第2章 测量误差理论及数据处理
2.1 测量误差的基本概念 教学目的
1.掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、粗大误差的概念和来源。
2.了解准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差、总误差的关系。
教学重点及难点
1. 根据误差的性质，将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三类，给出了这三类误差的概念和来源。
2.与测量结果有关的三个术语：准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差和总误差的关系。
教学方式：讲授 教学过程：
2.1.1 测量误差的定义.分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。
1．随机误差
随机误差的定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差
随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。
随机误差的新定义：随机误差（i δ）是测量结果i x 与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值x 之差。即
i i x x δ=- （3－1）
∑==+++=n
i i
n x n n x x x x 1211 （n →∞） （3－2）
定义的意义：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性 随机误差愈小，精密度愈高。
2．系统误差
系统误差的定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有： 1） 测量仪器方面的因素：仪器机构设计原理的缺点；仪器零件制造偏差和安装不正确；电路的原理误差和电子元器件性能不稳定等。如把运算放大器当作理想运放，而被忽略的输入阻抗、输出阻抗等引起的误差。
2） 环境方面的因素：测量时的实际环境条件（温度、湿度、大气压、电磁场等）对标准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差。
3） 测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差，
4） 测量人员方面的因素：由于测量人员的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录快速变化信号有滞后的倾向。
系统误差（ε）的定量定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果1x ，2x ，…，n x （n →∞）的平均值x 与被测量的真值0A 之差。即
0x A ε=- （3－3）
在去掉随机因素（即随机误差）的影响后，平均值偏离真值的大小就是系统误差。 系差越小，测量就越准确。所以，系统误差经常用来表征测量准确度的高低。
3．粗大误差
粗大误差是一种显然与实际值不符的误差，又称疏失误差。产生粗差的原因有： （1）测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。
（2）测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压档测量高频交流信号的幅值等。
（3）测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。
4．系差和随差的表达式
测量中发现了粗差，数据处理时应将其剔除，这样要估计的误差就只有系统误差和随机误差两类。
将式（3－1）和式（3－2）等号两边分别相加，得
i i i i x A x x x A x ∆=-=-+-=+δε （1~i n =） （3－4）
即各次测得值的绝对误差等于系统误差ε和随机误差i δ的代数和。
在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在绝对的界限。
2.1.2 测量结果的表征
准确度——表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。
精密度——表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。
精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。
小结：本结应重点掌握随机误差、系统误差、粗大误差、准确度、精密度、精确度
2.2测量误差的估计和处理
教学目的
1.了解随机变量的数字特征的意义和估算方法。
2.掌握算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念。
3.灵活应用随机误差满足正态分布、均匀分布和t 分布时的处理方法。
4.掌握系统误差的分类、发现方法和消除方法。
5.掌握粗大误差的判断方法和消除方法。
6.掌握等精度时测量结果的处理，了解不等精度时测量结果的处理。
教学重点及难点
1. 算术平均值、实验标准偏差、置信概率、置信区间的概念
2. 系统误差的分类、发现方法和消除方法；粗大误差的判断方法和消除方法
教学方式：讲授 教学过程：
2.2.1随机误差的统计特性及减少方法
1．随机误差的分布规律
测量值和测量误差都是随机变量。在很多情况下，测量中随机误差的分布及测量数据的分布大多接近于服从正态分布。
随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同（都为σ），只是横坐标相差μ这一常数值。
随机误差具有以下规律：
①对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。 ② 单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。
③ 有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定界限。
④抵偿性：当测量次数∞→n 时，全部误差的代数和趋于零。
标准偏差σ的意义：代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。σ值越小，
则曲线形状尖锐，说明数据越集中；σ越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。
2．有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值
在实际测量中只能进行有限次测量，不能准确地求出被测量的数学期望和标准偏差。本节讨论如何根据有限次测量结果估计被测量的数学期望和标准偏差。
（1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值
被测量X 的数学期望就是当测量次数∞→n 时，各次测量值的算术平均值。
∑∑
====
n
i i
n
i i x
n
n x X E 1
1
1
1)( 当∞→n 时 （3-13）
实际等精度测量时，测量次数n 为有限次，各次测量值为),,2,1(n i x i =，规定使用算术平均值x 为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：
∑==
n
i i
x
n
x 1
1 （3-14）
算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。 （2）算术平均值的标准偏差
因为是等精度测量，并假定n 次测量是独立的，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和方差，又根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，进行下面推导。
)]
()()([1)(
1)1
(
)(222122
1
2
2
1
2
2
n n
i i n
i i x x x n
x n
x n
x σσσσσσ+++=
=
=∑
∑
==
)(1)(12
22
X n X n n σσ=
= 则
n X x )
()(σσ=
（3-15）
式（3-15）说明，n 次测量值的算术平均值的方差比总体或单次测量值的方差小n 倍，或者说算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小n 倍。这是由于随机误差的抵偿性，在计算x 的求和过程中，正负误差相互抵消；测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。
所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。 （3）有限次测量数据的标准偏差的估计值
以算术平均值代替真值，以测量值与算术平均值之差——残差ν来代替真误差，即
x x i i -=ν （3-16）
显然，残差的代数和为零，即∑=0
i
ν
。
贝塞尔公式： ∑∑
==--=
-=
n
i i
n
i i x x
n n x s 1
2
1
2
)(1
11
1
)(ν （3-17）
式中，)(x s 为测量值标准偏差的估计值，通常又称为实验偏差。
)(x s 作为算术平均值标准偏差)(x σ的估计值 n x s x s )()(=
（3-19）
2.2.2粗大误差及其判断准则
大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。
粗大误差的产生原因
① 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；
② 客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。1．防止和消除粗大误差的方法
对粗大误差，除了设法从测量数据中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。
① 要加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作； ② 保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件激烈变化时进行测量。 ③ 在等精度条件下增加测量次数，或采用不等精度测量和互相之间进行校核的 2. 粗大误差的判别准则
根据统计学的方法来判别可疑数据是否是粗大误差。这种方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。常用的方法有：
1）莱特检验法
若s i 3>ν，则该误差为粗大误差，所对应的测量值i x 为异常数据。 使用时要求测量次数充分大。 2）格拉布斯检验法
最大残差),max(max min max x x x x --=ν，若 s G ⋅>max ν ，则判断对应测量值为粗大误差，其中，G 值按重复测量次数n 及置信概率c p 确定（一般%95=c p 和%99=c p ），见表3－6。
3）应注意的问题
①所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响。特别是测量次数少时更不可靠。
②若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算x 和s ，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，也应逐个剔除。
③在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。因此剔除异常数据需慎重对待。要对测量过程和测量数据进行分析，尽量找出产生异常数据的原因。
2.2.3系统误差的判断及消除方法
1．系统误差的特征
系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。
在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有低偿性。 2．系统误差的发现方法 （1）．不变的系统误差
校准、修正、实验比对法 （2）变化的系统误差
①残差观察法
残差观察法是将所测得的数据及其残差按测得的先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化情况，从而判断是否存在系统误差及其规律。但此方法只适用于系统误差比随机误差大的情况。
②马利科夫判据
马利科夫判据是判别有无累进性系统误差的常用方法。把n 个等精度测量值所对应的残差按测量先后顺序排列，把残差分成两部分求和，再求其差值D 。若D 近似等于零，则上述测量数据中不含累进性系差，若D 明显地不等于零（与i υ值相当或更大），则说明上述测量数据中存在累进性系差。
③阿贝－赫梅特判据
通常用阿贝赫梅特判据来检验周期性系差的存在。把测量数据按测量顺序排列，将对应的残差两两相乘，然后求其和的绝对值，再与实验标准方差相比较，若式（3－22）成立，则可认为测量中存在周期性系统误差。
2
1
1
11s n n i i
i ⋅->+∑-=υ
υ （3-22）
3．系统误差的削弱或消除方法
（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 ① 在测量中，要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 ② 必须对测量仪器定期检定和校准，注意仪器的正确使用条件和方法。 ③ 减少周围环境对测量的影响
④
尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。
（2）用修正方法减少系统误差
修正方法是预先通过检定、校准或计算得出测量器具的系统误差的估计值，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同方向相反的值作为修正值，将实际测量结果加上相应的修正值，即可得到已修正的测量结果。 （3）采用一些专门的测量方法
①替代法 ②交换法 ③ 对称测量法
④ 减小周期性系统误差的半周期法
系统误差可忽略不计的准则是：如果系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已可忽略不计。
小结：在对一被测量进行n 次等精度测量，得到n 个测量值i x ，可求算术平均值及其标准
偏差，测量结果用算术平均值表示。计算步骤如下：
① 算术平均值
∑==
n
i i
x
n
x 1
1
② 残差 x x i i -=ν
③ 实验标准偏差（测量值标准偏差的估计值）
∑∑
==--=
-=
n
i i
n
i i x x
n n x s 1
2
1
2
)(1
11
1)(ν （贝塞尔公式） ④ 算术平均值标准偏差的估计值
n
x s x s )()(=
2.3误差的合成分配
教学目的
1. 会进行误差的合成分析。
教学重点及难点
1. 误差的传递公式
教学方式：讲授 教学过程：
),,(21n x x x f y =，并设各i x 间彼此独立，则
12112n
n i i n i f f f f y x x x x x x x x =∂∂∂∂∆=∆+∆+
∆=∆∂∂∂∂∑
保守估算方法：
1
n
i i i
f y x x =∂∆=∆∂∑
。
【例1】电流流过电阻产生的热量
2
0.24Q I Rt =，若已知测量电流、电阻、时间的相对误差分别是,,I R t γγγ，求热量的相对误差
Q γ。
解：
2
0.24Q I Rt = 根据式（3-20）得：
220.24(2)Q Q Q
Q I R t IRt I I t R I R t I R t ∂∂∂∆=
∆+∆+∆=∆+∆+∆∂∂∂
2222222Q IRt I I t R I R t I R t
Q
I Rt I Rt I Rt I R t ∆∆∆∆∆∆∆=++=++ 故： 2Q I R t
γγγγ=++
小结：本结强调误差的传递公式的推导 作业：2－7 2－10
2.4测量数据的处理
教学目的
1. 掌握等精度时测量结果的处理
2.了解不等精度时测量结果的处理 教学重点及难点
1.不等精度测量处理方法.
教学方式：讲授 教学过程： 1．等精度测量
①利用修正值等方法，对测量值进行修正，将已经减弱不变系统误差影响的各数据),2,1(n i x i =，依次列成表格；
②求出算术平均值
∑==
n
i i
x
n
x 1
1；
③列出残差x x i i -=ν，并验证
1
=∑=n
i i
ν
； ④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值
∑=-=
n
i i
n s 1
21
1ν
；
⑤按莱特准则 s i 3>ν，或格拉布斯准则 s G ⋅>max ν 检查和剔除粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算x 和s ，再判别直到无粗大误差；
⑥判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量； ⑦计算算术平均值的标准偏差
n s s x =
；
⑧写出最后结果的表达式，即 A=x x k s ±⋅（单位）。
2．不等精度测量
等精度测量：即在相同地点、相同的测量方法和相同测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在短时间内进行的重复测量。在以上测量条件不相同时，进行的测量，则称为不等精度测量。
不等精度测量处理方法：
（1）权值与标准偏差的平方成反比 。权值
i i W 2σλ
=
（2）测量结果为加权平均值
∑∑∑∑=====
=
m
i i
m
i i
i m
i i
m
i i
i
W
x
W x x 1
112121
σ
σ
在等精度测量中，i σ相等，i W 也相等，∑==
m
i i
x
m
x 1
1就是加权平均值的特例。
（3）加权平均值的标准偏差
∑∑===
=
m
i i
m
i i
W
x 1
1
221
1
)(λ
σ
σ
小结：本结强调误差不等精度测量处理方法. 作业：2－17 2－18
第一章测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，
误差理论与数据处理知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章绪论 研究误差的意义 研究误差的意义为： 1）正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或减小误差 2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差的基本概念 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 绝对误差：某量值的测得值之差。 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 精度 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 精度可分为： 1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度 3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 有效数字与数据运算 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 数据运算规则： 1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准 2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。 第二章误差的基本性质与处理 随机误差 随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）人员方面的因素。 随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。
基本概念题 1．误差的定义是什么它有什么性质为什么测量误差不可避免 答：误差＝测得值－真值。 误差的性质有： （1）误差永远不等于零； （2）误差具有随机性； （3）误差具有不确定性； （4）误差是未知的。 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实 验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。 2．什么叫真值什么叫修正值修正后能否得到真值为什么 答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。 修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。 修正后一般情况下难以得到真值。因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。 3．测量误差有几种常见的表示方法它们各用于何种场合 答：绝对误差、相对误差、引用误差 绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。 相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量，采用相对误差来评定其测量精度的高低。 引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。4．测量误差分哪几类它们各有什么特点 答：随机误差、系统误差、粗大误差 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。 5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么它们分别反映了什么 答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。 准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
误差理论与数据处理总结 三、误差分类三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。第一章绪论 (1)近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。称偶然误差)和粗大误差三类。第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。按乘除运算处理。持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。 (4)对数运算。 n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。 , 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。 (5)三角函数。角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 7 8 ,—右半部面积的平分线的横坐标。以便在最经济条件下，得到最理想结果。(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。) 2、按误差出现规律分 (1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。—真值差。
第2章 测量误差理论及数据处理 2.1 测量误差的基本概念 教学目的 1.掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、粗大误差的概念和来源。 2.了解准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差、总误差的关系。 教学重点及难点 1. 根据误差的性质，将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三类，给出了这三类误差的概念和来源。 2.与测量结果有关的三个术语：准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差和总误差的关系。 教学方式：讲授 教学过程： 2.1.1 测量误差的定义.分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。 1．随机误差 随机误差的定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差 随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。 随机误差的新定义：随机误差（i δ）是测量结果i x 与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值x 之差。即 i i x x δ=- （3－1） ∑== +++= n i i n x n n x x x x 1 211 （n →∞） （3－2） 定义的意义：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性 随机误差愈小，精密度愈高。 2．系统误差 系统误差的定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有： 1） 测量仪器方面的因素：仪器机构设计原理的缺点；仪器零件制造偏差和安装不正确；电路的原理误差和电子元器件性能不稳定等。如把运算放大器当作理想运放，而被忽略的输入阻抗、输出阻抗等引起的误差。 2） 环境方面的因素：测量时的实际环境条件（温度、湿度、大气压、电磁场等）对标准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差。 3） 测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差，
误差理论与数据处理知识总结 1、1研究误差的意义 1、1、1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 1、2误差的基本概念 1、2、1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1、2、2绝对误差：某量值的测得值之差。 1、2、3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1、2、4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1、2、5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差 1、2、6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1、2、7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1、2、8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1、2、9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1、3精度 1、3、1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1、3、2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1、4有效数字与数据运算 1、4、1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1、4、2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1、4、3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一2）若舍去部分的数值，小于保留部
第一章绪论 1.1研究误差的意义 1.1.1研究误差的意义为： 1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差 2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 1.2误差的基本概念 1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。 1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1.2.5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差 1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。 1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1.3精度 1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1.3.2精度可分为： 1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度 3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1.4有效数字与数据运算 1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 1.4.4数据运算规则： 1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准 2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。 第二章误差的基本性质与处理 2.1随机误差 2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素2）环境方面的因素3）人员方面的因素。 2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。 2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因
测量数据的误差分析与处理方法引言 测量是科学研究和工程实践中不可或缺的一环。无论是实验研究、生产制造还 是日常生活中，我们都需要进行测量来获得准确的数据。然而，由于各种因素的干扰，测量过程中往往伴随着一定的误差。本文将分析测量数据的误差来源和常见的处理方法，旨在提高数据的精确性和可靠性。 一、误差的来源 误差可以来源于多个方面，如仪器的精度、操作者的技术水平、环境的影响等。下面我们将重点讨论一些常见的误差来源。 1. 仪器误差 仪器的精度是影响测量结果准确性的主要因素之一。仪器误差包括系统误差和 随机误差。系统误差是由于仪器固有的缺陷或校准不准确导致的，它会引起测量结果整体偏离真实值的情况。随机误差则是由于测量仪器的不稳定性或环境噪声等原因造成的，它在多次重复测量中会呈现出随机分布的特点。 2. 操作者误差 操作者的技术水平和经验也会对测量结果产生重要影响。不同的操作者在测量 过程中可能存在不同的观察角度、力度或反应速度等差异，从而导致数据的不一致性。而且，由于人的视觉、听觉以及手部协调能力等方面的局限性，操作者误差是很难完全避免的。 3. 环境误差
环境因素对测量数据的准确性也有明显影响。例如，温度、湿度、气压等环境 因素都会导致仪器传感器的性能发生变化，从而引起误差。此外，电磁辐射、电源干扰等外部因素也可能对测量结果产生干扰。 二、误差分析方法 误差分析是对测量数据中的误差进行评估和处理的过程。以下是一些常见的误 差分析方法。 1. 极差和标准差 极差是一种简单直观的误差评估方法，它可以反映测量数据的离散程度。通过 计算最大值与最小值之间的差异，我们可以初步了解数据的分布情况。而标准差则是一种更精确的误差评估方法，它衡量了数据离散程度的平均度量。通过计算每个数据点与平均值之间的差异，并取平方后求和再开根号，我们可以得到数据的标准差。 2. 加权平均 当不同测量结果的权重不同时，加权平均可以更精确地计算出最终的测量结果。通过乘以每个测量值的权重并求和，再除以权重之和，我们可以得到加权平均值。这种方法在具有不同精度或重复次数的测量结果中应用广泛。 3. 线性回归 当我们希望找到多个变量之间的关系时，线性回归是一种常用的方法。通过将 自变量与因变量进行拟合，我们可以得到拟合直线的斜率和截距，从而描述两个变量之间的线性关系。在回归分析中，需要考虑拟合度和残差等指标来评估模型的拟合程度和误差大小。 三、误差处理方法
测量误差和数据处理 （一） 测量与误差 １． 测量 在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测物理量的测量值。测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类： ①直接测量（简单测量） 运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。例如，用米尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流强度等。它的特点是：测量结果直接得到。 ②间接测量（复合测量） 多数物理量，不便或不能直接测量。但是我们可以先对可直接测量的相关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称为间接测量。例如，要测量一圆柱体的体积Ｖ，可以先用米尺（或卡尺）对直径d 和高度h 进行直接测量，然后根据公式h d V 24 1π=计算出它的体积。 当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。要根据所有的仪器和测量方法来定。如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中，从液面的上升即可直接得到体积。 ２． 真值和近似真值 物质是客观存在的，有各种特性。反映物质特性的物理量在一定条件下，对应有一个确定的客观真实值。这个数值就称为真值。 从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。然而任何实际测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器设备不精密，而且受到测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。 测量值与真值之间的差别，称为误差。任何测量都有误差，误差贯穿于测量的全过程。 某一物理量的误差，定义为该量的测量值x 与真值μ之差，即： μδ-=x 由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估计。
物理实验技术中常见的测量误差及处理方法 物理实验是科学研究的重要组成部分，它通过观察现象、进行测量来验证理论模型，从而推动科学的发展。然而，在实验过程中，我们经常会遇到测量误差的问题。本文将讨论物理实验技术中常见的测量误差及处理方法。 一、测量误差的定义和分类 测量误差是指测量结果与真实值之间的偏差。它可以分为系统误差和随机误差两类。 1.系统误差：系统误差是由于测量仪器、环境等因素引起的固定偏差。它具有持续性和可重复性，会导致测量结果的整体偏离真实值。系统误差可以通过校正仪器或改善实验条件来消除或减小。 2.随机误差：随机误差是由于各种无法预测和控制的随机因素引起的偏差。它的出现是不规律的，无法消除或减小，但可以通过多次测量和统计方法来降低其影响。 二、测量误差的源头 1.仪器误差：仪器的精度和准确度对测量结果有重要影响。仪器精度是指测量仪器可分辨度的大小，一般体现为最小刻度值。仪器准确度是指仪器测量结果与实际值之间的差别。 2.环境误差：环境因素如温度、湿度、气压等对实验结果也会产生一定影响。因此，在进行精确测量时，应尽量控制环境条件，确保实验的可重复性。 3.人为误差：人为误差包括观察误差、读数误差等。观察误差是指实验者在观察过程中对实验现象的主观判断所引起的误差。读数误差是指由于读数时的视觉限制而产生的误差。
三、测量误差处理方法 1.准确度校正：对于存在系统误差的测量仪器，可以通过准确度校正来修正仪器的刻度误差。校正仪器的方法包括使用标准品进行比对、调整仪器的刻度和零位等。 2.平均值法：对于存在随机误差的测量，可以进行多次测量，取平均值来降低随机误差的影响。通过多次测量可以减小个别异常值对测量结果的影响，提高测量结果的可靠性。 3.数据处理方法：利用数据处理方法来消除或减小误差。例如，可以使用线性回归分析来拟合实验数据，得到更准确的测量结果。另外，还可以使用加权平均法来处理具有不同权重的测量数据。 4.误差传递计算：在多个测量量相结合的实验中，误差传递计算可以用于确定测量结果的总误差。该方法利用误差传递公式将各个测量量的误差加以组合，得出最终的测量结果及其误差范围。 总结： 在物理实验中，测量误差是不可避免的。了解测量误差的定义和分类，能够准确判断误差的来源，采取相应的处理方法，可以提高实验结果的准确性和可靠性。尽管无法完全消除误差，但通过科学的实验设计和数据处理，我们可以尽量减小误差的影响，使得实验结果更加可信。
基本概念题 1．误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？答：误差=测得值-真值。 误差的性质有： 1）误差永远不等于零； 误差具有随机性； 误差具有不确定性； 误差是未知的。 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。 2．什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？ 答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。 修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。 修正后一般情况下难以得到真值。因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。 3．测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？ 答：绝对误差、相对误差、引用误差 绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。 相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量，采用相对误差来评定其测量精度的高 低。 引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。 4．测量误差分哪几类？它们各有什么特点？答：随机误差、系统误差、粗大误差随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。 5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？ 答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。 准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
测量误差分析与处理方法 一、测量的重要性和误差的产生 测量作为一种科学方法，在各个领域都有着广泛的应用，是实验研究、工程设 计和生产制造等过程中不可或缺的一环。然而，每一次的测量过程都会伴随着一定程度的误差。这些误差的存在会对测量结果的准确性产生一定的影响，因此对测量误差的分析和处理至关重要。 误差的产生是由于测量过程中的外界因素和仪器设备本身的不完美造成的。外 界因素包括温度、湿度、气压等环境条件的变化，以及观测者的主观误差等。而仪器设备的不完美则包括仪器仪表的精度、灵敏度、刻度值的读取等。这些因素的不确定性都会导致测量结果的出现误差。 二、误差的分类和表达方式 误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。系统误差是由于仪器设备本身的 不完美或操作者的失误造成的，其在多次测量中的结果有一定的偏差。而随机误差是由各种随机因素引起的，其在多次测量中的结果并无规律性，但会导致结果的离散度增大。通常情况下，测量结果可以用平均值来代表原始数据的真实值，而误差可以用标准差、相对误差等指标来描述。 三、误差的来源和影响因素 误差的来源有很多，主要包括：测量对象本身的特性、仪器设备的精度和使用 状态、操作人员的技术水平和主观因素，以及环境条件的变化等。这些因素的不确定性会导致测量结果的偏差和离散度的增大，从而影响测量数据的有效性和可靠性。 对于系统误差，主要的改善方法是通过调整仪器设备或校准操作来减小误差。 通过周期性的校准和维护，可以保证仪器设备处于良好的工作状态，从而提高测量
的准确性。对于操作者的主观因素，可以通过培训和指导来提高其技术水平和操作规范性，减小人为误差的产生。 对于随机误差，由于其无规律性和不可预测性，很难通过单一的方法来减小误差。然而，可以通过增加测量次数和改善实验条件来降低随机误差的影响。多次重复测量可以得到更为准确的结果，而优化实验条件可以减小外界环境对测量结果的干扰。 四、测量误差处理方法 在测量误差分析过程中，最常用的方法是残差分析和误差传递计算。残差分析 通过计算观测值与拟合值之间的差值，来评估测量结果的准确性。残差的统计分析可以帮助寻找和排除异常值，减小系统误差的影响。而误差传递计算则是通过将每个误差源的大小及其对最终结果的影响进行量化，从而确定误差的范围和可接受度。 此外，还有其他一些处理误差的方法，如最小二乘法拟合、数据平滑和插值等。最小二乘法拟合可以通过拟合曲线或直线，来找到最符合观测数据的拟合模型，从而减小随机误差的影响。数据平滑和插值方法可以通过对原始数据进行滤波和填充，来减小随机误差对结果的影响。 总之，测量误差是测量过程中不可避免的问题。通过对误差的分析和处理，我 们可以提高测量结果的准确性和可靠性，从而更好地应用于实际工作中。在实际操作中，我们应该综合运用各种方法和技巧，以达到最佳的测量精度和效果。
误差理论和测量数据处理 误差理论和测量数据处理是在科学研究、工程设计和实验室测试中非常重要的 一部分。它们涉及到对测量数据的准确性和可靠性进行评估，以及对误差来源和处理方法的分析。在本文中，我们将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和应用。 一、误差理论的基本概念 误差是指测量结果与真实值之间的差异。在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往会存在一定的误差。误差理论的目标是通过对误差进行分析和处理，提高测量结果的准确性和可靠性。 1. 系统误差和随机误差 系统误差是由于测量仪器的固有缺陷、环境条件的变化等因素引起的，它们对 测量结果产生恒定的偏差。而随机误差是由于测量过程中不可避免的各种随机因素引起的，它们对测量结果产生不确定的影响。 2. 绝对误差和相对误差 绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值，它可以用来评估测量结 果的准确性。相对误差是指绝对误差与测量结果的比值，它可以用来评估测量结果的相对准确性。 3. 精度和精确度 精度是指测量结果的接近程度，它可以通过对多次测量结果的统计分析来评估。精确度是指测量结果的稳定性和一致性，它可以通过对同一样本进行多次测量来评估。 二、测量数据处理的基本方法
测量数据处理是指对测量数据进行分析、处理和解释的过程。它包括数据的整理、数据的可视化、数据的统计分析等步骤。 1. 数据的整理 数据的整理是指将原始数据进行清洗、筛选和整理，以便后续的分析和处理。这包括去除异常值、填补缺失值、标准化数据等操作。 2. 数据的可视化 数据的可视化是指将数据以图表或图像的形式展示出来，以便更直观地理解数据的分布、趋势和关系。常用的可视化方法包括直方图、散点图、折线图等。 3. 数据的统计分析 数据的统计分析是指对数据进行统计特征、相关性、回归分析等统计方法的应用。通过统计分析，可以得到数据的均值、标准差、相关系数等指标，从而对数据进行更深入的理解。 4. 数据的模型建立 数据的模型建立是指根据测量数据的特征和目标需求，建立数学模型来描述数据的变化规律。常用的模型包括线性回归模型、非线性回归模型等。 三、误差理论和测量数据处理的应用 误差理论和测量数据处理在科学研究、工程设计和实验室测试中具有广泛的应用。 1. 科学研究 在科学研究中，误差理论和测量数据处理可以用来评估实验数据的可靠性，确定数据的误差范围，从而提高实验结果的准确性和可信度。 2. 工程设计
误差理论和测量数据处理 一、引言 误差理论和测量数据处理是科学研究和工程实践中不可或缺的重要部分。准确的测量和数据处理是确保实验结果可靠性和可重复性的关键。本文将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和步骤。 二、误差理论 1. 误差的定义和分类 误差是指测量结果与真实值之间的差异。根据产生误差的原因，可以将误差分为系统误差和随机误差。系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作者的主观因素导致的，它具有一定的可预测性；随机误差是由于测量过程中的各种偶然因素引起的，它是无法完全消除的。 2. 误差的表示和评估 误差可以用绝对误差和相对误差来表示。绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值；相对误差是指绝对误差与真实值之比。为了评估误差的大小和可靠性，常用的指标有平均值、标准差、相对误差等。 3. 误差的传递和合成 在实际测量中，往往需要通过多个测量量来求解某个物理量。误差的传递和合成是指将各个测量量的误差通过一定的数学关系求解出最终物理量的误差。常用的误差传递和合成方法有线性近似法、微分法和蒙特卡洛法等。 三、测量数据处理 1. 数据收集和整理
在进行实验测量时，需要采集一系列数据。数据的收集和整理是指将实验数 据按照一定的规则进行记录和整理，以便后续的数据处理和分析。常见的数据整理方法有表格记录法、图表记录法等。 2. 数据的处理和分析 数据的处理和分析是指对收集到的数据进行统计和推断。常见的数据处理和 分析方法有平均值计算、方差分析、回归分析等。通过对数据的处理和分析，可以获得实验结果的可靠性和可信度。 3. 数据的可视化和展示 数据的可视化和展示是将处理和分析后的数据以图表的形式展示出来，以便 更直观地理解和传达实验结果。常见的数据可视化和展示方法有柱状图、折线图、散点图等。 四、实例分析 为了更好地理解误差理论和测量数据处理的应用，我们以某次实验测量某物理 量为例进行分析。在实验中，我们使用了仪器A进行测量，并记录了一系列数据。通过对数据的处理和分析，我们得到了该物理量的平均值、标准差和相对误差。最后，我们将处理后的数据以柱状图的形式展示出来，直观地展示了实验结果。 五、结论 误差理论和测量数据处理是科学研究和工程实践中不可或缺的重要部分。准确 的测量和数据处理是确保实验结果可靠性和可重复性的关键。通过对误差的理解和评估，以及对数据的收集、处理和分析，可以获得实验结果的可靠性和可信度。同时，数据的可视化和展示也能更好地传达实验结果。在实际应用中，我们需要根据具体的实验要求和测量对象，选择合适的误差理论和测量数据处理方法，以确保实验结果的准确性和可靠性。
误差及数据处理 物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。这节课我们学习误差及数据处理的知识。数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。 一、测量与误差 1. 测量 概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。 测量值：数值+单位。 分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。 直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。 间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体 的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。 等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和 同一环境）情况下的重复测量。 非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变， 或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。 2.误差 真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。一般来说，真值仅是一个理想的概念。实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复 测量的平均值作为最佳值。 误差ε：测量值与真值之间的差异。 误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。 绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。 为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。 相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100% 分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。 （1）系统误差 在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。系统误差的主要来源有：①仪器误差。比如刻度不准、测量仪器的零点不准、砝码未经校正、等臂天平两臂不等长等。②理论或方法误差。这是由于测量所依据的理论公式近似或实验达不到理论要求等引起的误差。如单摆运动周期公式中忽略了周期与摆角的关系。③个人误差。这是由于观测者本人感觉器官不完善或心理特点造成的误差。例如对仪表读数时总是偏左或偏右。④环境误差。这是由于各种环境因素达不到实验
测量误差分析及处理 测量误差是指测量结果与被测量真值之间的差异。在实际测量中，由 于各种因素的影响，几乎所有的测量都存在一定的误差。因此，对测量误 差进行分析和处理是保证测量结果准确性和可靠性的重要步骤。 一、测量误差的分类 1.由人工操作引起的误差：如读数、估计误差、标志误差等。 2.由测量仪器本身引起的系统误差：如仪器固有误差、量程误差、灵 敏度误差、非线性误差等。 3.由环境条件引起的误差：如温度、湿度、大气压力等变化引起的误差。 4.由被测量对象本身引起的误差：如形状、材质、表面状态等造成的 误差。 二、测量误差的处理方法 1.校正补偿法：通过对测量仪器进行校正，把系统误差减小到最小范 围内，提高测量仪器的准确性和可靠性。 2.平均法：通过多次测量并取平均值，消除人为误差以及瞬时误差， 提高测量结果的精度。 3.区间估计法：根据测量值的分布规律进行统计分析，得到误差范围，从而对测量结果进行合理的处理和评定。 4.转化法：将不确定因素转化为已知的误差，通过相应的公式计算测 量结果的修正值，从而减小测量误差的影响。
5.误差传递定律：通过分析测量结果与各个误差之间的关系，计算各个误差对测量结果的影响程度，确定主要影响因素，采取相应措施减小误差。 三、测量误差的评定标准 1.绝对误差：指测量结果与真实值之差的绝对值，常用百分数表示。 2.相对误差：指测量结果与真实值之差除以真实值的比值，常用百分数表示。 3.系统误差：指一组测量值质量上所表现出的系统性偏差，可以通过校正来消除。系统误差一般由测量仪器本身引起，是可以预测和确定的。 4.随机误差：指一组测量值中各个测量结果与其算术平均值之差，常用标准差描述。随机误差是由多种因素共同作用引起的，通常无法完全消除，但可以通过重复测量和平均值来降低。 四、测量误差的控制措施 1.选择合适的测量仪器：根据测量要求选择适合的测量仪器，保证其准确度和稳定性。 2.采取科学合理的测量方法：合理安排测量程序，严格按照测量要求进行测量操作，提高测量的可再现性和准确性。 3.做好环境条件控制：消除或减小环境条件对测量结果的影响，如控制温度、湿度、大气压力等。 4.进行仪器校准和检验：定期对测量仪器进行校准和检验，及时发现并消除系统误差。
第三章测量误差的传递 在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式 y = f （x 1,x 2^ , x n ）获得。通过测量获得 量X i ,X 2，…,X n 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量 y 的数值。那么测量数据的 误差怎样作用于间接量y ，即给定测量数据X i ,X 2，…，X n 的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值？ 对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。 现研究怎样确定这一传递关系， 即怎样 由诸误差因素分量计算出测量的总误差。 研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。 3.1 按定义计算测量误差 现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。 若对量Y 用某种方法测得结果 y ,则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 、y =y -Y （3-1） 设有如下测量方程 y = f （X 1，X 2，X n ） 式中y ――间接测量结果; X i ,X 2, , X n ——分别为各直接测得值。 直接量的测量数据 X 1,X 2/ ,X n 的测量误差分别为 式中，X 1 , %,•••, X n 分别为相应量的实际值（真值）。 则间接测量结果的误差可写为 y 二 y -丫 二 f X 1,X 2,,召 一 f X 1,X 2, ,X . 二 f X 1 X 1,X 2 %, ,X n X n - f X"?, X (3-2) 上式给出了由测量数据的误差计算间接量 y 的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。 直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用。因此直接按定义作误差传 递计算的方法不能完全用下面所述的线 二 X n - X n
误差理论与数据处理 实验报告 姓名：小叶9101 学号：小叶9101 班级：小叶9101 指导老师：小叶
目录 实验一误差的基本概念 实验二误差的基本性质与处理 实验三误差的合成与分配 实验四线性参数的最小二乘法处理实验五回归分析 实验心得体会
实验一误差的基本概念 一、实验目的 通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。 二、实验原理 1、误差的基本概念：所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示 误差=测得值-真值 1、绝对误差：某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差=测得值-真值 2、相对误差：绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与 真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。 相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值 2、精度 反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。 3、有效数字与数据运算 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 数字舍入规则如下： ①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。 三、实验内容 1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。 2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有