专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解

高三数学排列组合综合应用试题1.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【答案】A【解析】按Grace参与和不参与分两类：第一类Grace不参与，则参与搜寻任务的小孩只有４人，均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有种；第二类Grace参与，则参与搜寻任务的小孩有６人，均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有种；所以一共有30+10=40种不同的搜寻方案.故选A.【考点】排列与组合.2. 2013年8月31日，第十二届全民运动会在辽宁省举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有()A．128种B．196种C．246种D．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种．所以“至少有1名女运动员”的选法有－＝246种．3.将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有() A．56种B．84种C．112种D．28种【答案】C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有种分组方法；若一组3支，另一组4支，有种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(＋)＝112种放法．4.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种B．20种C．40种D．60种【答案】C【解析】五个元素没有限制全排列数为，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)故除以这三个元素的全排列，可得×2＝40．5.在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有() A．60个B．36个C．24个D．18个【答案】A【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有种方法，故共有＋＝60种方法，故选A．6. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有＝120(种)方法．7.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.【考点】排列组合.8.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．【考点】排列组合．9.[2014·郑州模拟]将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【答案】360【解析】将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．10. [2013·浙江高考]将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．【答案】480【解析】如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共·种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有·种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有·种排法；若C在第4个位置，则有＋种排法；若C在第5个位置，则有种排法；若C在第6个位置，则有种排法．综上，共有2(＋＋＋)＝480(种)排法．11.某学校位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得分；选乙题答对得分，答错得分.若位同学的总分为，则这位同学不同得分情况的种数是（）A．B．C．D．【解析】分以下两种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有种；（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有种情况；（3）一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有种情况；（4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有种情况；综上所述，共有种不同的情况.故选D.【考点】排列组合12.某老师推荐甲、乙、丙、丁、戊5名同学到美术、音乐、舞蹈、速算四个兴趣班学习，每名同学只推荐一个兴趣班，每个兴趣班至少推荐一名学生，则不推荐甲同学到美术兴趣班的推荐方案有（）A．36种B．120种C．144种D．180种【答案】D【解析】若美术班只有1名同学，则推荐方案有：种；若美术班有2名同学，则推荐方案有：种，故不推荐甲到美术班的方案有180种．【考点】排列组合．13.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．14.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3！B．C．D．9！【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法．因此不同的坐法种数为．15.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）B．264种C．240种D．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．16.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2014是“北斗数”）.则“北斗数”中千位为2的共有个．【答案】 21【解析】由题意，“北斗数”的后三位数字之和为5，三个数字只有，，，，这五种可能，所以所求“北斗数“的个数为．【考点】新定义概念与排列组合．17.数列共有5项，其中，，且，，则满足条件的不同数列的个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】设，，则等于1或-1，由，知共有3个1，1个-1.这种组合共有个，选B.【考点】排列组合.18.春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．【考点】排列组合．19.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216C．180D．162【答案】C【解析】【思路点拨】可以从特殊元素0来分类,再排个位数,然后求和.解:若不选0,则有=72种,若选0,则有=108,所以共有180种.20.从中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是 (用数字作答）．【答案】【解析】中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当在个位的四位偶数有=个；二是当不在个位时，先从中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有个，故共有四位偶数个.【考点】简单排列问题21.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】不重复的三位数字有＋＝648(个)．则有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．22.在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )A．150B．200C．600D．1200【答案】D【解析】如图的棋盘中，首先放入三颗黑子，在的棋盘中，选出三行三列，共种方法，然后放入三颗黑子，每一行放一颗黑子，共种方法，然后在剩下的两行两列放两颗白子，共种方法，所以不同的方法种数为种方法.故选D.【考点】1.分步计数原理；2.排列组合的综合应用.23.现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为．【答案】【解析】由已知得，表示每个盒子一个小球，;表示有一个盒子装两个球，另一个装一个，;表示三个小球都装入了其中一个小盒，,.【考点】1.离散型随机变量的数学期望；2.排列组合.24.某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A．1860B．1320C．1140D．1020【答案】C【解析】若有甲无乙，；若有乙无甲，；若甲乙都有，；所以共有.选C.【考点】排列组合.25.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种【答案】D【解析】小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数。

排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用____表示.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用____表示.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+）m n n n C C =二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （ ） （2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ） （4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）题组二 教材改编2.[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.3.[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）三、课中讲解题型一排列问题1.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）2.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法.例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.2.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.4.方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.5.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_____个.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.16. 设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+C m －1n__ 二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ）（4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）【答案】×；×；√；√；×；√题组二教材改编2. [P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.【答案】24“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3. [P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.【答案】48末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48（种）排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种. 【答案】216第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120（种）排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96（种）排法.所以共有120＋96＝216（种）排法.5. 为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.【答案】540②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33＝360（种）；③每个国家各派6. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）【答案】45设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45（种）.三、课中讲解题型一排列问题1. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）【答案】1 560由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560（条）留言.2. 用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.【答案】432根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法. 综上，共有C23A22A33 A24＝3×2×6×12＝432（种）排法.3. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________. 【答案】864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种排法，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864（种）排法.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555（种）.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5）方法一（间接法）选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二（直接法）选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.【答案】30因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种.其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30（种）.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. 【答案】66共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66（种）.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.【答案】602位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72（种），女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12（种），所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.【答案】24根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12（种）乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12（种）乘坐方式，故共有12＋12＝24（种）乘坐方式.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.【答案】90例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.【答案】36则共有6×6＝36（种）不同的保送方案.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a. 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c. 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.【答案】36由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）【答案】660方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C12C36A24＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C26A24＝180（种）选法. 所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660（种）.练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.【答案】36将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C 捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法. 于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36（种）.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.【答案】18为A25－2＝18.2. 有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.【答案】12A33A22＝12.3. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.【答案】24将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6种排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24（种）方法.4. 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.【答案】62a，b均不为0，且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分a取1与a不取1两类：①a取1时，b2取值为4,9两类，当b2＝4和b2＝9时，c都有5种情况，此时有2×5＝10（种）；②a不取1时有C14种，不妨设a取2，则b2取值有1,4,9三类，当b2＝1时，c有4种，当b2＝4时，c有4种，当b2＝9时，c有5种，此时有C14（4＋4＋5）＝52（条）不同的抛物线.故共有10＋52＝62（种）不同的抛物线.5. 有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.【答案】18由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.【答案】72由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72（个）.7. 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）【答案】11把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11（种）.8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）【答案】60分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60（种）.9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.【答案】362名内科医生的分法为A22，3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23，共有A22（C23C13＋C13C23）＝36（种）不同的分法.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.【答案】240由题意，知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60个，根据分步计数原理知，有60×4＝240（个）.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.【答案】120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36（种）安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48（种）安排方法. 由分类计数原理知，共有36＋36＋48＝120（种）安排方法.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）【答案】1145个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有C35·A33＝90种，A，B住同一房间有C23·A33＝18种，故有90－18＝72（种），根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114（种）.13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.【答案】360前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13（A25＋C15A22）＝360（种）.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.【答案】150标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成（3,1,1）和（2,2,1）15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.【答案】150这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：满足题意的安排方法共有90＋60＝150（种）.。

排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星)题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：69C详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。

2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素， 共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目 的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。

排列与组合综合（1）一、选择题1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3603.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于()A. 16B. 313C. 59D. 234.已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有()A. 120种B. 81种C. 72种D. 27种5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种6.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种7.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 3008.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种9.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是()A. 120B. 150C. 240D. 30010.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A. 6B. 24C. 120D. 720二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．12.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．14.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)三、解答题15.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？16.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本;(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．17.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？18.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．19.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？20.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)排列与组合综合（1）一、选择题21.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案．故选D．22.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选B．23. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于( )A. 16B. 313C. 59D. 23【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P(A)和事件A 、B 同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到P(B|A)的值． 【解答】解：事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”， ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， ∴取出的两个球颜色不同的概率为P(A)=C 21C 31+C 21C 41+C 31C 41C 92=1318．又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P(AB)=C 21C 31C 92=16，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313．故选B ．24. 已知某旅店有A ，B ，C 三个房间，房间A 可住3人，房间B 可住2人，房间C 可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有( ) A. 120种 B. 81种 C. 72种 D. 27种 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A 住，第三空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B ，两个大人住B ，列出算式，得到结果． 【解答】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列有A 33A 22=12种住法， 三个大人一人一间，两个孩子在A 住有A 33=6种住法，空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B 有C 32A 22=6种住法，两个大人住B ，空出C 房间，有C 32种住法， 综上所述共有12+6+6+3=27种住法． 故选D ．25. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有A55=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C41A44=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．26.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，属于中档题．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个展馆，②没有人与甲在同一个展馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个展馆，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个展馆，则有C32·A22=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×(6+6)=24种．故选C．27.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用，属于中档题．先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法，若4个组的人数为2、2、1、1分配，则不同的分配方案有C62C422!·C212!=45种不同的方法，故所有的分组方法共有20+45=65种，再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65×A44=1560种．故选C．28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式，考查两个计数原理的综合应用，是基础题．任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数． 【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C 42C 51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C 41C 52=40种； 共有30+40=70种． 故选C ．29. 若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是( )A. 120B. 150C. 240D. 300 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题．根据题意，分2步进行分析：①:5本不同的书分成3组，②:将分好的三组全排列，对应3人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①:将5本不同的书分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法； 若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A 336种情况， 则有25×6=150种不同的分法． 故选：B ．30. 将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】D【解析】解：6本不同的数学用书，全排列，故有A 66=720种， 故选：D ．本题属于排列问题，全排即可．本题考查了简单的排列问题，分清是排列和组合是关键，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）31. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种． 【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题．甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，再根据计数原理计算结果． 【解答】解：因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C 32A 33=18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故答案为30．32.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C43种取法，故所求的取法共有C163−4C43=560−16=544种．故答案为544．33.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题，考查分类思想的运用，尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度，属于中档题．分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论．【解答】解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种方法．故共有108+432+192=732种不同的涂色方法．故答案为732．34.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题． 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A 44=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个． 故答案为72．三、解答题35. 有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？ 【答案】解：(1)本题要求把小球全部放入盒子， ∵1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法． 同理，2、3、4号小球也各有4种放法， ∴共有44=256种放法．(2)∵恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球， 且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．∴由分步计数原理知共有C 42·A 43=144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法， 再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41·A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 42A 22种分法，再放入2个盒子内，有A 42种放法，共有C 42A 22·A 42．∴由分类计数原理知共有C 41·A 42+C 42A 22·A 42=84种不同的放法．【解析】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．(1)本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法，余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列． (3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；2个盒子内各放2个小球.写出组合数，根据分类加法得到结果．36. 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【答案】解：(1)无序不均匀分组问题． 先选1本有C 61种选法；再从余下的5本中选2本有C 52种选法； 最后余下3本全选有C 33种选法．故共有C 61C 52C 33=60(种)不同的分配方式； (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C 61C 52C 33A 33=360(种)不同的分配方式； (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 62C 42C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了A ，B ，第二步取了C ，D ，第三步取了E ，F ，记该种分法为(AB,CD ，EF)，则C 62C 42C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD,AB ，EF)，(CD,EF ，AB)，(EF,CD ，AB)，(EF,AB ，CD)，共有A 33种情况， 而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法， 故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15(种)；(4)有序均匀分组问题．在第(3)题的基础上再分配给3个人， 共有分配方式C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90(种)；(5)无序部分均匀分组问题． 共有分配方式C 64C 21C 11A 22=15(种)；(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 64C 21C 11A 22·A 33=90(种)；(7)直接分配问题．甲选1本有C 61种方法，乙从余下5本中选1本有C 51种方法，余下4本留给丙有C 44种方法．共有分配方式C 61C 51C 44=30(种)．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力.正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，是解好组合问题的一部分．37. 三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【答案】解：(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A 33A 66=4320种；(2)女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A 55A 63=14400种；(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A 52A 66=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A 83=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，A 33A 55=720种【解析】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．38. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】解：(1)根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，再和另外5个元素进行全排列，则有A 66A 33=4320不同的节目单．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A 55A 63=14400不同的节目单．(3)8个节目全排列有A 88=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，若3个舞蹈节目先后顺序一定，则有A 88A 33=6720种不同排法． (4)∵8个节目全排列有A 88=40320种方法，若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A 54A 44，∴前4个节目中要有舞蹈有A 88−A 54A 44=37440不同的节目单．【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．(3)使用倍分法分析：先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法．39.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？3=161700种不同的抽【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100法，(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506种不同的抽法．3种不同的抽法，全是正品的抽法有(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有C100C983，则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法．(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506×6=57036种不同的排法．3种不同的抽法；【解析】(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；(3)利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；(4)在(2)的基础上，再进行全排，即可得出结论．本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．40.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)【答案】【解答】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有A42种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有N1=C41A42=48个；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有N2=C21A22+2A33+C21A22=20个被3整除的没有重复数字的三位数，(3)根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为N3=(1+2+22+23+24)(1+3+32)=403．【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理、分类计数原理的应用，以及正确运用约数和公式．(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；(3)根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．。

高中数学中的排列组合应用题在高中数学学习中，排列组合是一个非常重要的内容。

它不仅能够帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。

本文将介绍一些高中数学中常见的排列组合应用题，以加深我们对这个概念的理解。

一、购买礼物假设小明要为他的朋友买生日礼物，商店里有3种不同的礼物供他选择。

如果他打算买2件礼物作为生日礼物，那么他有多少种不同的选择方式？解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算小明的选择方式。

因为他要购买的礼物是无序的，所以使用组合公式。

根据组合公式，我们有C(3,2) = 3 种不同的选择方式。

二、选课方案某高中有10门不同的选修课供学生选择，每个学生必须选择5门。

那么学生有多少种不同的选课方案？解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算学生的选课方案。

因为选修课的顺序对学生来说是无关紧要的，所以使用组合公式。

根据组合公式，我们有C(10,5) = 252 种不同的选课方案。

三、分组问题某班级有20名学生，他们要分成4个小组参加活动。

每个小组的人数可以不同，但要求每个小组至少有1人。

那么有多少种不同的分组方式？解析：根据排列组合的知识，我们可以用组合的公式来计算分组方式。

因为每个小组的人数可以不同，所以使用组合公式。

根据组合公式，我们有C(19,3) * C(16,3) * C(13,3) = 846720 种不同的分组方式。

四、密码问题某交易平台的密码由4位数字组成，每位数字可以是0-9的任意一个数字。

那么共有多少种不同的密码组合？解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算密码组合。

因为每位数字可以重复出现，所以使用排列公式。

根据排列公式，我们有P(10,4) = 5040 种不同的密码组合。

五、编码问题某公司对员工的编号规则是3位数字和3位字母的组合，数字和字母都可以重复使用，且顺序可以任意排列。

那么共有多少种不同的员工编号方式？解析：根据排列组合的知识，我们可以用排列的公式来计算员工编号方式。

排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选 B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选 C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选 A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选 C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26·C24A22·A44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72（B ）96（C ）108（D ）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

排列组合排列组合问题的解题思路和解题方法解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A．120种 B．96种 C．78种 D．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A 44=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。

二、特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有14C种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有35A种不同的选法，所以不同的选派方案共有14C35A=240种，选B。

三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析： 先将其余四人排好有A 44=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有A 35=60种方法，这样共有24*60=1440种不同排法。

排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种?六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？七． 染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．八．递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？546132九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种?十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种？十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A -- B ．1555n A -C ．1569n A - D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ） A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81100n A -，选C4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( )A.56B. 96C. 36D.360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种．6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”.A ．60B ．62C ．72 D.124 【答案】A【解析】在∠AOB 的两边上分别取,(),i j A A i j <和,()p q B B p q <，可得四边形i j p q A A B B 中，恰有一对“和睦线”(i p A B 和)j q A B ，而在OA 上取两点有25C 种方法，在OB 上取两点有24C 种方法，共有10660⨯=对“和睦线”.7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．15 【答案】B【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A ． 6种B ． 12种C ． 30种D ． 36种 【答案】C【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有2112422430C C C C +=9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个 【答案】D【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，并且袋中红球有3个，设袋中共有球的个数为n,则31,5n =所以15n =. 10．从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为A． 10 B． 12 C． 14 D． 16【答案】C【解析】解：由题意知元素的限制条件比较多，要分类解决，当选出的三个球是1、2、3或1、3、4时，以前一组为例，1号球在2号盒子里，2号和3号只有一种方法，1号球在3号盒子里，2号和3号各有两种结果，选1、2、3时共有3种结果，选1、3、4时也有3种结果，当选到1、2、4或2、3、4时，各有C21A22=4种结果，由分类和分步计数原理得到共有3+3+4+4=14种结果，故选C．11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种 D．144种【答案】C【解析】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果.根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A. 12个B. 48个C. 84个D. 96个【答案】C【解析】解：因为先排雷1，2，3,4然后将其与的元素插入进去，则根据相同数字不能相邻的原则得到满足题意的6位数有84个。

I ．题源探究·黄金母题【例1】从1,3，5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8,中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？【解析】分为3步，第1步，从1,3,5,7,9中任取3个数字的种数为，第2步，从2,4,6,8,中任取2个数字的种数为35C ，第3步，将这5个数字排成一排方法种数为，根据24C 55A 分步计数原理，故可组成没有重复数字的五位数的个数为35C =7200．24C 55A 精彩解读【试题来源】人教版A 版选修2-3第28页习题1.2B 组第3题．【母题评析】本题考查利用排列与组合的有关知识和公式及计数原理解决排列组合综合问题的能力，是常考题型．【思路方法】分成三步，先计算从1,3,5,7,9中任取3个数字的种数，再计算从2,4,6,8,中任取2个数字的种数，再计算将这5个数字排成一排方法种数，根据分分步计数原理即可求出组成没有重复数字五位数个数．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有342A ⨯个.所以共有个.选B.343A ⨯342A ⨯343524120A +⨯=⨯=【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.【例3】【2014高考北京版理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，A B 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.A C 【答案】36【解析】先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有种方法，而A 、B 可交换位置，44A 所以有种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有种摆法，故满足条48244=A 12233=A 件的摆法有种.361248=-【例4】【2013高考四川卷，理】从这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为1,3,5,7,9，共可得到的不同值的个数是（ ）,a b lg lg a b -（A ） （B ） （C ） （D ）9101820【答案】C【解析】从这五个数中，每次取出两个不同的数的取法有种，不1,3,5,7,9255420A =⨯=妨记取出的两个不同的数组成有序数对，∵，∴由对数函数的单调性(,)a b lg lg lga ab b -=知，的不同值的个数即为不同值的个数，由于， ，所以不同值的lg lg a b -a b 1339=3913=个数为种，选C.20218-=【例5】【2013年高考福建，理】满足，且关于的方程有实{}2,1,0,1,-∈b a x 022=++b x ax 数解的有序数对的个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 10【答案】B【解析】此方程有根即，有序数对所有取法为种，440ab ∆=-≥1ab ≤(,)a b 1144*16C C =其中不满足的只有三种，所以满足题意的为16-3=13种.1ab ≤(1,2),(2,1),(2,2)【例6】【2013年高考北京卷，理】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .【答案】96【解析】连号的情况有1,2，2,3,3,4,4,5，共四种，比如把连号1,2，3,4,5全部分给4人，每人至少一张，则有种，故不同的分法种数是种.44A 44496A =【例7】【2013高考浙江，理】将六个字母排成一排，且均在的同侧，F E D C B A ,,,,,B A ,C 则不同的排法共有________种（用数字作答）.【答案】480【命题意图】本类题问题本题考查利用排列与组合的有关知识和公式及计数原理解决排列组合综合问题的能力，考查考生运算求解能力和应用意识．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度中等偏上，考查基础知识和基本方法解决实际问题能力．【难点中心】解答此类问题的关键是分析完成计数问题的步骤和完成每步方法数．III ．理论基础·解题原理1.隔板法又叫隔墙法，插板法，n 件相同物品（n 个名额）分给m 个人，名额分配，相同物品分配常用此法.若每个人至少1件物品（1个名额），则n 件物品（n 名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有种分11--m n C 法。

计数原理与排列组合1、计数两原理（1）分类加法计数原理：种方法k n n n +⋯++21（2）分步乘法计数原理：kn n n ···21⋯种方法2、排列（1）定义：从n 个不同元素取出m )(n m ≤个元素，按一定顺序排成一列，形成了从n 个不同元素取m 个的一个排列。

（2）排列数：上述这样的排列总共有多少，记：)(n m A mn ≤（3）排列数公式：)!(!1)1(m n n m n n n A mn -=+-⋯-=）（3、组合（1）定义：从n 个不同元素取出m )(n m ≤个元素，组成一组。

（2）组合数：上述这样的组总共有多少，记：)(n m C mn ≤（3）组合数公式：)!(!!m n m n A A Cmmm nm n-==（4）组合数性质：①mn nmn C C -= ②11-++=m nmn mn C C C4、实际应用的原则与经验 （1）“五原则”分类分步原则；有序无序原则；含与不含、排与不排原则； 先组后排mmmn mm A C A ·=；正反互补原则。

（2）“十经验”定序方法；捆绑方法；插空方法；容斥方法；按元素分类方法；均与不均分堆方法；不用元素重复排列方法；相同元素排列方法；“映射”方法；“三共”方法（共点共线共面）。

例1、甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法共有多少种？ 分析：分类 1、1、1 + 2、1 分步 先选后排3337A C +222327A C C例2、某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课的时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，则共有多少种不同的选修方案？分析：6门 3门（A 、B 、C ）选4 选0 0346C C 选3 选11336C C例3、组合数）、（Z r n r n C rn∈≥>,1恒等于（ ）A 、1111--++r n C n r B 、()()1111--++r n Cr n C 、11--r n nrCD 、11--r n C rn分析：11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----=-=r n rn C r n r n r r n n r n r n C举例：11)!()!1()!1()!(!!--=---=-∙=k n kn nC k n k n n k n k n k kC例4、从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有多少种？ 分析：小分队的组成 2男1女24151425C C C C +1男2女例5、如图，一圆形的花台分成A 、B 、C 、D 四块，现有4钟不同的花供选择，要求在每一块里种一种花，且相邻的两块种不用的花，则不同的种法有多少种？分析：按选花数分类 选2种 + 选3种 + 选4种24A +342A +44A按A —B —C —D （分步）)(··1212131314C C C C C +例6、用数学0、1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位、百位上的数字和为偶数的四位数共有多少个？（注意:0不能当千位） 分析： 千 百 十 个 偶 偶 偶 1偶2奇 偶：0、2、4、6 奇：1、3、5 分类含0不含0 分类3偶 143323C A C133333C A C 1偶2奇143323·1CA C13332313C A C C例7、七个人排成一排，按下列条件各有多少种不同排法？ （1）其中甲不站头，也不站尾；6615A C（2）其中甲、乙、丙3人必须相邻；分析：捆—排 5533A A （3）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；分析：插空 3544A A（4）其中甲、乙中间有且只有一个人；551522A C A（5）其中甲、乙、丙3人按照从左到右的顺序排列；7733·A A k k =种，设有（6）其中甲不站头，乙不站尾。

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。

1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

3.排列数公式：4.组合数公式：5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。

例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。

即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。

解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。

结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。

即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。