浙江省绍兴市5月高三第二次教学质量检测数学文科试题(图片版无答案)
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2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高三(上)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.设集合A ={1,2,3},B ={x|√x >1},C ={1,2},则(A ∩B )∪C =( ) A .{3}B .{1,2}C .{2,3}D .{1,2,3}2.若函数f (x )=log a (x +b )(a >0,a ≠1)的图象过点(﹣2,0)和(﹣1,1),则( ) A .a =2,b =3B .a =3,b =2C .a =2,b =4D .a =4,b =23.已知i 是虚数单位,a ∈R ,则“a 2=1”是“(a +i )2=2i ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知a →,b →为单位向量,若|a →⋅b →|=|a →+b →|,则a →⋅b →=( ) A .1±√3B .1+√3C .1−√3D .√3−15.(a −1√b )6的展开式中a m bm (即分子a 的指数和分母b 的指数相同)项的系数为( )A .﹣15B .15C .﹣20D .206.若直线l 与三次函数y =f (x )有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列,则直线l ( ) A .经过定点 B .不经过定点 C .斜率为定值D .斜率可为任意实数7.小张同学将一块棱长为√2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失),则该四面体外接球的体积为( ) A .√6πB .2√6πC .3√6πD .9√6π8.已知函数f (x )=sin ωx +cos ωπ(ω>0),∀m ,n ∈R 都有|f (m )﹣f (n )|≤2|f (x i )|,若恰好有4个点(x i ,f (x i ))同在一个圆心在x 轴上半径为√(2ωπ+12)2+2的圆内,则ω的取值范围为( ) A .(3√2π4,√2π) B .(√2π,5√2π4)C .(3π4,π) D .(√2π2,π)二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.9.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点,则下列结论正确的是( ) A .若点P 为B 1C 1中点,则EP ∥平面ACD 1 B .若点P 为A 1C 1中点,则EP ∥平面ACD 1C .若点P 为AC 中点,则EP ⊥平面ACD 1 D .若点P 为D 1C 中点,则EP ⊥平面ACD 110.已知函数f (x )=sin x +sin (1﹣x ),f ′(x )为f (x )的导函数,则下列结论正确的是( ) A .f (﹣x )=f (1+x ) B .f (x )+f (π+x )=0 C .f ′(12)=f(12)D .f ′(x)=f(x +π2)11.已知双曲线C :x 2a 2−ν2b 2=1(a >b >0)上两点M ,N 关于x 轴对称,A ,B 分别为C 的左右顶点,若直线MA 和NB 交于点P ,则( ) A .直线MA 和MB 的斜率之积为定值 B .直线MA 和NB 的斜率之积为定值 C .点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上D .△P AB 面积的最大值为ab12.在2×2的红色表格中,有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A 区域出发,每次跳动都等可能的跳往相邻区域,当它落下时会将该区域染成新的颜色(既与该区域原来的颜色不同,也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同).记蛐蛐第n 跳后表格中的不同染色情况种数为a (第一次跳后有如图四种情况,即a 1=4),则( )A .a 2=8B .a n +1>a n 恒成立C .蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色D .蛐蛐能将表格中的四块染成黄色三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设等比数列{a n }的公比为q ,S n 为前n 项和,若qS 1=2,qS 2=6,则a 4= .14.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边长BO 均为32cm ,点P 为眼睛所在位置,D 为AO 的中点,连接PD ,当PD ⊥AO 时,称点P 为“黄金视角点”,作PC ⊥BC ,垂足C 在OB 的延长线上,当BC =11cm ,∠AOC =2π3时,|PC |= cm .15.将正整数1~10由小到大排列1,2,⋯,m ,⋯,10,从中随机抽取两个数,这两个数其中一个在m 前面,一个在m 后面的概率为25,则m = .16.已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,抛物线焦点为F ,准线与x 轴交于点E ,以E ,F 为焦点的椭圆C 1和双曲线C 2皆过点P ,则椭圆C 1和双曲线C 2离心率之比的取值范围为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.17.(10分)已知{a n }为等比数列,前n 项和S n ,且S 2=4,a 1﹣1,a 2+1,a 3﹣1成等差数列. (1)求a n 和S n ;(2)若b n S n S n +1=a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.(12分)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,AD ⊥CD ,N 是线段PC 的中点,AD =CD =√2,BC =2√2. (1)求点N 到平面P AB 的距离; (2)若二面角N ﹣AD ﹣P 的余弦值为√63,求四棱锥P ﹣ABCD 体积的大小.19.(12分)在△ABC 中,已知tanB =sinA3−cosA.(1)若tanB =13,求sin A 的值;(2)已知中线AM 交BC 于M ,角平分线AN 交BC 于N ,且AM =2,MN =1,求△ABC 的面积. 20.(12分)已知点A (0,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2a 2−1=1(a >1)上,过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为M ,N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求直线MN 经过的定点坐标.21.(12分)为丰富课余生活,某班组织了五子棋大赛.下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200场比赛的胜负与先后手列联表(不记平局,单位:场).最后甲乙两人晋级决赛,决赛规则如表:五局三胜,没有平局,其中第一局先后手等可能,之后每局交换先后手.已知甲先手胜乙的概率为23,后手胜乙的概率为13.(1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为五子棋先后手与胜负有关联?(2)在甲第一局失败的的条件下,求甲最终获胜的概率.附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.(12分)已知函数f(x)=e xa −12ax−√1+x,其中a∈R且a≠0.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程.(2)若对任意x∈[﹣1,+∞),都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高三(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.设集合A ={1,2,3},B ={x|√x >1},C ={1,2},则(A ∩B )∪C =( ) A .{3}B .{1,2}C .{2,3}D .{1,2,3}解:集合A ={1,2,3},B ={x|√x >1}={x|x >1},所以A ∩B ={2,3},(A ∩B )∪C ={1,2,3}. 故选:D .2.若函数f (x )=log a (x +b )(a >0,a ≠1)的图象过点(﹣2,0)和(﹣1,1),则( ) A .a =2,b =3B .a =3,b =2C .a =2,b =4D .a =4,b =2解:因为f (x )=log a (x +b )过点(﹣2,0)得log a (b ﹣2)=0⇒b =3,则f (x )=log a (x +3), 又f (x )=log a (x +3)过点(﹣1,1)得log a (﹣1+3)=1,解得a =2,即a =2,b =3. 故选:A .3.已知i 是虚数单位,a ∈R ,则“a 2=1”是“(a +i )2=2i ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解:当(a +i )2=2i 时,即a 2﹣1+2ai =2i ,得{a 2−1=02a =1,解得a =1; 而a 2=1时,a =±1,可得(a +i )2=±2i ,即推不出(a +i )2=2i . 所以“a 2=1”是“(a +i )2=2i ”的必要不充分条件, 故选:B .4.已知a →,b →为单位向量,若|a →⋅b →|=|a →+b →|,则a →⋅b →=( ) A .1±√3B .1+√3C .1−√3D .√3−1解:因为a →,b →为单位向量,若|a →⋅b →|=|a →+b →|, 得|a →⋅b →|2=|a →+b →|2,即(a →⋅b →)2=(a →+b →)2, 所以(a →⋅b →)2=1+1+2a →⋅b →,解得:a →⋅b →=1±√3, 因为a →⋅b →=cos <a →,b →>∈[﹣1,1],所以a →⋅b →=1−√3. 故选:C .5.(a −1√b )6的展开式中a m bm (即分子a 的指数和分母b 的指数相同)项的系数为( )A .﹣15B .15C .﹣20D .20解:通项公式T r+1=C6r a6−r(−b)r2,由a mb m可得r2=6−r,故r=4,系数为C64=15.故选:B.6.若直线l与三次函数y=f(x)有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列,则直线l()A.经过定点B.不经过定点C.斜率为定值D.斜率可为任意实数解:设这三个交点的坐标分别为(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))由题意可得2b=a+c,由于三次函数y=f(x)的图像是中心对称图形,由2b=a+c可知,(b,f(b))为f(x)对称中心,即直线l经过定点是三次函数的对称中心.故选:A.7.小张同学将一块棱长为√2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失),则该四面体外接球的体积为()A.√6πB.2√6πC.3√6πD.9√6π解:设正四面体的棱长为a,由题意可得,正方体的体积即为正四面体的体积,设正四面体如图,F为底面BCD的中心,E为CD的中点,F在BE上,O为正四面体外接球的球心,则AF为四面体的高,O在AF上,则BE=√32a,BF=23×√32a=√33a,则AF=√a2−(√33a)2=√63a,即得V正四面体=13×√34a2×√63a=√212a3=V正方体=2√2,所以a3=24,又设正四面体外接球的半径R,则OB2=OF2+BF2,即R2=(√63a−R)2+(√33a)2,即得R=√64a,故外接球体积为V球=4πR33=4π3(√64a)3=4π3×(√64)3×24=3√6π,故选:C.8.已知函数f(x)=sinωx+cosωπ(ω>0),∀m,n∈R都有|f(m)﹣f(n)|≤2|f(x i)|,若恰好有4个点(x i,f(x i))同在一个圆心在x轴上半径为√(2ωπ+12)2+2的圆内,则ω的取值范围为()A .(3√2π4,√2π) B .(√2π,5√2π4)C .(3π4,π) D .(√2π2,π)解:由题意可得:f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4),因为∀m ,n ∈R 都有|f (m )﹣f (n )|≤2|f (x i )|, 所以这4个点(x i ,f (x i ))为f (x )的最值点,由恰好有4个点在圆内,可得{(34T)2<(2ωπ+12)2(54T)2>(2ωπ+12)2,解得34π<ω<π, 所以ω的取值范围为(3π4,π). 故选:C .二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.9.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点,则下列结论正确的是( ) A .若点P 为B 1C 1中点,则EP ∥平面ACD 1 B .若点P 为A 1C 1中点,则EP ∥平面ACD 1C .若点P 为AC 中点,则EP ⊥平面ACD 1 D .若点P 为D 1C 中点,则EP ⊥平面ACD 1解:在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,建立如图所示的空间直角坐标系,令AB =2, 则A (2,0,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2),E (2,2,1), 可得AC →=(−2,2,0),AD 1→=(−2,0,2), 设平面ACD 1的法向量n →=(x ,y ,z),则{n →⋅AC →=−2x +2y =0n →⋅AD 1→=−2x +2z =0,令x =1,得n →=(1,1,1), 对于A ,当点P 为B 1C 1中点时,P (1,2,2),EP →=(−1,0,1), 显然n →⋅EP →=0,而EP ⊄平面ACD 1,因此EP ∥平面ACD 1,A 正确;对于B ,当点P 为A 1C 1中点时,P (1,1,2),此时EP →=(−1,−1,1),显然n →•EP →≠0, 即EP →与平面ACD 1不平行,因此EP 与平面ACD 1不平行,B 错误;对于C ,当点P 为AC 中点时,P (1,1,0),此时EP →=(−1,−1,−1)=−n →,因此EP ⊥平面ACD 1,C 正确;对于D ,当点P 为D 1C 中点时,P (0,1,1),此时EP →=(−2,−1,0)与n →不平行,因此EP 不垂直于平面ACD 1,D 错误. 故选:AC .10.已知函数f (x )=sin x +sin (1﹣x ),f ′(x )为f (x )的导函数,则下列结论正确的是( ) A .f (﹣x )=f (1+x ) B .f (x )+f (π+x )=0 C .f ′(12)=f(12)D .f ′(x)=f(x +π2)解:由已知得f ′(x )=cos x ﹣cos (1﹣x ),f (﹣x )=sin (﹣x )+sin (1+x )=f (1+x ),故A 正确;f (x )+f (π+x )=sin x +sin (1﹣x )+sin (π+x )+sin (1﹣π﹣x )=sin x +sin (1﹣x )﹣sin x ﹣sin (1﹣x )=0,故B 正确;f ′(12)=cos 12−cos 12=0,而f(12)=2sin 12≠0,所以f ′(12)=f(12)不成立,故C 错误;f ′(x)=cosx −cos(1−x)=sin(x +π2)+sin(1−x −π2)=f(x +π2),故D 正确.故选:ABD . 11.已知双曲线C :x 2a 2−ν2b 2=1(a >b >0)上两点M ,N 关于x 轴对称,A ,B 分别为C 的左右顶点,若直线MA 和NB 交于点P ,则( ) A .直线MA 和MB 的斜率之积为定值 B .直线MA 和NB 的斜率之积为定值 C .点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上D .△P AB 面积的最大值为ab解:已知双曲线C :x 2a 2−ν2b 2=1(a >b >0)上两点M ,N 关于x 轴对称,A ,B 分别为C 的左右顶点, 设点M (m ,n ),N (m ,﹣n ),则有m 2a 2−n 2b 2=1,得到m 2−a 2=a 2n 2b2,又易知A (﹣a ,0),B (a ,0),对于A ,直线MA 和MB 的斜率之积k MA k MB=n m+a ⋅n m−a =n 2m 2−a 2=b2a2为定值,故A 正确;对于B,直线MA和NB的斜率之积k MA k NB=nm+a⋅−nm−a=−n2m2−a2=−b2a2为定值,故B正确;对于C,设点P(x0,y0),直线MA:y=nm+a(x+a),直线NB:y=−nm−a(x−a),因为点P为直线MA和NB的交点,由{y=nm+a(x+a)y=−nm−a(x−a),解得x0=a2m,y0=nam,所以x02a2+y02b2=(a2m)2a2+(nam)2b2=a2m2+n2a2m2b2,又m2−a2=a2n2b2,所以x02a2+y02b2=a2m2+m2−a2m2=1,故点P在椭圆x2a2+y2b2=1上,故C正确;对于D,由选项C可知△P AB面积的S=12×(2a)|nam|=a|nam|,所以S2=a2n2a2m2=a2b2m2−a2m2=a2b2(1−a2m2)<a2b2,得到S<ab,故D错误.故选:ABC.12.在2×2的红色表格中,有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A区域出发,每次跳动都等可能的跳往相邻区域,当它落下时会将该区域染成新的颜色(既与该区域原来的颜色不同,也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同).记蛐蛐第n跳后表格中的不同染色情况种数为a(第一次跳后有如图四种情况,即a1=4),则()A.a2=8B.a n+1>a n恒成立C.蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色D.蛐蛐能将表格中的四块染成黄色解:对于A,当n=2时,对第一个表格往左跳,区域染成蓝色;或往下跳,区域染成蓝色;共两种情况;其他表格亦如此,∴a2=4×2=8,A正确;对于B,表格最多不超过34=81种不同的染色情况,∴a n+1>a n不可能恒成立,B错误;对于C,若蛐蛐按照如下顺序跳,即可将三个区域染成蓝色;情况一:情况二:C正确;对于D,三块都是黄色也可能,但当三块染成黄色后,不可能第四块还是黄色,因为要和起跳时区域不一样,D错误.故选:AC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设等比数列{a n}的公比为q,S n为前n项和,若qS1=2,qS2=6,则a4=8.解:根据题意,等比数列{a n}的公比为q,由于qS1=qa1=2,qS2=q(a1+a2)=qa1+qa2=2+qa2=6,变形可得qa2=4,则有q=a2a1=qa2qa1=2,故a4=a1q3=2×q2=8.故答案为:8.14.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边长BO均为32cm,点P为眼睛所在位置,D为AO的中点,连接PD,当PD⊥AO时,称点P为“黄金视角点”,作PC⊥BC,垂足C在OB的延长线上,当BC=11cm,∠AOC=2π3时,|PC|=25√3cm.解:过O 作OM ⊥OC 交DP 于M ,过M 作MN ⊥PC 交PC 于C ,则∠DOM =∠PMN =π6,|OM|=16cos π6=32√3, |PN|=(32+11)⋅tan π6=433, 于是|PC|=323433=25√3(cm ). 故答案为:25√3.15.将正整数1~10由小到大排列1,2,⋯,m ,⋯,10,从中随机抽取两个数,这两个数其中一个在m 前面,一个在m 后面的概率为25,则m = 4或7 .解:由题意C m−11×C 10−m1C 102=25,整理得到m 2﹣11m +28=0,解得m =4或7. 故答案为:4或7.16.已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,抛物线焦点为F ,准线与x 轴交于点E ,以E ,F 为焦点的椭圆C 1和双曲线C 2皆过点P ,则椭圆C 1和双曲线C 2离心率之比的取值范围为 (0,3−2√2] . 解:由题意椭圆C 1和双曲线C 2离心率之比e 1e 2=c 1a 1c 2a 2=a 2a 1=|PE|−|PF||PE|+|PF|=1−|PF||PE|1+|PF||PE|, 令t =|PF||PE|,设P (m ,n )(m >0), 则n 2=4m ,因为E (﹣1,0),F (1,0), 所以t =|PF||PF|=√(m−1)2+n 2(m+1)2+n 2=√1−4m m 2+6m+1, 因为4m m 2+6m+1=4m+1m +6≤42+6=12,所以t ≥√22, 故e 1e 2=1−t 1+t=2t+1−1≤1+√22−1=3−2√2,又因为e 1e 2>0,所以e 1e 2∈(0,3−2√2].故答案为:(0,3−2√2]. 四、解答题:本题共6小题,共70分.17.(10分)已知{a n }为等比数列,前n 项和S n ,且S 2=4,a 1﹣1,a 2+1,a 3﹣1成等差数列. (1)求a n 和S n ;(2)若b n S n S n +1=a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为a 1﹣1,a 2+1,a 3﹣1成等差数列, 所以2(a 2+1)=a 1+a 3﹣2,又S 2=4,即a 1+a 2=4, 则{a 1(1+q)=4a 1(1+q 2−2q)=4,解得{a 1=1q =3,所以a n =3n−1,S n =1−3n 1−3=3n−12;(2)由(1)得a n =3n−1,所以b n =a n+1S n S n+1=4⋅3n(3n −1)(3n+1−1)=2(13n −1−13n+1−1), T n =2(13−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n −1−13n+1−1)=2(13−1−13n+1−1)=1−23n+1−1. 18.(12分)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,AD ⊥CD ,N 是线段PC 的中点,AD =CD =√2,BC =2√2. (1)求点N 到平面P AB 的距离; (2)若二面角N ﹣AD ﹣P 的余弦值为√63,求四棱锥P ﹣ABCD 体积的大小.解:(1)因为P A ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥AC , 因为AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅√22=4+8−8=4,所以BC 2=AC 2+AB 2,AB ⊥AC ,AB ⊂平面ABP ,AP ⊂平面ABP ,AB ∩AP =A ,AC ⊥平面ABP , 所以点C 到平面P AB 的距离d c =CA =2, 又因为N 是线段PC 的中点,所以点N 到平面P AB 的距离d N =12CA =2.(2)以A 为坐标原点,AB ,AC ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则P (0,0,2h ),C (0,2,0),N (0,1,h ),A (0,0,0),D (﹣1,1,0), AN →=(0,1,ℎ),AD →=(−1,1,0),n →1=(x ,y ,z), 所以{AN →⋅n 1→=y +ℎz =0AD →⋅n 1→=−x +y =0⇒n 1→=(1,1,−1ℎ),又因为DC ⊥平面APD ,则n 2→=DC →=(1,1,0), 所以√63=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=√2√2+ℎ2⇒ℎ=1,所以V P−ABCD =13⋅3⋅2=2.19.(12分)在△ABC 中,已知tanB =sinA3−cosA.(1)若tanB =13,求sin A 的值;(2)已知中线AM 交BC 于M ,角平分线AN 交BC 于N ,且AM =2,MN =1,求△ABC 的面积. 解:(1)因为13=sinA3−cosA,得到3sin A =3﹣cos A ,即cos A =3﹣3sin A ,由平方关系得sin 2A +(3﹣3sin A )2=1,整理得到5sin 2A ﹣9sin A +4=0, 解得sin A =1或sinA =45.(2)因为sinB cosB =sinA3−cosA,得到sin A cos B +sin B cos A =3sin B ,整理得到sin C =3sin B ,所以c =3b , 又S △ABN S △ACN=BN NC=c⋅sin∠BAN b⋅sin∠CAN=3,所以BN NC=BM+1BM−1=3,得到BM =2,又M 是BC 的中点,所以a =4,又cos ∠AMB +cos ∠AMC =0,得到4+4−9b 22⋅2⋅2+4+4−b 22⋅2⋅2=0,整理得到b 2=85,又b 2+c 2=85+9×85=16=a 2,得到∠BAC =π2, 所以S △ABC =12bc =32b 2=32×85=125.20.(12分)已知点A (0,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2a 2−1=1(a >1)上,过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为M ,N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求直线MN 经过的定点坐标.解:(1)由(0,2)在椭圆上,所以a 2﹣1=22=4,解得a 2=5, 所以椭圆C 的标准方程为:x 25+y 24=1;(2)由(1)可得椭圆的右焦点F (1,0),若两条弦分别与x 轴,y 轴平行,此时直线MN 就是x 轴,故定点在x 轴上, 当两条弦所在是直线的斜率存在且不为0时,设过右焦点的直线x =ty +1,交椭圆于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 设AB 的中点M ,联立{x =ty +1x 25+y 24=1,整理可得:(4t 2+5)y 2+8ty ﹣16=0,则y 1+y 2=−8t 4t 2+5,可得y M =−4t4t 2+5, 所以x M =ty M +1=−4t 24t 2+5+1=54t 2+5,即M (54t 2+5,−4t4t 2+5), 用−1t代替t ,同理可得N (5t 24+5t 2,4t4+5t 2),若x M =x N 时,解得t =±1, 此时直线l MN :x =59,若x M ≠x N 时,k MN =y M −y Nx M −x N=4t5t 2+4+4t 4t 2+55t 25t 2+4−54t 2+5=9t5(t 2−1),所以1k MN=5(t 2−1)9t,故l MN :x =5(t 2−1)9t (y +4t 4t 2+5)+54t 2+5,令y =0得:x =5(t 2−1)9t ⋅4t 4t 2+5+54t 2+5=20t 2+259(4t 2+5)=59.故直线MN 过定点(59,0).21.(12分)为丰富课余生活,某班组织了五子棋大赛.下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200场比赛的胜负与先后手列联表(不记平局,单位:场).最后甲乙两人晋级决赛,决赛规则如表:五局三胜,没有平局,其中第一局先后手等可能,之后每局交换先后手.已知甲先手胜乙的概率为23,后手胜乙的概率为1.(1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为五子棋先后手与胜负有关联? (2)在甲第一局失败的的条件下,求甲最终获胜的概率. 附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解:(1)提出零假设H 0:五子棋先后手与胜负无关, K 2=200×(3600−1600)2100×100×100×100=8>6.635,故可以认为五子棋先后手与胜负有关联;(2)设事件A:甲第一局失败,事件B:第一局甲先手,事件C:甲获胜,∴P(B)=P(B)=12,P(A)=P(A|B)+P(A|B)=12×23+12×13=12,分两种情况讨论:甲第一局先手且失败,但最终获胜,共4局比赛:12×13×13×23×13=181,共5局比赛:12×13×(23×23×13+13×13×13+13×23×23)×23=19×927=127,甲第一局后手且失败,但最终获胜,共4局比赛:12×23×23×13×23=481,共5局比赛:12×23×(13×13×23+23×23×23+23×13×13)×13=19×1227=481,故甲在第一局失败的情况下获胜的概率P(AC)=181+127+481+481=1281=427,综上,P(C|A)=P(AC)P(A)=827.22.(12分)已知函数f(x)=e xa −12ax−√1+x,其中a∈R且a≠0.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程.(2)若对任意x∈[﹣1,+∞),都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知,当a=1时,f′(x)=e x−12−12√1+x,易知f(0)=0,f′(0)=0,即得曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=0.(2)因为f(0)=1a−1≥0⇒0<a≤1,又因为f′(x)=e xa−12a12√1+x⇒f′(0)=1a−a2−12,所以f′(0)随a增大而减小,当a=1时,f′(0)=1−12−12=0,下证充分性:设h(x)=e x﹣x﹣1,则h′(x)=e x﹣1,显然x≥0时h′(x)≥0,则此时h(x)单调递增,x<0时h′(x)<0,此时h(x)单调递减,所以h(x)≥h(0)=0,即e x≥x+1恒成立,由e x≥x+1⇒f(x)≥x+1a−ax2−√1+x,x∈[﹣1,+∞),令t=√1+x∈[0,+∞)⇒x=t2−1,即f(x)≥(1a−12a)t2−t+12a,设g(t)=(1a−a2)t2−t+12a,t≥0,0<a≤1,易知其对称轴为t0=12a−a=a2−a2,且1a−a2∈[12,+∞),即y=g(t)开口向上,对称轴t0=12a−a∈(0,1],所以g(t)在(0,t0)单调递减,在(t0,+∞)单调递增,所以g min(t)=g(t0)=(1a−a2)t02+a2−t0=(1a−a2)(a2−a2)2+a2−a2−a2=a2(2−a2)+a2−a2−a2=a2(1−12−a2)>0,所以当0<a≤1时,f(x)≥0恒成立.即实数a的取值范围为{a|0<a≤1}.。
浙江省绍兴市诸暨市诸暨中学2024届数学高一第二学期期末检测试题请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1.已知向量,,,则( )A .B .C .5D .252.已知函数4()2x xaf x +=是奇函数,若(21)(2)0f m f m -+-≥,则m 的取值范围是( ) A .1mB .1m <C .m 1≥D .1m3.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为A .35B .20C .18D .94.已知{}n a 为等差数列,1353a a a ++=,则3a 的值为( )A .3B .2C .32D .15.已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<,则a b +=( ) A .3-B .1C .1-D .36.已知一几何体的三视图,则它的体积为 ( )A .13B .23C .1D .27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,686a a +=,963S S -=,则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A .5 B .6C .7D .88.若集合,则的真子集的个数为( )A .3B .4C .7D .89.函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴方程是( ) A .2x π=-B .4πx =-C .8x π=D .54=x π 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若362,6,S S ==则9S =( ) A .18B .14C .10D .22二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市三都中学高三(上)10月月考数学试卷(文科)一.选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.1.设U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则A∪∁U B=()A. {1,2,3,4} B. {1,2,3,5} C. {2,3,4,5} D. {1,3,4,5}2.设x是实数,则“x>0”是“|x|>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.己知等差数列{a n}的公差d=﹣1,若a2+a8=2,则该数列的前n项和S n的最大值为() A. 5 B. 10 C. 15 D. 164.若m>0,0<n<1,则函数y=m+log n x的图象可能是()A. B.C. D.5.已知x,y满足,则x2+y2的最大值为()A. 5 B. 9 C. 16 D. 256.为得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x的图象()A.向右平移长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位 D.向左平移长度单位7.已知函数f(x)是R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(﹣1)的值是()A. 3 B.﹣3 C.﹣1 D. 18.设α、β、γ为平面,a、b为直线,给出下列条件:①a⊂α、b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能使α∥β成立的条件是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④9.已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是()A. 4 B. 6 C. 8 D. 910.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合,则该双曲线的离心率等于()A. B. C. 2 D. 3二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.已知函数f(x)=log2x,若f(a)=2,则实数a= .12.设集合S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T= .13.已知向量,若,则= .14.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.15.在等比数列{a n}中,a1+a2=1,a3+a4=2,,则a5+a6+a7+a8= .16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且a+b=5,,则△ABC的面积为.17.(4分)(2013•青浦区一模)已知满足对任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范围是.三、解答题:(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知函数f(x)=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x.(1)求f(x)递增区间.(2)求f(x)当时的值域.19.在等差数列{a n}中,已知a1+a2+a3=9,a2+a4+a6=21 (n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2n•a n,求数列{b n}的前n项和S n.20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(1)求角C;(2)若,求△ABC的面积S△ABC.21.已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x﹣a.其中a∈R且a≠0.(1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上,求a的值;(2)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试问:△OAB的面积S有没有最值?如果有,求出最值及所对应的a的值;如果没有,请说明理由.22.设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若•+•=8,求k的值.2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市三都中学高三(上)10月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.1.设U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则A∪∁U B=()A. {1,2,3,4} B. {1,2,3,5} C. {2,3,4,5} D. {1,3,4,5}考点:补集及其运算;并集及其运算.专题:计算题.分析:根据全集合集合B求出集合B的补集,然后求出集合A和集合B补集的并集即可.解答:解:由全集U={1,2,3,4,5},B={2,4},得到C U B={1,3,5}则A∪C U B={1,2,3,5}故选B点评:此题考查学生掌握补集、并集的运算方法,是一道基础题.2.设x是实数,则“x>0”是“|x|>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点:充要条件.专题:计算题.分析:化简不等式,判断出两个对应的两个集合的包含关系;得到前者是后者的什么条件.解答:解:|x|>0⇔x>0或x<0∵{x|x>0}⊊{x|x>0或x<0}∴“x>0”是“|x|>0”的充分不必要条件故选A点评:本题考查解决充要条件问题常先化简各个、考查将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题.3.己知等差数列{a n}的公差d=﹣1,若a2+a8=2,则该数列的前n项和S n的最大值为() A. 5 B. 10 C. 15 D. 16考点:等差数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:由已知利用利用等差数列的通项公式求出a1=5,从而S n=5n+,由此利用配方法能求出该数列的前n项和S n的最大值为S5=S6=15.解答:解:∵等差数列{a n}的公差d=﹣1,a2+a8=2,∴a1﹣1+a1﹣7=2,解得a1=5,∴S n=5n+=﹣(n2﹣11n)=﹣(n﹣)2+,∴n=5或n=6时,该数列的前n项和S n的最大值为S5=S6=15.故选:C.点评:本题考查等差数列的前n项和S n的最大值的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的性质的合理运用.4.若m>0,0<n<1,则函数y=m+log n x的图象可能是()A. B.C. D.考点:对数函数的图像与性质.专题:函数的性质及应用.分析:根据对数函数图象和性质,得到函数为减函数,再根据图象的平移得到答案.解答:解:∵0<n<1,y=log n x为减函数,∵m>0,∴y=m+log n x的图象是由y=log n x的图象向右平移m个单位得到的,由此观察只有B符合要求,故选:B点评:本题主要考查了对数函数的图象和性质,属于基础题.5.已知x,y满足,则x2+y2的最大值为()A. 5 B. 9 C. 16 D. 25考点:简单线性规划.专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.分析:由题意作出其平面区域,x2+y2可看成阴影内的点到点A(0,0)的距离的平方,求阴影内的点到点A(0,0)的距离的范围可得.解答:解:由题意作出其平面区域,x2+y2可看成阴影内的点到点A(0,0)的距离的平方,由图可知,AD最长,且AD=5,故x2+y2的最大值为25,故选D.点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,用到了表达式的几何意义的转化,属于中档题.6.为得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x的图象()A.向右平移长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位 D.向左平移长度单位考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:常规题型;计算题.分析:要得到y=sin(2x+)=sin[2(x+)]的图象,需要将函数y=sin2x的图象在x后面加上,根据“加向左,减向右”的原则,即可得到答案.解答:解:∵y=sin2x y=sin[2(x+)]=sin(2x+),∴函数y=sin(2x+)的图象,可由函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位.故选D.点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,关键在于y=Asinωx(ω>0)→y=Asin (ωx+φ)(ω>0)平移单位为,平移方向为左加(φ>0)右减(φ<0),也是易错点,属于中档题.7.已知函数f(x)是R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(﹣1)的值是()A. 3 B.﹣3 C.﹣1 D. 1考点:函数奇偶性的性质.专题:计算题.分析:已知函数f(x)是R上的奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),可以令x<0,可得﹣x >0,可得x<0的解析式,从而求解.解答:解:∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),f(0)=0,∴20+b=0,∴b=﹣1,∵当x≥0时,f(x)=2x+2x﹣1,令x<0,﹣x>0,∴f(﹣x)=2﹣x﹣2x﹣1,∴f(x)=﹣2﹣x+2x+1,∴f(﹣1)=﹣2﹣2×(﹣1)+1=﹣3.故选B.点评:此题主要考查函数的奇偶性,知道奇函数的性质f(0)=0,这是解题的关键,此题比较简单.8.设α、β、γ为平面,a、b为直线,给出下列条件:①a⊂α、b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能使α∥β成立的条件是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④考点:平面与平面平行的判定.专题:证明题.分析:①由面面平行的判断定理与定义可得:可能α∥β或者α与β相交.②由平面与平面平行的传递性可得:α∥β.③由平面与平面的位置关系可得:可能α∥β或者α与β相交.④由线面垂直的定义可得:b⊥α,又因为b⊥β,所以α∥β.解答:解:①若a⊂α、b⊂β,a∥β,b∥α,由面面平行的判断定理与定义可得:可能α∥β或者α与β相交.所以①错误.②若α∥γ,β∥γ,由平面与平面平行的传递性可得:α∥β.所以②正确.③若α⊥γ,β⊥γ,则由平面与平面的位置关系可得:可能α∥β或者α与β相交.所以③错误.④若a⊥α,a∥b,由线面垂直的定义可得:b⊥α,又因为b⊥β,所以α∥β.所以④正确.故选C.点评:解决此类问题的关键是熟练掌握线面平行、线面垂直的判断定理与性质定理,以及面面平行的判断定理,并且灵活的利用题中的条件解决线面问题.9.已知圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是()A. 4 B. 6 C. 8 D. 9考点:关于点、直线对称的圆的方程;基本不等式.专题:综合题.分析:圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)对称,说明直线经过圆心,推出a+b=1,代入+,利用基本不等式,确定最小值,推出选项.解答:解:由圆的对称性可得,直线2ax﹣by+2=0必过圆心(﹣1,2),所以a+b=1.所以+=+=++5≥2+5=9,当且仅当=,即a=2b时取等号,故选D点评:本题考查关于点、直线对称的圆的方程,基本不等式,考查计算能力,是基础题.10.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合,则该双曲线的离心率等于()A. B. C. 2 D. 3考点:圆锥曲线的共同特征.专题:计算题.分析:由抛物线y2=8ax的焦点坐标(2a,0),得出c=2a,再结合双曲线离心率e=得出答案.解答:解:由题意知抛物线y2=8ax的焦点坐标(2a,0),双曲线的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合所以c=2a,所以该双曲线的离心率e==2.故选C.点评:本题考查双曲线的标准方程和离心率,解题的关键是由焦点坐标导出a,b,c的关系.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.已知函数f(x)=log2x,若f(a)=2,则实数a= 4 .考点:函数的值.专题:函数的性质及应用.分析:由已知得log2a=2,由此能求出a.解答:解:∵函数f(x)=log2x,f(a)=2,∴log2a=2,解得a=4.故答案为:4.点评:本题考查实数的求法,解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用.12.设集合S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T= {x|﹣2<x≤1} .考点:交集及其运算.专题:集合.分析:利用交集的定义示求解.解答:解:∵集合S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},∴S∩T={x|﹣2<x≤1}.故答案为:{x|﹣2<x≤1}.点评:本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题.13.已知向量,若,则= .考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:由条件根据两个向量垂直的性质求得n2=1,可得||==的值.解答:解:由题意可得=﹣1+n2=0,∴n2=1,∴||===,故答案为:.点评:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,求向量的模,属于基础题.14.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由三视图可知该三棱锥的底面为等腰直角三角形,高为2.从而解得.解答:解:该三棱锥的底面为等腰直角三角形,高为2.则其体积V==;故答案为.点评:本题考查了学生的空间想象力,属于基础题.15.在等比数列{a n}中,a1+a2=1,a3+a4=2,,则a5+a6+a7+a8= 12 .考点:等比数列的通项公式.专题:计算题.分析:可设{a n}的公比为q,利用a1+a2=1,a3+a4=2,可求得q2,从而可求得a5+a6与a7+a8.解答:解:设{a n}的公比为q,∵a1+a2=1,a3+a4=q2(a1+a2)=2,∴q2=2,∴a5+a6=q2(a3+a4)=4,a7+a8=q2(a5+a6)=8,∴a5+a6+a7+a8=12.故答案为:12.点评:本题考查等比数列的通项公式,重点是考查学生对等比数列性质的灵活应用的能力,属于基础题.16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且a+b=5,,则△ABC的面积为.考点:余弦定理的应用;二倍角的余弦.专题:综合题;解三角形.分析:把已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,再由诱导公式及三角形的内角和定理得到cos(A+B)=﹣cosC,代入化简后的式子中,求出cosC的值,然后由余弦定理得到求出ab的值,再由ab和sinC的值,即可求出三角形ABC的面积.解答:解:在△ABC中,∵已知,且a+b=5,,∴2[1﹣cos(A+B)]﹣2cos2C+1=.又cos(A+B)=﹣cosC,∴2(1+cosC)﹣2cos2C+1=,整理得:(2cosC﹣1)2=0,解得:cosC=,∴C=60°.又a+b=5,c=,由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab,即7=25﹣3ab,解得:ab=6,则△ABC的面积S=absinC=,故答案为.点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,诱导公式,余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式及定理是解本题的关键,属于中档题.17.(4分)(2013•青浦区一模)已知满足对任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范围是[,2).考点:函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.专题:综合题.分析:先确定函数在R上单调增,再利用单调性的定义,建立不等式,即可求得a的取值范围.解答:解:∵对任意x1≠x2,都有>0成立∴函数在R上单调增∴∴故答案为:[,2).点评:本题考查函数的单调性,考查函数单调性定义的运用,属于中档题.三、解答题:(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.已知函数f(x)=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x.(1)求f(x)递增区间.(2)求f(x)当时的值域.考点:正弦函数的单调性;正弦函数的定义域和值域.专题:计算题;整体思想.分析:(1)利用倍角公式对函数解析式进行化简,再由正弦函数的单调性求出,函数的递增区间;(2)由求出的范围,进而求出正弦函数值的范围,再由解析式求出函数值域.解答:解:(1)由题意知,f(x)=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x,∴f(x)=sin2x﹣cos2x=由得,∴函数的递增区间为(k∈Z)(2)∵,∴,∴即∴函数的值域为.点评:本题的考点是正弦函数的单调性和求定区间上的值域,需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数,再利用整体思想求解.19.在等差数列{a n}中,已知a1+a2+a3=9,a2+a4+a6=21 (n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2n•a n,求数列{b n}的前n项和S n.考点:数列的求和;等差数列的性质.专题:计算题.分析:(1)、根据题中已知条件和等差数列的性质便可得出数列{a n}的通项公式;(2)、先根据题中给出的公式,结合(1)中等差数列{a n}的通项公式便可求出{b n}的通项公式及S n,利用2S n与S n相减便可求出数列{b n}的前n项和S n.解答:解:(1)在等差数列{a n}中,由 a1+a2+a3=3a2=9得,a2=a1+d=3,又由 a2+a4+a6=3a4=21,得a4=a1+3d=7,联立解得a1=1,d=2,则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1.(2)b n=2n•a n=(2n﹣1)•2n,∴Sn=1•2+3•22+5•23+...+(2n﹣1)•2n (1)2Sn=1•22+3•23+5•24+...+(2n﹣3)•2n+(2n﹣1)•2n+1 (2)(1)﹣(2)可得﹣Sn=2+2•(22+23+…+2n )﹣(2n﹣1)•2n+1得Sn=﹣2﹣+(2n﹣1)•2n+1=6+2n﹣3)•2n+1 .点评:本题主要考查利用前几项的和求等差数列的公式,以及利用差项相减法球前n项的和,考查学生的运算能力和对数列的综合掌握.20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(1)求角C;(2)若,求△ABC的面积S△ABC.考点:正弦定理;余弦定理.专题:解三角形.分析:(1)原式可化简为sinA(a﹣b+c)﹣sinC(a+c)+bsinB=0,由正弦定理得c2=a2+b2﹣ab,由余弦定理知,c2=a2+b2﹣2abcosC故cosC=,且角C为△ABC中内角,即可求出∠C=.(2)若a+b=3,则a2+b2+2ab=9,故ab=3+,有c=,ab=4,又∠C=,故sin=,可求S△ABC==.解答:解:(1)可化简为:(a+c)(sinA﹣sinC)=b(sinA﹣sinB),展开得sinA(a﹣b+c)﹣sinC(a+c)+bsinB=0,由正弦定理:sinA=,sinC=,sinB=得:(a﹣b+c)﹣(a+c)+b=0,整理得c2=a2+b2﹣ab;由余弦定理知,c2=a2+b2﹣2abcosC,故cosC=,且角C为△ABC中内角,故∠C=.(2)若a+b=3,则a2+b2+2ab=9,由(1)知c2=a2+b2﹣ab,故ab=3+,∵c=,∴ab=4,又∵∠C=,故sin=,故S△ABC==.点评:本题主要考察了正弦定理,余弦定理的综合应用,属于基础题.21.已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x﹣a.其中a∈R且a≠0.(1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上,求a的值;(2)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试问:△OAB的面积S有没有最值?如果有,求出最值及所对应的a的值;如果没有,请说明理由.考点:函数最值的应用.专题:计算题;压轴题.分析:(1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0),而点(a,0)也在函数f(x)的图象上,代入函数f(x)的解析式建立等式,解之即可求出a的值;(2)依题意,f(x)=g(x),函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,则△>0,求出a的范围,设A(x1,y1),B(x2,y2),求出AB以及点O到直线g(x)=x﹣a的距离,从而求出三角形的面积关于a的函数,根据a的范围求出面积的最值.解答:解:(1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0),又∵点(a,0)也在函数f(x)的图象上,∴a3+a2=0.而a≠0,∴a=﹣1.(2)依题意,f(x)=g(x),即ax2+ax=x﹣a,整理,得 ax2+(a﹣1)x+a=0,①∵a≠0,函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,∴△>0,即△=(a﹣1)2﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1=(3a﹣1)(﹣a﹣1)>0.∴﹣1<a<且a≠0.…(6分)设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,由①得,x1•x2=1>0,.设点O到直线g(x)=x﹣a的距离为d,则,.∴S△OAB==.∵﹣1<a<且a≠0,∴当时,S△OAB有最大值,S△OAB无最小值.点评:本题主要考查了三角形面积的度量,以及利用二次函数研究函数的最值,属于中档题.22.设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若•+•=8,求k的值.考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)先根据椭圆方程的一般形式,令x=c代入求出弦长使其等于,再由离心率为,可求出a,b,c的关系,进而得到椭圆的方程.(2)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由直线与椭圆消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,再由韦达定理进行求解.求得•+•,利用•+•=8,即可求得k的值.解答:解:(1)∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为.∴=,∵离心率为,∴=,解得b=,c=1,a=.∴椭圆的方程为;(2)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由直线与椭圆消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,∴x1+x2=﹣,x1x2=,又A(﹣,0),B(,0),∴•+•=(x1+,y1)•(﹣x2.﹣y2)+(x2+,y2)•(﹣x1.﹣y1)=6﹣(2+2k2)x1x2﹣2k2(x1+x2)﹣2k2,=6+=8,解得k=±.点评:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等,考查方程思想.在椭圆中一定要熟练掌握a,b,c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质.。
2023-2024学年浙江省绍兴市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1.已知集合{|024}A x x =≤-≤,2{|30}B x x x =->,则A B = ()A .{|20}x x -≤<B .{|40}x x -≤<C .{|02}x x <≤D .{|03}x x <≤【正确答案】C【分析】先求出集合A ,B 的具体区间,再根据交集的定义求解.【详解】因为{}2|2A x x -=≤≤,{}|03B x x =<<,所以{}|02A B x x =<≤ ;故选:C.2.已知下列四组陈述句:①α:集合A B A C ⋂=⋂;β:集合B C =;②α:集合A B C A ⊆⊆⊆;β:集合A B C ==;③:{|21,}x x x n n α∈=+∈Z ;:{|61,}x x x n n β∈=-∈N ;④α:1a b +>;β:2()1a b +>.其中α是β的必要非充分条件的有()A .①②B .③④C .②④D .①③【正确答案】D【分析】根据集合间的关系以及不等式的性质判断求解即可.【详解】①若A B A C ⋂=⋂,则,B C 不一定相等,不是充分条件,若B C =,则A B A C ⋂=⋂一定成立,是必要条件,所以α是β的必要非充分条件,故①符合题意;②若集合A B C A ⊆⊆⊆,则集合A B C ==,反之也成立,所以α是β的充要条件,故②不符合题意;③由{|21,}x x x n n ∈=+∈Z 得不到{|61,}x x x n n ∈=-∈N ,由{|61,}x x x n n ∈=-∈N 能得到{|21,}x x x n n ∈=+∈Z ,所以α是β的必要非充分条件,故③符合题意;④根据不等式的性质由1a b +>可得2()1a b +>,但由2()1a b +>得1a b +>或1a b +<-,即由2()1a b +>得不到1a b +>,所以α是β的充分不必要条件,故④不符合题意;故选:D.3.已知集合{A x y =,{}e xB y y a ==+(a ∈R ),若A B ⋂=∅,则a 的取值范围为()A .(],1-∞-B .(),1-∞-C .()3,+∞D .[)3,+∞【正确答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ,再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知,集合A 即函数y =的定义域,由不等式2320x x +-≥,即2230x x --≤,解得13x -≤≤,∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-,集合B 即函数e x y a =+的值域,因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+,所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞,∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+,∵A B ⋂=∅,∴a 的取值范围是[)3,+∞.故选:D.4.已知函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数,且2()31)(f x f x ++-=,则()A .()10f =B .()20f =C .()31f =D .()41f =【正确答案】D【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数,可知()f x 对称轴为1x =,又2()31)(f x f x ++-=可推出周期为4,根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解:因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数,所以()f x 关于1x =对称,则(1)(1)f x f x -=+,又2()31)(f x f x ++-=,所以2(1)3)(f f x x +++=,即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=-++=-++=,函数()f x 的周期为4,取0x =,则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===,所以()()401f f ==,则D 选项正确,B 、C 选项错误;由已知条件不能确定()1f 的值,A 选项错误;故选:D.5.函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是()A .B .C.D.【正确答案】C【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--.所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .6.奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()132xf x =+,则()2023f =()A .72-B .32C .72D .552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+,可得到函数()f x 的周期是4,利用函数的周期性和奇偶性,将()2023f 转化为()1f -,代入函数解析式求解即可.【详解】解:已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,()f x ∴是以4为周期的奇函数,又当()0,2x ∈时,()132x f x =+,()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭,故选:A.7.定义在R 上的奇函数()1f x -满足()()2f x f x =-,且当[]1,3x ∈时,()cosπsinπ2f x a x b x =++,则()18f -=()A .2B .0C .2-D .4-【正确答案】D【分析】先由题设条件得到()()11f x f x --=--,利用换元法结合()()2f x f x =-得到()()4f t f t =--,从而证得()f x 是8T =的周期函数,再利用赋值法得到()30f =,从而求得2a =,由此求得()()1824f f -=-=-.【详解】因为()1f x -是定义在R 上的奇函数,所以()()11f x f x --=--,令12x t --=-,则3x t =-,故()()()2314f t f t f t -=---=--,又因为()()2f x f x =-,则()()2f t f t =-,所以()()4f t f t =--,故()()()84f t f t f t +=-+=,即()()8f x f x +=,所以()f x 是8T =的周期函数,故()()()()()()()18182821111020f f f f f f f -=-+⨯=-=--=--=-=--()2f =-,因为()()11f x f x --=--,令0x =,得()()11f f -=--,则()10f -=,又因为()()2f x f x =-,令3x =,得()()()02331f f f =--==,因为当[]1,3x ∈时,()cosπsinπ2f x a x b x =++,所以cos3πsin3π20a b ++=,得20a -+=,故2a =,所以()2cos 2πsin 2π224f a b a =++=+=,则()()1824f f -=-=-.故选:D.8.函数()f x 的定义域为D ,若对于任意的12,x x D ∈,当12x x <时,都有()()12f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数,且满足以下三个条件:①()00f =;②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③()()11f x f x -=-,则12017f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于()A .116B .132C .164D .1128【正确答案】D由③可得()11f =,1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭,然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案.【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=,111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()11f =,1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,12231011111111232232232232n n n n n f f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭,7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又()f x 在[0,1]上非减函数,∴112017128f ⎛⎫=⎪⎝⎭,故选:D关键点睛:解答本题的关键是由条件得到111113232nn n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭.二、多选题9.下列说法正确的是()A .命题p :∀x ,y ∈(0,1),x +y <2,则⌝p :∃x 0,y 0∈(0,1),x 0+y 0≥2B .“a >1,b >1”是“ab >1”成立的充分不必要条件C .“|x |>|y |”是“x >y ”的必要条件D .“m <0”是“关于x 的方程x 2-2x +m =0有一正一负根”的充要条件【正确答案】ABD【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A ,举反例可以判断BC ,根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A :命题p :∀x ,y ∈(0,1),x +y <2,否定为:∃x 0,y 0∈(0,1),x 0+y 0≥2故A 选项正确;选项B :由1,1a b >>时,1ab >所以充分性成立,当13,2a b ==时,1ab >,但是1,1a b ><,故必要性不成立所以“a >1,b >1”是“ab >1”成立的充分不必要条件故B 选项正确;选项C :32->,但是32-<,所以|x |>|y |不一定推出x >y 反之,34<-,但是34<-,所以x >y 不一定推出|x |>|y所以“|x |>|y |”是“x >y ”的既不充分也不必要条件故C 错误;选项D :关于x 的方程x 2-2x +m =0有一正一负根设为12,x x ,则()212Δ241000m m x x m ⎧=--⨯⨯>⎪⇔<⎨⋅=<⎪⎩所以“m <0”是“关于x 的方程x 2-2x +m =0有一正一负根”的充要条件故选项D 正确;故选:ABD.10.若62a =,63b =,则下列不等关系正确的有()A2<B .114a b+>C .2212a b +>D .1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】指对互化后求得1a b +=,对A 、C 选项可利用不等式222()2a b a b ++≥及变形判断结论是否正确;对B 选项可用“1”的代换判断结论是否正确;对D 选项:由换底公式得11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,分别计算ln6ln2与ln3ln6ln63ln3+的范围可判断结论是否正确.【详解】由62a =,63b =,得6log 2a =,6log 3b =,所以,对于A ,由不等式222x y xy +≥得222()2x y x y ++≥,x y ∴+≤又a b ¹,<=A 不正确;对于B ,因为6log 20a =>,6log 30b =>,1a b +=,所以()111124b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,因为a b ¹,所以等号不成立,所以114a b+>,所以B 正确;对于C ,因为222a b ab +≥,所以222()122b a a b +≥=+,因为a b ¹,所以等号不成立,所以2212a b +>,所以C 正确;对于D ,因为ln2ln6a =,ln3ln6b =,所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于ln6ln42ln2ln2>=,且ln3ln6ln63ln3+≥=ln3ln6ln63ln3≠,所以等号不成立,所以ln3ln6ln63ln3+>所以11ln6ln3ln6223ln2ln63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,所以D 正确,故选:BCD.11.下列说法正确的是()A .幂函数()221m y m m x +=-+是奇函数,则1m =B .在()()()()1234x x x x ----的展开式中,含3x 的项的系数是10-C .120x⎛⎝的展开式中第6项的系数最大D .已知函数()()21,13,1x a x a x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩与函数()ln g x x =的值域相同,则实数a 的取值范围是(),1-∞【正确答案】ABC【分析】选项A ,由幂函数的定义可知其系数为1,求得m 后再验证奇偶性;选项B ,展开式中3x 的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x ,剩余括号中取常数项相乘得到;选项C ,展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等,所以只需找到展开式中间一项即可;选项D ,分段函数的值域是指每一段函数值域的并集,所以需要判断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.【详解】选项A ,依题意()221m y m m x +=-+幂函数,则211m m -+=,解得0m =或1,当0m =时,2y x =是一个偶函数,不合题意;当1m =时,3y x =是一个奇函数,满足题意,故A 正确;选项B ,在()()()()1234x x x x ----的展开式中,3x 的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x ,剩余括号中取常数项相乘得到的,所以3x 的项的系数为123410----=-,故B 正确;选项C ,120x⎛ ⎝的展开式中每一项的系数和二项式系数相等,展开式共11项,中间一项即第6项的二项式系数最大,即系数最大,故C 正确;选项D ,函数()ln g x x =的值域为R ,所以函数()()21,13,1x a x a x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R .因为()3x f x =是一个增函数,所以当1x ≥时,()33xf x =≥,即()[)3,f x ∈+∞;若函数()f x 的值域为R ,则当1x <时,()3-∞⊆,()()(){}21,|1f x f x a x a x =-+<,所以()()21f x a x a =-+满足条件1>0(1)3a f -⎧⎨≥⎩,即2<120a a a ⎧⎨--≥⎩,解得1a ≤-,则实数a 的取值范围是(],1-∞-,故D 错误.故选:ABC.12.设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点,则()A .ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C .()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D .()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】AB 【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,333πx ω-∈--,根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<,求得参数范围;对于B ,C ,采用整体代换思想,结合余弦函数的图象和性质即可判断;对于D ,当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,计算π2ππ2π,4323ωω--的范围,从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时,2π2π2ππ[,333πx ω-∈--,因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点,所以5π2π7ππ232ω≤-<,解得192566ω≤<,故A 正确;又由以上分析可知,函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点,且5π2π7ππ232ω≤-<,则在2π7π[,)32-上,cos y x =出现两次最大值,此时函数cos y x =的大致图象如图示:即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1,即2ππ3x -取0,2π时,()y f x =取最大值,故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个,故B 正确;由于当(0,π)x ∈时,2π2π2ππ(,333πx ω-∈--,5π2π7ππ232ω≤-<,当2πππ3x -=-时,()y f x =取最小值1-,由于2ππ3x -是否取到3π不确定,故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个,故C 错误;当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,因为192566ω≤<,所以π2π043ω->,11ππ2π17π122312ω≤-<,故π2π23ω-的值不一定小于π,所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选:AB.本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题,综合性强,计算量大,解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答,关键是整体代换思想的应用.三、填空题13.将210 化成弧度为______.【正确答案】7π6##7π6【分析】根据角度与弧度的关系转化即可.【详解】因为180π= ,所以π7π2102101806=⨯=,故答案为.7π614.我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积12=⨯(弦×矢+矢2).如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差),现有一圆弧所对圆心角为2π3,弧长为8π3的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.【正确答案】2【分析】由条件根据弧长公式求半径,解直角三角形可得弦、矢的值,求出弧田面积.【详解】如图:由题意可得2π3AOB ∠=,弧ACB 的长为8π3,所以2π8π33OA ⋅=,故4OA =,在Rt AOD 中,可得π3AOD ∠=,π6DAO ∠=,114222OD AO ==⨯=,可得矢422=-=,由π3sin42332AD AO ==⨯=23AD ==所以弧田面积1=2(弦⨯矢+矢221)(4322)4322=+=.故答案为.43215.对于函数()y f x =,其中()sin 4tan 23f x a x b x =++,已知(2)(R)f m m -=∈,则π22f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【正确答案】6m-【分析】根据诱导公式计算π22f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值并观察与(2)f -的关系即可求得结果.【详解】22f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ππsin 42tan 22322a b ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin 2π42tan π223a b =+⨯++⨯+()()sin 42tan 223a b =⨯+⨯+而(2)f -sin(42)tan(22)3sin(42)tan(22)3a b a b =-⨯+-⨯+=-⨯-⨯+所以2(2)62f f π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭+,故π22f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭6m -故答案为.6m-16.已知函数()224,0ln ,0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩,若函数()()()()23g x f x f x m m =++∈R 有三个零点,则m的取值范围为___________.【正确答案】(],28-∞-【分析】画出()f x 的图象,利用换元法,结合二次函数零点分布的知识列不等式,从而求得m 的取值范围.【详解】画出函数()224,0ln ,0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象如下图所示,由图可知,当4t ≥时,直线y t =与()f x 的图象有2个交点;当4t <时,直线y t =与()f x 的图象有1个交点.由()()()230g x f x f x m =++=,令()t f x =得230t t m ++=①,由于()()()()23g x f x f x m m =++∈R 有三个零点,所以方程①有两个不相等的实数根1t ,2t ,且一个根14t ≥,另一个根24t <,所以2Δ9404340m m =->⎧⎨+⨯+≤⎩,解得28m ≤-,所以m 的取值范围是(],28-∞-.故(],28-∞-对于复合类型的函数求零点问题,主要的方法是利用换元法,转化为熟悉的函数的零点问题来进行研究.如本题中,换元后转化为一元二次方程的零点分布问题进行研究.四、解答题17.已知集合{}413A x x =-≤-≤,{}2434B x m x m =-<<+.(1)若0m =,求A B ⋂;(2)若A B B ⋃=,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){|24}A B x x =-≤< ;(2)113m <<.【分析】(1)解一元一次不等式求集合A ,应用集合交运算求结果;(2)由题意A B ⊆,列不等式组求参数范围.【详解】(1)由题设,{|25}A x x =-≤≤,{|44}B x x =-<<,所以{|24}A B x x =-≤< .(2)由题意A B ⊆,则242345m m -<-⎧⎨+>⎩,可得113m <<.18.(1)化简:()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭(2)已知角α的终边在直线3y x =-上,求310sin cos αα+的值.【正确答案】(1)tan α-;(2)0.【分析】(1)根据诱导公式和同角公式进行化简可求出结果;(2)设角α的终边上任一点为(,3)P k k -(0)k ≠,根据三角函数的定义求出sin α和cos α,代入310sin cos αα+,可求出结果.【详解】(1)()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭()()()()()()πsin cos sin cos 6π2πcos sin πsin πsin 4π2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()πsin cos sin cos 2πcos sin sin sin 2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()22πsin cos cos 2cos sin cos αααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-()()22sin cos sin cos sin cos αααααα--=-sin cos αα=-tan α=-.(2)因为角α的终边在直线3y x =-上,所以可设角α的终边上任一点为(,3)P k k -(0)k ≠,则,3x k y k ==-,||r k =,当0k >时,r =,sin10y r α===-,11cos x r α=r xk ===所以310sin cos αα+10⎛=⨯+ ⎝⎭0=,当0k <时,r =,sin10y r α===,11cos r x x rα===,所以310sin cos αα+1010=⨯-0=,综上所述.310sin 0cos αα+=19.已知函数()2121x f x =+-.(1)判断()f x 的奇偶性并证明;(2)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性,并利用函数单调性的定义证明.【正确答案】(1)奇函数,证明见解析(2)()f x 在区间()0,∞+上单调递减,证明见解析【分析】(1)根据奇函数的定义进行判断证明即可;(2)根据函数单调性的定义,结合指数函数的单调性进行判断证明即可.【详解】(1)函数()f x 为奇函数,理由如下:函数()2121xf x =+-的定义域为{}0x x ≠∣,对任意的{}()()()22121120,1,21212112x x xx x x xx x x f x f x f x --+++∈≠=+=-===-----∣,所以()f x 是奇函数;(2)()f x 在区间()0,∞+上的单调递减,理由如下:对任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()())()2112121212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭,因为2x y =在()0,∞+单调递增,且120x x <<,所以21121120,20,220x x x x --->>>,所以()()120f x f x ->,所以()f x 在区间()0,∞+上的单调递减.20.某创业团队拟生产A 、B 两种产品,根据市场预测,A 产品的利润与投资额成正比(如图1),B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2),(注:利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数;(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A 、B 两种产品的生产,问:当B 产品的投资额为多少万元时,生产A 、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?【正确答案】(1)1()(0)4f x x x =≥,()0)g x x =≥(2)6.25万元,4.0625万元【分析】(1)设()()0f x kx x =≥,()0)g x x =≥,代入点的坐标,求出解析式;(2)设B 产品的投资额为x 万元,创业团队获得的利润为y 万元,列出1(10)(010)4y x x =+-≤≤,换元后,配方得到 6.25x =时,y 取得最大值4.0625.【详解】(1)因为A 产品的利润与投资额成正比,故设()()0f x kx x =≥,将()1,0.25代入,解得:14k =,故1()(0)4f x x x =≥,因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,故设()0)g x x =≥,将()4,2.52.5=,解得:54m =,故()0)g x x =≥;(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为()10x -万元,创业团队获得的利润为y 万元,则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=-≤≤.(0t t =≤≤,可得2155(0442y t t t =-++≤≤,即21565(04216y t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当52t =,即 6.25x =时,y 取得最大值4.0625.答:当B 产品的投资额为6.25万元时,生产A ,B 两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.21.命题α:关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根.命题β:关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立.(1)若命题α为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若这两个命题中,有且仅有一个是真命题,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭【分析】(1)用二次函数的性质求命题α为真命题时实数m 的取值范围;(2)先确定命题β成立时实数m 的取值范围,再分类讨论求解得结果.【详解】(1)命题α:关于x 的方程2320x x m +++=有两个相异负根.则()220194204m m m m >-⎧+>⎧⎪⇒⎨⎨-+><⎩⎪⎩,解得.124m -<<若命题α为真命题,则实数m 的取值范围为12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)命题β:关于x 的不等式248120x mx m +++>对x ∈R 恒成立,()21648120m m ∆=-+<,解得.13m -<<若这两个命题中,有且仅有一个是真命题,若α真β假,12431m m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥≤-⎩或,解得:21m -<≤-,若β真α假,13124m m m -<<⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或,解得:134m ≤<,综上:实数m 的取值范围为.(]12,1,34⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭22.已知()f x 的定义域为{}0x x ∈≠R ,且()f x 是奇函数,当0x >时,()2f x x bx c =-++,若()()13f f =,()22f =.(1)求,b c 的值;(2)求()f x 在0x <时的表达式;(3)若关于x 的方程()()f x ax a =∈R 有解,求a 的取值范围.【正确答案】(1)4b =,2c =-(2)()242f x x x =++(3)(,4-∞-【分析】(1)由()()()1322f f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩可构造方程组求得,b c 的值;(2)当0x <时,0x ->,由()()f x f x =--可求得结果;(3)将问题转化为()()f x a g x x==有解,利用基本不等式可求得()g x 的值域,即为a 的取值范围.【详解】(1)由()()()1322f f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:193422b c b c b c -++=-++⎧⎨-++=⎩,解得.42b c =⎧⎨=-⎩(2)由(1)知:当0x >时,()242f x x x =-+-;当0x <时,0x ->,则()242f x x x -=---,又()f x 为奇函数,()()242f x f x x x ∴=--=++,即当0x <时,()242f x x x =++.(3)()f x 定义域为{}0x x ∈≠R ,()f x ax ∴=等价于()f x a x=,令()()f x g x x =,则()24,024,0x x xg x x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩,当0x >时,2x x +≥x =时取等号),244x x ∴--+≤-当0x <时,2x x --≥x =,244x x∴++≤-()g x ∴的值域为(,4-∞-,∴若()a g x =有解,则(,4a ∈-∞-;即若()()f x ax a =∈R 有解,a的取值范围为(,4-∞-.关键点点睛:本题考查根据函数奇偶性求解函数解析式、根据方程有解求解参数范围的问题;本题根据方程有解求解参数范围的关键是能够通过分离变量的方式,将问题转化为()()f xg x x=的值域求解问题.2023-2024学年浙江省绍兴市高一上册期末数学质量检测模拟试题注意事项:1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。
[A卷]1.(2021·宁波市高三模拟) 用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:选B.由题意知,用平行于水平面的平面去截球所得的底面圆是看不见的,所以在俯视图中该部分应当是虚线圆,结合选项可知选B.2.下列命题中,错误的是()A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C.圆台的全部平行于底面的截面都是圆D.圆锥全部的轴截面都是全等的等腰三角形解析:选B.依据棱台的定义,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.3.(2021·台州市高三调考)一个空间几何体的三视图如图所示,其体积为()A.16B.32C.48 D.96解析:选A.由题意作出直观图P-ABCD如图所示,则该几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,其面积为12×(2+4)×4=12,高为4,因此其体积V=13×12×4=16.4.(2021·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1 B.2C.4 D.8解析:选B.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=12×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π,所以r2=4,r=2,故选B.5.如图是一个体积为10的空间几何体的三视图,则图中x的值为()A.2 B.3C.4 D.5解析:选A.依据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体,所以几何体的体积V=3×2×1+13×3×2×x=10,解得x=2.故选A.6. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长为1,且侧棱AA1⊥平面A1B1C1,正视图是边长为1的正方形,俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为()A.2 3 B. 3C.32D.1解析:选C.由直观图、正视图以及俯视图可知,侧视图是宽为32,长为1的长方形,所以面积S=32×1=32.故选C.7.一平面截一球得到直径为2 5 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是() A.12πcm3B.36πcm3C.646πcm3D.108πcm3解析:选B.由于球心和截面圆心的连线垂直于截面,由勾股定理得,球半径R=22+(5)2=3,故球的体积为43πR3=36π(cm3).8.(2021·石家庄市第一次模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:选B.由三视图可知该几何体是一个组合体,下面是一个棱长为4的正方体;上面是一个三棱锥,三棱锥的高为3.故所求体积为43+13×12×4×4×3=72.9.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB=AC,四边形BCDE为矩形),则该组合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上).解析:几何体由四棱锥与四棱柱组成时,得①正确;几何体由四棱锥与圆柱组成时,得②正确;几何体由圆锥与圆柱组成时,得③正确;几何体由圆锥与四棱柱组成时,得④正确.答案:①②③④10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长是10 cm,则圆锥的母线长为________ cm.解析:作出圆锥的轴截面如图,设SA=y,O′A′=x,利用平行线截线段成比例,得SA′∶SA=O′A′∶OA,则(y-10)∶y=x∶4x,解得y=403.所以圆锥的母线长为403cm.答案:40311.(2022·高考课标全国卷Ⅱ改编)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 3,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为________.解析:由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2sin 60°=3,所以V AB1DC1=13AD·S△B1DC1=13×3×12×2×3=1,故选C.答案:112.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为________,体积为________.解析:由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为2,高为2,侧面上的斜高为22+12=5,所以S 侧=4×⎝⎛⎭⎫12×2×5=45,V=13×22×2=83.答案:458313.(2021·南昌市第一次模拟)如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点,则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为________.解析:依据题意,三棱锥P -BCD 的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高,侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高,故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1. 答案:1∶114.如图是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为________.解析:由三视图可知,该几何体是棱长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球,所以长方体的体积为2×2×1=4,半球的体积为12×43π×13=2π3,所以该几何体的体积是4-2π3.答案:4-2π315.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1EDF的体积为________.解析:由于B 1C ∥平面ADD 1A 1,所以F 到平面ADD 1A 1的距离d 为定值1,△D 1DE 的面积为12D 1D ·AD =12,所以V D 1EDF =V F D 1DE =13S △D 1DE ·d =13×12×1=16.答案:16[B 卷]1.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不行能是该锥体的俯视图的是( )解析:选C.依据三视图中“正俯长一样,侧俯宽一样,正侧高一样”的规律,C 选项的侧视图宽为32,不符合题意,故选C.2.(2021·邢台市摸底考试)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则该几何体的体积为( )A.16 B.13 C.23D .56解析:选D.依题意得,题中的几何体是从棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中截去三棱锥A ′ABD 后剩余的部分,因此该几何体的体积等于13-13×⎝⎛⎭⎫12×12×1=56,故选D. 3.(2022·高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半径最大,故其半径r =12×(6+8-10)=2.因此选B.4.(2021·高考山东卷)在梯形ABCD 中,∠ABC =π2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B .4π3 C.5π3D .2π 解析:选C.过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ,梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径,线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V =V 圆柱-V 圆锥=π·AB 2·BC -13·π·CE 2·DE =π×12×2-13π×12×1=5π3,故选C.5.(2021·郑州市第一次质量猜测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy 的最大值为( )A .32B .327C .64D .647解析:选C.依题意,题中的几何体是三棱锥P -ABC (如图所示), 其中底面ABC 是直角三角形,AB ⊥BC ,P A ⊥平面ABC , BC =27,P A 2+y 2=102,(27)2+P A 2=x 2,因此xy =x 102-[x 2-(27)2]=x128-x 2≤x 2+(128-x 2)2=64,当且仅当x 2=128-x 2,即x =8时取等号,因此xy 的最大值是64,故选C.6.(2021·山西省第三次四校联考)在半径为10的球面上有A ,B ,C 三点,假如AB =83,∠ACB =60°,则球心O 到平面ABC 的距离为( )A .2B .4C .6D .8解析:选C.设A ,B ,C 三点所在圆的半径为r ,圆心为P .由于∠ACB =60°,所以∠APB =120°.在等腰三角形ABP 中,AP =43sin 60°=8,所以r =8,所以球心O 到平面ABC 的距离为102-82=6,故选C.7.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A .5+ 3B .5+2 3C .4+2 2D .4+2 3解析:选A.该几何体的直观图如图.表面积S =1×1+12×1×1×2+2×12×(1+2)×1+12×6×2=5+3,所以选A.8.在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,D 为侧棱PC 上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )A .AD ⊥平面PBC ,且三棱锥D -ABC 的体积为83B .BD ⊥平面P AC ,且三棱锥D -ABC 的体积为83C .AD ⊥平面PBC ,且三棱锥D -ABC 的体积为163D .BD ⊥平面P AC ,且三棱锥D -ABC 的体积为163解析:选C.由正视图可知,P A =AC ,且点D 为线段PC 的中点,所以AD ⊥PC .由侧视图可知,BC =4.由于P A ⊥平面ABC ,所以P A ⊥BC .又由于BC ⊥AC ,且AC ∩P A =A ,所以BC ⊥平面P AC ,所以BC ⊥AD .又由于AD ⊥PC ,且PC ∩BC =C ,所以可得AD ⊥平面PBC ,V D ABC =13×12×P A ×S △ABC =163.9.某几何体的正视图与俯视图如图所示,若俯视图中的多边形为正六边形,则该几何体的侧视图的面积为________.解析:侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成,矩形的长为3,宽为2,面积为3×2=6.等腰三角形的底边为3,高为3,其面积为12×3×3=32,所以侧视图的面积为6+32=152.答案:15210.(2021·洛阳市高三班级统考)如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )解析:由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去一个角后得到,该长方体的长、宽、高分别为5、4、3,所以其外接球半径R 满足2R =42+32+52=52,所以该几何体的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×⎝⎛⎭⎫5222=50π.答案:50π 11.(2021·绍兴市高三诊断性测试)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________,最长的侧棱长为________.解析:依据三视图及有关数据还原该几何体,得该几何体是底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD ,如图,过点P 作PH ⊥AD 于点H ,连接CH .底面面积S 1=(1+2)×12=32,V =13×32×1=12,最长的侧棱长为PB = 3.答案:12312.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1,S 2,体积分别为V 1,V 2,若它们的侧面积相等,且S 1S 2=94,则V 1V 2的值是________. 解析:设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1,r 2和h 1,h 2,由S 1S 2=94,得πr 21πr 22=94,则r 1r 2=32.由圆柱的侧面积相等,得2πr 1h 1=2πr 2h 2,即r 1h 1=r 2h 2,则h 1h 2=23,所以V 1V 2=πr 21h 1πr 22h 2=32.答案:3213.(2021·洛阳市统考)已知点A ,B ,C ,D 均在球O 上,AB =BC =6,AC =23,若三棱锥D -ABC 体积的最大值为3,则球O 的表面积为________.解析:由题意可得,∠ABC =π2,△ABC 的外接圆半径r =3,当三棱锥的体积最大时,V D ABC =13S △ABC ·h (h为D 到底面ABC 的距离),即3=13×12×6×6h ⇒h =3,即R +R 2-r 2=3(R 为外接球半径),解得R =2,所以球O 的表面积为4π×22=16π.答案:16π 14.(2021·杭州市联谊学校高三其次次联考)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为________.解析:如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,△ABC 为正三角形,边长为2,△DEF 为等腰直角三角形,DF 为斜边,设DF 的长为x ,则DE =EF =22x ,作DG ⊥BB 1,GH ⊥CC 1,EI ⊥CC 1,垂足分别为G ,H ,I ,则EG =DE 2-DG 2=x 22-4,FI =EF 2-EI 2=x 22-4,FH =FI +HI =FI +EG=2x 22-4.连接DH ,在Rt △DHF 中,DF 2=DH 2+FH 2,即x 2=4+⎝⎛⎭⎫2x 22-42,解得x =23,即该三角形的斜边长为2 3.答案:2 3 15.(2021·浙江省名校新高考联盟第一次联考)如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,OA =1,OD =2,△OAB ,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形,则BC =________,四棱锥F-OBED的体积为________.解析:取AO的中点M,连接CM,BM,由△OAB,△OAC是正三角形,OA=1,可知CM⊥AO,BM⊥AO,且BM=CM=32,又平面ABED⊥平面ACFD,所以CM⊥平面ABED,所以CM⊥BM,故BC=62.过点F作FQ⊥OD于点Q,由于平面ABED⊥平面ACFD,所以FQ⊥平面ABED,FQ就是四棱锥F-OBED的高.易知FQ=3,又S△OBE=12×1×2×32=32,S△OED=12×2×2×32=3,所以S四边形OBED=32+3=332,故V四棱锥F-OBED=13×332×3=32.答案:6232。
2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区高三(上)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x >3或x <2},B ={x |22x ﹣5>1},则(∁R A )∩B =( )A .[52,3)B .(2,52]C .(52,3]D .[2,52]2.若1+ia−i =i (a ∈R ,i 为虚数单位),则|1﹣ai |=( )A .2B .√2C .3D .2√23.函数y =ln (x 2﹣2x )的单调递减区间是( ) A .(﹣∞,1)B .(1,+∞)C .(﹣∞,0)D .(2,+∞)4.已知平面向量a →=(10sin θ,1),b →=(cosθ,3),若a →⊥b →,则tan θ=( ) A .−13或﹣3B .13或﹣3C .13或3D .−13或35.已知命题P :函数f (x )=2x 3+x ﹣a 在(1,2]内有零点,则命题P 成立的一个必要不充分条件是( ) A .3≤a <18B .3<a <18C .a <18D .a ≥36.直线mx ﹣ny +m ﹣n =0交曲线x 2+y 2﹣2y ﹣24=0于点A ,B ,则|AB |的最小值为( ) A .2√5B .4√5C .√3D .2√37.已知x ,y 为非负实数,且x +2y =2,则x 2+1x+2y 2y+1的最小值为( ) A .34B .94C .32D .928.若对任意实数x ≥0,恒有2(e x +2mx )+8≥x 2+4m 2成立,则实数m 的取值范围是( ) A .[−√102,2] B .[−√102,ln2−2]C .[ln2−2,√102]D .[−2,√102]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a ∈R ,关于x 的一元二次不等式(ax ﹣2)(x +2)>0的解集可能是( ) A .{x|x >2a 或x <﹣2}B .{x |x >﹣2}C .{x|−2<x <2a}D .{x|2a<x <−2}10.已知直线m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β,则下列线面关系可能成立的是( )A .m ⊥nB .m ⊥平面βC .平面α∥平面βD .平面α⊥平面β11.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=50,S 7=35,则( ) A .数列{2a n }为等比数列B .S 9=0C .当且仅当n =4时,S n 取得最大值D .S 1+S 22+S 33+⋯+S n n =−5n 2+75n 412.双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)上一动点P (x 0,y 0),F 1,F 2为双曲线的左、右焦点,点G (x ,y )为△PF 1F 2的内切圆圆心,连接PG 交x 轴于点M (m ,0),则下列结论正确的是( ) A .当x 0>a 时,点(a ,0)在△PF 1F 2的内切圆上 B .mx 0=a 2 C .G(±a ,y 0a+x 0) D .当x 0<﹣a 时,x =﹣a (﹣b <y <b ) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若(3x −1√x)n的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中的含x 2的项的系数为 . 14.已知函数f(x)=12x 2−(a +3)x +3alnx +2在[4,6)上存在极值点,则正整数a 的值是 .15.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院,是由美籍华人建筑师贝隶铭设计的,已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型,该正四棱锥的底面边长为a ,高为23a ,若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上,则该外接球的表面积是 .16.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点P (2,0)的直线l 交C 于A 、B 两点,直线AF 、BF 分别交C 于M 、N ,则|AM |+|BN |的最小值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C ,所对的边分别为a ,b ,c ,且bsin B+C2=asinB . (1)求角A ;(2)若a =2√3,求△ABC 的周长的取值范围.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若{S n n }为等差数列,且满足S 1=8,S 44=5.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |,求T n .19.(12分)临近新年,某水果店购入A ,B ,C 三种水果,数量分别是36箱,27箱,18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱,进行质量检查.(1)应从A,B,C三种水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X的分布列和数学期望;②设A为事件“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A发生的概率.20.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,底面△ABC是边长为2的正三角形,P A=PC=4.(1)求证:PB⊥AC;(2)若平面P AC⊥平面ABC,在线段PB(包含端点)上是否存在一点E,使得平面P AB⊥平面ACE,若存在,求出PE的长,若不存在,请说明理由.21.(12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=r2交于M,N两点,直线MN过该圆圆心,且斜率为﹣1,点A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过椭圆右焦点的直线l交椭圆于D、E两点,记直线AD,BE的斜率分别为k1,k2.(1)求椭圆C的离心率;(2)若a=√6,求k1k2的值.22.(12分)已知函数f(x)=x−lnx+e xx.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数f(x)=a有两个解x1,x2,求证:x1x2<1.2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区高三(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x >3或x <2},B ={x |22x ﹣5>1},则(∁R A )∩B =( )A .[52,3)B .(2,52]C .(52,3]D .[2,52]解:∵集合A ={x |x >3或x <2},∴∁R A ={x |2≤x ≤3}.再根据B ={x |22x ﹣5>1}={x |2x ﹣5>0}={x |x >52},则(∁R A )∩B ={x |52<x ≤3}.故选:C .2.若1+ia−i=i (a ∈R ,i 为虚数单位),则|1﹣ai |=( )A .2B .√2C .3D .2√2解:由1+i a−i=i ,得1+i =i (a ﹣i )=1+ai ,∴|1﹣ai |=|1+ai |=|1+i |=√2.故选:B .3.函数y =ln (x 2﹣2x )的单调递减区间是( ) A .(﹣∞,1)B .(1,+∞)C .(﹣∞,0)D .(2,+∞)解:对于函数y =ln (x 2﹣2x ),令t =x 2﹣2x >0,求得x <0或x >2. 则函数的定义域为{x |x <0或x >2},且y =lnt .函数y =ln (x 2﹣2x )的单调递减区间,即函数t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(﹣∞,0), 即函数y =ln (x 2﹣2x )的单调递减区间为(﹣∞,0). 故选:C .4.已知平面向量a →=(10sin θ,1),b →=(cosθ,3),若a →⊥b →,则tan θ=( ) A .−13或﹣3B .13或﹣3C .13或3D .−13或3解:平面向量a →=(10sin θ,1),b →=(cosθ,3),a →⊥b →,则10sin θcos θ+3=0,即10sin θcos θ+3sin 2θ+3cos 2θ=0,即10tan θ+3tan 2θ+3=0,解得tan θ=−13或﹣3.故选:A .5.已知命题P :函数f (x )=2x 3+x ﹣a 在(1,2]内有零点,则命题P 成立的一个必要不充分条件是( )A.3≤a<18B.3<a<18C.a<18D.a≥3解:根据题意,函数f(x)=2x3+x﹣a,易得f(x)在区间(1,2]上为增函数,若函数f(x)=2x3+x﹣a在(1,2]内有零点,则有f(1)f(2)<0或f(2)=0,即(3﹣a)(18﹣a)<0或(18﹣a)=0,解可得3<a≤18,即命题P成立的充要条件为3<a≤18,由此分析选项:命题P成立的一个必要不充分条件是a≥3.故选:D.6.直线mx﹣ny+m﹣n=0交曲线x2+y2﹣2y﹣24=0于点A,B,则|AB|的最小值为()A.2√5B.4√5C.√3D.2√3解:直线mx﹣ny+m﹣n=0恒过(﹣1,﹣1)点,x2+y2﹣2y﹣24=0的圆心(0,1),半径为5,√(−1−0)2+(−1−1)2=√5<5,显然(﹣1,﹣1)点在x2+y2﹣2y﹣24=0的内部,直线mx﹣ny+m﹣n=0交曲线x2+y2﹣2y﹣24=0于点A,B,则|AB|的最小值为:2√25−(√5)2=4√5.故选:B.7.已知x,y为非负实数,且x+2y=2,则x2+1x+2y2y+1的最小值为()A.34B.94C.32D.92解:因为x,y为非负实数,且x+2y=2,即x+2(y+1)=4,则x2+1x+2y2y+1=x+1x+2(y+1)2−4(y+1)+2y+1=x+1x+2y+2+2y+1−4=1x+2y+1=(1x+2y+1)[x+2(y+1)]×14=14(5+2y+2x+2xy+1)≥14(5+2√2y+2x⋅2xy+1)=94,当且仅当x=y+1,即x=43,y=13时取等号.故选:B.8.若对任意实数x≥0,恒有2(e x+2mx)+8≥x2+4m2成立,则实数m的取值范围是()A.[−√102,2]B.[−√102,ln2−2]C.[ln2−2,√102]D.[−2,√102]解:令y=2e x+4mx+8﹣x2﹣4m2,则y′=2e x+4m﹣2x,y″=2e x﹣2,当x≥0时,y″>0,得y′在(0,+∞)上单调递增,所以y'(0)=2+4m,(1)若y′(0)≥0,则2+4m≥0⇒m≥−12,则此时有y'≥0,当x ≥0时,y 在[0,+∞)单调递增,所以只需y (0)≥0即可,y(0)=2+8−4m 2≥0⇒m 2≤104⇒m ∈[−√102,√102], 故此时m ∈[−12,√102];(2)若y ′(0)<0,即m <−12,则由y '在(0,+∞)上单调递增,当x →+∞时,y '>0,所以∃x 0使得y '(x 0)=0,所以y 在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增,则{2e x 0+4m −2x 0=0①2e x 0+4mx 0+8−x 02−4m 2≥0②,将①式代入②式得2e x 0+x 0(2x 0−2e x 0)+8−x 02−(x 0−e x 0)2=2e x 0−e 2x 0+8≥0,x 0≥0时,令t =e x 0,t ∈(0,+∞),则2t ﹣t 2+8≥0⇒t 2﹣2t ﹣8≤0⇒(t ﹣4)(t +2)≤0⇒t ∈(﹣2,4),所以x 0∈(0,ln 4),而2m =x 0−e x 0∈[ln4−4,−1),即m ∈[ln2−2,−12).综上,m ∈[ln2−2,√102].故选:C .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a ∈R ,关于x 的一元二次不等式(ax ﹣2)(x +2)>0的解集可能是( ) A .{x|x >2a 或x <﹣2}B .{x |x >﹣2}C .{x|−2<x <2a}D .{x|2a<x <−2}解:当a =0时,原不等式可化为﹣2(x +2)>0,即x +2<0,解得x <﹣2,当a >0时,原不等式可化为a (x −2a )(x +2)>0,即(x −2a )(x +2)>0,解得x >2a 或x <﹣2,当a <0时,原不等式可化为a (x −2a )(x +2)>0,即(x −2a )(x +2)<0,若a <﹣1,则2a>−2,解得﹣2<x <2a ,若a =﹣1,则不等式可化为(x +2)2<0,此时x 不存在. 当﹣1<a <0时,则2a<−2,解得﹣2>x >2a .故选:ACD .10.已知直线m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β,则下列线面关系可能成立的是( ) A .m ⊥nB .m ⊥平面βC .平面α∥平面βD .平面α⊥平面β解:对于A ,∵α与β的关系不确定,∴m 与n 可能异面垂直,故A 正确;对于B ,若m ⊥平面β,又n ⊥平面β,则m ∥n ,与已知m 与n 异面矛盾,故B 错误; 对于C ,若平面α∥平面β,又m ⊥平面α,n ⊥平面β,则m 与n 平行,故C 错误;对于D ,若平面α⊥平面β,又m ⊥平面α,n ⊥平面β,则m 与n 可能异面垂直,故D 正确. 故选:AD .11.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=50,S 7=35,则( ) A .数列{2a n }为等比数列B .S 9=0C .当且仅当n =4时,S n 取得最大值D .S 1+S 22+S 33+⋯+S n n =−5n 2+75n 4解:根据题意,设等差数列{a n }的公差为d , 若S 5=50,则有S 5=(a 1+a 5)×52=5a 3=50,则有a 3=10, 同理:若S 7=35,则有a 4=5,则d =a 4﹣a 3=﹣5,故a n =a 3+(n ﹣3)d =25﹣5n , 依次分析选项:对于A ,对于数列{2a n },有2a n+12a n=2﹣5=132,故数列{2a n }为等比数列,A 正确; 对于B ,等差数列{a n }中,S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=9(25﹣5×5)=0,B 正确; 对于C ,由于a 5=25﹣5×5=0,故当n =4或5时,S n 取得最大值,C 错误; 对于D ,由于a n =25﹣5n ,故S n =(a 1+a n )×n 2=(45−5n)n2, 故S n n=45−5n 2,易得{S n n}是S 1=a 1=20为首项的等差数列,故S 1+S 22+S 33+⋯⋯+S n n =(20+45−5n2)×n 2=−5n 2+85n4,D 错误.故选:AB .12.双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)上一动点P (x 0,y 0),F 1,F 2为双曲线的左、右焦点,点G (x ,y )为△PF 1F 2的内切圆圆心,连接PG 交x 轴于点M (m ,0),则下列结论正确的是( ) A .当x 0>a 时,点(a ,0)在△PF 1F 2的内切圆上 B .mx 0=a 2 C .G(±a ,y 0a+x 0) D .当x 0<﹣a 时,x =﹣a (﹣b <y <b )解:设△PF 1F 2的内切圆与PF 1,PF 2,F 1F 2,分别切于点N ,Q ,K ,如图:所以有|PN|=|PQ|,|NF1|=|KF1|,|NF2|=|KF2|;因为点P在双曲线C上,不妨设点P在右支上,所以|PF1|﹣|PF2|=2a,即|PN|+|NF1|﹣(|PQ|+|QF2|)=2a,即|NF1|﹣|QF2|=2a.对于A,|KF1|﹣|KF2|=2a,设K(x K,0),则x K+c﹣(c﹣x K)=2a,解得x K=a,即K(a,0),所以当x0>a时,点(a,0)在△PF1F2的内切圆上,故A正确;对于B,因为PK为∠F1PF2的角平分线,所以|PF1||PF2|=|MF1||MF2|=m+cc−m,|PF1|﹣|PF2|=2a,由双曲线的第二定义知:|PF2|=ex0﹣a,|PF1|=ex0+a,解得mx0=a2,故B正确;对于C,因为点G(x,y)为△PF1F2的内切圆圆心,所以G(a,r),所以S△PF1F2=12r(|PF1|+|PF2|+2c)=12•2c•y0,所以r=cy0ex0+c=ay0x0+a,故C错误;对于D,当x0<﹣a时,易得x=﹣a,y2=(ay0x0+a)2,因为x02a2−y02b2=1,所以y02=b2(x02a2−1),所以y2=(ay0x0+a )2=b2(x02−a2)(x0+a)2=b2(x0−a)x0+a,因为x0<﹣a,所以x0−ax0+a<1,所以y2<b2,即﹣b<y>b,故D正确.故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若(3x−√x)n的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中的含x2的项的系数为270.解:若(3x√x)n的展开式中二项式系数之和为32,故2n=32,解得n=5,故(3x−1√x)5的二项式展开式为:T r+1=C5r⋅35−r⋅(−1)r⋅x5−r⋅x−12r=C5r⋅35−r⋅(−1)r⋅x5−32r(r=0,1,2,3,4,5);当5−32r=2,解得r=2;故含x2的项的系数C52⋅33⋅(−1)2=270.故答案为:270.14.已知函数f(x)=12x2−(a+3)x+3alnx+2在[4,6)上存在极值点,则正整数a的值是4或5.解:函数f(x)=12x2−(a+3)x+3alnx+2在[4,6)上存在极值点,则f′(x)=x−(a+3)+3ax=0在[4,6)内有解,且此解左右两侧f′(x)异号,即x−(a+3)+3ax=0,整理得(x﹣3)(x﹣a)=0在x∈[4,6)有解,则x=a∈[4,6),所以a=4或a=5.故答案为:4或5.15.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院,是由美籍华人建筑师贝隶铭设计的,已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型,该正四棱锥的底面边长为a,高为23a,若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上,则该外接球的表面积是289πa2144.解:如下图所示:在正四棱锥P﹣ABCD中,设M为底面正方形ABCD的对角线的交点,则PM⊥底面ABCD,由题意可得PM=2a3,AB=a,BD=√2AB=√2a,则BM=√2a2,设该球的半径为R,设球心为O,则O∈PM,由勾股定理可得OB2=OM2+BM2,即R2=(2a3−R)2+(√2a2)2,解得R=17a24,则该外接球的表面积是4πR 2=289πa 2144. 故答案为:289πa 2144.16.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点P (2,0)的直线l 交C 于A 、B 两点,直线AF 、BF 分别交C 于M 、N ,则|AM |+|BN |的最小值为 9 . 解:由抛物线的方程可得焦点F (1,0),由题意设直线l 的方程为x =my +2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立{x =my +2y 2=4x,整理可得:y 2﹣4my ﹣8=0,可得y 1+y 2=4m ,y 1y 2=﹣8, 直线AF 的方程为x =x 1−1y 1y +1, 代入抛物线的方程可得y 2−4(x 1−1)y 1y ﹣4=0,可得y 1y M =﹣4,即y M =−4y 1, 所以x M =(−4y 1)24=4y 12,同理可得x N =4y 22, x 1=y 124,x 2=y 224, 所以|AM |+|BN |=x 1+x M +2+x 2+x N +2=4y 12+y 124+4y 22+y 224+4=16(y 12+y 22)+y 12y 22(y 12+y 22)4y 12y 22+4=[16+(y 1y 2)2][(y 1+y 2)2−2y 1y 2]4(y 1y 2)2+4=(16+64)(16m 2+16)4×64+4≥80×164×64+4=9,当且仅当m =0时,|AM |+|BN |取到最小值9. 故答案为:9.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C ,所对的边分别为a ,b ,c ,且bsin B+C2=asinB . (1)求角A ;(2)若a =2√3,求△ABC 的周长的取值范围. 解:(1)在三角形中,由题意bsin(π2−A2)=asinB ,再由正弦定理可得:sin B cos A2=sin A sin B ,而sin B ≠0,锐角三角形中,cos A2≠0,所以cosA 2=2sin A 2cos A 2⇒sin A 2=12,所以A =π3;(2)a =2√3,由正弦定理得a sinA=b sinB=c sinC=4,则b =4sinB ,c =4sin(B +π3),所以a +b +c =2√3+4sinB +4sin(B +π3)=2√3+4√3sin(B +π6),因为C =2π3−B ∈(0,π2),且B ∈(0,π2),解得π6<B <π2,所以B +π6∈(π3,2π3), 所以sin(B +π6)∈(√32,1],即a +b +c ∈(2√3+6,6√3].18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若{Sn n }为等差数列,且满足S 1=8,S 44=5.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |,求T n .解:(1)由已知得,设{Sn n } 的公差为d ,S 44−S 11=3d =−3,则d =﹣1,求得S n n=−n +9,∴S n =−n 2+9n ,当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=10﹣2n , a 1=8 符合上式,∴a n =10−2n ,n ∈N ∗. (2)由(1)知a n =10﹣2n ,令 a n ≥0,得n ≤5, 当n ≤5时,则T n =S n =9n ﹣n 2;当n ≥6时,则T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 5﹣(a 6+a 7+⋯+a n )=S 5−(S n −S 5)=2S 5−S n =2×(9×5−25)−(9n −n 2)=n 2−9n +40, 则T n ={9n −n 2,1≤n ≤5n 2−9n +40,n ≥6.19.(12分)临近新年,某水果店购入A ,B ,C 三种水果,数量分别是36箱,27箱,18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱,进行质量检查. (1)应从A ,B ,C 三种水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.①用X 表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X 的分布列和数学期望;②设A 为事件“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A 发生的概率.(1)根据分层抽样,A水果需要抽取9×3636+27+18=9×3681=4,B水果需要抽取9×2736+27+18=9×2781=3,C水果需要抽取9×1836+27+18=9×1881=2.(2)①X=0,1,2,3,4,P(X=0)=C54C94=5126,P(X=1)=C53C41C94=40126=2063,P(X=2)=C52C42C94=60126=3063,P(X=3)=C51C43C94=20126=1063,P(X=4)=C44C94=1126,所以随机变量X的分布列为:所以E(X)=0×5126+1×2063+2×3063+3×1063+4×1126=11263.②由①可知P(A)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=2063+3063+1063=2021.20.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,底面△ABC是边长为2的正三角形,P A=PC=4.(1)求证:PB⊥AC;(2)若平面P AC⊥平面ABC,在线段PB(包含端点)上是否存在一点E,使得平面P AB⊥平面ACE,若存在,求出PE的长,若不存在,请说明理由.解:(1)取AC的中点O,连接OP,OB,因为△ABC是边长为2的正三角形,所以OB⊥AC,由P A=PC,所以OP⊥AC,又OB∩OP=O,OB,OP⊂平面OPB,所以AC⊥平面OPB,又PB⊂平面OPB,所以PB⊥AC;(2)由(1)得OP⊥AC,OB⊥AC,因为平面P AC⊥平面ABC且交线为AC,所以OP⊥平面ABC,以点O 为原点,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),P(0,0,√15),C (﹣1,0,0),B(0,√3,0),设PE →=λPB →(0≤λ≤1),则PB →=(0,√3,−√15),PE →=(0,√3λ,−√15λ), 设平面P AB 的法向量为m →=(x ,y ,z),AB →=(−1,√3,0),则有{n →⋅PB →=√3y −√15z =0n →⋅AB →=−x +√3y =0,取m →=(√15,√5,1),设平面ACE 的法向量为n →=(x ,y ,z),AE →=AP →+PE →=(−1,√3λ,√15−√15λ), 则有{n →⋅AC →=−2x =0n →⋅AE →=−x +√3λy +(√15−√15λ)z =0,所以n →=(0,√5,λλ−1), 若平面P AB ⊥平面ACE ,则m →⋅n →=0+5+λλ−1=0,求得λ=56, 所以|PE|=15√26.21.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)与圆(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=r 2交于M ,N 两点,直线MN 过该圆圆心,且斜率为﹣1,点A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点,过椭圆右焦点的直线l 交椭圆于D 、E 两点,记直线AD ,BE 的斜率分别为k 1,k 2.(1)求椭圆C的离心率;(2)若a=√6,求k1k2的值.解:(1)易知MN中点为(2,1),不妨设M(x1,y1)N(x2,y2),此时(x1−x2)(x1+x2)a2+(y1−y2)(y1+y2)b2=0,因为k=y1−y2x1−x2=−1,所以a2=2b2,则椭圆C的离心率e=√1−b2a2=√22;(2)由(1)知椭圆C的方程为x26+y23=1,不妨设直线DE的方程为x=my+√3,D(x3,y3),E(x4,y4),联立{x=my+√3x26+y23=1,消去x并整理得(m2+2)y2+2√3my−3=0,由韦达定理得y3+y4=−2√3mm2+2,y3y4=−3m2+2,过点F作x轴的垂线交AD,BE分别于点G,H,易知AD:y=3x3+√6+√6),令x=√3,解得y G=3x3+√6√3+√6),即G(√3,3x3+√6√3+√6)),同理得H(√3,4x4−6√3−√6)),所以|GF|=3x3+√6√3+√6)=3my3+√3+√6√3+√6),|HF|=4x4−√6√3−√6)=4my4+√3−√6√6−√3),则1|GF|=√3+√6+1y3,1|FH|=√6−√3−1y4,因为y3+y4=−2√3mm2+2,y3y4=−3m2+2,所以1y3+1y4=√6−√3−√6+√3,即|GF|=|HF|,故k1k2=tan∠GAFtan∠HBF=GFAFHFBF=BFAF=√6−√3√6+√3=3−2√2.22.(12分)已知函数f(x)=x−lnx+e xx.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数f(x)=a有两个解x1,x2,求证:x1x2<1.解:(1)∵f(x)=x−lnx+e xx,f′(x)=1−1x+(1x−1x2)e x=x−1x(1+e xx),f′(x)<0⇒0<x<1,∴f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.证明:(2)∵f(x)=a有两个解x1,x2,不妨设x1<1<x2,∴x1x2<1⇔x1<1x2⇔f(x1)>f(1x2)⇔f(x2)>f(1x2)⇔e xx−lnx+x−xe1x+ln1x−1x>0,x∈(1,+∞)⇔e xx−xe1x−2[lnx−x+1x]>0,x∈(1,+∞),设g(x)=e xx−xe1x,(x>1),则g′(x)=(1x−1x2)e x−[e1x+x⋅e1x⋅(−1x2)]=x−1x(e xx−e1x).设φ(x)=e xx(x>1),则φ′(x)=(1x−1x2)e x>0,φ(x)是增函数,φ(x)>φ(1)=e,而e 1x<e,则e xx−e1x>0,∴g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,则g(x)>g(1)=0,∴e xx−xe1x>0.令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1,则ℎ′(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2<0,∴h(x)在(1+∞)单调递减,h(x)<h(1)=0,lnx−12(x−1x)<0,∴e xx−xe1x−2[lnx−x+1x]>0,x∈(1,+∞),故x1x2<1.。
浙江省绍兴市2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在三棱锥P ABC -中,222AC AB ==,10BC =,90APC ∠=,平面ABC ⊥平面PAC ,则三棱锥P ABC -外接球的表面积为() A .4πB .5πC .8πD .10π2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )A .3B .11C .38D .1233.若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则+a b 的值为( ) A .12B .14-C .12-D .104.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ,且6AB =x 的值是( ) A .6或2-B .6或2C .3或4-D .3-或45.已知向量12e e ,满足121210e e e e ==⋅=,.O 为坐标原点,()1222OQ e e =+.曲线{}12|cos sin 002C P OP r e r e r θθθπ==+>≤<,,,区域{}12P PQ Ω=≤≤.若C Ω是两段分离的曲线,则( )A .35r <<B .35r <≤C .35r ≤<D .35r ≤≤6.下列函数中,既是偶函数又在区间()0+∞,上单调递减的是( )A .3y x =B .y x =C .sin y x =D .21y x =7.已知5a =,3b =,且12a b ⋅=-,则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A .-4 B .4C .125-D .1258.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间上单调递增 B .在区间上单调递增 C .在区间上单调递增 D .在区间上单调递增9.已知2x >,函数42y x x =+-的最小值是( ) A .5B .4C .8D .610.已知α为第一象限角,5sin cos 4αα+=,则4041cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A .916-B .916C .5716-D .5716二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
浙浙浙浙浙浙2023浙浙浙浙浙浙浙浙浙浙浙一、单选题(每题5分 共40分)1.集合{}1A x x =< {}3log 0B x x =< 则( ) A. {}0A B x x ⋂=< B. {}1A B x x ⋃=< C. AB =∅ D. {}0A B x x ⋃=<2.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系 并写下cos sin i e i θθθ=+ 被誉为“数学中的天桥” 据此6ππcos isin 66⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B . 1-C .0D .i -3.3D 打印属于快速成形技术的一种 它是一种以数字模型文件为基础 运用粉末状金属或塑料等可粘合材料 通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型 现正用于一些产品的直接制造 特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上 四个顶点在圆锥底面上) 圆锥底面直径为2母线与底面所成角的正切值为2.打印所用原料密度为1 g /cm3 不考虑打印损耗 制作该模型所需原料的质量约为(取π≈3.14 精确到0.1)A .609.4 gB .447.3 gC .398.3 gD .357.3 g 4.若函数f(x)=cos(x -6π) +cos(x+6π)+sinx+m 的最大值为1 则实数m =( ) A .1B .﹣1C .3D .﹣35.如图 有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼 按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中:①每次只能移动一块饼;①较大的饼不能放在较小的饼上面 则最少需要移动的次数为( )A .7B .8C .15D .166.2021年5月15日 我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆 在火星上首次留下中国印迹 极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛 已知甲同学被选出 则乙同学也被选出的概率为( )A .35B .34C .45D .477.已知椭圆E :221164x y +=的左右顶点分别为1A2A 圆1O 的方程为()2231124x y ⎛++-= ⎝⎭动点P 在曲线E 上运动 动点Q 在圆1O 上运动 若12A A P △的面积为43记PQ 的最大值和最小值分别为m 和n 则m n +的值为() A.7 B. 27C. 37 D. 478.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线 则实数a 的最大值为() A.e 2B. eC.e D. 2e二、多选题(本题共4道小题 每小题5分 共20分 少选得2分 多选不得分)9.下列说法正确的是( )A .用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本 则个体m 被抽到的概率是0.1B .已知一组数据1 2 m 6 7的平均数为4 则这组数据的方差是5C .数据27 12 14 30 15 17 19 23的第70百分位数是23D .若样本数据1x 2x … 10x 的标准差为8 则数据121x - 221x - … 1021x -的标准差为3210.(多选题)已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列 把f(x)的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数g(x)的图象 则( ) A .g(x)在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B .,04π⎛⎫⎪⎝⎭是g(x)的一个对称中心C .g(x)是奇函数D .g(x)在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2]11.(多选题)已知点1,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭O 为坐标原点 A 、B 为曲线2:2C y x =上的两点 F 为其焦点.下列说法正确的是( ). A .点F 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭B .若P 为线段AB 的中点 则直线AB 的斜率为-2C .若直线AB 过点F 且PO 是AF 与BF 的等比中项 则10AB =D .若直线AB 过点F 曲线C 在点A 处的切线为1l 在点B 处的切线为2l 则12l l ⊥ 12.(多选题)已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的棱长为1 点P 是线段BD1上(不含端点)的任意一点 点E 是线段A1B 的中点 点F 是平面ABCD 内一点 则下面结论中正确的有()A. CD①平面PBC1B. 以A1为球心、2为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是2πC.|EP|+|PF|的最小值是32D. |EP|+|PF|的最小值是32 三、填空题(毎题5分 共20分)13. 数据23 76 45 37 58 16 28 15的25百分位数是__________. 14 设7cos cos 5αβ+=1sin sin 5αβ-= 则()()20222022sin cos αβαβ+++= ________.15. 从点()2,3P 射出两条光线的方程分别为:1:4310l x y -+=和2:3460l x y -+= 经x 轴反射后都与圆()()221x a y b -+-=相切 则a b +=__________.16. 已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>) F 是E 的左焦点 过E 的上顶点A 作AF 的垂线交E 于点B .若直线AB 的斜率为3-ABF △3则E 的标准方程为______.四、解答题(17题10分 18-22题每题12分 共70分)17. 数列{}n a 的前n 项和为n S 且31223324822n n na a a a n +++++=-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足123n n b b b b S = 求数列{}ln n b 的前n 项和n T .18. 条件①1cos 2a B cb =+ 条件②sin sin sin sin A C B Cb a c-+=+3sinsin 2B Cb a B +=. 请从上述三个条件中任选一个 补充在下列问题中 并解答.已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且满足________ (1)求A ;(2)若AD 是BAC ∠的角平分线 且1AD = 求2b c +的最小值.19. 如图 在四棱锥P -ABCD 中 底面ABCD 为正方形 PA ⊥底面ABCD 2PA AB == E 为线段PB 的中点 F 为线段BC 上的动点.(1)证明:平面AEF ⊥平面PBC ;(2)若直线AF 与平面P AB 25求点P 到平面AEF 的距离. 20. 云计算是信息技术发展的集中体现 近年来 我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知 我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下: 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码x1 2 3 4 5 云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得:1ln ii y =∑=36.33 1(ln )iii x y =∑=112.85.(1)根据以上数据 建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=(e 为自然对数的底数).(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前 单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,)N mε 其中m 为单件产品的成本(单位:元) 且(11)P ε-<<=0.6827;引入云计算后 单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变 则(11)P ε-<<将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变) 则单件产品的成本将会下降多少?附:对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221ni ii nii x ynx yxnx ==--∑∑ ˆˆy x αβ=-. 若2~(,)X N μσ 则(||)0.6827P X μσ-<=(|2)0.9545P X μσ-<=(||3)0.9973.P X μσ-<=21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10 且经过点(8,33)M .A B 为双曲线E 的左、右顶点 P 为直线2x =上的动点 连接P A PB 交双曲线E 于点C D (不同于A B ).(1)求双曲线E 的标准方程.(2)直线CD 是否过定点?若过定点 求出定点坐标;若不过定点 请说明理由. 22. 已知函数()()()e ,ln 2xf x axg x x a =-=+- 其中e 为自然对数的底数 a ∈R .(1)当0a >时 函数()f x 有极小值()1f 求a ; (2)证明:()()f x g x '>恒成立;(3)证明:23341e ln2ln ln ln 23e 1nn n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测数学(文)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、设集合{}2S x x =>,{}34x x T =-≤≤,则ST =( )A .[)4,+∞B .[)3,+∞C .(]2,4D .(]2,3 2、已知向量()1,2a =,()23,2a b +=,则( )A .()1,2b =-B .()1,2b =C .()5,6b =D .()2,0b = 3、已知R α∈,则“sin cos αα+=”是“4πα=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4、已知实数x ,y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩,则32z x y =-+的最大值为( )A .4- B .2 C .4 D .6 5、将函数sin y x =图象上点的横坐标扩大到原来的m 倍,纵坐标保持不变,再向左平移n 个单位得到如图所示函数的图象,则m ,n 可以为( ) A .2m =,3n π= B .2m =,113n π= C .4m =,3n π=D .4m =,113n π=6、曲线2230x y -=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C 的离心率为( ) ABCD .837、已知数列{}n a 的通项公式37n a n =-,当12323434512n n n aa a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+取得最大值时,n 的值为( )A .7B .8 C .9 D .10 8、将单位正方体放置在水平桌面上(一面与桌面完全接触),沿其一条棱翻动一次后,使得正方体的另一面与桌面完全接触,称一次翻转.如图,正方体的顶点A ,经任意翻转二次后,点A 与其终结位置的直线距离不可能为( )A .0B .1CD 二、填空题(本大题共7小题,第9题每空2分,第10,11,12题每空3分,第13,14,15题每空4分,共36分.) 9、已知1sin 3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα-= ,cos α= ,cos 2α= .10、设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S .若143n n S S +=-,则q = ,1a = .11、已知四棱锥,它的底面是边长为2的正方形,其俯视图如图所示,侧视图为直角三角形,则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有 个,该四棱锥的体积为 .12、已知0a >且1a ≠,若函数()21log ,1,1x x x f x a x +≥⎧=⎨<⎩在[]2,2-的最大值为2,则()1f f -=⎡⎤⎣⎦ ,a = .13、设圆C 的半径为1,圆心在:l y (0x ≥)上,若圆C 与圆224x y +=相交,则圆心C 的横坐标的取值范围为 .14、定义,,AB AB ≥A +B ⎧A B =⎨A +B AB <A +B ⎩,,,A +B AB ≥A +B ⎧A∙B =⎨AB AB <A +B⎩,设0x >,11x A =+,x B =,则A B -A ∙B 的最小值为 .15、已知向量a ,b ,且2b =,()20b a b ⋅-=,则()12tb t a +-(R t ∈)的最小值为 .三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本小题满分15分)已知在C ∆AB 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2c =,)sin Ccos sin B +B =A .()I 求角C 的大小; ()II若cos 3A =,求边b 的长.17、(本小题满分15分)已知等比数列{}n a 满足13a =,数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为113n n +-.()I 求1b 的值;()II ()i 求数列{}n b 的通项公式;()ii 记数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nS ,求证:12n S <. 18、(本小题满分15分)如图,在四棱锥CD P -AB 中,底面CD AB 为正方形,平面D PA ⊥底面CD AB ,点E 在棱D P 上,且D AE ⊥P . ()I 求证:平面ABE ⊥平面CD P ;()II 已知D P 与底面CD AB 所成角为30,求二面角C D E -A -的正切值.19、(本小题满分15分)如图,过抛物线C :22y px =(0p >)焦点F 的直线l 与C 交于M ,N 两点,直线4x =交抛物线C 于A ,B 两点,点M ,N 在直线4x =的同侧.已知F 5A =,四边形AMNB 的面积为1338.()I 求p 的值;()II 求直线l 的方程.20、(本小题满分14分)已知函数()21f x x ax =++,其中R a ∈,且0a ≠.()I 若()f x 的最小值为1-,求a 的值; ()II 求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值;()III 若方程()1f x x =-在区间()0,+∞有两个不相等实根,求a 的取值范围.绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测数学(文)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)1、C2、A3、B4、D5、A6、B7、C8、B 二、填空题(本大题共7小题,第9题每空2分,第10,11,12题每空3分,第13,14,15题每空4分,共36分.)9、13 379 10、4 3- 11、3 4312、0 12 13、13,22⎛⎫⎪⎝⎭14、2 15、1三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。
2023-2024学年浙江省绍兴市绍兴一中高一(上)期中数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∀x ≥2,x 2≥4”的否定为( ) A .“∀x ≤2,x 2≥4” B .“∃x 0<2,x 02<4” C .“∀x ≥2,x 2<4”D .“∃x 0≥2,x 02<4”2.已知全集U =R ,N ={x |﹣3<x <0},M ={x |x <﹣1},则图中阴影部分表示的集合是( )A .{x |﹣3<x <﹣1}B .{x |﹣3<x <0}C .{x |﹣1≤x <0}D .{x |x <﹣3}3.已知幂函数f (x )=(m 2﹣2m ﹣2)•x m﹣2在(0,+∞)上单调递增,则实数m =( ) A .﹣1B .3C .﹣1或3D .24.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .f(x)=|x|x ,g(x)={1,x >0−1,x <0B .f (x )=2x ,g(x)=√4x 2C .f(x)=√−2x 3,g(x)=x √−2xD .f (x )=lgx 2,g (x )=2lgx5.当a >1时,在同一平面直角坐标系中,函数y =a x 与y =log 1ax 的图象可能为( )A .B .C .D .6.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况,为捍卫国家主权和领土完整,维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益,解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ,大气压强P(单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为P=760e﹣hk(e为自然对数的底数,k是常数),根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg,则当歼20战机巡航高度为1000m,歼16D战机的巡航高度为1500m时,歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的()倍.A.0.67B.0.92C.1.09D.1.57.设a=log63,b=lg5,c=20.1,则()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b8.设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),f3(x)=13|sin2πx|,a i=i99,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)﹣f k(a0)|+|f k(a2)﹣f k(a1)丨+…+|f k(a99)﹣f k(a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.9.奇函数y=f(x)在x∈[﹣4,0]的图象如图所示,则下列结论正确的有()A.当x∈[0,4]时,f(x)∈[﹣2,2]B.函数f(x)在[2,4]上单调递减C.f(12)>f(32)D.方程f(x)=0有6个根10.已知a>0,b>0且1a +1b=1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)=1B.ab的最大值为4C.a+4b的最小值为9D.1a2+2b2的最小值为2311.设m>1,log m a=m b=c,若a,b,c互不相等,则()A.a>1B.c≠eC.b<c<a D.(c﹣b)(c﹣a)<012.定义在R上的函数f(x)与g(x),满足f(2﹣x)=f(x),f(1)=2,f(3x+2)为奇函数,g(x)=﹣g(4﹣x),若y=f(x)与y=g(x)恰有2023个交点(x1,y1),(x2,y2),…,(x2023,y2023),则下列说法正确的是()A.f(2023)=2B.x=1为y=f(x)的对称轴C.f(0)=0D.(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2023+y2023)=4046三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知a <﹣2,b >4,则a 2+b 的取值范围是 .14.已知函数f (x )={x 3+2,x <1x 2−ax ,x ≥1,若f [f (0)]=﹣2,则实数a = .15.已知函数f (x )=log 2x 的反函数为g (x ),且有g (a )g (b )=16,若a ≥0,b ≥0,则42a+b+1a+2b的最小值为 .16.已知实数x ,y 满足e x+x −2023=e 2023y+2023−ln(y +2023),则e x +y +2024的最小值是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2;(2)计算3log 32−2log 23⋅log 278+13log 68+2log 6√3.18.(12分)在①A ∪B =B :②“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件:③A ∩(∁R B )=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.问题:已知集合A ={x |(x ﹣a +1)(x ﹣a ﹣1)≤0},B ={x||x −12|≤32}; (1)当a =2时,求A ∪B ;(2)若_____,求实数a 的取值范围.【注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.】 19.(12分)已知函数f(x)=a ⋅3x +13x 为偶函数. (1)求a 的值,并证明f (x )在(0,+∞)上单调递增; (2)求满足f (lgx )<f (1)的x 的取值范围.20.(12分)近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P (x )(单位:元)与时间x (单位:天)的函数关系近似满足P (x )=10+kx (k 为常数,且k >0),日销售量Q (x )(单位:件)与时间x (单位:天)的部分数据如表所示:已知第10天的日销售收入为505元. (1)求k 的值;(2)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x﹣m|+b;③Q(x)=a•b x;④Q(x)=a•log b x.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.21.(12分)已知函数f(x)=(log2x8)⋅[log2(2x)],函数g(x)=4x﹣2x+1﹣3.(1)求函数f(x)的值域;(2)若不等式f(x)﹣g(a)≤0对任意实数a∈[12,2]恒成立,试求实数x的取值范围.22.(12分)设函数f(x)=x2﹣ax+b(a,b∈R).(1)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为b,求a的取值范围;(2)存在实数a,使得当x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6恒成立,求b的最大值及此时a的值.2023-2024学年浙江省绍兴市绍兴一中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∀x ≥2,x 2≥4”的否定为( ) A .“∀x ≤2,x 2≥4” B .“∃x 0<2,x 02<4” C .“∀x ≥2,x 2<4”D .“∃x 0≥2,x 02<4”解:根据全称量词命题的否定是存在量词命题知, 命题“∀x ≥2,x 2≥4”的否定为:“∃x 0≥2,x 02<4”. 故选:D .2.已知全集U =R ,N ={x |﹣3<x <0},M ={x |x <﹣1},则图中阴影部分表示的集合是( )A .{x |﹣3<x <﹣1}B .{x |﹣3<x <0}C .{x |﹣1≤x <0}D .{x |x <﹣3}解:由图象知,图中阴影部分所表示的集合是N ∩(∁U M ), 又M ={x |x <﹣1}, ∴∁U M ={x |x ≥﹣1} ∴N ∩(∁U M )=[﹣1,0) 故选:C .3.已知幂函数f (x )=(m 2﹣2m ﹣2)•x m﹣2在(0,+∞)上单调递增,则实数m =( ) A .﹣1B .3C .﹣1或3D .2解:因为f (x )=(m 2﹣2m ﹣2)x m﹣2是幂函数,故m 2﹣2m ﹣2=1,解得m =3或﹣1,又因为幂函数在(0,+∞)上单调递增,所以需要m ﹣2>0,则m =3. 故选:B .4.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .f(x)=|x|x ,g(x)={1,x >0−1,x <0B .f (x )=2x ,g(x)=√4x 2C .f(x)=√−2x 3,g(x)=x √−2xD .f (x )=lgx 2,g (x )=2lgx解:对于A,f(x)=|x|x={1,x>0−1,x<0,所以两个函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故A正确;对于B,g(x)=√4x2=2|x|,与函数f(x)=2x的对应关系不同,不是同一个函数,故B错误;对于C,函数f(x)=√−2x3=|x|√−2x3,与函数g(x)=x√−2x的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误;对于D,函数f(x)=lgx2的定义域为{x|x≠0},函数g(x)=2lgx的定义域为(0,+∞),所以两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故D错误.故选:A.5.当a>1时,在同一平面直角坐标系中,函数y=a x与y=log1ax的图象可能为()A.B.C.D.解:∵a>1,y=a x其底数大于1,是增函数,y=log1ax,是减函数,故选:C.6.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况,为捍卫国家主权和领土完整,维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益,解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg,大气压强P (单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为P=760e﹣hk(e为自然对数的底数,k是常数),根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg,则当歼20战机巡航高度为1000m,歼16D战机的巡航高度为1500m时,歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的()倍.A.0.67B.0.92C.1.09D.1.5解:由题意,可设P1=760e−1000k,P2=760e−1500k,则P 1P 2=e 500k ,又∵700=760e ﹣500k,∴e 500k =760700≈1.09. 故选:C .7.设a =log 63,b =lg 5,c =20.1,则( ) A .a <b <cB .b <a <cC .c <b <aD .c <a <b解:由题意知,0<a <1,0<b <1,c >1, 所以c >a ,c >b , 下面比较a 与b 的大小:a =log 63=log 662=1﹣log 62,b =lg 5=lg102=1﹣lg 2,因为log 62=1log 26,lg 2=1log 210,且1<log 26<log 210, 所以log 62>lg 2,所以a <b , 综上:a <b <c . 故选:A .8.设函数f 1(x )=x 2,f 2(x )=2(x ﹣x 2),f 3(x)=13|sin2πx|,a i =i99,i =0,1,2,…,99.记I k =|f k (a 1)﹣f k (a 0)|+|f k (a 2)﹣f k (a 1)丨+…+|f k (a 99)﹣f k (a 98)|,k =1,2,3,则( ) A .I 1<I 2<I 3 B .I 2<I 1<I 3C .I 1<I 3<I 2D .I 3<I 2<I 1解:由|(i 99)2−(i−199)2|=199×2i−199, 故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1,由2|i 99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|, 故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1, I 3=13[||sin2π⋅199|−|sin2π⋅099||+||sin2π⋅299|−|sin2π⋅199||+⋯+||sin2π⋅9999|−|sin2π⋅9899||] =13(4sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1, 故I 2<I 1<I 3, 故选:B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.9.奇函数y=f(x)在x∈[﹣4,0]的图象如图所示,则下列结论正确的有()A.当x∈[0,4]时,f(x)∈[﹣2,2]B.函数f(x)在[2,4]上单调递减C.f(12)>f(32)D.方程f(x)=0有6个根解:根据题意,依次分析选项:对于A,由函数的图象,当x∈[﹣4,0]时,f(x)∈[﹣2,2],而f(x)为奇函数,则当x∈[0,4]时,f(x)∈[﹣2,2],A正确;对于B,f(x)在[﹣4,﹣2]上为减函数,由奇函数的性质,函数f(x)在[2,4]上单调递减,B正确;对于C,由函数的图象,f(−12)>f(−32),由奇函数的性质﹣f(12)>﹣f(32),则有f(12)<f(32),C错误;对于D,在区间[﹣4,0)上,f(x)与x轴有2个交点,那么在区间(0,4]上,f(x)与x轴也有2个交点,此外,f(x)还经过原点,故函数f(x)在x∈[﹣4,0]与x轴有5个交点,即方程f(x)=0有5个根,D错误.故选:AB.10.已知a>0,b>0且1a +1b=1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)=1B.ab的最大值为4C.a+4b的最小值为9D.1a2+2b2的最小值为23解:由题意得,a+b=ab,即(a﹣1)(b﹣1)=1,故A正确;ab=a+b≥2√ab,当且仅当a=b=2时取等号,解得ab≥4,B错误;a+4b=(a+4b)(1a +1b)=5+4ba+ab≥5+2√4ba⋅ab=9,当且仅当a=2b,即b=32,a=3时取等号,C正确;由1a +1b=1可得a=bb−1>0,即b>1,则1a2+2b2=b2(b−1)2+2b2=3b2−2b+1=3(1b−13)2+23,根据二次函数的性质可知,当1b =13时,即b=3时,上式取得最小值23,D正确.故选:ACD.11.设m>1,log m a=m b=c,若a,b,c互不相等,则()A.a>1B.c≠eC.b<c<a D.(c﹣b)(c﹣a)<0解:由m b=c>0,可得log m a>0,∵m>1,∴a>1,故A正确;当c=e时,log m a=m b=c=e,若m=e 1e>1,则a=m e=e,c=e,b=log m e=e,∴a=b=c,不满足a,b,c互不相等,∴c≠e,故B正确;∵m>1,log m a=m b=c,可将a,b,c看成函数y=log m x,y=m x,y=x与y=c图象的交点的横坐标,当m=1.1时,图象如下:可得a<c<b,此时(c﹣b)(c﹣a)<0,当m=3时,图象如下图,可得b<c<a,此时(c﹣b)(c﹣a)<0,故C错误,D正确.故选:ABD.12.定义在R上的函数f(x)与g(x),满足f(2﹣x)=f(x),f(1)=2,f(3x+2)为奇函数,g(x)=﹣g(4﹣x),若y=f(x)与y=g(x)恰有2023个交点(x1,y1),(x2,y2),…,(x2023,y2023),则下列说法正确的是()A .f (2023)=2B .x =1为y =f (x )的对称轴C .f (0)=0D .(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x 2023+y 2023)=4046解:f (2﹣x )=f (x ),则函数f (x )图象关于直线x =1对称,B 正确;f (3x +2)是奇函数,即f (﹣3x +2)=﹣f (3x +2),f (﹣t +2)=﹣f (t +2),则f (x )的图象关于点(2,0)对称,f (2)=0,f (0)=f (2)=0,C 正确;所以f (x +2)=﹣f (2﹣x )=﹣f [1﹣(1﹣x )]=﹣f (x ),从而f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x ), 所以f (x ) 是周期函数,4是它的一个周期, f (2023)=f (3)=﹣f (1)=﹣2,A 错;又g (x )=﹣g (4﹣x ),g (x )图象关于点(2,0)对称,因此f (x )与g (x )的图象的交点关于点(2,0)对称,点(2,0)是它们的一个公共点, 所以(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x 2023+y 2023)=(x 1+x 2+…+x 2023)+(y 1+y 2+…+y 2023) =2×2023=4046,D 正确. 故选:BCD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知a <﹣2,b >4,则a 2+b 的取值范围是 (8,+∞) . 解:因为a <﹣2,所以a 2>4, 又b >4,所以a 2+b >8,即a 2+b 的取值范围是(8,+∞). 故答案为:(8,+∞).14.已知函数f (x )={x 3+2,x <1x 2−ax ,x ≥1,若f [f (0)]=﹣2,则实数a = 3 .解:因为f (x )={x 3+2,x <1x 2−ax ,x ≥1,所以f (0)=2,f (2)=4﹣2a , 若f [f (0)]=﹣2,则4﹣2a =﹣2, 所以a =3. 故答案为:3.15.已知函数f (x )=log 2x 的反函数为g (x ),且有g (a )g (b )=16,若a ≥0,b ≥0,则42a+b+1a+2b的最小值为34.解:函数f (x )=log 2x 的反函数为g (x )=2x ,∵g (a )g (b )=16,∴2a ×2b =16,即2a +b =16,则a +b =4, 又a ≥0,b ≥0,则a +4>0,b +4>0, ∴42a+b+1a+2b=4a+4+1b+4=112[(a +4)+(b +4)](4a+4+1b+4)=112(5+4(b+4)a+4+(a+4)b+4)≥112(5+2√4(b+4)a+4⋅(a+4)b+4)=34, 当且仅当a =4,b =0时取等号, 故42a+b+1a+2b 的最小值为34.故答案为:34.16.已知实数x ,y 满足e x +x −2023=e 2023y+2023−ln(y +2023),则e x +y +2024的最小值是 2√e 2023+1 .解:由e x+x −2023=e 2023y+2023−ln(y +2023),可得e x+x =e 2023y+2023+2023−ln(y +2023),所以e x +lne x =e 2023y+2023+lne 2023−ln(y +2023)=e 2023y+2023+ln e 2023y+2023, 函数f (x )=x +lnx 在(0,+∞)上单调递增,f(e x )=f(e 2023y+2023),所以e x =e 2023y+2023,则e x +y +2024=e 2023y+2023+(y +2023)+1≥2√e 2023y+2023⋅(y +2023)+1=2√e 2023+1,当且仅当e 2023y+2023=(y +2023),即y =√e 2023−2023时等号成立,所以e x +y +2024的最小值是2√e 2023+1. 故答案为:2√e 2023+1.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2;(2)计算3log 32−2log 23⋅log 278+13log 68+2log 6√3. 解:(1)(5116)0.5−2×(21027)−23−2×(√2+π)0÷(34)−2=94−98−2÷169 =94−98−98 =0.(2)3log 32−2log 23⋅log 278+13log 68+2log 6√3=2−2log 23×log 32+13log 623+2log 6312=2﹣2+log 62+log 63 =1.18.(12分)在①A ∪B =B :②“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件:③A ∩(∁R B )=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.问题:已知集合A ={x |(x ﹣a +1)(x ﹣a ﹣1)≤0},B ={x||x −12|≤32}; (1)当a =2时,求A ∪B ;(2)若_____,求实数a 的取值范围.【注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.】 解:(1)当a =2时,A ={x |(x ﹣1)(x ﹣3)≤0}={x |1≤x ≤3}, B ={x||x −12|≤32}={x |﹣1≤x ≤2}, ∴A ∪B ={x |﹣1≤x ≤3};(2)由题可得A ={x |(x ﹣a +1)(x ﹣a ﹣1)≤0}={x |a ﹣1≤x ≤a +1},B ={x |﹣1≤x ≤2}, 选择①,A ∪B =B ,则A ⊆B , ∴{a −1≥−1a +1≤2,解得0≤a ≤1, ∴实数a 的取值范围是[0,1];选择②,由“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,可得A ⊆B , ∴{a −1≥−1a +1≤2,解得0≤a ≤1, ∴实数a 的取值范围是[0,1];选择③,∵B ={x |﹣1≤x ≤2},∴∁R B ={x |x <﹣1或x >2}, ∵A ∩(∁R B )=∅,∴A ⊆B , ∴{a −1≥−1a +1≤2,解得0≤a ≤1, ∴实数a 的取值范围是[0,1]. 19.(12分)已知函数f(x)=a ⋅3x +13x 为偶函数. (1)求a 的值,并证明f (x )在(0,+∞)上单调递增; (2)求满足f (lgx )<f (1)的x 的取值范围. 解:(1)由题意函数f(x)=a ⋅3x +13x 为偶函数, ∴f (﹣x )=f (x ),即a •3﹣x +3x =a •3x +3﹣x ,∴(a ﹣1)(3x ﹣3﹣x )=0对任意x ∈R 恒成立,解得a =1.∴f(x)=3x+13x ,任取0<x1<x2,则f(x1)−f(x2)=3x1+13x1−3x2−13x2=(3x1−3x2)(1−13x13x1)=(3x1−3x2)⋅(3x1+x2−13x1+x2),由0<x1<x2,可得3x1−3x2<0,3x1+x2>1∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)由偶函数的对称性可得f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,∴f(lgx)<f(1)⇒f(|lgx|)<f(1)⇒|lgx|<1,∴﹣1<lgx<1,解得110<x<10,∴满足f(lgx)<f(1)的x的取值范围是(110,10).20.(12分)近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:已知第10天的日销售收入为505元.(1)求k的值;(2)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x﹣m|+b;③Q(x)=a•b x;④Q(x)=a•log b x.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.解:(1)由题意,Q(10)•P(10)=50(10+k10)=505,即k=1;(2)由表中数据可知,当时间变化时,日销售量有增有减,函数不单调,而①③④均为单调函数,故Q(x)=a|x﹣m|+b,则{a|10−m|+b=50a|15−m|+b=55a|20−m|+b=60,解得a=﹣1,m=20,b=60.故函数解析式为Q (x )=﹣|x ﹣20|+60;(3)由(2)可知,Q (x )=﹣|x ﹣20|+60={x +40,1≤x ≤2080−x ,20<x ≤30,则f (x )=P (x )•Q (x )={(10+1x )(x +40),1≤x ≤20(10+1x )(80−x),20<x ≤30.当1≤x ≤20时,f (x )=401+10x +40x ≥401+2√10x ⋅40x =441元; 当20<x ≤30时,f (x )=799﹣10x +80x ,在(20,30]上为减函数,则f (x )≥49983元. 综上,该工艺品的日销售收入f (x )的最小值为441元.21.(12分)已知函数f(x)=(log 2x 8)⋅[log 2(2x)],函数g (x )=4x ﹣2x +1﹣3. (1)求函数f (x )的值域;(2)若不等式f (x )﹣g (a )≤0对任意实数a ∈[12,2]恒成立,试求实数x 的取值范围. 解:(1)f(x)=(log 2x8)⋅[log 2(2x)], =(log 2x ﹣log 28)(log 22+log 2x ), =(log 2x ﹣3)(1+log 2x ),=log 22x ﹣2log 2x ﹣3=(log 2x ﹣1)2﹣4≥﹣4, 即f (x )的值域为[﹣4,+∞),(2)∵不等式f (x )﹣g (a )≤0对任意实数a ∈[12,2]恒成立, ∴f (x )≤g (a )min ,∵g (x )=4x ﹣2x +1﹣3=(2x )2﹣2•2x ﹣3=(2x ﹣1)2﹣4, ∵实数a ∈[12,2]∴g (a )=(2a ﹣1)2﹣4, ∴g (a )在[12,2]上为增函数,∴g (a )min =g (12)=﹣1﹣2√2,∵f (x )=(log 2x ﹣1)2﹣4≤﹣1﹣2√2, ∴(log 2x ﹣1)2≤3﹣2√2=(√2−1)2, ∴−√2+1≤log 2x ﹣1≤√2−1, ∴2−√2≤log 2x ≤√2, 解得22−√2≤x ≤2√2,故x的取值范围为[22−√2,2√2]22.(12分)设函数f(x)=x2﹣ax+b(a,b∈R).(1)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为b,求a的取值范围;(2)存在实数a,使得当x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6恒成立,求b的最大值及此时a的值.解:(1)∵f(x)的图象是开口向上的抛物线,∴在区间[0,1]上的最大值必是f(0)和f(1)中较大者,而f(0)=b,∴只要f(0)≥f(1),即b≥1﹣a+b,得a≥1,即a的取值范围是[1,+∞).(2)∵当x∈[0,b]时,2≤f(x)≤6恒成立,∴2≤f(0)≤6,即2≤b≤6.①当a≤0时,如图所示,f(x)在区间[0,b]上单调递增,∴f(x)min=f(0),f(x)max=f(b),故{b≥2,b2−ab+b≤6,即{b≥2,a≥b−6b+1,而函数g(b)=b−6b+1在[2,6]上是增函数,故g(b)min=g(2)=0,∴a≥0.∴a=0,此时b2+b≤6,∴b=2.②当0<b≤a2时,如图所示,f(x)在区间[0,b]上单调递减,∴f(x)min=f(b),f(x)max=f(0).∴{b ≤a2,f(b)≥2,f(0)=b ≤6,⇒{a ≥2b ,b 2−ab +b ≥2,b ≤6,⇒{a ≥2b ,a ≤b −2b +1,b ≤6.由不等式性质得2b ≤b −2b +1,即b +2b≤1. ∵2≤b ≤6,b +2b >2√2, ∴b +2b ≤1不可能成立. ③当a 2<b ≤a 时,如图所示,f(x)min =f(a2),f (x )max =f (0), { b ≤6,4b−a 24≥2,a 2<b ≤a ,⇒{ b ≤6,b ≥2+a 24,a2<b ≤a.∴2+a 24≤a ,(a ﹣2)2+4≤0,此式不成立. ④当b >a 时,如图所示,f(x)min =f(a 2),f (x )max =f (b ),故{b 2−ab +b ≤6,4b−a 24≥2,b >a >0,2≤b ≤6,⇒⇒{ a ≥b −6b +1,b ≥2+a 24,0<a <b ,2≤b ≤6,⇒⇒{ b −6b +1≤a ,a ≤2√b −2,2≤b ≤6,⇒⇒b −6b +1≤2√b −2, ∴(b 2+b−6b)2−4(b −2)≤0,则(b ﹣2)(b ﹣3)(b 2+3b +6)≤0,解得2≤b ≤3. 综上所述,b 的最大值是3,此时a =2.。