当 A 1AEE 1 为底面矩形，有 2 个满足题意， 故有 12+2+2=16答案：D16. 设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在 D 上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转π 后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是()6A.B. 3 2C.3 3D.0解析：设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 π后与原图象重合， 6故 f(1)= cos π=3 .62答案：B三、解答题(本大题共有 5 题，满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为O ，半径为 2. (1)设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；(2)设 PO=4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图.求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小.342- 2218 ⋅ 22 3 4解析：(1)由圆锥的顶点为 P ，底面圆心为O ，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积.(2)以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角.答案：(1)∵圆锥的顶点为 P ，底面圆心为O ，半径为 2，圆锥的母线长为 4， ∴圆锥的体积V = 1⨯ π ⨯ r 2 ⨯ h = 1⨯ π ⨯ 22 ⨯=8 3π .333(2)∵PO=4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB=90°， M 为线段 AB 的中点，∴以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P(0，0，4)，A(2，0，0)，B(0，2，0)， M(1，1，0)，O(0，0，0)，PM =(1，1，﹣4)， OB =(0，2，0)，设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 θ ，2 则cos θ ==. 6∴θ =arccos 2.6∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos2 .618. 设常数 a∈R，函数 f(x)=asin2x+2cos 2x.(1)若f(x)为偶函数，求a 的值；(2)若 f (π)= + 1 ，求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π ，π ]上的解.2 PM ⋅ OBPM ⋅ OB=3 3 2 24 解析：(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， (2)先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出.答案：(1)∵f(x)=asin2x+2cos 2x ，∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos 2x ， ∵f(x)为偶函数， ∴f(﹣x)=f(x)，∴﹣asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos 2x ， ∴2asin2x=0， ∴a=0；(2)∵ f (π)= + 1 ，∴ a sin π + 2 cos 2(π )= a + 1 = + 1 ，∴a= ∴f(x)= 24 ，sin2x+2cos 2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ π )+1，6∵f(x)=1﹣ ，∴2sin(2x+ π)+1=1﹣ ， 6∴ sin (2 x +π) = - 2 ， 6 2∴ 2 x + π = - π + 2 k π ，或2 x + π = 5π+ 2 k π ，k∈Z，6464∴x= - 5π + k π ，或 x=13π +k π ，k∈Z，12 12∵x∈[﹣π ，π ]，∴x= - 5 π 或 x= 7 π 或 x= - π1212 1219. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S 中 x%(0＜x ＜100)的成员自驾时， 自驾群体的人均通勤时间为⎧ 30，0＜ x ≤ 30 ⎪ ⎨2 x + 1800 - 90，3 0＜ x ＜100 (单位：分钟)，⎩⎪ x 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间 g(x)的表达式；讨论 g(x)的单调性，并说明其实际意义. 解析：(1)由题意知求出f(x)＞40 时x 的取值范围即可；(2)分段求出 g(x)的解析式，判断 g(x)的单调性，再说明其实际意义. 答案：(1)由题意知，当 30＜x ＜100 时， f(x)=2x+1800 ﹣90＞40，x即 x 2﹣65x+900＞0， 解得 x ＜20 或 x ＞45，∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)当 0＜x≤30 时，g(x)=30·x%+40(1﹣x%)=40﹣ x；103 3 3 f ( x ) =2 ( t - 2 )2+ 8t ⎪ 当 30＜x ＜100 时，180x 2-13g(x)=(2x+x﹣90)·x%+40(1﹣x%)=50 10x + 58 ；⎧40 - x∴ g ( x ) = ⎨10； ⎪ x 2- 13 ⎩ 50 10x + 58 当 0＜x ＜32.5 时，g(x)单调递减； 当 32.5＜x ＜100 时，g(x)单调递增；说明该地上班族S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少.20. 设常数 t ＞2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(2，0)，直线 l ：x=t ，曲线 Γ ：y 2=8x(0≤x≤t，y≥0).l 与x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B.P 、Q 分别是曲线Γ 与线段 AB 上的动点. (1)用t 表示点B 到点 F 的距离；(2) 设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积；(3) 设 t=8，是否存在以 FP 、FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由.解析：(1)方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；(2) 根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程， 代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；(3) 设 P 及 E 点坐标，根据直线 k PF ·k FQ =﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点坐标，根据⎛ 48 + y 2 ⎫2⎛ y 2 ⎫FP + FQ = FE ，求得 E 点坐标，则4 y⎪ = 8 8 + 6 ⎪ ，即可求得P 点坐标. ⎝⎭ ⎝ ⎭答案：(1)方法一：由题意可知：设 B(t ，2 t)， 则 BF == t + 2 ，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B(t ， 2t)， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+ p=t+2，∴|BF|=t+2；2(2)F(2，0)，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， ∴|AQ|= ，∴Q(3， )，设 OQ 的中点 D ， D( 3， 2)，22k QF 3- 0 = 2 = - 3 - 2 2 则直线 PF 方程：y=﹣ (x ﹣2)， ⎧⎪ y ＝ - 联立⎨⎪⎩ y 2＝8 x3 ( x - 2 ) ，整理得：3x 2﹣20x+12=0， 解得：x= 2，x=6(舍去)，3∴△AQP 的面积 S= 1⨯ 3 ⨯ 7 =7 3；2362 3 2 3 3n n n n n ⎛ y 2 ⎫ ⎛ m 2 ⎫y 8 y 16 - y 2(3)存在，设 P 8 ， y ⎪， E 8 ， m ⎪ ，则k PF = y 2= 2 ， k FQ = ， y - 16 8 y ⎝ ⎭16 - y 2 ⎝ ⎭ - 28 16 - y 2 48 - 3 y 248 - 3 y 2直线 QF 方程为 y=8 y(x ﹣2)，∴y Q =8 y(8﹣2)=，Q(8，)，4 y4 y根据 FP + FQ = FE ，则 E( y 48 - 3 y 2 + 6，)，⎛ 48 + y 2⎫ 2⎛ y 2 84 y⎫ 16∴⎪ = 8 + 6 ⎪，解得：y 2= ， ⎝ 4 y ⎭ ⎝ 8 ⎭5 ∴存在以 FP 、FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在Γ 上，且 P( 2 ，4 5).5521. 给定无穷数列{a }，若无穷数列{b }满足：对任意 n∈N *，都有|b ﹣a |≤1，则称{b }与{a n }“接近”.(1) 设{a }是首项为 1，公比为1 的等比数列，b =a +1，n∈N *，判断数列{b }是否与{a }接n2近，并说明理由；nn+1nn(2) 设数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数m ；(3) 已知{a n }是公差为 d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在 b 2﹣b 1， b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围.解析：(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；(2) 由新定义可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1，求得 b i ，i=1，2，3，4 的范围，即可得到所求个数； (3)运用等差数列的通项公式可得 a n ，讨论公差 d ＞0，d=0，﹣2＜d ＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围. 答案：(1)数列{b n }与{a n }接近.理由：{a n }是首项为 1，公比为 1的等比数列， 2可 得 a n = 1，b n =a n+1+1= 1+1，2n -12n2n则 |b ﹣a |= 1 + 1 - 1 = 1 - 1 ＜1，n∈N *， 2 2n -12n -1可得数列{b n }与{a n }接近； (2){b n }是一个与{a n }接近的数列， 可得 a n ﹣1≤b n ≤a n +1，数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，可得 b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能 b 1 与 b 2 相等，b 2 与b 3 相等，但 b 1 与 b 3 不相等，b 4 与 b 3 不相等， 集合 M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}， M 中元素的个数 m=3 或 4；(3) {a n }是公差为 d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 可得 a n =a 1+(n ﹣1)d ，①若 d ＞0，取 b n =a n ，可得 b n+1﹣b n =a n+1﹣a n =d ＞0，则 b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200 中有 200 个正数，符合题意；②若 d=0，取 b =a ﹣ 1 ，则|b ﹣a |=|a ﹣ 1 ﹣a |= 1 ＜1，n∈N *，n1n n 11nnn可得 b n+1﹣b n = 1 - 1＞0，nn + 1则 b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200 中有 200 个正数，符合题意； ③若﹣2＜d ＜0，可令 b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1，b 2n =a 2n +1， 则 b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣(a 2n ﹣1﹣1)=2+d ＞0，则 b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200 中恰有 100 个正数，符合题意； ④若 d≤﹣2，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 即为 a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可 得 b n+1﹣b n ≤a n+1+1﹣(a n ﹣1)=2+d≤0， b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200 中无正数，不符合题意. 综上可得，d 的范围是(﹣2，+∞).n n。

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF u u v |=2，则AE u u u v·BF u u u v 的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N *），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2√2 （B ）2√3 （C ）2√5 （D ）4√214.已知a R，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4 （B）8（C）12 （D）1616.设D是含数1的有限实数集，f x（）是定义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A）3（B）3（C）3（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］上的解。

上海市普通高等学校2018年高三春季招生考试数 学 试 题考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。

2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ⋂=_____________。

3．在△ABC 中，32tan =A ，则A sin =_______________。

4．若行列式02142=x，则x =____________。

5．若]2,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。

（结果用反三角函数表示） 6．6)1(xx +的二项展开式的常数项为_______。

7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。

8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S =_________________。

9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_____________。

10．若点O 和点F 分别为椭圆1222=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。

11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。

12．2018年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。

13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。