2012高中数学复习讲义(通用版全套)第九章 圆锥曲线

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为：12222=+by a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：12222=+by a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为ca x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点： 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。

例6，7+其他例3，4，5小题，例1，例2时间轴：60 60 40知识梳理知识结构图第9讲 圆锥曲线基本量与性质巩固、曲线与方程若双曲线22221x y a b -=( ) A ．2y x =± B ．y = C ．12y x =± D ．y x =±【解析】B1．双曲线22+1mx y =的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．14-B ．4-C ．4D ．14【解析】A ；2．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点()14P ，的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF += . 【解析】10；3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 【解析】C ；小题热身真题再现4．已知两定点(2,0)A －，()1,0B ，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 【解析】B ；1．设点P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上的动点，1F ，2F 是椭圆的左右焦点，2PF x ⊥轴，P 点在第一象限，那么P 点坐标为 ．【解析】2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，；可拓展到双曲线和抛物线，有类似结论．2．双曲线的渐近线有重要性质：双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的焦点到渐近线的距离为_____，顶点到渐近线的距离为 ．【解析】b ；3．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ，，，七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127PF P F P F +++=_____．暑期知识回顾9.1圆锥曲线基本量综合【解析】35；4．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()40， B ．()20， C ．()02， D ．()02-， 【解析】B ；5．已知点()11A ，，1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上的任意一点，则1PF PA +的最小值为 ． 【解析】6考点1：椭圆的基本量综合【例1】⑴求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①过点(32)-，且与椭圆224936x y +=有相同焦点；②长轴与短轴长之和为20，焦距为③以边长为4的正ABC △的顶点B 、C 为焦点，经过顶点A ．⑵已知椭圆22+11510x y =的焦点为12F F ，，P 为椭圆上一动点，1260F PF ∠=︒，求12F PF S △．⑶如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线1AB 与BF 交于D ，且190BDB ∠=︒，则椭圆的离心率为( )AB C D【解析】⑴ ①+11510= ②22+13616x y =或者22+11636x y = ③22+11612x y =或者22+11216x y = ⑵ 12F PF S =△；⑶ B ；【设计意图】⑴复习椭圆的基本性质；⑵焦点三角形面积公式2tan 2S b θ=；⑶椭圆离心率的综合题目．经典精讲【拓展】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF．证明：a =．【解析】由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上， 有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=．解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．212b AF a a=-在三角形12AF F 中由面积相等得1112223AF OF F F AF ⋅=⋅∴222223b b a c c a a ⎛⎫-⋅=⋅ ⎪⎝⎭，∴a =．该题也可求解直线1AF 的方程，利用点O 到该直线的距离求解，运算较繁．也可利用三角形相似求解，有关焦点三角形的问题，要增强解三角形的意识．【拓展】（2012年四川卷）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A B ，，当FAB △ 的周长最大时，FAB △的面积是 .【解析】3；【拓展】在直线:90l x y -+=上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，所作椭圆的长轴最短为 ．【分析】要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义．基本的解题思路如下：长轴最短→三点一直线→寻求对称→对称变换．在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法．通过此对称性主要利用1221||||||NF NF F F '+≥.【解析】考点2：双曲线的基本量综合【例2】⑴求适合下列条件的双曲线的标准方程．①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点()012M ，； ③与双曲线221916x y -=有公共渐近线，且经过点(3A -，．⑵设1F ，2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +=( )A B．CD ．⑶如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）AB D ．1【解析】⑴ ①2216436x y -=或2216436y x-=．②22114425y x -=． ③224194x y -=．⑵ B ⑶ D ；【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.注意选项，直接排除AB ．【拓展】设P 是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，左支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．内切或外切D ．不相切【解析】A ；考点3：抛物线的基本量综合【例3】⑴根据下列条件求抛物线的标准方程．①抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； ②经过点()23A -，；③焦点在直线240x y --=上；④抛物线焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，5AF =． ⑵已知动点M的坐标满足方程3412x y +-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对⑶已知点(03)A ，-，()23B ，，设点P 为抛物线2x y =上一点，求PAB △面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．【解析】⑴ ①212y x =-．②292y x =或243x y =-．③28x y =-或216y x =．④为22y x =±或218y x =±． ⑵ C ；⑶当3924P ⎛⎫⎪⎝⎭，时，PAB △面积有最小值34S =．【拓展】已知抛物线2y x =，动弦x【分析1】要求AB 12观察到1y 、2y 是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解．【分析2】要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值．【答案】点M 纵坐标的最小值为34．【拓展】设P 是抛物线24y x =上的一个动点．⑴ 求点P 到点()11A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； ⑵ 若()32B ，，求PB PF +的最小值．【解析】⑴⑵ PB PF +的最小值是4．【教师备案】（本内容中涉及过焦点的直线与抛物线相交所得焦点弦的问题）其它的性质：性质a.过抛物线22y px =上一点()00M x y ，的切线方程是：()00y y p x x =+ 【证明】对方程22y px =两边取导数：22y y p '⋅=，∴py y'=是切线的斜率．00|x x p k y y ='==．由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+∵202y px =，代入⑴即得：()00y y p x x =+．性质b ．⑴若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22si n p AB α=()0α≠．⑵ 焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短．【证明】⑴ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y 2p k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，2220ky py kp --= ∴122py y k+=，212y y p =-， ∴2222121212122222y y p AB y y x x p p p p p p p k ⎡⎤⎛⎫=-=++=++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222222(1)2(1tan )2tan sin p k p pk ααα++===． 易验证，结论对斜率不存在时也成立．⑵ 由⑴：AB 为通径时，90α=︒，2sin α的值最大，AB 最小．性质c ．设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =．则OPQ S =△【解析】如图2，不妨设抛物线方程为24y ax =，点()11P x y ，、点()22Q x y ，x图2则由抛物线定义知：12122PQ PF QF x a x a x x a =+=+++=++ 又PQ b =，则122x x b a +=-．由24y ax =得：2212244y y b a a a+=-，即()221242y y a b a +=-． 又PQ 为过焦点的弦，所以2124y y a =-，则21y y -==所以，2112OPQ S OF y y =⋅-=△ 【点评】将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能．由性质b 、c可推出焦点三角形的面积公式也可以为：222sin p p S α==△．考点4：圆锥曲线相互间综合【例4】⑴如下图，已知AB 10=，图中的一系列圆是圆心分别为A B ，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是123n ，，，，，利用这两组同心圆可以画出以A B ，为焦点的双曲线，若其中经过点M N P ，，的双曲线的离心率分别记为M e ，N e ，P e ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．⑵若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，线段12F F 被抛物线2y bx =的焦点分为3:1的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617B C ．45D⑶已知1F 、2F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则（ ）A ．2212114e e +=B ．22124e e += C ．2212112e e += D ．22122e e +=⑷已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )AB1 C1 D．12【解析】⑴ M P N e e e <<⑵ B ⑶ C ； ⑷ C ；考点5：轨迹方程的定量计算【教师备案】求动点轨迹方程的一般步骤：⑴ 建立适当的坐标系 ⑵ 设出要求轨迹点的坐标 ⑶ 列出方程． ⑷ 化简⑸ 检验是否有不满足条件的点，或漏掉某些点【铺垫】⑴直接法动点M 到定点()10F ，的距离与到定直线l ：3x =的距离的和为定值4．求点M 的轨迹．⑵定义法：圆的性质——直径所对的圆周角为直角．类似的，对于椭圆能得到什么呢？设AB 为椭圆22221x y a b+=的“直径”（过中心的弦），P 为椭圆上一点（异于A B ，），P A P B ，仍垂直吗？会有什么关系？x经典精讲9.2曲线与方程思想⑶代入法：若所求轨迹上的动点()P x y ，与另一个已知轨迹（曲线）():0C f x y =，上的动点()11Q x y ，存在着某种联系，则可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入曲线C 的方程()0f x y =，中并化简，即得动点P 轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.如图所示，已知(40)P ，是圆2236x y +=内的一点，A B 、是圆上两动点，且满足90APB ∠=︒，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．x⑷参数法：根据题设条件，用一个参数分别表示出动点()x y ，的坐标x 和y ，或列出两个含同一个参数的动点()x y ，的坐标x 和y 之间的关系式，这样就间接地把x 和y 联系起来了，然后联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.过抛物线2y x =的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作矩形AOBM ，如图，求点M 的轨迹方程．【解析】⑴()()()2240312434y x x y x x ⎧=⎪⎨=--<⎪⎩≤≤≤． ⑵设1100()()A x y P x y ，，，，则11()B x y --，，2201010122010101PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又因为2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，所以：22012201y y x x --22b a=-，即：,PA PB 的斜率之积为定值． 这种定义总结如下：PA PB k k λ⋅=，1．如果0λ>，动点轨迹为不完整的双曲线 2．如果=0λ，动点轨迹为不完整的两条直线 3．如果0λ<，1λ≠-动点轨迹为不完整的椭圆 4．如果=1λ-，动点轨迹为不完整的圆．轨迹上都没有与A B ，的横坐标一样的所有点． ⑶2256x y +=． ⑷22y x =-．【例5】⑴ 直接法动点()P x y ，到两定点(30)A -，和(30)B ，的距离的比等于2（即||2||PA PB =），求动点P 的轨迹方程．⑵ 定义法在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()11A -，关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2．求动点P 的轨迹方程．⑶ 代入法点B 是椭圆2212516x y +=上的动点，()100A ，为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．⑷ 参数法过抛物线2:C y x =-上一点()11P -，作斜率为1k 、2k 的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点()11A x y ，，()22B x y ，，且满足120k k +=．若点M 满足BM MA =，求点M 的轨迹方程．【解析】⑴ 22516x y +=（－），轨迹是以50（，）为圆心，4为半径的圆. ⑵ 2221(1)x y x -=≠±．⑶ 分析：题中涉及了三个点A B M ，，，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程．()22451254x y -+=⑷ 1x =-（1y -≤且5y -≠）．考点6：轨迹的定性分析【例6】有的习题只需要能够确定轨迹的基本形状，不需要准确求出轨迹的方程，或者有的题目根本就没有平面直角坐标系，解题时只需要判断形状即可． ⑴已知定点(11)A ，和直线20l x y :＋－＝，那么到定点A 的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线⑵已知椭圆的焦点是12F F P 、，是椭圆上的一个动点，如果M 是线段1F P 的中点，则动点M的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线⑶ABC △中，A 为动点，B C 、为定点，02a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，，且满足条件1sin sin sin 2C B A -＝，则动点A 的轨迹方程是__________．⑷若点P 到直线1x ＝-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线⑸曲线C 是平面内与两个定点1(10)F -，和2(10)F ，的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________.【解析】⑴ D ；⑵ B ；⑶ 2222161613x y a a -=(0x >且0y ≠)．⑷D ； ⑸②③．【拓展】如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）αPB AA ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线【解析】B ；考点7：曲线与方程综合【例7】⑴曲线C 是平面内到定点(01)F ，和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是_____．⑵已知以4T =为周期的函数(11]()12(13]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，，，，其中0m >．若方程3()f x x=恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．83⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎝ C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭， D．43⎛ ⎝ 【解析】⑴ ①②③⑵ B ；【拓展】方程1169x xy y+=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点； ③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图象关于原点对称，则函数()y g x =的图象就是方程1169y y x x +=确定的曲线．其中所有正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③【解析】D ；【拓展】曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(1)B a ，（a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = ．【解析】(0，； 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a -+-<-⎨⎪--<<⎪⎩≤或≥≤ 【教师备案】第二问比较困难，运算量比较大，会耽误时间较多，如无充分备课，可跳过．【专题补充】（如有时间可以补充，体现教师对高考的研究水平，学生版不出现）性质1 若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12F F ，分别为左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，则以1PF为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙内切． 【解析】如图所示，在12F PF △中，O ，1O 分别为12F F ，1PF 的中点，所以1212OO PF =，又因为以1PF 为直径的1O ⊙的半径为1112r PF =，O ⊙的半径2r a =，所以21112r r a PF -=-．又因为122PF PF a +=，所以211211122r r a PF PF OO -=-==，所以两圆内切．性质2 若双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，，12FF ，分别为左、右焦点，则⑴ 当点P 为双曲线左支上任意一点时，以1PF 为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙外切； ⑵ 当点P 为双曲线右支上任意一点时，以1PF 为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙内切．【解析】证明同性质1类似，过程略．【演练1】双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线与双曲线左支交于A B ，两点，若弦AB 的长为4，则2ABF △的周长为 ．【解析】28【演练2】已知点P 的抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点()02M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．【解析5【演练3】设12F F ，为双曲线2211620x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则P 的坐标为 ．【解析】4101433⎛⎫± ⎪⎝⎭．课后习题。

第九节 直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识1．直线与圆锥曲线的位置关系2．弦长公式二、常用结论考点一 直线与圆锥曲线的位置关系[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0)，且点P (0,2)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程．[[题组训练]1．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点，则k 的取值范围是________．2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．考点二 与弦有关的问题[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[题组训练]1．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( ) A ．±7 B ．±3或±413 C ．±3 D ．±4132．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．考点三 圆锥曲线中的证明问题[典例] 设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[对点训练] 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[课时跟踪检测]1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y 2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．±2B ．±2C ．±1D ．±3 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( ) A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0 B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32B ．3C ．2 3D ．46．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12的点P 的个数为________．9．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．。

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义高考真题:1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C.2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2833x y = (B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高中数学复习讲义第九章圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

第一章：规定动作1.规定动作之联消判韦（2013天津卷改编）已知,A B 是椭圆22132x y +=的左、右顶点，F 为该椭圆的左焦点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。

若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.2. 联消判韦之速算判别式（2018全国3卷改编）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 中点D 的横坐标为1，求证:1||2k >.（2015江苏卷改编）已知椭圆2212x y +=的右焦点为F ，直线l 的方程为2x =-，过点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程。

4.联消判韦之直线的设法: x 型还是y 型（2012北京文改编）已知椭圆22142x y +=的右顶点为A ，直线()1y k x =-与椭圆交于不同的两点,M N .当三角形AMN 的面积为3时，求k 的值.（2013陕西文改编）已知椭圆22:143x y C +=，过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线l 的斜率.6.传说中的点乘双根式（2012重庆理改编）已知椭圆221204x y +=，12(2,0),(2,0)B B -，过1B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且22PB QB ⊥，求直线l 的方程.7.不对称处理第0招:假的不对称，整体就对称已知椭圆22:33C x y +=.过点()1,0D 且不过()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3.x M =交于点试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.8.不对称处理第1招:硬凑韦达（2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P 。

高二圆锥曲线讲义圆锥曲线一、定义 1 第一定义2 第二定义（抛物线是重点）二几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题4 点在曲线上、曲线内、曲线外5 焦点三角形6 焦半径7 准线三典型题1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）2 中点弦问题（点差法、韦达定理）3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)① 直曲联立判别式大于零；② 点在曲线内部或外部；③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边；⑤ 向量钝角向量点积小于零，锐角大于零；中点弦问题例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.变式1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

变式2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。

动点的轨迹方程例1 已知椭圆方程为2214y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，()2OA OB OP +=, 求点P 的轨迹方程变式1 （2011 安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =MP λ,求点P 轨迹方程变式2（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．变式5 P 是椭圆22221x y a b+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大1，求动点P 的轨迹方程。