广东省百合外国语学校数学全等三角形单元复习练习(Word版 含答案)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________【答案】（1）-2；4（2）3；2；5；2；能.理由：当0＜t≤2时，t+2=4-2t解之：当t＞2时，t+2=2t-4解之：t=6∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，∴a+2=0且b-4=0解之：a=-2且b=4，∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.故答案为：-2，4.（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长度；①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；故答案为：3，2；5，2【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。

七年级上册广东省百合外国语学校数学期末试卷复习练习(Word版含答案)一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】（1）解：∵HG⊥HE，FG⊥HG∴FG∥EH，∴∠GFE+∠HEF=180°，∵AB∥CD∴∠BEH=∠CHE∴∠EHC+∠GFE=180°（2）解：设∠EHM=x，∵HG⊥HE，∴∠GHK=90°-x,∵MH平分∠CHG，∴∠EHC=90°-2x，∵AB∥CD∴∠HMB=90°-x，∴∠HMB=∠MHG=90°-x，∵AB∥CD，∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，∴∠GHD=2∠EHM；（3）解：延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，∵AB∥CD，∠BFG=50°∴∠HRG=50°∵FG⊥HG，∴∠GHR=40°，∵HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，∵AB∥CD,∴∠FEH=∠CHE=50°，∵EP是∠HEF的平分线，∴∠SEP= ∠FEH=25°，∵GH平分∠HGF，∴∠HGS= ∠HGF=45°,∴∠HSG=45°，∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，∴∠EPS=20°，即∠NPK=20°.【解析】【分析】（1）根据HG⊥HE，FG⊥HG可证明FG∥EH，从而得∠GFE+∠HEF=180°，再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论；（2）设∠EHM=x，根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根据平行线的性质得∠HMB=90°-x，从而得∠HMB=∠MHG，再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°，从而可得结论；（3）分别延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得结论.2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．（1）求点D的坐标；（2）如图（1），求△ACD的面积；（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．【答案】（1）解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵BC＝8，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），∵AB∥CD，AB＝CD，∴D（﹣2，﹣4）（2）解：如图（1），连接OD，∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16（3）解：∠M＝45°，理由是：如图（2），连接AC，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABO，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB+∠DCB＝90°，∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，∴∠MCB＝，∠OAM＝，∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.3．如图①，已知线段AB=12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE=________cm；若AC=4cm，则DE=________cm；（2）随着C点位置的改变，DE的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出DE的长；（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若O D、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关．【答案】（1）6；6（2）解：DE的长不会改变，理由如下：∵点D是线段AC的中点∴∵点E是线段BC的中点∴∴ DE = DC+CE∴DE的长不会改变（3）解：∵ OD平分∠AOC, OE平分∠BOC∴ ,∴∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关【解析】【解答】解：（1）若点C恰好是AB的中点，则DE=6cm；若AC=4cm，则DE=6cm；【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE= (AC+BC)= AB；由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC，BE=EC，由此即可得到D E的长度；（2）由（1）知，C点位置的改变后，仍有DE=CD+CE= (AC+BC)=AB，所以DE的长度不会改变；（3）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=∠AOB，继而可得到答案.4．（1）如图1，点在线段上，，，点，分别是线段，的中点.求线段的长；（2）点在线段上，若，点，分别是线段，的中点.你能得出的长度吗?并说明理由.（3）类似的，如图2，是直角，射线在外部，且是锐角，是的平分线，是的平分线.当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗?为什么?【答案】（1）解：，分别为线段，中点，，，.（2）解：由（）知：，，∵（3）解：是平分线，是平分线，，，∴，∵，∴当的大小发生改变，的大小不发生改变，恒为 .【解析】【分析】（1）根据是的中点得，再根据为的中点可得的长，继而MN=MC+CN可得答案；（2）由是中点，是中点可得、，再根据即可得.（3）根据角平分线的定义可得、 = ，然后根据进行计算即可得解；5．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD（1）如图1，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；（2）如图2，若∠BCE=a，直接写出∠ACF的度数(结果用含a的代数式表示)；（3）将直角三角板ABC绕顶点C旋转，探究∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由。

数学八年级上册全等三角形单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．∆中取点P使得PA，PB，PC的长分别为3， 4， 5，则2．如图，在等边ABCAPC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝9364+．故答案为：9364+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4．∴CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．5．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=3，∴A2B1=3，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1，以此类推：a2019=22018a1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．6．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=． 故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．7．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC=+=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确． 故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 为BC 上一点，DA ⊥AC ，AD=24 cm ，则BC 的长________cm ．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC ，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA ⊥AC ，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm ，∵∠BAC=120°，DA ⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.10．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC ，∴∠DBC=∠DCB ，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交坐标轴于点B ，C 1，C 2，C 5，得到以A 为顶点的等腰△ABC 1，△ABC 2，△ABC 5；②以B 为圆心，AB 为半径画圆，交坐标轴于点A ，C 3，C 6，C 7，得到以B 为顶点的等腰△BAC 3，△BAC 6，△BAC 7；③作AB 的垂直平分线，交x 轴于点C 4，得到以C 为顶点的等腰△C 4AB∴符合条件的点C 共7个故选C12．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）A ．9个B ．7个C ．6个D ．5个【答案】B【解析】【分析】先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．【详解】解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．13．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.则其中正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴∠DEA=∠DFA=90︒，∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；∵120BAC ︒∠=，∴∠B+∠C=60︒，∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，∴BH=AH ，AG=CG ，∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，∴∠BAH+∠GAC=60︒，∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠，故③错误；∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，∴ 60BHE ∠≠，∴60DHG ∠≠，∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠，故④错误，故选：A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.14．在一个33⨯的正方形网格中，A ，B 是如图所示的两个格点，如果C 也是格点，且ABC 是等腰三角形，则符合条件的C 点的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.15．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25， 解得BE=5， ∵AD 是∠BAC 的平分线，B′与B 关于AD 对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN 的最小值是5．故选C ．16．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC，∠BAC=120∘∴30ABC ACB∠=∠=︒∴30ABO DBO∠+∠=︒，∴30APO DCO∠+∠=．故①②正确；∵OBP∆中，180BOP OPB OBP∠=︒-∠-∠，BOC∆中，180BOC OBC OCB∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP∠=∠，OBC OCB∠=∠，∴260POC ABD∠=∠=︒，∵PO OC，∴OPC∆是等边三角形，故③正确；在AB上找到Q点使得AQ=OA，则AOQ∆为等边三角形，则120BQO PAO∠=∠=︒，在BQO∆和PAO∆中，BQO PAOQBO APOOB OP∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴BQO PAO AAS∆∆≌（），∴PA BQ=，∵AB BQ AQ=+，∴AB AO AP=+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO∆∆≌是解题的关键．17．如图，Rt ACB∆中，90ACB∠=︒，ABC∠的平分线BE和BAC∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；②PB 垂直平分AF ；③BD AH AB -=；④2DG PA GH =+；其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；③根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ；④求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后根据2PA 即可得到2DG PA GH =+. 【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP ＝12∠ABC ， ∠CAP ＝12（90°＋∠ABC ）＝45°＋12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB ＝180°−∠BAP−∠ABP ，＝180°−（45°＋12∠ABC ＋90°−∠ABC ）−12∠ABC ， ＝180°−45°−12∠ABC−90°＋∠ABC−12∠ABC ，＝45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB ＝45°（已证），∴∠APB ＝∠FPB ＝45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB ＝BF ，AP ＝PF ；∴PB 垂直平分AF ，故②正确；③∵∠ACB ＝90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP ＋∠HAP ＝90°，∠AHP ＋∠HAP ＝90°，∴∠AHP ＝∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH ＝∠FPD ＝90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF ＝AH ，∵BD ＝DF ＋BF ，∴BD ＝AH ＋AB ，∴BD−AH ＝AB ，故③小题正确；④∵AP ＝PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF ＝45°，∴∠ADG ＝∠DAG ＝45°，∴DG ＝AG ，∵∠PAF ＝45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG ＝AG ，GH ＝GF ，∴DG ＝GH ＋AF ，∴故DG GH =+.综上所述①②③④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．18．如图，已知AD为ABC∆的高线，AD BC=，以AB为底边作等腰Rt ABE∆，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①DAE CBE∠=∠；②CE DE⊥；③BD AF=；④AED∆为等腰三角形；⑤BDE ACES S∆∆=，其中正确的有( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE＝∠DAE，再得到△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④根据△AEF≌△BED得到DE=EF, 又DE⊥CF，故可判断；⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE ＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE．【详解】①∵AD为△ABC的高线，∴CBE＋∠ABE＋∠BAD＝90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝45°，AE＝BE，∴∠CBE＋∠BAD＝45°，∴∠DAE＝∠CBE，故①正确；在△DAE和△CBE中，AE BEDAE CBEAD BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE≌△BCE（SAS）；②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA＝∠ECB，∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠ECB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE，∠AFE＝∠ADC＋∠ECD，∴∠BDE＝∠AFE，∵∠BED＋∠BEF＝∠AEF＋∠BEF＝90°，∴∠BED＝∠AEF，在△AEF和△BED中，BDE AFEBED AEFAE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF故③正确；∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF＝S△BED，∴S△BDE＝S△ACE．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．19．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.20．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．。

《全等三角形》单元测试题姓名 班级 得分一、填空题(4×10=40分)1、在△ABC 中，AC>BC>AB ，且△ABC ≌△DEF ，则在△DEF 中，______＞______＞_______(填边)。

2、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________。

3、如图1，△ABD ≌△BAC ，若AD=BC ，则∠BAD 的对应角是________。

4、如图2，在△ABC 和△FED ，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件__________时，就可得到△ABC ≌△FED 。

(只需填写一个你认为正确的条件)5、如图3，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形________对。

6、如图4，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是 ．7、如图5，△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 是∠BAC 的平分线，点E 到AB 的距离等于3cm ，则CF= cm.8、如图6，在△ABC 中，AD =DE ，AB =BE ，∠A =80°，则∠CED =_____．9、P 是∠AOB 平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA 、OB 于CD ，则CD_____P 点到∠AOB 两边距离之和。

（填“>”，“<”或“=”）10、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则中线AD 的取值范围是二、选择题：(每小题5分，共30分)11、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， 其中真命题的个数有( )A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个12、如图7，已知点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，AD ECB图4ABDE 图1 图2 图3图5图6DE 交AC 于F ，若∠1=∠2=∠3，AC=AE ，则有( ) A 、△ABD ≌△AFD B 、△AFE ≌△ADCC 、△AEF ≌△DFCD 、△ABC ≌△ADE13、下列条件中，不能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是( ) A 、AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，AC=A ′C ′B 、AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′C 、AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，∠C=∠C ′D 、∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′14、如图8所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同)三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A ，及A 1→B 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图9)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图10)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图11)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )16、如图12，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ， 若BC=64，且BD ：CD=9：7，则点D 到AB 边的距离为( ) A 、18 B 、32 C 、28 D 、24三、解答下列各题：(17-18题各8分，19-2280分)17、如图13，点A 、B 、C 、D AB=DC ，AE//DF ，AE=DF ，求证：EC=FB18、如图14，AE 是∠BAC 的平分线，AB=AC 。

广东省百合外国语学校数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word 版 含答案)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．若3x y -=，则226x y y --=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】【分析】由3x y -=得x=3+y ，然后，代入所求代数式，即可完成解答.【详解】解：由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--=故答案为C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.3．若代数式x 2＋ax ＋64是一个完全平方式，则a 的值是（ ）A ．－16B ．16C ．8D ．±16【答案】D【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.故选：D点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。

第一次月考检测卷（考试范围：三角形、全等三角形；时间：90分钟，满分：120分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．10．．．．【答案】A【分析】根据全等三角形的定义逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、两图形能够完全重合，是全等形，符合题意；B、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；C、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；D、两图形大小不相同，形状也不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，熟练掌握此定义是解题的关键．3．四根长度分别为4cm、6cm、10cm、14cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，试卷第2页，共23页那么这个框架的周长可能是（ ）A ．20cmB ．24cmC ．28cmD ．30cm 【答案】D【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析． 【详解】解：其中的任意三条组合有4cm 、6cm 、10cm ；4cm 、6cm 、14cm ；4cm 、10cm 、14cm ；6cm 、10cm 、14cm 共四种情况，根据三角形的三边关系，则只有6cm 、10cm 、14cm 符合，故周长是30cm ．故选：D ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，实际上只需验证两短边之和大于最长边即可．熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．4．如图，点E 、F 在AC 上，AE CF =，A C ∠=∠，添加下列条件后仍不能使ADF △≅CBE △的是（ ）A ．DF BE =B ．D B ∠=∠C ．AD CB =D ．AFD CEB ∠=∠ 【答案】A 【分析】根据等式的性质可得AF EC =，然后结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：AE CF = ，AE EF CF EF ∴+=+，即AF EC =，A 、添加DF BE =不能使ADF △≅CBE △，故此选项符合题意；B 、添加D B ∠=∠可利用角角边判定ADF △≅CBE △，故此选项不符合题意；C 、添加AD CB =可利用边角边判定ADF △≅CBE △，故此选项不符合题意；D 、添加AFD CEB ∠=∠可利用角边角判定ADF △≅CBE △，故此选项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，55A ∠=°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB ′∠=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°【答案】C 【分析】根据90ACB ∠=°，55A ∠=°得到B ∠的大小，结合折叠得到55CA D A ′∠=∠=°，再根据三角形内外角关系直接求解即可得到答案；【详解】结合折叠解：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，55A ∠=°， ∴180905535B∠=°−°−°=°， 由折叠可得：55CA D A ′∠=∠=°， 又∵CA D ′∠为A BD ′ 的外角，∴CA D B A DB ′′∠=∠+∠，则553520A DB′∠=°−°=°， 故选：C ．【点睛】本题考查三角形内外角关系及折叠的性质，解题的关键熟练掌握三角形内外角关系． 6．如图，ABC 是锐角三角形，过点A 作AD BC ⊥于D ，过点A 作AE AB ⊥，交BC 的延长线于E ，则下列说法错误的是（ ）A ．AD 是ABC 的高B ．AE 是ABC 的高 C ．AD 是ACE △的高 D ．AB 是ABE 的高 【答案】B【分析】根据三角形高的定义判断即可．【详解】解：由图可知：试卷第4页，共23页 ABC 的高为AD ，故A 正确，B 错误；ACE △的高为AD ，故C 正确；ABE 的高为AB 或AD 或AE ，故D 正确．综上可知选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查三角形高的定义．掌握从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题关键．7．如图，ABC 的三边长均为整数，且周长为24，AM 是边BC 上的中线，ABM 的周长比ACM △的周长大3，则BC 长的可能值有（ ）个．A ．7B ．5C ．6D ．4边之差小于第三边． 8．如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则ACB ∠的度数为（ ）A ．89°B ．90°C ．91°D ．92°【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质可得结论.【详解】如图，如图，在AFE 与DGB 中,1903DG AF G AFE BG EF == ∠=∠=° ==∴()SAS AFE DGB ≌,∴1GDB ∠=∠.∵90GDB GBD ∠+∠=°,∴190GBD∠+∠=° ∴90ACB ∠=°. 故选:B .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.9．在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，解释不正确的是（ ）试卷第6页，共23页A ．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性B ．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性C ．图③固定木条a 旋转木条b ，当12∠=∠时有a b ，这是因为“同位角相等，两直线平行”D ．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理【答案】D【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进行判断即可．【详解】解：A 、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性，说法正确，不符合题意；B 、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说法正确，不符合题意；C 、图③固定木条a 旋转木条b ，当12∠=∠时有a b ，这是因为“同位角相等，两直线平行” 说法正确，不符合题意；D 、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原说法错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．10．如图，在ABC 中，40ABC ∠=°，80ACB ∠=°，BD ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，BD ，CE 交于点O ，分别过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON AC ⊥于点N ．下列结论：①120BOC ∠=°；②OE OD ；③AM AN =；④EM DN =．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】A 【分析】根据BD ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，求出20,40OBC OCB ∠=°∠=°，再根据三角形的内角和定理，即可求出120BOC ∠=°，即可判断①；连接AO ，则AO 平分BAC ∠，推出60BOE COD ∠=∠=°，则80OEM OBE BOE ∠=∠+∠=°，18080ODN OCD COD∠=°−∠−∠=°，进而得出()AAS OEM ODN ≌，即可判断②④；通过证明()Rt Rt HL N AOM AO △△≌，即可判断③．【详解】解：①∵40ABC ∠=°，80ACB ∠=°，BD ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ∴20,40OBC OCB ∠=°∠=°，在OBC △中，1802040120BOC∠=°−°−°=°， 故①正确，符合题意；②④连接AO ，∵BD ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，∴AO 平分BAC ∠，∵OM AB ⊥，ON AC ⊥，∴OM ON =，90OME OND ∠=∠=°， ∵120BOC ∠=°， ∴18012060BOE COD ∠=∠=°−°=°，∴206080OEM OBE BOE ∠=∠+∠=°+°=°，18080ODN OCD COD∠=°−∠−∠=°， ∴OEM ODN ∠=∠， 在OEM △和ODN △中，90OEM ODN OME OND OM ON ∠=∠ ∠=∠=° =， ∴()AAS OEM ODN ≌，∴OE OD ，EM DN =．故②④正确，符合题意；③在Rt AOM △和Rt AON △中，AO AO OM ON = =，试卷第8页，共23页 ∴()Rt Rt HL N AOM AO △△≌，∴AM AN =，故③正确，符合题意．综上：正确的有①②③④，共4个．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．如图，ABC FDE △≌△，2010AB FDBC DE AE cm FC cm ====，，，，则AF 的长是 cm ．【答案】5【分析】根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：∵ABC FDE △≌△∴AC FE =，即AF FC FC CE +=+，∴AF CE =，∵20cm AF FC CE AE ++==，10cm FC =，∴()201010cm AF CE AE FC +=−=−=，∴210AF =，∴5cm AF =，故答案为：5．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，线段的和差运算，理解图示，掌握全等三角形的性质，线段和差的计算方法是解题的关键．12．如图，点I 在ABC 内，且到三边的距离相等，若50A ∠=°，则BIC ∠= °．试卷第10页，共23页试卷第12页，共23页三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16．如图，ABC DEC ≌△△，点B ，,C D 在同一直线上，点E 在AC 上．(1)若3,5BC CD ==，求AE 的长； (2)判断AB 与DE 所在直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2AE = (2)AB DE ⊥，理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的性质可得3,5BC CE AC DC ====，再根据线段的和差即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质结合平角的定义求出90DCE ∠=°，再根据三角形的外角性质可得(1)求B∠的度数；试卷第14页，共23页四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19．如图，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC边上，12∠=∠，AE ，BD 相交于点O ．(1)求证：AEC BED △△≌； (2)若270 ，求AEB ∠的度数． 【答案】(1)证明见详解； (2)70°；【分析】（1）根据三角形内外角关系得到12ADE BDE C ∠=∠+∠=∠+∠，结合12∠=∠得到BDE C ∠=∠，结合A B ∠=∠，AE BE =即可得到答案；（2）根据AEC BED △△≌得到AEC BED ∠=∠，结合2AEB AED AED ∠+∠=∠+∠即可得到2AEB ∠=∠，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵12ADE BDE C ∠=∠+∠=∠+∠， 12∠=∠，∴BDE C ∠=∠， 在AEC △与BED 中，∵C BDE A B AE BE ∠=∠∠=∠ = ， ∴(AAS)AEC BED ≌； （2）解：∵AEC BED △△≌，∴AEC BED ∠=∠， ∴2AEB AED AED ∠+∠=∠+∠，试卷第16页，共23页∵270 ，∴270AEB ∠=∠=°；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据三角形内外角关系得到BDE C ∠=∠． 20．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA OB =，OC OD =，90AOB COD ∠=∠=°，回答下列问题：(1)求证：OAC 和OBD 是兄弟三角形．(2)取BD 的中点P ，连接OP ，请证明2AC OP =． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据OA OB =，OC OD =，180AOC BOD∠+∠=°即可证明； （2）延长OP 至E ，使PE OP ，先证BPE DPO ≌△△，推出BE OD =，E DOP ∠=∠，进而推出BE OD ∥，再证EBO COA ≌ ，即可推出OE AC =，由此可证2AC OP =． 【详解】（1）证明：90AOB COD ∠=∠=° ， 3603609090180AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=°−∠−∠=°−°−°=°，又AO OB = ，OC OD =，OAC ∴ 和OBD 是兄弟三角形．（2）证明：延长OP 至E ，使PE OP ，P 为BD 的中点，∴BP PD =，在BPE 和DPO 中，PE POBPE DPO BP DP =∠=∠ =，∴()SAS BPE DPO ≌ ， ∴BE OD =，E DOP ∠=∠，∴BE OD ∥，∴180EBO BOD ∠+∠=°，又 180BOD AOC∠+∠=°， ∴EBO AOC ∠=∠，BE OD =，OD OC =，∴BE OC =，在EBO 和COA 中，OB AO EBO AOC BE OC =∠=∠ =∴()SAS EBO COA ≌ ， ∴OE AC =，又 2OE OP =，∴2AC OP =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=°，BE 平分ABC ∠，BE ，CD 交于G 点．试卷第18页，共23页(1)如图1，若90A ∠=°， ①求证：EDG ABC ∠=∠； ②作DF 平分ADC ∠，如图2，求证：DF BG ∥．(2)如图3，作DF 平分ADC ∠，在锐角BAD ∠内部作射线AN ，交DF 于N ，试说明：AN 平分BAD ∠．∵45AND GBC ∠−∠=°，∴245AND ∠=∠+°． ∴180DANAND ∠=°−∠−∵BE 平分ABC ∠， ∴112ABC ∠=∠=∠．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22．（1）发现：如图1，在ABC 中，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．填空：DE 与DF 的数量关系是______，理由是____________；（2）应用：如图2，ABC 的两个外角CBD ∠和BCE ∠的平分线交于点P ，4BC =cm ，8AB AC +=cm ，试卷第20页，共23页试卷第22页，共23页(1)特例探究：如图②，90MAN ∠=°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ．证明：ABD CAF ≌；(2)归纳证明：如图③，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，1∠、2∠分别是ABE 、CAF 的外角．已知AB AC =，12BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ≌；(3)拓展应用：如图④，在ABC 中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠．若ABC 的面积为24，则ACF △与BDE △的面积之和为 ．（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】(1)证明ABD CAF ∠=∠，利用AAS 证明ABD CAF ≌即可； (2)根据三角形的外角的性质证明ABE CAF ∠=∠，BAE FCA ∠=∠，利用ASA 证明ABE CAF ≌即可； (3)根据2CD BD =，求出ABD △的面积，根据全等三角形的性质计算即可．【详解】（1）CF AE ⊥ ，BD AE ⊥，90MAN ∠=°， 90BDA AFC °∴∠=∠=，90ABD BAD ∴∠+∠=°，90ABD CAF ∠+∠=°，ABD CAF ∴∠=∠，在ABD △和CAF 中，ADB CFA ABD CAF AB AC ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD CAF ∴ ≌；（2）12BAC ∠=∠=∠ ，1BAE ABE ∠=∠+∠，BAC BAE CAF ∠=∠+∠，2FCA CAF ∠=∠+∠，ABE CAF ∴∠=∠，BAE FCA ∠=∠， 在ABE 和CAF 中，。

2021－2022学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 2x ﹣3＝0B. 3x 2﹣2x ＝3（x 2﹣2）C. x 2﹣1x＝3 D. x 2﹣4x ＝2x 【答案】D【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．【详解】解：A 、2x ﹣3＝0是一元一次方程，故该项不符合题意；B 、3x 2﹣2x ＝3（x 2﹣2）化简后为2x -6=0，是一元一次方程，故该项不符合题意；C 、x 2﹣1x＝3含有分式，故该项不符合题意； D 、x 2﹣4x ＝2x 符合定义，故该项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2. 下面四组线段中，成比例的是（ ）A. 2a =，3b =，4c =，5d =B. 1a =，2b =，2c =，4d =C. 4a =，6b =，8c =，10d =D. a =b =，3c =，d =【答案】B【解析】【分析】根据成比例线段的概念逐项判断即可．【详解】解：A 、2×5≠3×4，故此选项不符合题意；B 、1×4=2×2，故此选项符合题意；C 、4×10≠6×8，故此选项不符合题意；D 3≠，故此选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查成比例线段的概念，理解概念，熟练掌握成比例线段的判断方法：最小的与最大的相乘，另外的两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．3. 观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据主视图中有两条虚线，得知该几何体应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图及提供的三个几何体即可得出答案．【详解】解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B ；结合俯视图，可以确定该几何体为D ．故答案为D ．【点睛】此题主要考查了由三视图想象立体图形的能力，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；需要注意的是看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示．4. 如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC ∽的是（ ）A ∠ACD ＝∠B B. AD CD AC BC = C. ∠ADC ＝∠ACB D. 2AC AD AB =【答案】B【解析】 【分析】根据相似三角形的判定依次判断即可．【详解】解：若A A ∠=∠，ACD B ∠=∠，则ACD ABC ∽，故A 选项不符合题意；.若A A ∠=∠，AD CD AC BC=，则不能判断ACD ABC ∽，故B 选项符合题意； 若A A ∠=∠，ADC ACB ∠=∠，则ACD ABC ∽，故C 选项不符合题意； 若A A ∠=∠，AC AB AD AC =，则ACD ABC ∽，故D 选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．5. 若()3320a c e b d f b d f ===+−≠，则3232a c e b d f +−+−的值是（ ） A. 1 B. 32 C. 3 D. 无法确定 【答案】C【解析】【分析】利用比例的性质得到，3a b =，3c d =，3e f =，代入3232a c e b d f+−+−计算即可得出答案． 【详解】()3320a c e b d f b d f===+−≠ ， 3a b ∴=，3c d =，3e f =，32333233(32)3323232a c e b d f b d f b d f b d f b d f+−×+−×+−∴===+−+−+−． 故选：C ．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握常用的性质是解决本题的关键．6. 下列说法正确的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 四边相等的四边形是菱形C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形D. 对角线相等的四边形是矩形【答案】B【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理，即可判断．【详解】解：A 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意；B 、四边相等的四边形是菱形，正确，故本选项符合题意；C 、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项错误，不符合题意；D 、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．7. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝70°，BO＝DO，∵DE⊥BC，∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，∴∠ODE＝∠OED＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．8. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%【答案】C【解析】【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底5G用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意，得：()()2221218.72x x++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =−（不合题意，舍去）．∴x 的值为40%．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．9. 已知关于x 的不等式组32(2)11322x x x x a >− +−≤有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有实数根的所有满足条件的整数a 的和为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】先解不等式①②，根据不等式组有且只有4个整数解，求得a 的取值范围，根据一元二次方程有实数根以及一元二次方程的定义，求得a 的范围，再写出所有正数解，进而求和即可 【详解】32(2)11322x x x x a >− +−≤①② 解不等式①得：4x >−， 解不等式②得：1(1)5x a ≤+， 不等式组有且只有4个整数解，10(1)15a ∴≤+<， 解得14a −≤<，x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有实数根，2a ∴≠且224(2)0a ∆=−−≥，解得3a ≤且2a ≠，∴13a −≤≤且2a ≠，符合条件的所有正数为：1,0,1,3−，其和为：3．故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，一元二次方程的定义，根的判别式，根据不等式组求得a 的范围是解题的关键．10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：①CG AEG 的周长为8；③ EGF 的面积为1710．其中正确的是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③【答案】D【解析】 【分析】先判断出∠H ＝90°，进而求出AH ＝HF ＝1＝BE ．进而判断出△EHF ≌△CBE （SAS ），得出EF ＝EC ，∠HEF ＝∠BCE ，判断出△CEF 是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC 2＝17，求出S △ECF ，先判断出四边形APFH 是矩形，进而判断出矩形AHFP 是正方形，得出AP ＝PF ＝AH ＝1，同理：四边形ABQP 是矩形，得出PQ ＝4，BQ ＝1，FQ ＝5，CQ ＝3，再判断出△FPG ∽△FQC ，得出FP PG FQ CQ=，求出PG 35=，再根据勾股定理求得EG 175=，即△AEG 的周长为8，判断出②正确；先求出DG 125=，进而在Rt △CDG 中，根据勾股定理得，CG =，故①错误，用S △ECG ＝S 正方形ABCD ﹣S △AEG ﹣S △EBC ﹣S △GDC 求出面积，进而求出S △EGF ＝S △ECF ﹣S △ECG 1734172510=−=，故③正确． 【详解】解：如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝4，∠B ＝∠BAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，∵HF ∥AD ，∴∠H ＝90°，∵∠HAF ＝90°﹣∠DAM ＝45°，∴∠AFH ＝∠HAF ．∵AF =∴AH ＝HF ＝1＝BE ．∴AE ＝3，EH ＝AE +AH ＝AB ﹣BE +AH ＝4＝BC ，∴△EHF ≌△CBE （SAS ），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECF12=EF•EC12=EC2172=，过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四边形APFH是矩形，∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，∴FP PG FQ CQ=，∴153PG =，∴PG 3 5=，∴AG＝AP+PG 8 5=，∴DG＝AD﹣AG＝4812 55−=，在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG175 =，∴△AEG的周长为AG+EG+AE81755=++3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG=，故①错误；∵S △ECG ＝S 正方形ABCD ﹣S △AEG ﹣S △EBC ﹣S △GDC ＝AD 212−AG •AE 12−GD •DC 12−EB •BC ＝421825−××311225−××412−×1×4345=， ∴S △EGF ＝S △ECF ﹣S △ECG 1734172510=−=，故③正确； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG 是解本题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为10元，随机被甲、乙、丙三人抢到．记金额最多、居中、最少的红包分别为,,A B C ，求甲抢到红包A ，乙抢到红包C 的概率为________． 【答案】16【解析】【分析】)列举出所有情况，看恰好是甲抢到红包A ，乙抢到红包C 的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：由树形图可得出:因为有A,B,C 三个红包,且抢到每一个红包的可能性相同，共有6种情况，恰好甲抢到红包A ，乙抢到红包C 有1种情况所以概率为16．故答案为：1 6．【点睛】点评本题考查了用列表与树状图求概率问题;用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．12. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C'的坐标为____．【答案】（−2，4）或（2，−4）【解析】【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而得出答案．【详解】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（−1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，∴点C对应点C′坐标为：（−2，4）或（2，−4）．故答案为：（−2，4）或（2，−4）．【点睛】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键．13. 设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．【答案】2020【解析】【分析】由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝ba−＝−1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．14. 如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则PN为____．的【答案】3625【解析】【分析】先求出直线AB 的解析式，然后根据P 点特征，设出坐标，得到M ，N 的坐标，然后根据两点间距离公式列出二次函数表达式，从而利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠， 将A （0，4），B （3，0）代入得：430b k b = += ，解得：434k b =− = ， ∴直线AB 的解析式为：443y x =−+， ∵点P 在线段AB 上，∴设P 点坐标为4,43m m−+，其中03m <<， ∵PM ⊥y 轴，PN ⊥x 轴，∴(),0N m ，40,43M m−+， ∴根据两点间距离公式得：222443MN m m =+−+， 整理得：22254814492525MN m −+ ， ∵2509>，抛物线开口向上， ∴当4825m =时，2MN 有最小值，最小值为214425MN =， 即：此时，MN 有最小值，∴44836432525 PN=−×+=，故答案为：36 25．【点睛】本题考查函数法求线段的最值，准确根据题意建立二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．15. 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k 为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）【答案】【解析】【分析】连接AC，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，连接DG，根据相似三角形的判定与性质求出DG=kBC，然后根据题意推出∠CDG=90°，即可利用勾股定理求解．【详解】解：如图，连接AC，∵AE⊥BC，BE＝CE＝2，∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接DG，则AD=AG，BD=CG，由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG +∠ADC =90°，即：∠CDG =90°，∴CG ，∴BD CG ==【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，满分55分）16. （1）解方程：x 2＋4x ＋2＝0；（2）解方程：（2x ＋1）（x ＋2）＝3．【答案】12x =−，22x −；1x =2x = 【解析】【分析】（1）根据配方法解x 2＋4x ＋2＝0即可；（2）将（2x ＋1）（x ＋2）＝3去括号整理，然后运用公式法求解即可．详解】解：（1）x 2＋4x ＋2＝0， 244420x x ++−+=，2(22)x +=，∴2x +，∴12x =，22x ；（2）（2x ＋1）（x ＋2）＝3，去括号得：22423x x x +++=，整理得：22510x x +−=，【2,5,1a b c ===−，∴22Δ4542(1)330b ac =−=−××−=>，∴x ，∴1x =2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解本题的关键． 17. 先化简，再求代数式的值：21x x +﹣2241x x −−÷2221x x x −−+，其中x ＝3． 【答案】21x +；12 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则将原式化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式＝222(2)21(1)(1)(1)x x x x x x x −−−÷++−− ＝222(2)(1)1(1)(1)2x x x x x x x −−−×++−− ＝22(1)11x x x x −−++ ＝2221x x x −++ ＝21x +， 当x ＝3时，原式＝2211312x ==++． 【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．18. 有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B 都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A 、B ；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）方程x 2﹣3x ＋2＝0的解为 ；（2）用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x 2﹣3x ＋2＝0的解”的概率．的【答案】（1）x1＝1，x2＝2；（2）2 9【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤直接求解即可；（2）根据题意先列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）∵x2−3x＋2＝0，∴（x−1）（x−2）＝0，解得：x1＝1，x2＝2，故答案为：x1＝1，x2＝2；（2）根据题意列表如下：2 3 41 （1，2）（1，3）（1，4）2 （2，2）（2，3）（2，4）3 （3，2）（3，3）（3，4）共有9种等可能的情况数，其中“两个指针所指的数字都是方程x2−3x＋2＝0的解”的有2种，则“两个指针所指的数字都是方程x2−3x＋2＝0的解”的概率是2 9．【点睛】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由E 是AD 中点，AF ∥BC ，易证得△AFE ≌△DBE ，即可得AF ＝BD ，又由在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，可得AD ＝BD ＝CD ＝AF ，证得四边形ADCF 是平行四边形，继而判定四边形ADCF 是菱形；（2）首先连接DF ，易得四边形ABDF 是平行四边形，即可求得DF 的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【详解】（1）证明：如图，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE ＝DE ，BD ＝CD ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠∠ ∠∠＝＝＝，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；∴AF ＝DB ．∵DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝12BC ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：连接DF ，∵AF ∥BC ，AF ＝BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，的∴DF ＝AB ＝5，∵四边形ADCF 是菱形，∴S ＝12AC •DF ＝10．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．20. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克，且10≤x ≤18）之间的函数关系如图所示；（1）求y （千克）与销售价x 的函数关系式；（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】（1）y 与x 之间的函数关系式y =﹣2x +60（10≤x ≤18）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．【解析】【分析】（1）设函数关系式=y =kx +b ，把（10，40），（18，24）代入求出k 和b 即可；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到W 和x 的关系，利用二次函数的性质得最值即可，把y =150代入函数关系式中，解一元二次方程求出x ，再根据x 的取值范围即可确定x 的值．【详解】解：(1)设y =kx +b ．将x =10，y =40 和x =18，y =24代入得：1040{,1824k b k b +=+= 解之得：2{60k b =−=， ∴y = -2x +60（10≤x ≤18）．(2)由题意得：(x -10)( -2 x +60) =150，整理得：x 2 -40x +375 =0，解之得：x 1 =15，x 2=25，∵10≤x ≤18，∴x 2=25舍去，答：销售价应定为15元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．21. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝K ，E 是边BC 上一个动点（不与B ，C 重合），连接AE ，作EF ⊥AE ，EF 交边CD 于点F ．（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）若在动点E 的运动过程中，一定存在点F ，使得EF ＝EA ，求K 的取值范围；（3）若点G 是边AB 上一点且∠GEB ＝∠FEC ，求EG ，EF ，EA 的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）1＜K ≤2；（3）EG ＋EF ＝K AE ⋅．【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得∠B ＝∠C ＝90°，再根据∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠AEB ＋∠CEF ＝90°，得∠BAE ＝∠CEF ，即可得证；（2）由（1）知△ABE ∽△ECF ，又EF ＝EA ，得△ABE ≌△ECF ，得出CF ＝BE ＝k −1，根据0＜CF ≤1求出K 值即可；（3）证△EBG ∽△ABE ，得BE EG AB EA =，由△ABE ∽△ECF ，得EA AB EF EC =，联立两个比例式，得K ＝EG EF EA+，即可得出三线段的数量关系． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∵EF ⊥AE ，∴∠AEB ＋∠CEF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ；（2）由（1）知△ABE ∽△ECF ，又∵EF ＝EA ，∴△ABE ≌△ECF （AAS ），∴CE ＝AB ＝1，CF ＝BE ＝K −1，由题意可得1011 KK−−≤＞，∴1＜K≤2；（3）∵∠BAE＝∠CEF，∠GEB＝∠FEC，∴∠BAE＝∠GEB，∵∠B＝∠B，∴△EBG∽△ABE，∴BE EG AB EA=，∴BE＝EG EA①，由（1）知△ABE∽△ECF，∴EA AB EF EC=，∴EC＝EFEA②，①＋②得，k＝EG EF EA+，∴EG＋EF＝K AE⋅．【点睛】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．22. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【答案】（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为83或2或8﹣．.【解析】【分析】（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，∴AH AC AC AG=，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝12•AH•AG＝12AC2＝12×（）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴12 BC BEAH AE==,∴AE＝23AB＝83．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴BE BCAE AH=＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝m，∴m+m＝4，∴m＝4﹣1），∴AE ＝4﹣4﹣1）＝8﹣，综上所述，满足条件的m 的值为83或2或8﹣． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．。

2024年广东省九年级数学一轮复习：全等三角形模拟练习一、单选题1．（2023·广东·模拟预测）如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（）A．3B．7C．8D．以上都不对2．如图，≌，，，垂足分别为，，，则等于（）A．B．C．D．3．（2023·广东广州·一模）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．4．（2023·广东深圳·二模）下列说法中，正确的是（ ）A．同位角相等B．两点之间直线最短C．两边及一角相等的两个三角形全等D．对顶角相等5．（2022·广东佛山·一模）一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、4或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、2或2、4去就可以了6．（2021·广东深圳·二模）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（ ）A．25°B．50°C．65°D．75°7．（2023·广东汕头·一模）如图，中，平分交于点，则的长为（ ）A．2.4B．3C．3.6D．48．（2023·广东广州·一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F 分别为、上的动点，则的最小值是（ ）A．B．C．2D．9．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，以的顶点O为圆心作弧与的两边交于C，D两点，分别以C，D两点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，点P为射线上一点，，且，则点P到的距离为（）A．1B．C．2D．210．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（）A．B．C．D．二、填空题11．若△ABC≌△DEF，AB=3，AC=7，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为12．（如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为．13．如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为．14．（2023·广东茂名·一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加一个条件，使，这个条件可以是．（只需写一种情况）15．如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为．16．如图是用直尺和圆规作的平分线，具体作法：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；③作射线．所以射线就是的平分线．这种作图方法之所以正确，那是因为我们可以证明，其证明依据是．17．如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是．18．图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．三、解答题19．（2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：．20．（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；(2)利用（1）中添加的条件，求证：．21．（2023·广东广州·一模）已知：如图，，，是的延长线上一点．求证：(1)；(2)．22．（2023·广东佛山·一模）如图，已知的三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，，连接．(1)求证：；(2)若，求的长度．23．（2023·广东广州·模拟预测）如图，已知，，．求证：．24．（2023·广东广州·一模）如图，点E、F在线段上，．求证：.25．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点E在边上，，，．求证：26．（2023·广东中山·模拟预测）如图，在中，，．(1)请用尺规作图法，作的角平分线交于（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）条件下，求的度数．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果．【详解】解：∵，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，∴，∵∴.故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形找出对应边．2．B【分析】依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论.【详解】解：∵，∴中，又∵≌∴故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键.3．D【分析】本题考查了线段的最值问题，过点作于，当、、共线，且垂直于时，最小，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键．【详解】解：在边上取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，即当、、共线，且垂直于时，最小，过点作于，∵的面积为，∴，∴，∴的最小值为，故选：．4．D【分析】由全等三角形的判定，对顶角的性质，线段的性质，同位角的概念，即可判断．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；B、两点之间，线段最短，故B不符合题意；C、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故C不符合题意；D、对顶角相等，正确，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，对顶角的性质，线段的性质，同位角的概念，掌握以上知识点是解题的关键．5．C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A、B、D不符合题意，C符合题，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．6．D【分析】根据证明，可得，根据三角形内角和定理即可求得的度数．【详解】解：在与中，，，，．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．7．B【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．过D作于M，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积得出，再代入求出答案即可．【详解】解：过D作于M，∵，平分，∴∵，∴，∵∴解得：，故选：B．8．D【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，根据的面积为，，结合三角形的面积公式求出，即可解答．【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，∵是的平分线，∴，∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短），∵的面积为，，∴，∵的最小值是．故选：D．9．C【分析】根据角平分线的性质求解．【详解】解：由作图得：平分，所以P到两边的距离相等，∵，且，∴点P到的距离为2，故选：C．【点睛】本题考查了基本作图，掌握角的平分线的性质是解题的关键．10．C【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可．【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；D、，根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，尺规作图，正确理解尺规作图，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．11．5或7或9【分析】根据全等三角形的性质和三角形三边长的关系，即可求解.【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∵3+7=10，7-3=4∴4＜BC＜10，即4＜EF＜10，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，∴EF=5或7或9.故答案为：5或7或9.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形三边长关系，掌握三角形三边长关系是解题的关键.12．【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，平分，，，∴，，，∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．13．【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．【详解】解：如图，过点作于点为的中线，，又，在和中，即，，为的中线，又解得：故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．14．或或或（答案不唯一）【分析】先证明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶或或或，理由是∶∵，∴，∵，∴即，当时，有，则，当时，则，当时，则，当时，则，故答案为∶或或或．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解题的关键．15．8【分析】延长到点E，使，连接，先由证明，再由得，即可证明，再证明，得，，再证明，得，即可推导出．【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故答案为：8．【点睛】此重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．16．SSS【分析】由作法可知：，，根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：由作法可知：，，又∵，∴根据SSS可推出全等，故答案为：SSS【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．17．//7.2【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．在中，．∵是的平分线，，∴，在和中，，∴，∴．在和中，，∴，∴，延长，交于F，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．∴的最小值是，故答案为．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．18．4．【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，根据角平分线的性质得到FD=DE，再利用面积求DE即可．【详解】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴FD=DE，，，，，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE．19．见解析【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．【详解】证明：∵B是的中点，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20．(1)（答案不唯一）(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一个条件为，故答案为：（答案不唯一）；（2）证明：，，，即，在和中，，．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】()根据推出，根据全等三角形的性质得出即可；()根据推出，根据全等三角形的性质得出即可；本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【详解】（1）在和中，∴，∴；（2）∵，∴，在和中，∴，∴．22．(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；（1）由“”可证，可得，即可得结论；（2）根据，得，由角平分线可得，从而得出，根据，可得出，即可得出，则，最后算出．【详解】（1）解：证明：三个内角的平分线交于点，，在和中，，，，，；（2）解：，，，，，，，，．23．证明见解析．【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】证明：在和中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．24．见解析【分析】根据平行线的性质可得，进而根据证明即可．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键．25．证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明．【详解】证明：，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．26．(1)见解析(2)【分析】（1）利用基本作图作的平分线；（2）先利用三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．【详解】（1）如图所示，线段即为所求；（2）在中，，，，，【点睛】本题考查了基本作图；熟练掌握基本作图，作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线等基本作图方式是解题的关键；角度计算的解题技巧主要是运用三角形内角和以及三角形内外角之间的关系与角平分线的性质相结合解答．。

广东省百合外国语学校小升初数学期末试卷复习练习(Word版含答案) 一、选择题1．一个钟图，在9：30时，时针与分针的最小夹角是（）度。

A．60 B．90 C．105 D．1202．张华小时步行千米，照这样计算，步行一千米需要多少小时?正确的算式是( )．A．B．C．3．一个直角三角形，两个锐角的度数比是1∶8，这个三角形中最小的锐角是（）。

A．40°B．20°C．10°4．“合唱团里有男生43人，比女生人数的2倍多3人．合唱团的女生有多少人?”设该合唱团的女生有x人，下面的方程中，正确的是（）．A．(43-x)×2=3 B．2x—43=3 C．2x-3=43 D．2x+3=435．如下图所示，为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使它们折成正方体后，相对的面上的两个数的和为0，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为( )．A．1，－2，0 B．0，－2，1 C．－2，0，1 D．1，－2，16．下列说法错误的是（）。

A．长方体、正方体都是棱柱B．六棱柱有18条棱、6个侧面、12个顶点C．三棱柱的侧面是三角形D．圆柱由两个平面和一个曲面围成7．圆柱的底面半径是a厘米，高是3厘米，把它平均分成三个小圆柱，三个小圆柱的表面积之和增加（）平方厘米。

A．3a B．3.14a C．12.56a2D．18.84a28．一款电视机原来在甲、乙两家商店售价相同。

元旦促销活动，甲商店先提价20%，再降价20%，乙商店先降价20%，再提价20%。

现在甲、乙两家商店这款电视机的售价相比，（）。

A．一样高B．甲商店售价高C．乙商店售价高D．无法比较9．一根绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀在5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪（）A．35段B．34段C．33段D．32段二、填空题10．地球上海洋总面积约三亿六千一百万平方千米，横线上的数写作________，省略亿位后面的尾数约是________亿。