2020届江苏省南京市高淳区湖滨高中高三下学期3月网上模拟考试数学试题(解析版)

2020年高考模拟高考数学一模试卷一、填空题1．集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，若A∪B＝B，则x＝．2．已知复数z＝（i是虚数单位）则z的虚部是．3．log24+log42＝．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝．6．已知函数，0≤φ≤π．若f（x）是奇函数，则的值为．7．已知f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则a+b的最小值为．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为9．若抛物线x2＝4y的焦点到双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为．10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是．11．设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为．12．在△ABC中，点P是边AB的中点，已知||＝，||＝4，∠ACB＝，则•＝．13．已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为．14．若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．16．在三角形ABC中，已知，．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，求边BC的长．17．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围；（3）求总造价y的最小值．18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1，若圆O：x2+y2＝R2（R＞O）的一条切线与椭圆C有两个交点A，B，且•＝0．（1）求圆O的方程；（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且＝2，求直线MN的方程．19．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n＝a n﹣a n+k，c n＝a n+a n+k（n∈N*）．若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H（k）”数列．（1）若数列{a n}的前n项和为S n＝n2，证明：{a n}为H（k）数列；（2）若数列{a n}为H（1）数列，且a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}为H（2）数列，证明：{a n}是等差数列．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若＝λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．25．已知（1+x）2n+1＝a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1，n∈N*．记T n＝（2k+1）a n﹣k．（1）求T2的值；（2）化简T n的表达式，并证明：对任意的n∈N*，T n都能被4n+2整除．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，若A∪B＝B，则x＝0．【分析】推导出A⊆B，e x＞0，从而e x＝1，由此能求出结果．解：因为集合A＝{0，e x}，B＝{﹣1，0，1}，A∪B＝B，所以A⊆B，又e x＞0，所以e x＝1，所以x＝0．故答案为：0．2．已知复数z＝（i是虚数单位）则z的虚部是﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．3．log24+log42＝．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：原式＝2+＝2+＝．故答案为：．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行过程，可得：第一次运行：k＝1时，，第二次运行：k＝2时，，第三次运行：此时k＝3满足k≥3，退出循环，输出，故答案为：．5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝1．【分析】利用余弦定理求出cos C，cos A，即可得出结论．解：∵△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，∴cos C＝＝，cos A＝＝∴sin C＝，sin A＝，∴＝＝1．故答案为：1．6．已知函数，0≤φ≤π．若f（x）是奇函数，则的值为﹣1．【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得的值．解：∵函数＝2sin（x+φ+），0≤φ≤π，若f（x）是奇函数，则φ＝，∴f（x）＝2sin（x+π）＝﹣2sin x，则＝﹣2sin＝﹣1，故答案为：﹣1．7．已知f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则a+b的最小值为．【分析】若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则（a﹣1）（2b﹣1）＝1，则b＝且a＞1，即a+b＝，构造函数，利用导数法，可得函数的最小值．解：∵f（x）＝|log3x|，若a，b满足f（a﹣1）＝f（2b﹣1），且a≠2b，则（a﹣1）（2b﹣1）＝1，则b＝且a﹣1＞0，即a＞1即a+b＝a+＝，由令g（a）＝，则g′（a）＝，令g′（a）＝0，则a＝1±，当a∈（1，1+）时，g′（a）＜0，当a∈（1+，+∞）时，g′（a）＞0，故当a＝1+时，g（a）取最小值，故答案为：．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，由此能求出黑白两球均不在1号盒子的概率．解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为p＝＝．故答案为：．9．若抛物线x2＝4y的焦点到双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为3．【分析】先求出抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ＝x，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，∴＝＝，∴e＝＝3，故答案为：3．10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是②④．【分析】在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．11．设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为9．【分析】先根据向量平行得到+＝1，再利用基本不等式即可求出最值．解：因为∥，所以4x+（1﹣x）y＝0，又x＞0，y＞0，所以+＝1，故x+y＝（+）（x+y）＝5++≥9．当＝，+＝1同时成立，即x＝3，y＝6时，等号成立．（x+y）min＝9．故答案为：9．12．在△ABC中，点P是边AB的中点，已知||＝，||＝4，∠ACB＝，则•＝6．【分析】用表示出，根据CP＝计算CB，再计算•的值．解：∵点P是边AB的中点，∴＝+，∴＝++，∴3＝4+×cos+||2，∴||＝2，∴＝4×2×cos＝﹣4，∴•＝（+）＝+＝6．故答案为：6．13．已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b﹣ac＝0，则的最大值为．【分析】由b2+2（a+c）b﹣ac＝0得（b+a+c）2＝ac+（a+c）2≤+（a+c）2＝（a+c）2再解关于b的不等式即可．解：由b2+2（a+c）b﹣ac＝0得（b+a+c）2＝ac+（a+c）2≤+（a+c）2＝（a+c）2，∴b+a+c≤（a+c），∴b≤（a+c），∴≤，当且仅当a＝c时取等．故答案为14．若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【分析】等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，m分﹣1＜m＜0，及m＝﹣1两类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．解：等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，x1＝，x2＝﹣，若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则m＜0，当﹣1≤m＜0时，≥﹣，则＜4，解得﹣1≤m＜﹣，当m＜﹣1时，＜﹣，则﹣＜4，解得m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣）．二、解答题：共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．【分析】（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AC的中点，可得EF ∥PA，即可证明EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AB的中点，因为F是PC的中点，…所以EF∥PN，又EF⊄平面PAD，PN⊂平面PAD，故EF∥平面PAD．…（Ⅱ）设AC∩DE＝G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得＝，又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AG＝AC＝．所以，又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．所以∠AGE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC．…又DE⊥PA，PA∩AC＝A，所以DE⊥平面PAC．…又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE．…16．在三角形ABC中，已知，．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，求边BC的长．【分析】（1）先根据已知条件求出tan C，再由tan A＝﹣tan（B+C）求出tan A，从而求出角A；（2）设BC＝a，利用正弦定理得求出AB，再利用tan B＝求出sin B，所以△ABC的面积为：S＝＝＝，所以a＝1，即BC＝1．解：（1）在△ABC中，tan B＝，cos C＝﹣，C∈（，π），∴sin C＝，故tan C＝﹣3，所以，∵0＜A＜π，所以A＝；（2）由（1）知A＝450，设BC＝a，利用正弦定理：得：AB＝，又，解得sin B＝，所以△ABC的面积为：S＝＝＝＝，所以a＝1，即BC＝1．17．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围；（3）求总造价y的最小值．【分析】（1）底边一边长x，则另一边长为，由题意可知y＝320（x+）+480 （x ＞0）；（2）令y≤2080即可求出x的取值范围；（3）利用基本不等式求得x+，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，从而求出总造价y的最小值．解：（1）底边一边长x，则另一边长为，∴y＝2（x+）×＝320（x+）+480，∴总造价y关于底边一边长x的函数解析式为：y＝320（x+）+480 （x＞0）；（2）由（1）可知：y＝320（x+）+480，∴令y≤2080得，320（x+）+480≤2080，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x＞0，∴x+，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，∴y＝320（x+）+480≥320×4+480＝1760，∴当x＝2时，总造价y的值最小，最小值为1760元．18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1，若圆O：x2+y2＝R2（R＞O）的一条切线与椭圆C有两个交点A，B，且•＝0．（1）求圆O的方程；（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且＝2，求直线MN的方程．【分析】（1）假设圆的切线，与椭圆联立，得出两根之和及两根之积，由数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q，N的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．解：（1）假设圆的切线的斜率存在时，设切线方程y＝kx+b，设A（x，y），B（x'，y'）．联立与椭圆的方程整理：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣6＝0，x+x'＝，xx'＝，∴yy'＝k2xx'+kb（x+x'）+b2＝﹣+＝，因为：＝0，所以：xx'+yy'＝0，∴可得2b2﹣6+b2﹣6k2＝0，∴b2＝2+2k2；①又与圆相切，所以＝R，∴b2＝R2（1+k2）②，由①②得，2+2k2＝2k2R2+R2，∴R2＝2，所以圆的方程x2+y2＝2；（2）由题意得M（0，），设Q（m，n），N（a，b），＝（a，b﹣），＝（m﹣a，n﹣b），由题意得：，∴a＝，b＝；而又由题意：，解得：4n2﹣4﹣9＝0，∴n＝（舍），n＝﹣，m＝±，∴a＝±，b＝0，即N（±，0），所以直线MN的方程±＝1，即直线MN的方程+﹣＝0，﹣y+＝0．19．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得a＝0，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，则f′（1）＝2（a+1）＝2，解得a＝0，∴f（x）＝2xlnx+1（x＞0），f′（x）＝2（lnx+1），令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得；∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）函数在区间（1，e）上是一条不间断的曲线，由（1）知，f′（x）＝2（ax+1）（lnx+1），①当a≥0时，对任意x∈（1，e），ax+1＞0，lnx+1＞0，则f′（x）＞0，故函数f（x）在（1，e）上单调递增，此时对任意的x∈（1，e），都有成立，从而函数f（x）在区间（1，e）上无零点；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得或，其中，（i）若，即a≤﹣1，则对任意x∈（1，e），f′（x）＜0，故函数f（x）在区间（1，e）上单调递减，由题意可得，解得，其中，即，故a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1；②若，即，则对任意x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（1，e）上单调递增，此时对任意x∈（1，e），都有成立，从而函数f（x）在区间（1，e）上无零点；③若，即，则对任意，所以函数在区间上单调递增，对任意，函数f（x）在区间上单调递减，由题意可得，解得，其中，即，所以a的取值范围为，综上所述，实数a的取值范围为．20．已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n＝a n﹣a n+k，c n＝a n+a n+k（n∈N*）．若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H（k）”数列．（1）若数列{a n}的前n项和为S n＝n2，证明：{a n}为H（k）数列；（2）若数列{a n}为H（1）数列，且a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}为H（2）数列，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）直接利用定义法证明数列为H（k）数列．（2）利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．（3）直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解答】证明：（1）当n≥2时，＝2n﹣1．当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式，则：a n＝2n﹣1所以：b n＝a n﹣a n+k，整理得：b n＝﹣2k，c n＝a n+a n+k＝4n﹣2k﹣2．则b n≤b n+1，c n+1﹣c n＝4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H（k）数列；（2）由于a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，由数列{a n}为H（1）数列，则数列{c n}是等差数列，且c1＝3，c2＝5，所以：c n＝2n+1．即a n+a n+1＝2n+1所以：a n+1﹣（n+1）＝a n﹣n，则{a n﹣n}是常数列所以：a1﹣1＝0，则：a n＝n．验证：b n＝a n﹣a n﹣1＝﹣1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n＝n．附：a n+a n+1＝2n+1①，a n+1+a n+2＝2n+3②，②﹣①得：a n+2﹣a n＝2所以：a2k﹣1＝a1+2（k﹣1）＝2k﹣1．a2k＝a2+2（k﹣1）＝2k，所以：a n＝n．证明：（3）由数列{a n}为H（2）数列可知：{c n}是等差数列，记公差为d c n+2﹣c n＝（a n+2+a n+4）﹣（a n+a n+2）＝﹣b n﹣b n+2＝2d，所以：﹣b n+1﹣b n+3＝2d．则：（b n﹣b n+1）+（b n+2﹣b n+3）＝2d﹣2d＝0又b n≤b n+1，所以：b n＝b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n＝a n﹣a n+2＝b1所以：c n＝a n+a n+2＝2a n﹣b1．由c n+1﹣c n＝2（a n+1﹣a n）＝d，所以：．所以：{a n}是等差数列．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．【分析】（1）AB＝，BA＝，进而求解；（2）矩阵B的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣2）（λ﹣1），令f（λ）＝0，进而求解．解：（1）因为AB＝＝，BA＝＝，且AB＝BA，所以a＝0；（2）因为B＝，矩阵B的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1），令f（λ）＝0，解得λ＝2，λ＝1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y＝0，…圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，…则圆C的圆心到直线l的距离为，…所以．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【分析】依题意，，再利用柯西不等式即可得证．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若＝λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；＝λ，可得C （λ，2，0）．（1）＝（λ，2，﹣2），＝（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得＝，解得λ＝10（舍去）或λ＝2．实数λ的值为2．；（2）＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），平面PCD的法向量＝（x，y，z）．则且，即：x+y﹣z＝0，y﹣z＝0，∴x＝0，不妨去y＝z＝1，平面PCD的法向量＝（0，1，1）．又＝（1，0，2）．故cos＝＝．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．25．已知（1+x）2n+1＝a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1，n∈N*．记T n＝（2k+1）a n﹣k．（1）求T2的值；（2）化简T n的表达式，并证明：对任意的n∈N*，T n都能被4n+2整除．【分析】（1）由二项式定理得a i＝，利用公式计算T2的值；（2）由组合数公式化简T n，把T n化为（4n+2）的整数倍即可．解：由二项式定理，得a i＝（i＝0，1，2，…，2n+1）；（1）T2＝a2+3a1+5a0＝+3+5＝30；……（2）因为（n+1+k）＝（n+1+k）•＝＝（2n+1），……所以T n＝（2k+1）a n﹣k＝（2k+1）＝（2k+1）＝[2（n+1+k）﹣（2n+1）]＝2（n+1+k）﹣（2n+1）＝2（2n+1）﹣（2n+1）＝2（2n+1）••（22n+）﹣（2n+1）••22n+1＝（2n+1）；……T n＝（2n+1）＝（2n+1）（+）＝2（2n+1）；因为∈N*，所以T n能被4n+2整除；……注意：只要得出T n＝（2n+1），就给，不必要看过程．。

南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学.观注意事项:1. 本试卷共4页，包括填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分・本 试卷滚分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前•请务必将口己的姓名■学校、班级、学号写在答题卡的相应位置•试题的答案 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后.交回答题卡.• • •参考公式：1 n 一 一 1 丿样本数据x/2,£的方差疋=丄》(兀yr,其中“一乂兀.n /-I n/=i锥体的体积V^-Sh,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的髙.3球体的表面积S=4寸2,其中，•是球体的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 爾卡相轆單上.1. 已知集合 A={x^x\ < L xeZ}, B={—l,0,l,6},则 AQB= A .2. 已知复数z=(l - 2i)(a + i),其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为 ▲•3・样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是 ▲ •4. 下图是•一个算法流程图.若输入的x 的值为1,则输出S 的值为第4题图5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是▲.6. 己知函数尸sin(2x+^)(--<^<-)的图象关于点(丝，0)对称，则。

的值是▲•2 2 37. 已躲P-ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16兀，且ZAPO = ZBPO = ZCPO = 30° ,则该三棱锥的体积为▲ •8. 若双曲线C ： 4-4 = ,(^>0^ b>®的离心率为3,则抛物线y = ^x 2的焦点到双曲线a 2b 2 4C 的渐近线距离为▲・2020.06/输出S /9. 己知函数/(;c)=sin兀+2卄兀'，若/(a-6) + /(2«2) <0 ,贝I】实数a的取值范围是▲ 一.10. 设等差数列｛a”｝的前n项和为S“，已知4+42+他=47, ©+©=28.若存在正整数使得对任意的"6 N-都有S” <&恒成立，则k的值为▲.11. 已知圆O ： x2 + > 0),直线/：x+2y = 10当x轴，y轴分别交于％, 3两点,若圆。

南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高； 锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高； 圆锥的侧面积S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则M N =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 2.已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则2z 的实部为________. 【答案】3- 【解析】 【分析】计算234z i =-+，得到复数实部.【详解】12z i =+，则()221214434i z i i =+=+-=-+，故2z 的实部为3-. 故答案为：3-.【点睛】本题考查了复数的乘方运算，求复数的实部，属于简单题.3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为________. 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据高三学生所占比例求解即可.【详解】高一、高二、高三年级学生人数之比为9:8:8，所以从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应该从高三年级抽取的学生的人数为810032988⨯=++，故答案为：32.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了数据的处理能力，属于基础题. 4.运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为________.【答案】16 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】当1T =时，3i =； 当134T =+=时，5i =； 当459T =+=时，7i =； 当9716T =+=时，98i =>. 所以输出16T =. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是常用的方法，属于基础题.5.从集合122,3,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭中取两个不同的数a ，b ，则log 0a b >的概率为________.【答案】13【解析】 【分析】从集合中选出两个不同的数组成有序数对，得出基本事件总数，再求出满足log 0a b >的基本事件个数即可得到概率.【详解】取两个不同的数a ，b ，记为有序数对(),a b ，所有基本事件为：()()1212111222212,3,2,,2,,3,2,3,,3,,,2,,3,,,,2,,3,,232322233332⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭共12种， 满足log 0a b >的情况为：()()12212,3,3,2,,,,2332⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，一共4种， 所以其概率为13. 故答案为：13【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，准确列举不重不漏.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________.【解析】 【分析】先求双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式求出b ，求出c 后可得离心率.【详解】双曲线()22210y x b b-=>的渐近线为0bx y ±=，设焦点坐标为()(),00c c ±>.3=.因为221c b =+，故3bc c =即3b =，所以c =，故离心率e ==.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．7.已知4cos sin 65παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.【答案】45- 【解析】 【分析】展开得到4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到7sin sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到答案.【详解】114cos sin cos cos cos sin 62265ππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=+-=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 74sin sin sin 6665πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且201010302013S S S S -=-，则数列{}n a 的公比为________.【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，根据20103020,S S S S --的关系可得20101030201S S S S q-=-，从而可求q 的值.【详解】因为1121201020a a a S S =++-+，()102122301112302200a a a q a a S a S =+++-+=++，故20101030201S S S S q -=-即101011=3q ，因为等比数列{}n a 为正项数列，故0q >，所以3q =. 故答案为：3.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9.在平面直角坐标系xOy 中，过直线2y x =上一点P 作圆()()22:311C x y -+-=的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.若直线PA ，PB 关于直线2y x =对称，则线段PA 的长度为________.【答案】2 【解析】 【分析】根据直线PA ，PB 关于直线2y x =对称可得PC ⊥直线2y x =，从而得到圆心到直线2y x =的距离PC ，再根据勾股定理求解PA 即可.【详解】由题，因为直线PA ，PB 关于直线2y x =对称，故PC 与直线2y x =垂直.又PC 为圆心C 到直线20x y -=的距离，为()222315521⨯-==+-，故512PA =-=.故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，需要根据题意确定直线间的垂直关系，再根据勾股定理求解对应的线段长度，属于中档题.10.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值.【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54.如图所示，又V2＝1 3 h×πr2＝13πr3＝9π，即r＝3，所以l＝2r，即S2＝12l×2πr＝2πr2＝92π，所以12SS＝92π＝32故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.11.已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，()25f x x x=-，则不等式()()2f x f x->的解集为________.【答案】37,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】求出函数()y f x=的解析式，分0x≤、20x x-<<、20x-≥三种情况解不等式()()2f x f x->，进而可求得该不等式的解集.【详解】由于函数()y f x=是定义在R上的奇函数，且当0x≥时，()25f x x x=-，当0x<时，0x->，()()()()2255f x x x x x f x-=--⨯-=+=-，此时，()25f x x x=--.综上所述，()225,05,0x x xf xx x x⎧--<=⎨-≥⎩.①当0x≤时，由()()2f x f x->，得()()222525x x x x---->--，解得32x>-，此时，32x-<≤；②当20xx-<⎧⎨>⎩时，即当02x<<时，由()()2f x f x ->得()()222525x x x x ---->-，整理得2230x x --<，解得13x ，此时02x <<；③当20x -≥时，即当2x ≥时，由()()2f x f x ->得()()222525x x x x --->-，解得72x <，此时722x ≤<. 综上所述，不等式()()2f x f x ->的解集为37,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：37,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.12.已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.【答案】()41nn +【解析】 【分析】 根据函数的性质和周期得到函数图象，根据图象知，直线n y kx =与第1n +个半圆相切，则n k =，再利用裂项相消法求和得到答案.【详解】当02x ≤<时，()y f x ==，即()2211x y -+=，0y ≥；当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故n k ==，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，数列{}2nk 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41nn +.【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.13.设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠=_____________. 【答案】6 【解析】 【详解】由题设得tan tan tan 345A B Cλ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得5λ=，tan 5C =.故6cos cos AHC C ∠=-=. 故答案为66-14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为________.5 【解析】 【分析】将()()22sin sin S R B A B A =-+结合面积公式，正弦定理化简得到,A B 的关系式，再利用正弦定理sin sin a cA C=，表示边a 并化简，得sin sin()A a A B =+，再利用求出,A B 关系式，消去A ，转化成关于B 的函数，再求最值.【详解】由()()22sin sin S R B A B A =-+，则21sin 2sin()sin()2ab C R B A B A =-+， 又2sin ,2sin a R A b R B ==，得sin sin sin()A B B A =-，sin sin sin cos cos sin A B B A B A =-，得sin (sin cos )sin cos A B B B A +=，得sin tan sin cos B A B B =+，又sin sin a cA C=，得sin sin sin sin()A A a C B A ==+sin sin cos cos sin A B A B A =+tan sin cos tan A B B A=+， 代入sin tan sin cos B A B B =+，得1sin 2cos a B B=+，当sin 2cos B B +取最大值5时，a 的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，辅助角的应用，将最值问题转化成求函数的最值是解决问题的思路与关键，还培养了观察分析逻辑思维能力，难度较大.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB //CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB .求证：（1）AB //平面D 1DCC 1； （2）AB 1⊥平面A 1BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 在四棱柱中得出AB ∥CD ，结合线面平行的判定定理，即可证得AB //平面D 1DCC 1； (2) 先证得AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，结合线面垂直的判定定理，即可得到AB 1⊥平面A 1BC . 【详解】(1) 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB ⊄平面D 1DCC 1，CD ⊂平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(2) 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形， 又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形， 从而AB 1⊥A 1B ，又AB 1⊥BC ，而A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 、BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC .【点睛】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 16.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =. （1）若ABC 的面积为3，求AB AC ⋅的值； （2）设2sin,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.【答案】（1）92AB AC ⋅=；（2）()sin 250B C -=-. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，利用三角形的面积公式可求得bc 的值，再利用平面向量数量积的定义可求得AB AC ⋅的值； （2）由//m n 结合二倍角公式可求得4B π=，求得sin 2C 和cos 2C 的值，再利用两角差的正弦公式可求得()sin 2B C -的值.【详解】（1）0A π<<，sin 0A ∴>，则4sin 5A ==， ABC 面积为114sin 3225ABC S bc A bc ==⨯⨯=△，152bc ∴=.因此，1539cos 252AB AC cb A ⋅==⨯=； （2）2sin,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，所以，2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，tan 1B ∴=.0B π<<，4B π∴=.223337sin 2sin 2sin 2cos 212cos 1242525C A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 334324cos 2cos 2cos 2sin 22sin cos 2425525C A A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯⨯=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，()()22247312sin 2sin 2cos 2sin 2422252550B C C C C π⎛⎫⎛⎫-=-=-=⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题. 17.如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A （大小忽略不计）盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，3tan 4ABC ∠=，4ACM π∠=，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km .（1）求方案①的运输费用；（2）请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？ 【答案】（1）20000元；（2）P 在点B 正西方向403BP =-千米. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得210250210AB ==，即可求得费用；（2）设00,,,222APM x x ABP πππθθ⎡⎤∠=--∈=∠⎢⎥⎣⎦，总费用()304002004030tan cos y x x =⨯+⨯-，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦利用导函数求解最值即可得解. 【详解】（1）4ACM π∠=，在钝角三角形ABC 中，334tan ,sin ,cos 455ABC ABC ABC ∠=∠=∠=，43sin sin 455BAC ABC π⎛⎫∠=-∠==⎪⎝⎭ 由正弦定理可得3sin sin 4BC AB BACπ=∠，105010AB ⨯==，所以方案①的运输费用为400×50=20000元； （2）由（1）可得点A 到公路所在直线的距离为350305km ⨯=，设00,,,222APM x x ABP πππθθ⎡⎤∠=--∈=∠⎢⎥⎣⎦， 易得0001sin cos ,2226πππθθθ⎛⎫-=>->⎪⎝⎭则总费用()304002004030tan cos y x x =⨯+⨯-，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22sin 16000cos x y x -⎛⎫'= ⎪⎝⎭，00,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 当00,,0,,,0662x y x y πππθ⎛⎫⎛⎫''∈<∈-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭单调递减，0,62x ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以当6x π=时，2sin 80006000cos x y x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值为12800060008000⎛⎫- ⎪+=+，此时4030tan 40BP x =-=-所以P 在点B正西方向40BP =-千米.【点睛】此题考查解三角形知识与函数模型综合应用，利用解三角形和三角函数以及导函数知识求解实际应用问题，属于较难题目.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且右焦点坐标为()1,0.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC NC =.【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义，可得122||||4a PF PF =+=，又1c =，结合222b a c =-，即得解 （2）设(,)o o P x y ，分别表示直线,,,AP BP AC BC 的方程，联立得到,M N 点的坐标，继而证明0M N x x -=，即直线MN 斜率不存在，0CQ k =，即CQ MN ⊥，可得CMN ∆为等腰三角形，即得证【详解】（1）由题意，椭圆的两个焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -，记3(1,)2P - 故123524,222a PF PF a =+=+=∴=又2221,3c b a c =∴=-=故椭圆的方程为：22143x y +=（2）设(,)o o P x y，(2,0),(2,0),A B C - 故：,:(+222o o AP o o y y k AP y x x x ==++） ,:(222o o BP o o y y k AP y x x x ==---）::22BC y x AC y x =-+=联立计算可得：M N 由于M N x x -==22=22=由于00(,)P x y 在椭圆上，故2200143x y +=，即22003412x y +=故0M N x x -=，即直线MN 斜率不存在 令线段MN 中点为Q故122M N Q y y y +==12=212====故0CQk=CQ MN∴⊥故CMN∆为等腰三角形即得证MC NC=【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题19.已知函数()()1ln1xf x x a ax-=-⋅∈+R.（1）若2x=是函数()f x的极值点，求a的值；（2）令()()()1g x x f x=+⋅，若对任意ex≥，有()0g x>恒成立，求a的取值范围；（3）设m，n为实数，且m n>，求证：2e e e ee2m n m n m nm n+-+<<-.【答案】（1）94a=；（2）11eae+<-；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先求出()f x'，令()20f'=后可得a的值，注意检验.（2）参变分离后可得()1ln1x xax+<-对任意的x e≥恒成立，利用导数可得()()1ln1x xh xx+=-的最小值，从而可得a的取值范围.（3）原不等式等价于22e e1m n n mm n---<-且2e1e1m nm nm n--<--+，可通过构建新函数()2x x s x e e x -=--及()()()121x x t x x e e =+--，再利用导数可证当0x >时，()()0,0s x t x >>，从而可得原不等式成立.【详解】（1）()()2121a f x x x '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，故()20f '=即94a =， 又当94a =时，()()()()()()2222192122121x x x x f x x x x x +---'==++， 当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， 故2x =是函数()f x 的极小值点， 综上，94a =. （2）()()()1ln 1g x x x a x =+--，故()0g x >对任意的x e ≥恒成立等价于：()1ln 1x x a x +<-对任意的x e ≥恒成立.令()()1ln 1x x h x x +=-，x e ≥，则()()()()21ln 111ln 1x x x x x h x x ⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭'=-()212ln 1x x x x --=-， 令()12ln u x x x x =--，则()()2221121x u x x x x-'=+-=， 当x e ≥时，()0u x '>，故()u x 为[),e +∞上的单调增函数， 所以()()110u x u e e e≥=-->， 故x e ≥时，()0h x '>，故()h x 为[),e +∞上的单调增函数， 所以()()min 11e h x h e e +==-，故11e a e +<-. （3）要证2e e e e e2m n m n m nm n +-+<<-，因为20,e e 0n m n +>>，故即证22ee 1m n n m m n--->-且e 1e 12m n m n m n --+<--， 即证22ee1m n n m m n--->-且2e 1e 1m n m n m n --<--+.令()2xxs x e ex -=--，0x >，则()2x x s x e e -'=+-.因为0x >，1x e ∴>，所以2x x e e -+>即()0s x '>， 所以()s x 为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00sx s >=.令2m n x -=，则0x >，故()220m n n m e e m n ----->即22e e 1m nn mm n--->-. 令()()()121xxt x x e e =+--，0x >，则()()11xt x x e '=-+，故()xt x xe ''=，当0x >时，()0t x ''>，故()t x '为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00t x t ''>=，所以()t x 为()0,∞+上的增函数，故当0x >时，有()()00t x t >=， 令x m n =-，则有()()()1210m nm n m n ee ---+-->，也就是2e 1e 1m n m n m n --<--+. 综上，原不等式恒成立.【点睛】本题考查函数的极值、含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，利用极值求参数的值时，注意检验，对于多变量的不等式的恒成立的问题，要注意利用不等式的结构特点将其转化为一元函数不等式的恒成立问题，后者可利用导数来证明.20.若存在常数m ∈R ，使对任意的*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列. （1）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S .若{}n S 是()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 各项均为正数，记数列{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且2*34,n n n T R R n =+∈N .①求证：数列{}n b 是等比数列；②设()1n n nn c b b λλ-=+∈R ，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的[]2,3λ∈，数列{}n c 都是()Z m 数列.【答案】（1）12a ≥-；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出()211n n n S a =+-，通过1n n S S +≥恒成立，即可求解；（2）①由题求出首项，根据234n n n T R R =+，211134,2,n n n T R R n n N ---≥+∈=，两式相减，得出递推关系即可得证；②求出{}n c 通项公式，根据定义建立不等式求解最值. 【详解】（1）由题可得：()211n n n S a =+-，{}n S 是()1Z 数列，1n n S S +≥恒成立，()()()()22111111n a n n a n ++-+≥+-对任意的*n ∈N 恒成立，12a n ≥-对任意的*n ∈N 恒成立，所以12a ≥-；（2）①由题：234n n n T R R =+，211134,2,n n n T R R n n N ---≥+∈=，两式相减得：2221,234n n n n n b R R b -+-≥=，()21,342n n n n n b R R b n b -++≥=，数列{}n b 的各项均为正数，所以13,24n n n b R n R -=++≥，1123,34n n n b R R n ---=+≥+，两式相减得： 113,33n n n n b b b b n --=+≥-，1,32n n b b n -≥=，当n =1时，2*34,n nn T R R n =+∈N 可得22111*34,b b b n =+∈N ，数列{}n b 的各项均为正数， 所以12b =当n =2时，13,24n n n b R n R -=++≥可得22122343224,b R R b b =++=+++， 所以2b =4综上可得：数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列；②由①可得：2nn b =，1122n n n nnn n c b b λλ--=+=+，1n n c mc +≥，[]2,3λ∈对任意的*n N ∈恒成立，[]2,3λ∈，1202n n nn c λ-=+>，()1111122,122n n n n nnn c m m n c λλ++++-+≥≥-+，对于任意m <0该不等式恒成立，即存在常数,0m m ∈<R ，对于任意的[]2,3λ∈，数列{}n c 都是()Z m 数列.【点睛】此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，考查综合能力，属于偏难题目.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A （选修4-2矩阵与变换21.已知,b c ∈R ，向量123e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵12b M c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值4的一个特征向量.求矩阵M 及它的另一个特征值.【答案】1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1-.【解析】 【分析】利用矩阵乘法规则可求1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，然后利用特征多项式求出特征值.【详解】由题意的114Me e =，即12238232612b b c c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2,3b c ==，即矩阵1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.矩阵M 的特征多项式为()12()1(2)632f λλλλλ--==-----，令()0f λ=，得矩阵M 的另一个特征值为1λ=-.【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征值，明确矩阵运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养，属于中档题.B （选修4-4极坐标与参数方程）22.在极坐标系中，设直线l过点A ，)6π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值． 【答案】2a = 【解析】 【分析】先求得直线l 的普通方程，把曲线:cos (0)C a a ρθ=>的极坐标方程化为直角坐标方程．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离|3|222aa -=，由此解得a 的值．【详解】依题意，点A ，)6π、(3,0)B 的直角坐标为3(2A，(3,0)B ， 从而直线l的普通方程为30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y -+=．因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|222aa -=，解得2a =（负值已舍）． 【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．C （选修4-5不等式选讲）23.已知a ，b ，c 为正实数，且5a b c ++=，求2222a b c ++的最小值. 【答案】10 【解析】【分析】利用柯西不等式可求2222a b c ++的最小值. 【详解】由柯西不等式可得())()22222111112522a b a b a b c c ⎡⎛⎫++≥⨯+⨯+=++=⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦++，即222210a b c ++≥，当且仅当112a b ==即2,2,1a b c ===时等号成立，故2222a b c ++的最小值为10.【点睛】本题考查柯西不等式在最值中的应用，注意把目标代数式配成平方和的乘积形式以便于使用柯西不等式，求最值时要验证等号是否成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否合格相互独立.（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，()f p 取最大值时对应的产品为不合格品概率为0p ，求0p ；（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0110p =；（2）分布列见解析；()39E X =. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布概率公式可得()f p ，利用导数可确定()f p 单调性，从而得到最大值点； （2）首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率()()1822201f p C p p =⋅⋅-，()()()()1817222202021181f p C p p C p p '∴=⋅⋅-+⋅⋅--()()()()171722222020121181220C p p p p C p p p ⎡⎤=---=--⎣⎦，令()0f p '=，又01p <<，解得：110p =， ∴当10,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当1,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<；()f p ∴在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ∴当110p =时，()f p 取得最大值，即0110p =. （2）由题意得：X 所有可能的取值为：30，60，90，120，()3031729301101000P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭；()2131124360110101000P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭； ()223112790*********P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33311120101000P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭； X ∴的分布列为：∴数学期望()729243271306090120391000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查二项分布概率问题的求解以及服从于二项分布的随机变量的分布列与数学期望的求解问题；解题关键是能够利用导数的知识确定关于概率的函数的单调性，进而确定最值点.25.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ，利用上述恒等式证明：()1112C CC C 1C C pp i p i p pn m n n m m n m i i --+-+=--=-∑. 【答案】（1）0112200ppp p p pip i m nm n m nm nmnm n i CC C C CC CC C C C ---+==++++=∑，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理系数的性质，左右两边分别表示出p x 的系数即可. （2）证明左边等于右边，用上1211C CC C C C ppip i i p i p nmn m m i i n i i ---===-∑∑，11i i n n iC nC --=，000p pn m n m C C C C =-，（1）的结果以及2101pp p i p ip p i n mn m i m i i n n mC CC C C C C C --==-++=∑∑逐步推证即可. 【详解】解：（1）()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N ，等式左边p x 的系数为pm n C +，右边p x 的系数这样产生：()1mx +中的1与()1nx +中的p x 的系数的pn C 的积，即0p mn C C ， ()1mx +中x 的系数1m C 与()1nx +中1p x -的系数的1p n C -的积，即11p mn C C -， ()1mx +中2x 的系数2m C 与()1nx +中2p x -的系数的2p n C -的积，即22p mn C C -， ()1mx +中3x 的系数3m C 与()1nx +中3p x -的系数的3p n C -的积，即33p mn C C -，()1mx +中p x 的系数p m C 与()1nx +中1的系数的0n C 的积，即0p mn C C ， 所以0112200ppp p p pip i m nm n m nm nmnm n i CC C C CC CC C C C ---+==++++=∑. （2）当*,i n ∈N ，且i n 时，11!(1)!!()!(1)!()!i n in n n n iC i nC i n i i n i ---=⋅==---，由（1）得10112211110111111p p p p p pp i i m m n m n m n mn mn n i CC CC CC CCCCC -----+-------=-=++++=∑ 左边=11111222(1)pppp i p i p i p i i p in m n nmm n nmn m i i i C CC Ci nCiC CC C -----+-+-===--=-+∑∑∑， 111112ppi i p p i p p im n nmn mn m i i nCiC CC CC C ----+-===-++∑∑，1101101112ppp i p i p p p p im n n mn m i n mnmn m i i nCnC CC C C CC C C C -----+--===-++-+∑∑，11111ppp i p i i p i pm n n mn m m i i nCn C CC C C ----+--===-+-∑∑， 1111p p p p p pm n m n m n m m n m nC nC C C C C --+-+-++=-+-=-=右边，所以()1112C CC C 1C C pp i p i p pn m n n m m n m i i --+-+=--=-∑. 【点睛】考查二项式定理以及“算两次”思想的应用，对学生的推理论证能力以及运算求解能力是一个挑战；难题.。

2020年中考考前（江苏南京卷）全真模拟卷（5）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题有6个小题，共2分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.据统计截止2019年南京常住人口为843.62万人，共有55个民族，其中汉族占总人口的98.76%，少数民族约9.92万人，843.62万用科学记数法表示为（）A．8.4362×102B．8.4362×104C．8.4362×105D．8.4362×106【解析】解：843.62万＝843.62×104＝8.4362×106.故选D.2.下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8 B．（a2）4＝a8 C．（a4b2）2＝a6b4 D．a8÷a4＝a2【解析】解：A．a2•a4＝a6，故本选项不符合题意；B．（a2）4＝a8，正确，故本选项符合题意；C．（a4b2）2＝a8b4，故本选项不符合题意；D．a8÷a4＝a4，故本选项不符合题意．故选：B．3.下列说法正确的是（）A．－3是－9的平方根B．1的立方根是±1C．a是a2的算术平方根D．4的负的平方根是－2【解析】解：A．－9没有平方根，此选项错误；B．1的立方根是1，此选项错误；C．|a|是a2的算术平方根，此选项错误；D．4的负的平方根是－2，此选项正确；故选：D．4.如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（）A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c＋b＜a＋b【解析】解：由题意，可知a＞0＞b＞c．A、∵a＞0＞b＞c，∴c＜b＜a，故此选项错误；B、∵b＞c，a＞0，∴ac＜ab，故此选项正确；C、∵c＜a，b＜0，∴cb＞ab，故此选项错误；D、∵c＜a，∴c＋b＜a＋b，故此选项错误；故选：B．5.若正数x的平方等于10，则下列对x的估算正确的是（）A．1＜x＜2B．2＜x＜3C．3＜x＜4D．4＜x＜5【解析】解：∵x2＝10且x＞0，∴x＝10，34，∴3＜x＜4．故选：C．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．2D．4【解析】解：如图，B′的运动路径是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝6，∴DE DB′＝2．故选：A．二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分）7.已知|x|＝2020，则x＝______.【解析】解：∵|±2020|＝2020，∴x＝±2020.故答案为：±2020.8.计算__________.6＝5＋－ 5.故答案为：5.9.因式分解：－2ab2＋12ab－18a＝__________．【解析】解：原式＝－2a(b2－6b＋9)＝－2(b－3)2.故答案为：－2(b－3)2.10.已知方程x2－x－7＝0的两个实数根分别为m，n，则m2＋n的值为__________．【解析】解：由题意可知m＋n＝1，m2－m－7＝0，∴m2＝m＋7，∴原式＝m＋7＋n＝8，故答案为：8．11.如图，若∠1＝∠D＝39°，∠C＝52°，则∠B＝__________°．【解析】解：∵∠1＝∠D，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝180°－∠C＝180°－52°＝128°，故答案为：128．12.如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯_______（填“能”或“否”）到达墙的顶端．【解析】解：设这把梯子能够到达的墙的最大高度是h米，根据勾股定理h＝12（米）∵h＝12＞11.7∴一个长为15米的云梯能够到达墙的顶端．故答案为：能．13.某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为________．【解析】解：甲的成绩为(70×5＋60×2＋90×3)÷(5＋2＋3)＝74，故答案为：74．14.有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，»AB的度数等于________．边BC经过圆心O，劣弧【解析】解：如图，延长BC交⊙O于点D，连接AD，OA．∵BD是直径，∴∠DAB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠D＝90°－30°＝60°，∵OA＝OD，∴∠D＝∠OAD＝60°，∴∠AOB＝∠D＋∠OAD＝120°，»AB的度数等于120°.∴劣弧故答案为：120°．15.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______．【解析】解：如图，过点E作EG⊥AE交AF于点G，过点G作MN∥AB交BC于点M，交AD 于点N.∵∠EAF＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴△BEA≌△MGE，∴AB＝EM，BE＝MG，∴EM＝4，MG＝2，∴AF＝6，NG＝2，∵△ANG∽△ADF，∴AN NGAD DF=，即628DF=，解得DF＝8 3 .故答案为：8 3 .16.如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________．【解析】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝A＝60°，∴∠ABC1＝30°，∴AC1＝AB＝3，由勾股定理得：BC1＝3，在Rt△ABC2中，AB＝A＝60°，∴∠AC2B＝30°，∴AC2＝BC2＝6，当△ABC 是锐角三角形时，点C 在C 1C 2上移动，此时3＜BC ＜6．故答案为：3＜BC ＜6．三、解答题（本大题有11个小题，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（7分）计算：3（2x －1）－（－3x －4）（3x －4）.【解析】解：原式＝6x －3－（16－9x 2）＝6x －3－16＋9x 2＝9x 2＋6x －19．18.（7分）已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，求k 的取值范围. 【解析】解：∵211x k x x -=--，∴1x k x +-＝2，∴x ＝2＋k ， ∵该分式方程有解，∴x ≠1，∴2＋k ≠1，∴k ≠﹣1，∵x ＞0，∴2＋k ＞0，∴k ＞﹣2，∴k ＞﹣2且k ≠﹣1，19.（7分））如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是OB 上一点，DH ⊥CE ，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE ＝OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，AC ＝BD ，∴∠COB ＝∠DOC ＝90°，CO ＝DO ，∵DH ⊥CE ，∴∠DHE ＝90°，∠EDH ＋∠DEH ＝90°，∵∠ECO ＋∠DEH ＝90°，∴∠ECO ＝∠EDH ，∴△ECO ≌△FDO （ASA ），∴OE ＝OF ．20.（8分）为了使“祖国在我心中”为主题的读书活动更具有针对性，海庆中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．【解析】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；（2）60﹣（18＋9＋12＋6）＝15（名），则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×960＝225（名），答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．21.（8分）为丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是__________．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率．【解析】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率＝14； （2）列表如下：由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率为612＝12． 22.（7分））已知：如图，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交△ABC 的外接圆于点D ，求证：DB ＝DC ＝ID ．证明：∵点I 是△ABC 的内心，延长AI 交△ABC 的外接圆于点D ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠DBC ＝∠DCB ＝12∠BAC ，∠ABI ＝∠CBI ＝12∠ABC ， ∴BD ＝CD ，∵∠BID ＝∠BAD ＋∠ABI ，∠DBI ＝∠DBC ＋∠IBC ，∴∠DBI ＝∠BID ，∴BD ＝DI ，∴DB ＝DC ＝ID ．23.（8分）如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b （k 1、b 为常数，k 1≠0）的图象与反比例函数y 2＝2k x（k 2≠0，x ＞0）的图象交于点A （m ，8）与点B （4，2）．①求一次函数与反比例函数的解析式．②根据图象说明，当x 为何值时，k 1x ＋b ﹣2k x＜0．【解析】解：①把点B （4，2）代入反比例函数y 2＝2k x（k 2≠0，x ＞0）得，k 2＝4×2＝8， ∴反比例函数的解析式为y 2＝8x， 将点A （m ，8）代入y 2得，8＝8m ，解得m ＝1， ∴A （1，8），将A 、B 的坐标代入y 1＝k 1x ＋b （k 1、b 为常数，k 1≠0）得11842k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1210k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为y 1＝﹣2x ＋10；②由图象可知：当0＜x ＜1或x ＞4时，y 1＜y 2，即k 1x ＋b ﹣2k x＜0． 24.（8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AD ＝3m ，坝高AE ＝DF ＝6m ，坡角α＝45°，β＝30°，求BC 的长．【解析】解：过A 点作AE ⊥BC 于点E ，过D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形AEFD 是矩形，有AE ＝DF ＝6，AD ＝EF ＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE ＝AE ＝6，CF＝，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝6＋3＋＝9＋，∴BC ＝（9＋）m ，答：BC的长（9＋m．25.（8分）2017年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2019年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【解析】解：（1）设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1＋x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1＋20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2020年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．26.（9分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝________cm，∠EAD＝________°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．【解析】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：，45（2）当0＜x ≤2时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，∵AQ ＝2x ，APx ，∠DAE ＝45°，PF ⊥AD ，∴PA ＝PQx ，∴y ＝S △PQA ＝12×PQ 2＝x 2； 当2＜x ≤3时，如图，过点P 作PF ⊥AD ，∵APx ，PF ＝AF ＝x ，QD ＝2x ﹣4，∴DF ＝4﹣x ，∴y ＝12x 2＋12（2x ﹣4＋x ）（4﹣x ）＝﹣x 2＋8x ﹣8； 当3＜x ≤72时，如图，点P 与点E 重合．∵CQ ＝（3＋4）﹣2x ＝7﹣2x ，CE ＝4﹣3＝1cm ，∴y ＝12（1＋4）×3﹣12（7﹣2x ）×1＝x ＋4. 综上所述，y ＝22884x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪+⎩()()0223732x x x <≤<≤⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.（3）当0＜x ≤2时∵QF ＝AF ＝x ，PF ⊥AD ，∴PQ ＝AP ，∵PQ ＝54cm ，x ＝54，∴x . 当2＜x ≤3时，过点P 作PM ⊥CD ，∴四边形MPFD 是矩形，∴PM ＝DF ＝4﹣x ，MD ＝PF ＝x ，∴MQ ＝x ﹣（2x ﹣4）＝4﹣x ，∵MP 2＋MQ 2＝PQ 2，∴（4﹣x ）2＋（4﹣x ）2＝2516，∵x ＝4±8＞3（舍）， 当3＜x ≤72时，如图，∵PQ 2＝CP 2＋CQ 2，∴2516＝1＋（7﹣2x ）2，∴x ＝258.综上所述：x ＝258或8. 27.（11分）问题提出：（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．∴以点O为圆心，OB=5长为半径作⊙O，⊙O一定与AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外；∴△BPC的顶点P在点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，∴AP1＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，由对称性得AP2＝8．（3）可以，如图所示，连接BD，∵点A为□BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°，∴BD＝100，∠BED＝60°作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧»BD上，取¼BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为等边三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形BC′DE′为菱形，且∠C′BE′＝120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA﹣E′O+OA＝E′A，∴S△BDE＝12BD·EF≤12BD·E′A＝S△E′BD，∴S□BCDE≤S□BC′DE′＝2S△E′BD＝1002sin60°＝（m2）所以符合要求的□BCDE的最大面积为2．。

2020年江苏省南京市高淳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算﹣3+|﹣5|的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣8D．82．在“2020高淳国际马拉松赛”中，有来自肯尼亚、韩国、德国等16个国家和地区约10100名马拉松爱好者参加，将10100用科学记数法可表示为（）A．10.1×103B．1.01×104C．1.01×105D．0.101×1043．计算（﹣a2）3的结果是（）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a64．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80 85 85 80方差42 42 54 59A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体的主视图为（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．4的平方根是．8．函数的自变量x的取值范围是．9．化简：+3=．10．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是．11．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，2），则当x=﹣2时，y=．12．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=．13．一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则=．14．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=45°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …﹣﹣1 ﹣0 1 …y …﹣﹣2 ﹣﹣2 ﹣0 …则ax2+bx+c=0的解为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1=．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．18．先化简，再求值：÷﹣1，其中a=．19．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）写出扇形图中a=%，并补全条形图；（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是个、个．（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？20．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为．（1）该批产品有正品件；（2）如果从中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率．21．如图，▱ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．（1）求证：△ADB≌△CEA；（2）若BD=6，求AF的长．22．某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°．（1）求建筑物CD的高度；（2）求建筑物AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）23．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？24．已知二次函数y=2x2+bx﹣1．（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点．（2）若两点P（﹣3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．①求b、m的值；②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．26．从M地到N地有一条普通公路，总路程为120km；有一条高速公路，总路程为126km．甲车和乙车同时从M地开往N地，甲车全程走普通公路，乙车先行驶了另一段普通公路，然后再上高速公路．假设两车在普通公路和高速公路上分别保持匀速行驶，其中在普通公路上的行车速度为60km/h，在高速公路上的行车速度为100km/h．设两车出发x h时，距N地的路程为y km，图中的线段AB与折线ACD分别表示甲车与乙车的y与x之间的函数关系．（1）填空：a=，b=；（2）求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数关系式；（3）两车在何时间段内离N地的路程之差达到或超过30km？27．如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧上一点．（1）若∠ACB=45°，点P是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠APB=；（2）如图②，若点P是弦AB与所围成的弓形区域（不含弦AB与）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．2020年江苏省南京市高淳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算﹣3+|﹣5|的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣8D．8【考点】有理数的加法；绝对值．【分析】先化去绝对值，再进行有理数加法运算，求得计算结果．【解答】解：∵﹣3+|﹣5|=﹣3+5=2，∴计算﹣3+|﹣5|的结果是2．故选B2．在“2020高淳国际马拉松赛”中，有来自肯尼亚、韩国、德国等16个国家和地区约10100名马拉松爱好者参加，将10100用科学记数法可表示为（）A．10.1×103B．1.01×104C．1.01×105D．0.101×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10100=1.01×104，故选：B．3．计算（﹣a2）3的结果是（）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．【解答】解：（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6．故选D．4．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80 85 85 80方差42 42 54 59A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故选：B．5．如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体的主视图为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面、体；简单几何体的三视图．【分析】圆锥的主视图是从物体正面看，所得到的图形．【解答】解：如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体为圆锥，它的主视图为等腰三角形．故选C．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．4的平方根是±2．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a 的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．8．函数的自变量x的取值范围是x≠1．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．9．化简：+3=3\sqrt{3}．【考点】二次根式的加减法．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．【解答】解：原式=2+=3．10．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是\frac{1}{2}．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．∴出现“一正一反”的概率是．11．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，2），则当x=﹣2时，y=3．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先把点A（﹣3，2）代入y=求得k的值，然后将x=﹣2代入，即可求出y的值．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，2），∴k=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣，∴当x=﹣2时，y=﹣=3．故答案为：3．12．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=130°或50°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：如图∵弧BAD的度数为140°，∴∠BOD=140°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°故答案为：130°或50°．13．一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则=﹣\frac{1}{2}．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣m，x1•x2=2m，继而求得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣m，x1•x2=2m，∴==﹣．故答案为：﹣．14．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB=45°，AB=2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 π ．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据旋转的性质得到AO=CO=2，BO=DO=2，然后根据阴影部分面积=S 扇形OBD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △COD =S 扇形OBD ﹣S 扇形OAC ，代入数值即可得到结果． 【解答】解：∵Rt △OAB 中，∠AOB=45°，AB=2， ∴AO=2，BO=2，∵将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ， ∴CO=OA=2，DO=OB=2，∴阴影部分面积=S 扇形OBD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △COD =S 扇形OBD ﹣S 扇形OAC =﹣=π，故答案为：π．15．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x … ﹣ ﹣1 ﹣ 01… y…﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0…则ax 2+bx+c=0的解为 x=﹣2或1 ． 【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案．【解答】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=﹣，∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（﹣2，0）， ∴ax 2+bx+c=0的解为：x=﹣2或1． 故答案为：x=﹣2或1．16．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=6，点E 是AD 上一点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠ADC 的平分线上时，DA 1= 2\sqrt{2} ．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】过A1作MH⊥AD交AD于M，交BC于H，作A1N⊥CD于N，由折叠的性质得出A1B=AB=5，由正方形的性质和已知条件得出四边形DMA1N是正方形，得出A1M=A1N，设A1M=A1N=x，则A1H=5﹣x，BH=6﹣x，在Rt△A1BH中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：过A1作MH⊥AD交AD于M，交BC于H，作A1N⊥CD于N，如图所示：由折叠的性质得：A1B=AB=5，∵点A1恰落在∠ADC的平分线上，∴∠ADA1=∠CDA1=45°，∴四边形DMA1N是正方形，∴A1M=A1N，设A1M=A1N=x，则A1H=5﹣x，BH=6﹣x，在Rt△A1BH中，由勾股定理得：（5﹣x）2+（6﹣x）2=52，解得：x=2，或x=9（舍去），∴DA1=x=2；故答案为：2．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＜3．解不等式②，得x≥1．所以，不等式组的解集是1≤x＜3．它的解集在数轴上表示出来为：．18．先化简，再求值：÷﹣1，其中a=．【考点】分式的化简求值．【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式=，再把a的值代入计算即可．【解答】解：原式═÷﹣1=•﹣1=﹣=，当a=时，原式==﹣．19．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）写出扇形图中a=25%，并补全条形图；（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是5个、5个．（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？【考点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数．【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；（2）根据众数与中位数的定义求解即可；（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．【解答】解：（1）扇形统计图中a=1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%=25%，设引体向上6个的学生有x人，由题意得=，解得x=50．条形统计图补充如下：（2）由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5（3）×1800=810（名）．答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．故答案为：25；5，5．20．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为．（1）该批产品有正品3件；（2）如果从中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出2件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵某种电子产品共4件，从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为；∴批产品有正品为：4﹣4×=3．故答案为：3；（2）画树状图得：∵结果共有12种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种，∴P（两次取出的都是正品）==．21．如图，▱ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．（1）求证：△ADB≌△CEA；（2）若BD=6，求AF的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB．证出∠BAD=∠ACE，CE=AD，由SAS证明△ADB≌△CEA即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BD=6，由平行线得出△ADF∽△EBF，得出对应边成比例，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠BAD=∠ACE．∵CE=BC，∴CE=AD，在△ABE和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（SAS）．（2）解：∵△ADB≌△CEA，∴AE=BD=6．∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF．∴==．∴=．∴AF=2．22．某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°．（1）求建筑物CD的高度；（2）求建筑物AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）由在Rt△CDE中，tan∠CED=，DE=8.65，∠CED=30°，即可求得答案；（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，然后在Rt△CBF中，求得FC，在Rt△AFC中，求得AF，继而求得答案．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tan∠CED=，DE=8.65，∠CED=30°，∴tan30°=，解得：DC≈=5，∴建筑物CD的高度约为5米；（2）过点C作CF⊥AB于点F．在Rt△CBF中，tan∠FCB=，BF=DC=5，∠FCB=37°，∴tan37°=≈，FC≈6.67，在Rt△AFC中，∵∠ACF=45°，∴AF=CF=6.67，∴AB=AF+BF≈11.67，∴建筑物AB的高度约为11.67米．23．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据题意分别表示出每盆植入的花苗株数，再表示出每株的盈利进而得出等式求出答案．【解答】解：设每盆花在植苗4株的基础上再多植x株，由题意得：（4+x）（5﹣0.5x）=24，解得：x1=2，x2=4，因为要尽可能地减少成本，所以x2=4应舍去，即x=2，则x+4=6，答：每盆花植花苗6株时，每盆花的盈利为24元．24．已知二次函数y=2x2+bx﹣1．（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点．（2）若两点P（﹣3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．①求b、m的值；②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）先计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△=＞0，然后根据判别式的意义可判断抛物线与x轴必有两个交点；（2）①先利用抛物线的对称性可确定抛物线的对称轴方程，从而可求出b的值，然后计算自变量为1所对应的函数值即可得到m的值；②设平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x﹣1+k，根据判别式的意义△=0得到关于k的方程，然后解方程求出k的值即可判断抛物线平移的距离．【解答】（1）证明：∵△=b2﹣4×2×（﹣1）=b2+8＞0，∴无论b取何值时，二次函数y=2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点；（2）解：①∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx﹣1图象上的两点，且两点纵坐标都为m∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，∴抛物线对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，解得b=4，∴抛物线解析式为y=2x2+4x﹣1，当x=1时，m=2×12+4×1﹣1=5；②设平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x﹣1+k，∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，∴△=16+8﹣8 k=0，解得k=3，即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．【考点】切线的判定．【分析】（1）根据等边对等角得出∠ODA=∠OAD，进而得出∠OAD=∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE=8cm，根据垂径定理得出DF=CD=6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．【解答】（1）证明：连结OA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA=∠EDA．∴∠OAD=∠EDA，∴EC∥OA．∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=8cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=6cm．在Rt△ODF中，OD==10cm，即⊙O的半径为10cm．26．从M地到N地有一条普通公路，总路程为120km；有一条高速公路，总路程为126km．甲车和乙车同时从M地开往N地，甲车全程走普通公路，乙车先行驶了另一段普通公路，然后再上高速公路．假设两车在普通公路和高速公路上分别保持匀速行驶，其中在普通公路上的行车速度为60km/h，在高速公路上的行车速度为100km/h．设两车出发x h时，距N地的路程为y km，图中的线段AB与折线ACD分别表示甲车与乙车的y与x之间的函数关系．（1）填空：a= 1.36，b=2；（2）求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数关系式；（3）两车在何时间段内离N地的路程之差达到或超过30km？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）求出C坐标，再根据时间=分别求出甲车在普通公路上行驶的时间及乙车在高速公路上行驶的时间，可得a、b的值；（2）根据A、B、C、D四点坐标待定系数法求解可得线段AB、CD所表示的y与x之间的函数关系式；（3）分类讨论：当0＜x＜0.1时，由解析式可知甲、乙两车距离差最大为12；当0.1≤x＜1.36时，由y1﹣y2≥30列不等式可得x的范围；当1.36≤x≤2时，由y1≥30列不等式可得此时x的范围，综合以上三种情况可得答案．【解答】解：（1）根据题意，知：点C的坐标为（0.1，126），∴a=0.1+=1.36，b==2，故答案为：1.36，2．（2）设线段AB所表示的y与x之间的函数关系式分别为y1=k1x+b1，将A（0，120）、B（2，0）的坐标代入得：，解得：，∴y1=﹣60x+120；设线段CD所表示的y与x之间的函数关系式分别为y2=k2x+b2，将C（0.1，126）、D（1.36，0）的坐标代入得：，解得：，∴y2=﹣100x+136．（3）由题意，①当x=0.1时，两车离N地的路程之差是12km，∴当0＜x＜0.1时，两车离N地的路程之差不可能达到或超过30km．②当0.1≤x＜1.36时，由y1﹣y2≥30，得（﹣60x+120）﹣（﹣100x+136）≥30，解得x≥1.15．即当1.15≤x＜1.36时，两车离N地的路程之差达到或超过30km．③当1.36≤x≤2时，由y1≥30，得﹣60x+120≥30，解得x≤1.5．即当1.36≤x≤1.5时，两车离N地的路程之差达到或超过30km．综上，当1.15≤x≤1.5时，两车离N地的路程之差达到或超过30km．27．如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧上一点．（1）若∠ACB=45°，点P是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠APB=45°或135°；（2）如图②，若点P是弦AB与所围成的弓形区域（不含弦AB与）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据题意可知，存在两种情况，针对两种情况，可以画出相应的图形，由题目中的信息和同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，可以分别求得两种情况下∠APB的度数，本题得以解决；（2）根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决；（3）根据题意和第（2）问，可以画出满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决．【解答】（1）解：如右图①所示，根据题意可分两种情况，第一种情况，当点P在P1时，可知，∠AP1B=∠ACB=45°；第二种情况，当点P在P2时，∵四边形ACBP2是圆内接四边形，∴∠AP2B+∠ACB=180°，∵∠ACB=45°，∴∠AP2B=135°，故答案为：45°或135°；（2）证明：如下图②所示，延长AP交⊙O于点Q，连接BQ．则∠PQB=∠ACB，∵∠APB为△PQB的一个外角，∴∠APB＞∠PQB，即∠APB＞∠ACB；（3）点P所在的范围如下图③所示，2020年7月13日第21页（共21页）。

绝密★启用前江苏省南京市普通高中2020届高三毕业班下学高考模拟考试数学试题(解析版)2020年5月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合M ＝{m |﹣3＜m ＜2，m ∈Z }，N ＝R ，则M ∩N ＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题．2.复数z 1i i=+复平面上对应的点位于第_____象限． 【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限． 【详解】∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-,∴复数对应的点的坐标是（12,12） ∴复数1i i+在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题．3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6；80,4．则这20名学生成绩的方差为_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n 个数与其平均数,方差间关系x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差．【详解】设x 1,x 2…x n 的方差S 21n =[（x 1x -）2+（x 2x -）2+…+（x n x -）2]1n=[x 21+x 22++x 2n -2x （x 1+x 2+…+x n ）+n x 2]1n =[x 12+x 22++x 2n -n x 2] ∴x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2, 则x 21+x 22++x 210=10×36+10×902＝81360,x 211+x 212++x 220=10×16+10×802＝64160, 1220109010802020x x x +++⨯+⨯==85． ∴S 2120=[x 21+x 22++x 220-20x 2]120=[81360+64160﹣20×852]＝51, 故答案：51．【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题．4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为_____．。

江苏省南京市高淳县第一中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数对任意的都存在,使得则实数的取值范围是参考答案： A2. 在平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=4，则?（﹣）等于（ ）A ．﹣7B ．1C ．7D ．25参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知结合向量加法的三角形法则化简求值． 【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，∴?（﹣）===．故选：A ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加法与减法的三角形法则，是基础的计算题． 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A ．102B ．81C ．39D ．21开始输出S 结束是 否参考答案：A 略4. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）A. B ． 3 C ． D ．参考答案：C 略5. 某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）A ．《雷雨》只能在周二上演B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演参考答案：C 6. 已知，那么的值是（）A．B ．C ．D ．参考答案：B7. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +（n+2）a n }为等差数列，则a n =（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用．8. 已知－9，a1，a2，a3，－1成等比数列，－9，b1，b2，－1成等差数列，则a2（b1－b2）＝A．－ B．8 C．－8 D．±8参考答案：B略9. 某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A． B． C． D．参考答案：B10. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值等于A．B ． C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象为Ｃ,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).①图象C 关于直线对称; ②图象C 关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C参考答案： ①②③ 略12. 不等式的解集为．参考答案：13. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 ．参考答案：略14. 函数的图象恒过定点,且点在曲线上，其中，则的最小值为___________________.参考答案：15. 若变量x ，y 满足约束条件且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，a －b 的值是____________参考答案：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a－b ＝24.16. 已知点满足，则的取值范围是________________．参考答案：略17. 对2×2数表定义平方运算如下：． 则；参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。