几何概型导学案

【知识梳理】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的___________(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为___________.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有___________；(2)等可能性：每个结果的发生具有___________.3.几何概型的概率公式P(A)＝________________________________【基础巩固】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()2.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.3105.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为() A.18 B.16 C.127 D.386.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p37.在区间[－1，4]内任取一个实数a，使得关于x的方程x2＋2＝a有实数根的概率为() A.23 B.25 C.35 D.348.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE︵，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.9.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A.13 B.12 C.23 D.3410.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.11.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.14 B.18 C.38 D.31612.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是()A.29 B.13 C.23 D.79【考点聚焦突破】1.关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16B.π8C.14D.122.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14B.π8C.12D.π43.在满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.234.在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.5.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ， 则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78 B.34C.12 D.147.中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一 枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm ，小米同学为了测算图中装饰狗的面 积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的 身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )A.486π5mm 2B.243π10 mm 2 C.243π5 mm 2 D.243π20mm 2 8.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.189.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.1410.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π1611.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13B.23C.34D.1412. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点， 那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A.0.16B.0.17C.0.18D.0.19【巩固强化】1.若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1e B.1－1eC.e 1＋eD.11＋e2.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n3.在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________.4.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.5.由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.7.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π8.已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14B.13C.23D.129.在平面区域⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x >0，y >0内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.10.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.11.如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫 米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在 铜钱的正方形小孔内的概率为( ) A.14π B.114π- C. 12π D.116π- 12.设点(a ,b )为不等式组 表示的平面区域内任意一点,则函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间 上是增函数的概率为( ) A.13 B. 23 C. 12 D. 1413.在面积为S 的正方形ABCD 内任意投一点M ,则点M 到四边的距离均大于 的概率为 A.25 B. 35 C. 125 D. 42514.某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )A.79 B. 29 C. 23 D. 13。

3.3《几何概型》导学案【学习目标】1. 了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型的概率公式；3.正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算。

【重点难点】理解几何概型的定义,会用公式计算几何概率。

【重点难点】将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。

预习案一、复习回顾1、古典概型的特征：（1）；（2）；2、古典概型的概率计算公式：练习：（1）掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是 .（2）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则a≥3的概率为 .二、导学1、下列情形可用古典概型来计算事件发生的概率？（1）向上抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率；（2）9班有40个女生，15个男生，从中随机抽取2个同学洗厕所，则至少有1个是女生的概率；（3）从1~10中任意取出一个整数，求取到奇数的概率；1，内任意取出一个数，求取到不大于2的概率；（4）从区间[]102、在现实生活中，常常试验的所有可能结果是无穷多个的，这时就要用几何概型来计算事件发生的概率.三、基本概念1、几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.2、几何概型的概率公式：P（A）=3、几何概型的特点：（1）．（2）．尝试练习：下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?（1）甲获胜的概率：（2）甲获胜的概率：探究案探究点一：与长度有关的几何概型例1. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．针对练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率.2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率为 .探究点二：与面积有关的几何概型例2. 假设你家订了牛奶，送货人可能在早上6：00 ~7：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：30 ~7：30之间，问你在离开家前能拿到牛奶的概率？针对练习：1. 在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了一个半径为4cm的圆，某人站在3m之外向此此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中大圆之外的概率是多少？2. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是？探究点三：与体积有关的几何概型例3.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？针对练习：在500ml 的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 .探究点四、与角度有关的几何概型例4. 如图，已知直角三角形ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠60A .（1）在CAB ∠内任作射线AM ，求使︒<∠30CAM 的概率？（2）在线段BC 上任取一点M ，求使︒<∠30CAM 的概率？针对练习：如图，在圆心角为︒90的扇形中，以圆心O 为起点，作射线OC ，则AOC ∠和BOC ∠都不小于︒30的概率为课堂小结：12、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积、体积、角度）成比例；巩 固 提 升1．在数轴上，设点x ∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a ∈[-1,2]为事件A ，则P （A ）=（ ）A 、1B 、0C 、1/2D 、1/32. 在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是 .3.取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是 .4. 在区间[1，3]内所有实数中，随机取一个实数x ，则这个实数是不等式052>-x 的解的概率为 .5. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．6. 一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．7. 在区间[0，1]中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率的是多少？8.甲、乙两人约定7：00 ~ 7：30之间在某处会面，并约定先到者就应等候另一个人10min ，过时即可离开，求两人会面的概率？30米 20米。

3.3.1 几何概型（1）学习要求1、了解几何概型与古典概型的区别2、理解几何概型的定义及其特点3、会用几何概型的概率公式求几何概型的概率自学评价试验 1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【分析】从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上（除两端点）的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 要使剪得两段的长都不小于1m应在哪个位置剪？试验2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？【分析】射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 什么情况下算是射中黄心？１．几何概型的定义：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个区域D内随机地取一点,这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到D区域内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度（、、等）有关，与d的形状和位置无关。

满足这样条件的概率模型称为几何概型.２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有基本事件是（２）每个基本事件出现是３．几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，把＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P(A)=说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是 , , .课堂探究例1、在区间[-1,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是多少？例2、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率？例3、在等腰直角△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率？交流展示1、在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为多少？2、若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y +≤内的概率是多少?3、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机想听整点报时，求他等待的时间短于10min 的概率？4、如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是多少？5、在正方形ABCD 内随机取一点P ，求∠APB ＞ 90°的概率．若∠APB ＝90°呢？。

上任取一点M，求AM
内部随机取一个点′，得到一条弦，则此弦
的事件为A，则事
内的概率为()
落在阴影部分的概率为________．
的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为．在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是________．
．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船
小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
②向上抛一枚质地不均的硬
恰与点C重合;
（）。

几何概型学习目标1、能举例说明什么是几何概型2、会求简单的几何概型的概率学习重点几何概型的定义及求解学习探究一、问题设计1、一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球，3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？3、如图，有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘，向圆盘内随机抛掷一粒小纽扣（落在圆盘外的不算）.你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？想一想：上述三个问题有何异同？二、学习探究1、几何概型的定义想一想：试类比古典概型的特征归纳总结几何概型的特征，并比较它们的异同.猜一猜：问题2、3的概率各是多少？2、几何概型概率三、典例解析例1：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

例2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

变式1已知在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．变式2有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(结果保留π）变式3一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽为20m 的长方形,求此海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.四、巩固练习1、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >7的概率为 ;2、在一个5000km 2的海域里有面积达40 km 2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为3、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,则取出水中含有这个细菌的概率为___＿.五、学习小结1.几何概型的特征2.几何概型的定义3.几何概型的概率计算公式4.几何概型与古典概型的异同六、课后作业2 A。

3．3.1几何概型撰稿：董绍美审稿：李继海姓名班级组别评分[学习目标]1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．[重点难点]：掌握几何概型与古典概型的区别；能用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．新知探究：知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)(2)每个基本事件出现的可能性思考几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？题型一与长度有关的几何概型例1取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？解反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪训练1平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线．把一枚半径r＜a的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解题型二与面积有关的几何概型例2射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h 2的概率． 解反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积. 跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[当堂检测]1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( )A.13B.12C.23D.792．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( )A.78B.56C.34D.123．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( ) A.13 B.23 C.43 D ．无法计算4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.565．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．课堂小结：1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). [课后反思]1．本节课我最大的收获是2．还存在的疑惑是3．对导学案的建议是。

§3.3.1 几何概型高二数学组:万志强学习目标1．了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。

2．通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。

3．通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。

学习重难点重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。

难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。

预习内容：一、复习回顾：古典概型（1）所有可能出现的基本事件只有 (有限性) （2）每个基本事件出现的可能性 （等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为 ，简称 . （3）那么事件A 的概率为 )(A P二、了解新知：（一）知识清单（预习教材P 135—P136 ，找出疑惑之处）1.探究:试验1正方形内有一个圆，随机向正方形内丢一粒石子，求石子落入圆内的概率.试验2有两个转盘，甲乙两人玩游戏。

规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜。

在两种情况下分别求甲获胜的概率？试验1 试验2问题1:这两个试验有两个共同特征，你能找出来吗？问题2:还能用古典概型的概率公式来求这两个试验的概率吗？问题3:这种新模型的概率与什么有关系？2.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为 ，简称为 。

3.在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P(A)=4.典型例题例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.变式1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.例2:红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？变式2: 若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？当堂检测一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？学习反思:。

几何概型学习要求1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 【课堂互动】自学评价试验１ 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？总结：1.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度．3.与几何概型有关的实际问题：长度问题、角度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

【经典范例】例1（长度问题） 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边A B 上任取一点M ，求A M 小于A C 的概率．（＂测度＂为长度）例2（等候问题）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．例3（面积问题）有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．例4 （约会问题）两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．例5（角度问题）过等边三角形ABC的顶点A在该三角形的内部做射线AD，则45∠<BAD的概率。

例6.（体积问题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为当堂训练：1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 2．在区间[－π2π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13B.2πC.12D.23 3.已知k ∈[－2,2]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( )A.12B.14C.34 D ．不确定4．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________．5.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为________6.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.7.已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋2x －3<0. (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(3)设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．。

《3. 3.1几何概型》导学案编写人：范志颖审核人：范志颖审批人：袁辉【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈岀自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记;3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，和信自己！化为儿何概型问题。

学习难点正确判断儿何概型并求出概率。

【学习过程】复习提问：1、古典概型的两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有___________ •(2)每个基本事件出现的_____________________________2、计算古典概型的公式：探究(一)1.一个人到单位的时间可能是8： 00至9： 00之间的任何一个时刻;2.往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点…… 这些试验可能出现的结果都是有限的还是无限的。

那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?进行下面的探究问题1：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？问题2:图中冇两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。

在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？(图见教材135页图3. 3-1)问题3:甲获胜概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗？甲获胜可能性是由什么决定的?几何概型：定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________________ 成比例，则称这样的概率模型为______________ 概率模型(geometric models of probability),简称几何概型。

儿何概型的公式:儿何概型的特点a)试验中所有可能出现的慕木事件有______________b)每个基本事件出现的__________________________古典概型与几何概型的区別相同：两者基本事件发生的可能性都是___________ 的；不同：_________ 概型要求基本事件有有限个，概型要求基本事件有无限多个。

1§3.3.1几何概型(1正确理解几何概型的概念;(2掌握几何概型的概率公式:( P A 积的区域长度(面积或体试验的全部结果所构成积的区域长度(面积或体构成事件 A (3会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型如果只与成比例, 则称这样的概率模型为几何概型 .参照古典概型的特性,几何概型有哪两个基本特征?(1可能出现的结果有无限多个;(2每个结果发生的可能性相等 .例题 1:有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。

例 2:某人午觉醒来 , 发现表停了 , 他打开收音机 , 想听电台报时 , 求他等待的时间不多于 10分钟的概率.例 3:假设你家订了一份报纸 , 送报人可能在早上 6:30— 7:30之间把报纸送到你家 , 你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00— 8:00之间 , 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A的概率是多少?2总结提升1. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积成比例 , 则称这样的概率模型为几何概率模型 , 简称为几何概型.2. 几何概型的概率公式:A ( P A =构成事件的区域长度 (面积或体积全部结果所构成的区域长度(面积或体积自我检测1.在区间 [0,3]内随机地取一个数,则这个数大于 2的概率是 (A . 12B . 13C . 14D . 1 2. 某路公共汽车 5分钟一班准时到达某车站,任一人在该车站等车时间少于 3分钟的概率是(A . 12B . 35C . 34D . 233. 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 P ,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25cm 2与 49 cm2之间的概率为(A . 310 B . 15 C . 25 D . 45 4. 如右图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为(A .2π B . 1π C. 23 D. 135. 如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 45 ,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为(A . 18B . 14 C. 12 D. 343 3.3.1几何概型课后练习1. 现有 100ml 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取 20ml 的蒸馏水,则抽到细菌的概率为 (A . 1100 B. 120 C. 110 D. 15 2. 在区间 [0,10]中任意取一个数,则它在 4到之间 10的概率是( 1. 5A 2. 5B 3. 5C 2. 7D 3. 若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L ,则 L 与线段 BC 相交的概率为( 1. 2A 1B. 3 1. 6C 1. 12D 4. 从 (0,1开区间中随机取两个数,求下列情况下的概率:⑴两数之和小于 1.2;⑵两数平方和小于14.5. 甲乙两人相约上午 8点到 9点在某地会面,先到者等候另一人 20分钟,过时离去,求甲乙两人能会面的概率 . (见下图所示。