圆的切线长定理课件剖析

OC，△ABC 被划分为三个小三角形．∵ S SOBC SOAC SOAB
1 BC r 1 AC r 1 AB r 1 (a b c)r ，∴ r 2S ．
2
2
2
2
abc
（1）
（2）
（3）
（1）类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各
FD=DG、AM=AG；
B
则AG+AM=AB+AC – BC =11；
所以△ADE的周长为：
H
G D
AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE
I
=AG+AM=11．
F
【考点】 切线长定理．
C
ME
A
例 3．阅读材料：已知，如图（1），在面积为 S 的△ABC 中，
BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r．连接 OA、OB、
1 ar 1 br 1 cr 1 dr 1 (a b c d ) ， 2222 2
∴r 2S ．
abcd
B
E
F
A
O
C
H
G
D
图（2）
例 3．阅读材料：已知，如图（1），在面积为 S 的△ABC 中，
BC=a，AC=b，AB=c，内切圆 O 的半径为 r．连接 OA、OB、
的值．
【答案】（1） r
2S
；（2） r1 14 ．
abcd
r2 9
【解析】试题分析：
（1）如图，连接 OA、OB、OC、OD， 则△AOB、△BOC、△COD 和△DOA 都是以点 O 为顶点、高都是 r 的三角形， 根据 S SAOB SBOC SCOD SAOD 即可求得四边形的内切圆半径 r． （2）过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，分别求得 AE 的长， 进而 BE 的长，然后利用勾股定理求得 BD 的长；

北师大版九年级下册第三章《圆》
A
O
P
B
根据圆的轴对称性，存在与A点重合 你能发现OA与PA ， OB 的一点B，且落在圆，连接 OB ，则它 PA 、PB所在的直线分别是⊙ o两条切线。 与PB之间的关系吗？ 也是⊙ o的一条半径。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条 切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
E 1 2 F
O
P
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和 ⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.
N D O P A L B M C

证明：由切线长定理得
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD，
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
M
2
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
∟
1
⌒⌒
O
∟
M
2
P
B
练习
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距 离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求 这两条切线的夹角及切线长．
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

1.如何过⊙O外一点(yī diǎn)P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样(zhèyàng)的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
A
12/10/2021
O 130°
B
第三页，共二十七页。
P
50°
如何(rúhé)用圆规和直尺
作出这两条
这点到圆的切线(qiēxiàn)长.
A
O
·
P
B
切线12与/10/切2021线长是一回事吗？它们(tā men)有什么区别与联系呢？
第六页，共二十七页。
A
比一比：
切线(qiēxiàn)与切线(qiēxiàn)长
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段(xiànduàn)的长，这条线段(xiànduàn)的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量.
第二十一页，共二十七页。
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径(bànjìng)为1，
那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
12/10/2021
第二十二页，共二十七页。
【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是 直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切 圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么(nà me)这个正三角 形的边长为 .
A
证明(zhèngmíng)：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴O12/1P0/2垂021 直平分AB.

∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
A
∠OPA=∠OPB
P
O
B
A
要点归纳
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆
P
O
的两条切线，它们的切线长
相等.这一点和圆心的连线
B
平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
若△PCD的周长为18，则PA的长度为（
）
A．7 B．9 C．12
D．14
【答案】B
【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，CA=CE，
DE=DB，再利用△PCD的周长为18得到
PC+CE+DE+PD=18，然后利用等线段代换得到
PA+PB=18，从而得到PA的长．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线
【答案】8
【分析】根据切线长定理可知AE=CE、BE=CF，
进而可求出结果；
【详解】解：∵PA，PB分别与○O相切；
∴ PA=PB=4 （cm）
∵EC、EA分别与○O相切
∴AE=CE
同理：BF=CF
∴ C△PEF=8
故答案为：8
6．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O
的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.

A．4
B．5
C．6
D．7
解析：连接OE， ∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°， ∵AO=5，OE=3，
AE AO2 OE2 4,
∵AB=10，∴BE=6， ∵BG与⊙O相切于G， ∴BG=BE=6， 故选C．
当堂练习
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交☉O于点D、
6.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把 直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放 置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 ___6__3___cm.
7.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、
PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
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精品数学课件
学练优九年级数学下（XJ） 教学课件
第2章 圆
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.3 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解和掌握切线长定理；(重点) 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)
导入新课
复习引入 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一 点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外 一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣 赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
相等.这一点和圆心的连线
B
平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
典例精析 例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA 和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD.

(2)AC∥OP.
探索新知
导引：(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝
1 2
∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
1 2
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
探索新知
证明：(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B， ∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ 1 ∠APB，PA＝PB，
(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等， 并说明理由．
课堂练习
(1)证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1. ∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE. ∴△ODE 是等边三角形．∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝
课堂练习
2 如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别 为A，B，点C 是劣弧AB上一点，过点C 的切线分别交PA， PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的 周长为( C ) A．4 B．6 C．4 3 D．6 3
课堂练习
3 如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点， CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连 接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD； ③OD＝OC；④S梯形ABCD＝12 CD·OA；⑤∠DOC＝90°. 其中正确的 结论是( A ) A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
∠OED＝60°.∴△AOD 和△BOE 是等边三角形． ∴∠OAD＝∠OBE＝60°. ∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°. ∴△CDE 是等边三角形． ∵DF 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DF. ∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝90°. ∴DF⊥CE. ∴CF＝EF.

➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
A
O
P
B
要点归纳
*切线长定理：
过圆外一点所画的圆的
两条切线，它们的切线长相
等.这一点和圆心的连线平
分这两条切线的夹角.
几何语言：
PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
注意
A
P
O
B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
点D 在PA 上，点E 在PB 上.
(1)若PA=10，求△ PDE 的周长；
解：∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，
∴ PB=PA=10，DA=DC，EC=EB.
∴ PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+
PB=10+10=20.
∴△ PDE 的周长为20.
∴∠

DOE= ∠


AOB= ×130°=65°.

1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，
D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度

（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD，
DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 切线长定理用
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆 心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离 等于半径,简称“做垂直,证半径。”
切线长定理用
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
几何应用: ∵L是⊙O的切线 ，
∴OA⊥L
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这
.O
条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切

柯 咏
平
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O ·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
（4）写出图中相等的圆弧 （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
反思：在解决有关圆 的切线长的问题时， 往往需要我们构建基 本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
D O F
·
B
a＋ b－ c C 解得 r＝ 2 ab
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
a＋ b－ c 内切圆的半径 r＝ 或r＝ 2
a＋b＋c
例.如图，△ABC 中,∠C =90º ,它的 内切圆O分别与边AB、 BC、CA相切 B 于点D、E、F，且 BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r.
A
D
O E
F
C
基础题：
正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.