数列的递推公式教案,教案设计

初中数学教案数列与递推公式初中数学教案数列与递推公式引言：数列与递推公式是初中数学中的重要概念。

通过学习数列与递推公式，学生能够培养数学思维能力，提高解决问题的能力，并为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

本教案将针对初中数学数列与递推公式的教学内容进行详细的介绍和讲解。

一、数列的概念与性质1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列中的每一个数称为该数列的项。

1.2 数列的表示方式数列可以用一般形式表示，如an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。

1.3 数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻两项之差为常数的数列，等比数列是指相邻两项之比为常数的数列。

二、等差数列的性质与公式2.1 等差数列的性质（1）等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的第n项可表示为an = a + (n-1)d。

（2）等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a + an)n/2 或 Sn =n(a + l)/2。

（3）等差数列的前n项和Sn与项数n之间的关系为Sn = (a + l)n/2。

2.2 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，比如计算连续的等差数列的和，推断未知项等。

三、等比数列的性质与公式3.1 等比数列的性质（1）等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的第n项可表示为an = a * r^(n-1)。

（2）等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn = a(r^n - 1) / (r - 1)，其中r ≠ 1。

（3）等比数列的前n项和Sn与项数n之间的关系为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3.2 等比数列的应用等比数列在实际问题中也有广泛的应用，比如计算连续的等比数列的和，推断未知项等。

四、递推公式的概念与应用4.1 递推公式的定义递推公式是指通过已知的前一项或几项，计算下一项的公式。

数学课教案解数列递推关系式课题：数学课教案——解数列递推关系式目标：学生能够理解数列递推关系式的概念，能够根据给定的数列递推关系式计算数列的各项值，并能够根据数列的规律总结出递推公式，进一步推导数列的通项公式。

教学重点：1. 数列递推关系式的理解与运用；2. 数列各项值的计算；3. 递推公式的总结与推导。

教学准备：1. 教师准备：讲义、黑板、彩色粉笔；2. 学生准备：课本、笔。

教学过程：引入：展示一个数列的前几项，并让学生思考下一项与前一项之间的关系。

引导学生思考数列递推关系式的概念。

（展示数列：1, 3, 5, 7, 9...）探究：让学生观察数列，并以小组为单位，讨论数列递推关系式的可能性。

引导学生通过观察和思考，尝试总结出数列递推关系式的规律，并给出数列的递推公式。

（指导学生思考数列递推关系式的可能性，例如：每一项与前一项相差2；每一项等于前一项加2等。

）讲解：在学生探究的基础上，教师给出数列递推关系式的定义和示例，引导学生对数列递推关系式的运用进行理解。

（讲解数列递推关系式的定义：数列递推关系式是指通过前一项和当前项之间的关系，求解下一项的方法。

）练习：1. 教师出示一个数列递推关系式，要求学生根据关系式计算数列的前几项，并补充数列的后续项。

（例如：找出数列的递推关系式：1, 4, 7, 10, 13...）2. 学生运用所学知识，自行总结数列的递推公式，并推导数列的通项公式。

（引导学生将数列的递推关系式转化为递推公式，并根据递推公式推导出数列的通项公式。

）总结：教师和学生一起总结数列递推关系式的概念、运用方法和推导过程，并强调数列的递推关系式是数列研究的重要内容。

拓展：让学生尝试设计一个有趣的数列递推关系式，并根据关系式计算并绘制数列的图像。

以小组为单位，进行展示。

作业：作业1：完成课堂练习中的练习题，计算并补充数列的后续项。

作业2：总结本节课所学的数列递推关系式的概念、运用方法和推导过程。

初中数学教案数列的递推公式与通项公式初中数学教案：数列的递推公式与通项公式1. 概述数列是数学中重要的概念，它包含了一系列按照一定规律排列的数。

在数学教学中，数列的递推公式和通项公式是初中学生必须掌握的知识点。

本文将详细介绍数列的递推公式和通项公式的概念、性质和应用。

2. 递推公式数列的递推公式是指通过已知的前几项推算出后一项的公式。

在讲解递推公式之前，先来回顾一下数列的定义：数列是一组按照一定顺序排列的数，我们用{an}（n为正整数）表示数列的一般项。

递推公式可以表示为：an = f(an-1)，其中f为递推函数，an-1表示前一项，an表示后一项。

3. 递推公式的性质递推公式有以下重要性质:(1) 递推公式能够准确地计算出数列中任意一项的数值；(2) 递推公式一旦确定，数列中的每一项都能依据该公式确定；(3) 递推公式不仅能够推算任意项的值，而且可以揭示数列中数值之间的规律。

4. 递推公式的应用举例现以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为an = an-1 +an-2（n≥3），a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，我们可以依次计算出斐波那契数列的每一项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...5. 通项公式通项公式，又称为一般项公式或通项公式，是指能够计算数列中任意一项的公式。

通项公式可以使我们不必通过递推求解，直接根据项数n计算第n项的值。

通常用an来表示数列的第n项，通项公式可以表示为：an = f(n)，其中f为项数n的函数。

6. 通项公式的性质通项公式具有以下重要性质：(1) 通项公式能够直接计算数列中任意项的数值，不需要依次递推；(2) 通项公式一旦确定，数列中的每一项都可以直接计算。

7. 通项公式的应用举例以等差数列为例，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

通过使用通项公式，我们可以直接计算等差数列的任意一项的值。

教学设计2．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式a n＝n 表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就示出来，即a n＝a n－1是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是a n＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1cos cos cos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列a n＝2a n－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即14＝1＋3；第2层钢管数为5，即25＝2＋3；第3层钢管数为6，即36＝3＋3；第4层钢管数为7，即47＝4＋3；第5层钢管数为8，即58＝5＋3；第6层钢管数为9，即69＝6＋3；第7层钢管数为10，即710＝7＋3.若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的a n＝n＋3，只要将n 的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得a n＝a n－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，a n＝a n－1＋a n－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，a n＝cos(a n)(n＝2,3,4，…)．－1(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知a n＝2a n－＋1无法写出这个数列的各项．1应用示例例1已知a1＝2，a n＝2a n，写出前5项，并猜想a n.＋1活动：根据a1＝2及a n＋1＝2a n，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想a n＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求a n，这种解法则是不完整的．由a na n－1＝2，可得到以下解法：a n a n－1×a n－1a n－2×a n－2a n－3×…×a2a1＝a na1＝2n－1，∴a n＝2n.解：∵a1＝2，a n＋1＝2a n，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想a n＝2n.变式训练已知a1＝2，a n＋1＝a n－4，求a n.解：由a n＋1－a n＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1＝－4a n－1－a n－2＝－4a n－2－a n－3＝－4……＋) a 2－a 1＝－4 a n －a 1＝－4(n －1)∴a n ＝2－4(n －1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a 1的值，由依次计算的结果可能更容易看到a n 与n 的函数关系：a 2＝a 11－a 1；a 3＝a 11－2a 1，a 4＝a 11－3a 1，a 5＝a 11－4a 1，…，a n ＝a 11－(n －1)·a 1＝23－2n.变式训练已知数列{a n }的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3.求：(1)a 5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a 3＝3a 2－2a 1＝7，a 4＝3a 3－2a 2＝15，a 5＝3a 4－2a 3＝31.(2)由递推公式，可得a 6＝3a 5－2a 4＝63，a 7＝3a 6－2a 5＝127， ∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P 1，P 2，P 3的坐标都写出来让学生观察发现a n 与a n ＋1间的关系．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋lnnB ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn答案：A解析：方法一，由a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.方法二，由已知，a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，a 1＝2，∴a n －a n －1＝ln n n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21，将以上n －1个式子累加得a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·21)＝lnn ， ∴a n ＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n }(n ∈N *,1≤n ≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{l n }的一个递推关系式；(3)求{l n }的通项公式； (4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.(2)通过观察图形，可知：OA n＋1，OA n,1组成直角三角形，而OA n＋1＝l n＋1，OA n＝l n.∴由勾股定理可得l 2n＋1＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．(3)l n＝n.(4)OA9＝l9＝3，OA2 007＝ 2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{a n}前n项的值各异，且a n＋8＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}的前8项值的数列为() A．{a2n＋1}B．{a3n＋1} C．{a4n＋1} D．{a6n＋1}2．已知a n ＝a n －2＋a n －1(n ≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项依次是__________．答案：1．B 解析：取k ＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58.课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A 组7、8；习题2—1 B 组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．解：观察数列前若干项可得通项公式为a n ＝(－1)n 2n －32n .2．公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1和a n 合为一个表达式．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n .所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 3．累差迭加法若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】 已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n －a n －1＝2n －1， 各式相加得a n －a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)，∴a n ＝n 2＋5(n ∈N )．4．连乘法若数列{a n }能写成a n ＝a n －1f(n)(n ≥2)的形式，则可由a n ＝a n －1f(n)，a n －1＝a n －2f(n －1)，a n －2＝a n －3f(n －2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例4】 已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(n ＋1)a n 2(n ∈N )，求{a n }的通项公式．解：∵2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N )，2S n －1＝na n －1(n ≥2，n ∈N )，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，∴a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )． 于是有a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )， 以上各式相乘，得a n ＝na 1＝n(n ≥2，n ∈N )．又a 1＝1，∴a n ＝n(n ∈N )．5．求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】 已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n. ∴a 2n ＋2na n －1＝0.又a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n.6．迭代法若数列{a n }满足a n ＝f(a n －1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512B.133 C ．4 D ．52．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝－12a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则a 4等于… ( )A ．－ 1 B.12 C.1724D ．－183．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝__________.4．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________.5．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512.2．D 解析：a 2＝－12a 1＝－12，a 3＝－12a 2＝14，a 4＝－12a 3＝－18.3.1n 解析：由已知可求得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，由此可猜想a n ＝1n .4.n (n ＋1)2＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.当n ＝1时，也符合上式．因此，a n ＝n (n ＋1)2＋1.5．a 10，a 9 解析：a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99， 当1≤n ≤9时，99－98n －99＜0，a n 为递减函数； 当n ≥10时，99－98n －99＞0，a n 为递减函数． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种，则a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，则得到a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4及a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，就可以求得a8＝81.(设计者：周长峰)。

人教A版必修5 数列递推公式的教学设计温州中学李芳一．内容和内容解析数是刻画静态下物体的量，按一定顺序排列着的一列数称为数列。

在日常生活中，人们经常遇到需要用有关数列知识来解决的问题。

在数学中，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。

数列的知识也是学生将来学习高等数学的基础。

由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。

数列的递推公式这一节，是在前面学习了数列的有关概念后，介绍的另一种确定数列的办法。

本节的许多教学情境来源与生活实际，体现新课标的应用特点，加强学生对数列概念的感性认识。

本节的学习需要学生不断地观察、分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，有助于学生数学能力的提高。

二．目标和目标解析本节课通过对谢宾斯基三角形的分析，让学生体会递推思想，了解从特殊到一般的归纳方法。

具体目标为：1．要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法。

2．学生会根据数列的递推公式写出数列的前几项,利用递推思想解决一些实际问题，3．培养学生推理能力，严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。

通过课内外知识的介绍，开阔学生的眼界。

本节课教学重点:利用递推思想求出递推关系。

三．教学问题诊断在本节之前，学生已经对函数知识有了一定程度的理解与掌握。

数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。

在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。

函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。

由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。

数列的递推公式在课本中所占篇幅不多，介绍比较简单。

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的重要概念之一，是一种按照一定规律排列的数的序列。

它能够帮助我们更好地研究数的规律性，以及在各种实际问题中的应用。

本文将重点讨论数列的递推公式与数列求和的相关知识。

1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示，其中的每一项aₙ都是数列中的元素，下标n表示这是数列中的第n个元素。

1.2 数列的性质数列除了有一定的递增或递减规律外，还具有以下性质：1）有界性：数列中的元素存在上界和下界，即数列的元素都在某个范围内。

2）单调性：数列可以是递增的（数列中的每一项都大于前一项），也可以是递减的（数列中的每一项都小于前一项），还可以是常数列（数列中的每一项都相等）。

3）有限性：数列可以是有限数列（数列中的元素个数是有限的），也可以是无限数列（数列中的元素个数是无限的）。

二、数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列中某一项与前几项的关系来表示后一项的公式。

在实际问题中，通过找出数列元素之间的规律，我们可以用递推公式来进行数列的计算与推理。

2.1 递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前几项之间的关系。

对于数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果存在一个递推公式aₙ=f(a₁，a₂，a₃，...，aₙ₋₁)来表示数列中的每一项，其中f是一个函数，则称这个递推公式为数列的递推关系。

2.2 递归与迭代在数列的递推公式中，有两种主要的解题方法：递归和迭代。

2.2.1 递归递归是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，直到得到所需要的项。

递归可以分为直接递推法和间接递推法两种。

直接递推法是指通过已知数列中的前两项来推导下一项的值，例如斐波那契数列{1，1，2，3，5，...}就是通过aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂来进行递推的。

间接递推法是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，例如{2，5，12，29，...}中的每一项都是前一项的平方与前一项的负数之和。

数列的递推公式教学案【数列的递推公式教学案】摘要：本教学案旨在介绍数列的递推公式及其应用。

通过教师讲解和学生互动讨论相结合的方式，帮助学生理解递推公式的概念、原理和使用方法，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

一、引言数列是数学中常见的一种数学对象，广泛应用于自然科学和工程技术等领域。

数列的递推公式是研究数列的重要工具之一，能够描述数列中各项之间的变化规律。

掌握数列的递推公式的概念和使用方法对于解决实际问题具有重要意义。

二、递推公式的概念数列的递推公式是指通过已知项和之间的关系，求出第项的方法。

递推公式一般形式为xn=f(xn-1)，其中xn表示第项的值，xn-1表示前一项的值，f表示递推公式的具体函数。

三、递推公式的求解方法1. 查找相邻项之间的关系: 通过观察已知项之间的变化规律，尝试找到一个递推公式的函数关系，确定递推公式的形式。

2. 验证递推公式: 利用已知的数列项，验证数列的递推公式是否成立，以确保递推公式的正确性。

3. 求解数列的递推公式: 通过已知项和递推公式，计算出数列的其他项。

四、递推公式在数学中的应用1. 数列的求和计算: 通过递推公式，将数列的求和问题转化为递推公式的求解问题，简化了数学计算的过程。

2. 数列的分析和预测: 利用已知项和递推公式，可以分析数列的变化规律，预测未知项的值，揭示数学背后的规律和规律。

五、教学方法1. 教师讲解：介绍递推公式的概念、原理和求解方法，并提供实例进行说明。

2. 学生互动：学生根据提供的数列进行讨论，共同寻找数列的递推公式，并与教师进行交流和分享。

3. 练习演算：学生根据给定的数列，独立或合作求解数列的递推公式，提高解决问题的能力。

六、教学案例案例一：斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,13,...通过观察已知项，我们发现每一项都是前两项的和，因此递推公式为xn=xn-1+xn-2。

案例二：等差数列2,5,8,11,14,...通过观察已知项，我们发现每一项都比前一项大3，因此递推公式为xn=xn-1+3。

数学数列递推教案教案：数学数列递推1. 引言数学数列递推是数学中的重要概念，也是数学建模和解决实际问题的基础。

本教案旨在通过实例和练习，帮助学生理解数列递推的概念、性质和解题方法。

2. 基本概念2.1 数列的定义和表示数列是指按一定规律排列的一组数，用a1, a2, a3, ... 表示。

2.2 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个或多个变量表示数列的一般项公式，例如：an = 2n + 1。

2.3 数列的递推关系数列的递推关系是指通过前一项或多项来表示后一项的关系，例如：an = an-1 + 2。

3. 常见数列类型3.1 等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。

3.1.1 求首项和公差通过已知数列的前几项求解首项和公差的方法。

3.1.2 求指定项数和项数之和通过给定项数来求解数列的指定项或给定项时数列的项数之和。

3.2 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。

3.2.1 求首项和公比通过已知数列的前几项求解首项和公比的方法。

3.2.2 求指定项数和项数之和通过给定项数来求解数列的指定项或给定项时数列的项数之和。

3.3 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中除前两项外，每一项都等于前两项之和的数列。

3.3.1 求指定项数和项数之和通过给定项数来求解数列的指定项或给定项时数列的项数之和。

4. 解题实例4.1 实例1：求等差数列的首项和公差已知等差数列的前四项分别为-1, 2, 5, 8，求首项和公差。

4.2 实例2：求等差数列的指定项和项数之和已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的第6项和前6项之和。

4.3 实例3：求等比数列的首项和公比已知等比数列的前三项分别为2, 4, 8，求首项和公比。

4.4 实例4：求等比数列的指定项和项数之和已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项和前5项之和。

4.5 实例5：求斐波那契数列的指定项数和项数之和求斐波那契数列的第8项和前8项之和。

问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。

2常见递推数列通项公式的求法一、课题：常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标(1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数法求数列的通项公式。

(2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。

(3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课时： 1 课时六、教学手段：黑板，粉笔七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程（一）复习回顾：1、通项公式的定义及其重要作用2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：a n变式： 已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = an + 2n ，求{a n }的通项公式。

活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。

教师引导学 生细致讲解整个解题过程。

解：由条件知： an +1- a = 2nn分别令 n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个 等式叠加之，即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n - a n -1 )= 2 + 2 ⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ (n - 2) + 2 ⨯ (n - 1)所以 a - a = (n -1)[2 + 2 ⨯ (n - 1)]n1a = 1,∴ a = n 2 - n + 11 n+ 1 = 2(a + 1) ，如 :a - a = 常数 ; n +1 = 常数aa总结：类型 1： an +1- a = f (n ) ，可用叠加相消法求解。

2023-2024学年高二下学期数列递推公式教学设计课题名称数列的递推公式课时计划：1课时第1课时授课日期：20240222教学目标1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式．重点难点1.了解用累加法、累乘法求通项公式.2.会由数列的前n项和Sn 求数列的通项公式．教学方法教师讲授，学生主导，师生互动科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、数列通项公式的简单应用例1已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，n ∈N *.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n }中的项，3是否为数列{a n }中的项．跟踪训练1已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n ，n ∈N *，且a 4－a 2＝72.(1)求实数q 的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．二、数列的递推公式问题1观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用____________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n，n ∈N *，求a 6.延伸探究在例2的条件下，求a 2024.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n，则此数列的第3项是()A ．1B.12C.34D.58三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n (2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，则a n 等于()A ．n ＋1B ．n C.1n ＋1D.1n 反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法．②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋n＋1－n(n≥2)，求a n.(2)已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n.四、a n与S n的关系问题2如果已知数列{a n}的前n项和，如何求a4呢？知识梳理1．把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n＝____________.2．a n＝__________________.例4已知S n为数列{a n}的前n项和，根据条件求{a n}的通项公式．(1)S n＝3n－1；(2)S n＝2n2－30n.延伸探究将本例(2)的条件“S n＝2n2－30n”改为“S n＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a n.。