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第八节行程问题知识经纬1、熟练的掌握相遇、追及问题中路程、时间、速度三者的数量关系；2、能独立分析火车过桥、行船等常见问题的关键点；3、灵活的运用线段图、比、方程等数学方法解决行程问题。
知识要点一、行程问题的分类从运动形式上可以分为五大类：1、直线上的相遇、追及问题（含多次往返类型的相遇、追及）2、火车过人、过桥和错车问题3、多个对象间的行程问题4、环形问题与时钟问题5、流水行船问题从解题方法上可以分为四大类：1、利用设数法、设份数法处理2、利用速度变化情况进行分段处理3、利用和差倍分以及比例关系，将行程过程进行对比分析4、利用方程方法进行求解五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。
这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。
想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。
二、直线上的相遇与追及=⨯路程和速度和时间=⨯路程差速度差时间上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。
一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。
这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
三、火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。
17.行程问题知识要点梳理一、基本公式：1.路程＝速度×时间2.速度＝路程÷时间3.时间＝路程÷速度二、问题类型1.相遇问题：①相遇时间＝总路程÷速度和②速度和＝总路程÷相遇时间③总路程＝速度和×相遇时间2.追及问题：①追及时间＝路程差÷速度差②速度差＝路程差÷追及时间③路程差＝速度差×追及时间3.流水行船问题：①顺水速度＝船速＋水速②逆水速度＝船速－水速③船速＝(顺水速度＋逆水速度）÷2④水速＝(顺水速度－逆水速度）÷24.列车过桥问题：(1) 火车过桥（隧道）：火车过桥（隧道）时间＝(桥长＋车长）÷火车速度(2) 火车过树（电线杆、路标）：火车过树（电线杆、路标）时间＝车长÷火车速度(3) 火车过人:①火车经过迎面行走的人:迎面错过的时间＝车长÷（火车速度＋人的速度）②火车经过同向行走的人:追及的时间＝车长÷(火车速度－人的速度）(4) 火车过火车：①错车问题：错车时间＝(快车车长＋慢车车长）÷（快车速度＋慢车速度）②超出问题:错车时间＝(快车车长＋慢车车长）÷（快车速度－慢车速度）考点精讲分析典例精讲考点1 一般行程问题【例1】小王骑公共自行车从家去上班，每分钟行350米，用了20分钟，下午下班沿原路回家，每分钟比去时多骑50米，多少分钟到家？【精析】先根据路程＝速度×时间，求出家到单位的距离，再求出下班的速度，最后根据时间＝路程÷速度即可解答。
【答案】350×20＝7000(米）350＋50＝400 (米/分）7000÷400＝17.5(分钟)答:17.5分钟到家。
【归纳总结】本题考查知识点：依据速度，时间以及路程之间的数量关系解决冋题。
考点2 相遇问题【例2】甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A 城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。
第20讲行程问题（提高版）-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义（通用版）教学目标：1.学习什么是行程问题2. 了解行程问题的分类方法3.掌握问题分析和解法规律4.通过例子掌握具体方法教学重点：1. 理解行程的概念和行程问题的基本形式2. 通过例题加深学生对行程问题的认识教学难点：1.通过面积模型对行程问题进行分析和解决2.掌握行程问题解法的步骤和技巧课前准备：黑板、白板、彩笔、教学PPT、模型等教学过程：1.引入向学生介绍今天的学习内容——行程问题，让学生接触这种问题。
在黄色的小黑板（或白板）上让学生回忆这几年中列过的一些最困难的数学题，并尝试分类。
分类的方法可能是“选择题”、“判断式”、“计算题”等。
然后同样尝试分类一些小学列过的问题。
学生会发现另一类问题，即“行程问题”。
然后让学生尝试解决这个问题并讨论解决这种问题的方法。
2.讲解行程问题是解决哪些问题的问题？身上有多少钱，距离学校多远，是不是一边骑车一边看手机，等等。
我们通常说行程问题是描述运动的。
根据问题和数据类型的不同，可以将行程问题分为两类：定速行程问题和近似行程问题。
3.例题演练（1）选择一些经典的行车问题来让学生通过模型分析。
可以选择从A到B、从A到B再到C、一圈一圈之类的问题，并让学生尝试在模型上解决这些问题。
在模型上标记出不同的地点并连接它们，然后标记不同的距离、方向、速度等。
（2）进一步演示这些问题的解决过程，提出如下问题：两个人从甲、乙两地同时出发，往返于两地之间，甲的速度是7km/h，乙的速度是在单独行程的时候是乙的两倍，在往返时是甲速度的一半，问两人离开最初点距离的时间相同，，他们两人跑了多少时间？解：观察问题，我们知道两个人从甲，乙同时出发，相遇后，每个人在另一个人到达终点后相应地继续往返，所以可以设定他们的相遇点，那么可以画出一个面积模型。
如下图所示：因为两人到达相遇点的时间相同，并且从相遇点再到达原点的路程也是相同的，所以可以得到下面的等式：（AB+BC）÷7 = （BC+CD）÷（14÷3）那么就可以进行解方程。
第01讲行程问题基本数量关系（下）教学目标：1、初步学习行程问题，掌握简单行程问题的解题思路和方法；2、与生活实际问题结合起来，提高对于行程问题的解决能力和把握能力，提高计算能力；3、进一步培养学员理解问题和分析问题的能力，同时也强化学员学以致用的应用意识。
教学重点：学会画线段图，明确数量关系；掌握简单行程问题的解题思路和方法。
教学难点：解应用题的关键是发现题目中一些隐藏的关系。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、行程问题是与运动相关的数学问题，行程问题中的三个基本量是时间、速度和路程：2、行程问题中的时间（t）、速度（v）和路程（s）三个基本量，它们关系如下：（1）路程=速度×时间简记为：s = v×t（2）时间=路程÷速度简记为：t = s÷v（3）速度=路程÷时间简记为：v = s÷t【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟甲、乙、丙三人参加800米长跑比赛，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒4米，丙的速度是每秒8米，请问甲、乙、丙三人谁最先到达终点？解析部分：引导学生思考，如何理解“三人谁最先到达终点”，甲、乙、丙三人跑的路程都是800米，速度快的最先到达终点，也就是用速度的快慢来判断。
可以根据公式：速度=路程÷时间，把三人的速度分别算出来，再比较大小。
给予新学员的建议：教师可以引导学员理解公式：速度=路程÷时间。
哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：甲用时800÷ 5= 160（秒）；乙用时800÷ 4= 200（秒）；丙用时800÷ 8= 100（秒）。
丙用时最短，最先到达终点。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟激烈的比赛终于结束了，大家离开体育馆各自回家了，从体育馆到胖胖家的路程是72千米，熊猫胖胖可以有两种方式回家，一种是搭乘地铁，另外一种是搭乘公交车，已知搭乘公交车比搭乘地铁多花1小时到家，，地铁的速度是每小时36千米，这时，袋鼠老师就问熊猫胖胖：“熊猫胖胖，你知道公交车的速度是多少吗？”解析部分：引导学生思考，①画出线段图②公式：路程÷速度= 时间体育馆距离熊猫胖胖家的距离是72 千米，地铁的速度是36千米/小时，那么是花的时间是：72÷36= 2 （小时）。
【基础概念】：行程问题是反映物体匀速运动的应用题，有"相向运动"(相遇问题)、"同向运动"(追及问题)和"相背运动"(相离问题)三种情况。
但它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为:速度×时间=路程。
【典型例题1】：甲、乙两车同时从相距960千米的两地相对而行，甲车每小时行90千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。
乙车每小时行多少千米？【思路分析】：途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇，则甲车实际行了5－1=4小时，行驶的路程为：90×4=360千米．已知全程为960千米，根据路程÷时间=速度可知乙的速度为：（960－360）÷5．综合算式为：[960-90×（5－1）]÷5。
解答：：[960-90×（5－1）]÷5=[960－360]÷5=600÷5=120（千米）；答：乙车每小时行120千米．【方法总结】：解决此类问题首先要弄清楚数量关系：乙车行驶的路程=两地的距离－甲车行驶的路程；还要明白由于故障，甲车停了1小时，实际上甲车少行驶了1小时，也就是说两车行驶的时间是不相等的，这是解决问题的关键；可以先根据“路程=速度×时间”计算出甲车行驶的路程，再根据“乙车行驶的路程=两地的距离－甲车行驶的路程”计算出乙车行驶的路程，最后利用“速度=路程÷实际”就可以计算出乙车的速度。
【巩固练习】1. 甲、乙两车同时从两地相对开出，两地相距480千米，5小时后相遇．甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？2.甲乙两车同时从AB两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出小时后两车在途中相遇．甲乙两地相距多少千米？3.甲、乙两列火车从相距1070千米的两地同时相对开出，甲车每小时行90千米，5小时后两车还要共行160千米才能相遇．乙车每小时行多少千米？【典型例题2】：甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，经过6小时，甲车行了全程的75%，乙车超过中点16千米。
尧旭教育个性化辅导授课案（九）讲学员姓名：年级：六年级课时数：2学科教师：宋老师辅导科目：数学专题九应用题（一）行程问题工程问题课题授课时间：教学目标教学内容沙场点兵行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。
1.行程问题基本公式（1）基本公式：路程＝速度×时间（2）基本类型：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追及问题：速度差×追及时间＝路程差流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）（3）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏。
（4）复杂的行程①多次相遇问题；②环形行程问题；③运用比例、方程等解复杂的题。
2.工程问题基本公式（1）工作总量=工作效率×工作时间（2）工作效率=工作总量÷工作时间（3）工作时间=工作总量÷工作效率基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
抛砖引玉【例1】某人从A 地到B 地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（ ）米/秒。
A ．4.2B ．4.8C ．5D ．5.4【例2】小虎早上从家到学校上学，要走1.3千米，他走了0.3千米后发现没有带数学作业本，又回家去取．这样他比平时上学多走了（ ）千米。
(奥数典型题)行程问题-2023-2024学年六年级下册小升初数学思维拓展第8讲行程问题【知识点归纳】1.、速度：指单位时间内所行的路程。
因为速度＝路程÷时间，所以速度的单位名称是路程单位/时间单位，即千米/时，米/分，米/秒，千米/分……2、路程、时间与速度的关系：（1）已知路程和时间，求速度：速度＝路程÷时间；（2）已知路程和速度，求时间：时间＝路程÷速度；（3）已知速度和时间，求路程：路程＝速度×时间。
在路程、时间和速度三个量中，知道其中的任何两个量，都能求出第三个量。
【方法总结】1、路程、时间和速度之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间1．客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3h相遇，相遇后客车又行驶2h到达乙地，已知货车每时行驶50km，问甲、乙两地相距多少千米？2．甲乙两列火车分别从南、北两地同时相对开出，6小时后相遇。
甲车的速度是120千米/时，乙车的速度是130千米/时。
求南、北两地的路程。
（先画图整理条件和问题，再解答。
）3．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。
求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!）4．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
5．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。
甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。
则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？6．甲乙两地相距1200千米。
一辆大客车和一辆小客车分别从两地同时出发，相向而行，6小时相遇。
知识 典例（注意咯，下面可是黄金部分！）
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。 基本公式： 路程=速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间 在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程，时间，速度三者之间的关系解答这类问题时，应主要各种速度的含义及相互关系： 顺水行程=（船速+水速）×顺水时间； 逆水行程=（船速-水速）×逆水时间； 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速-水速； 静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2； 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 【例一】 一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。
已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用的时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流速度。 分析与求解：在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等，都等于A、B两地之间的路程；而船顺水航行时，其形式的速度为船在静水中的速度加上水流速度，而船在怒水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。
解：设水流速度为每小时x千米，则船由A地到B地行驶的路程为[（20+x）×6]千米，
行程问题 知识清单 船由B地到A地行驶的路程为[（20—x）×6×1.5]千米。列方程为
（20+x）×6=（20—x）×6×1.5 x=4 答：水流速度为每小时4千米。 【变式1-1】 水流速度是每小时15千米。现在有船顺水而行，8小时行320千米。若逆水行320千米需几小时？
【变式1-2】 水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？
【变式1-3】 一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米，水流速度是每小时4千米，212 天可以到达。次船从B地返回到A地需多少小时？
【例二】 有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水速？
分析与求解：这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为 逆流速：120÷10=12（千米/时） 顺流速：120÷6=12（千米/时） 船速：（20+12）÷2=16（千米/时） 水速：（20—12）÷2=4（千米/时） 答：船速是每小时行16千米，水速是每小时行4千米。 【变式2-1】 有只大木船在长江中航行。逆流而上5小时行5千米，顺流而下1小时行5千米。求这只木船每小时划船速度和河水的流速各是多少？
【变式2-2】 有一船完成360千米的水程运输任务。顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时。求河水流速和静水中划行的速度？
【变式2-3】 一海轮在海中航行。顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米。求这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？
【例三】 轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8小时；逆流而上，行了10
小时。如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。 在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示：
图36——1逆流顺流10
8
AB
分析与求解：因为水流速度是每小时3千米，所以顺流比逆流每小时快6千米。如果怒六时也行8小时，则只能到A地。那么A、B的距离就是顺流比逆流8小时多行的航程，即6×8=48千米。而这段航程又正好是逆流2小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为 （3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米） 答：两码头之间相距240千米。 【变式3-1】 一走轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时。如果水流速度是每小时3.6千米，求甲、乙两个港口之间的距离。
【变式3-2】 一艘渔船顺水每小时行18千米，逆水每小时行15千米。求船速和水速各是多少？
【变式3-3】 沿河有上、下两个市镇，相距85千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米。求往返依次所需的时间。
【例四】 汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？
分析与求解：依据船逆流在176千米的河中所需航行时间是11小时，可以求出逆流的速度。返回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺流速度，可求出返回所需的时间。 逆流速：176÷11=16（千米/时） 所需时间：176÷[30+（30—16）]=4（小时） 答：返回原地需4小时。
【变式4-1】 当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行195千米？
【变式4-2】 已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的划速是47千米。求此河的水速是多少？
【变式4-3】 一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？
【例五】 有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船
行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 分析与求解：漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4小时后，距漂流物100千米，即每小时行100÷4=25（千米）。乙船12小时后与漂流物相遇，所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为 船速：100÷4=25（千米/时） 河长：25×12=300（千米） 答：河长300千米。
【变式5-1】 有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排行15小时后与漂流物相遇，两木排的划速相同，A、B两地长多少千米？
【变式5-2】 有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时59千米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？
【变式5-3】 有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出发至某地顺风去，逆风会，返回的时间比去的时间多3小时。已知逆风速为75千米/小时，求距目的地多少千米？
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程
【例一】 两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两
车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？
西东图33—1 分析与求解：从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了60千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两站路程的1.5倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以 （60×3+30）÷1.5=140（千米） 答：东、西两站相距140千米。 【变式1-1】 两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？
【变式1-2】 两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40千米的地方。两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站20千米的地方相遇。两站相距多少千米？
【变式1-3】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有90千米。然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时在离A地的距离占A、B两站间全程的65%。A、B两站间的路程是多少千米？
【例二】 A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向而行，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟？ 分析与求解：甲、乙两人从同时同向出发到相遇，6分钟共行的路程是960米，那么每分钟共行的路程（速度和）是960÷6=160（米）；甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需用去80分钟，甲追乙的路程是960米，每分钟甲追乙的路程（速度差）是960÷80=12（米）。根据甲、乙速度和与差，可知甲每分钟行（160+12）÷1=86（米）。甲从A地到B地要用960÷86=11743 （分钟），列算式为 960÷[（960÷6+960÷80）÷2]=11743 （分钟） 答：甲从A地走到B地要用11743 分钟。
【变式2-1】 一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发，若先跟乡行走，12分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1864米。已知A、B两地相距1800米。甲、乙每分钟各行多少米？
【变式2-2】 父子二人在一400米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若想8背而行，267 分钟相遇；若同向而行，2623 分钟父亲可以追上儿子。问：在跑道上走一圈，父子各需多少分钟？
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差
