2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一(上)期末数学试卷

湖北省宜昌市金东方高级中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{|12}=-≤≤A x x ，{|1}B x x =<，则()R A C B =I ( ) A.{|1}x x >B.{|1}x x ≥C.{|12}x x <≤D.{|12}x x ≤≤2. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u v u u u v u u u v则（ ）A. ABCD 为矩形B. ABCD 是菱形C. ABCD 是正方形D. ABCD 是平行四边形3．函数()22()1f x x R x =∈+的值域是 （ ）A ．(0,2) B ．(0,2] C ．[0,2)D ．[0,2] 4. 函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4)-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A. 105a <≤B. 105a ≤≤C. 105a <<D. 15a >5. 若向量()1,1a =r , ()1,1b =-r ,()1,2c =-r ，则c ϖ等于( )A.21a ϖ23-b ϖB.21-a ϖ+23b ϖC.23a ϖ21-b ϖ D.23-a ϖ+ 21b ϖ6．函数25sin 3cos 4y x x =--的最小值是（ ） A ．74-B ．2-C ．14D ．54- 7.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-r r ra xb yc 且c b c a //,⊥，则=a b +r r ( )8.若sin(180)cos(90)m +α++α=o o ，则cos(270)2sin(360)-α+-αo o 的值为（ ） A.12m -B.32m -C.12mD.32m9．若函数sin()y A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2πϕ<)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则A ω⋅=（ ） A ．6πB ．712π C ．76π D ．73π 10．已知函数x x f 2sin1)(π+=，若有四个不同的正数i x 满足M x f i =)(（M 为常数），且8<i x ，)4,3,2,1(=i ，则4321x x x x +++的值为（ ）A ． 10B ．12C ．20D ． 12或20 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数1lg(1)y x =-的定义域为______________．12. 已知扇形AOB 的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________. 13．已知3515x y ==，则11x y+= ______________． 14. 若函数()f x 满足2(1)(1)2f x f x x ---=，则(1)f -= ； 15. ①若锐角cos sin ,2παβαβαβ>+<、满足则；②()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是增函数，若(,)42ππθ∈，则(sin )(cos )f f θθ>；③函数()36=+-f x lnx x 的零点只有1个且属于区间()1,2； 其中正确的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题:本大题有6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数()2sin(2)23f x x π=-+。

2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）9月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若A={x|x2=1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}，则A∩B=（）A．3 B．1 C．∅D．﹣12．下列四个函数中，在（﹣∞，0）上是增函数的为（）A．f（x）=x2+4 B．f（x）=3﹣C．f（x）=x2﹣5x﹣6 D．f（x）=1﹣x3．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}；②∅⊆{0}；③{0，1}⊆{（0，1）}；④∁U（A∪B）=（∁U A）∪（∁U B）；⑤（∁U A）∩A=∅A．1 B．2 C．3 D．44．设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，已知A∩B={9}，则实数a的值为（）A．5 B．±3 C．﹣3 D．35．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+46．设x为实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2B．f（x）=，g（x）=|x|C．f（x）=1，g（x）=（x﹣2）0D．f（x）=，g（x）=7．已知函数f（x）=，若f（m）=，则m所有可能值的和为（）A．﹣B．2 C．﹣D．08．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x﹣2）的定义域为（）A．[﹣2，3] B．[﹣1，4] C．[1，6]D．[﹣4，1]9．如图，阴影部分表示的集合是（）A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（∁U B）D．[∁U（A∩C）]∪B10．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）∪（0，1）B．（0，1）∪（0，1] C．（0，1）D．（0，1]11．下列四个说法：（1）函数f（x）=的减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞）（2）M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为1或﹣1；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）集合A={x|﹣1≤x≤7}，B={x|k+1≤x≤2k﹣1}，则能使A∪B=A的实数k的取值范围为（﹣∞，4]．其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f（x）=+的定义域为．14．已知集合A={a，b}，B={a，b，c，d，e}，满足条件A⊆M⊆B的集合M的个数为．15．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是．16．对任意x∈R，函数f（x）表示﹣x+3，x+，x2﹣4x+3中的较大者，则f（x）的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，（∁R A）∩B．18．已知函数f（x）=，（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．19．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x≥60），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？20．已知奇函数f（x）=．（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．21．已知二次函数y=f（x）满足：f（0）=0且f（x+1）=f（x）+2x+5．求：（1）f（x）的表达式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+3]上的最小值．22．设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若A={x|x2=1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}，则A∩B=（）A．3 B．1 C．∅D．﹣1【考点】交集及其运算．【分析】先求出A与B的解集，然后根据交集的定义即可得出答案．【解答】解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴A∩B={﹣1}，故选D．2．下列四个函数中，在（﹣∞，0）上是增函数的为（）A．f（x）=x2+4 B．f（x）=3﹣C．f（x）=x2﹣5x﹣6 D．f（x）=1﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数单调性，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，函数f（x）=x2+4在（﹣∞，0）上是减函数，不满足题意；对于B，函数f（x）=3﹣在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是增函数，满足题意；对于C，函数f（x）=x2﹣5x﹣6在（﹣∞，）上是减函数，不满足题意；对于D，函数f（x）=1﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，不满足题意．故选：B．3．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}；②∅⊆{0}；③{0，1}⊆{（0，1）}；④∁U（A∪B）=（∁U A）∪（∁U B）；⑤（∁U A）∩A=∅A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，依次分析题目所给的关系式，对于①、利用元素与集合的关系分析；对于②、结合空集的性质分析；对于③、由集合的定义与表示方分析，对于④、⑤，结合补集的定义、性质分析，可得其是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析所给的关系：对于①、0是集合{0}的元素，即0∈{0}，故①正确；对于②、空集∅是任何集合的子集，即有∅⊆{0}，即②正确；对于③、集合{0，1}中有2个元素：0与1，而集合{（0，1）}为点集，只有元素（0，1），两者不相等，故③错误；对于④、由补集的性质，可得∁U（A∪B）=（∁U A）∩（∁U B），故④错误；对于⑤、∁U A表示全集U中除集合A之外全部元素组成的集合，则有（∁U A）∩A=∅，故⑤正确；共有3个正确的关系；故选：C．4．设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，已知A∩B={9}，则实数a的值为（）A．5 B．±3 C．﹣3 D．3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及A与B的交集，求出实数a的值即可．【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，即a=5，a=3或a=﹣3，当a=5时，A={﹣4，9，25}，B={﹣4，0，9}，A∩B={﹣4，9}，不合题意，舍去；当a=3时，A={﹣4，5，9}，B={9，﹣2，﹣2}，不满足集合元素互异性，舍去；当a=﹣3时，A={﹣4，﹣7，9}，B={9，﹣8，4}，A∩B={9}，满足题意，则实数a的值为﹣3．故选：C．5．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】通过变换替代进行求解【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故答案是：A6．设x为实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2B．f（x）=，g（x）=|x|C．f（x）=1，g（x）=（x﹣2）0D．f（x）=，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：A．f（x）==|x|，定义域为R，g（x）=（）2=x，定义域为[0，+∞），定义域和对应法则都不相同，不表示同一函数．B．f（x）==|x|，定义域为R，g（x）=|x|，两个函数的定义域和对应法则都相同，表示同一函数．C．g（x）=（x﹣2）0=1，定义域为{x|x≠2}，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．D．f（x）==，函数的定义域为{x|x≠±1}，g（x）=的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．故选：B7．已知函数f（x）=，若f（m）=，则m所有可能值的和为（）A．﹣B．2 C．﹣D．0【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数求出m的值，即可推出结果．【解答】解：函数f（x）=，若f（m）=，当m≤﹣1时，m+4=，解得m=﹣．当m∈（﹣1，1）时，m2=，解得m=．当m＞1时，2m=，无解．则m所有可能值的和为：=．故选：A．8．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x﹣2）的定义域为（）A．[﹣2，3] B．[﹣1，4] C．[1，6]D．[﹣4，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】注意y=f（x+1）与y=f（x﹣2）中的x不是同一x，但是x+1与x﹣2的范围一致，由于f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，就是x∈[﹣2，3]，求出x+1的范围，就是函数f（x﹣2）中（x﹣2）的范围，从而求出x的范围，即为y=f（x﹣2）的定义域．【解答】解：函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，所以x∈[﹣2，3]，所以﹣1≤x+1≤4，对于函数f（x﹣2）所以﹣1≤x﹣2≤4，解得1≤x≤6所以函数y=f（x﹣2）的定义域为：[1，6]故选C．9．如图，阴影部分表示的集合是（）A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（∁U B）D．[∁U（A∩C）]∪B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“不是A的元素或C的元素，且是B的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足不是A的元素或C的元素，且是B的元素即不是A并C的元素，且是B的元素，即是A并C的补集的元素，且是B的元素，故阴影部分所表示的集合是B∩[∁U（A∪C）]，故选：A10．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）∪（0，1）B．（0，1）∪（0，1] C．（0，1）D．（0，1]【考点】函数单调性的性质．【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；函数在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；综上所知，a的取值范围是（0，1]；故选：D．11．下列四个说法：（1）函数f（x）=的减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞）（2）M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为1或﹣1；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；（4）集合A={x|﹣1≤x≤7}，B={x|k+1≤x≤2k﹣1}，则能使A∪B=A的实数k的取值范围为（﹣∞，4]．其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），函数单调区间不能用并集符号；（2），当a=0，M={x|x=0}，N=∅，满足M∩N=N；（3），y=x2﹣2|x|﹣3是偶函数，递增区间为[1，+∞），（﹣1，0）；（4），∵A∪B=A，∴B⊆A．分两种情况考虑：（i）若B不为空集，（ii）若B为空集．【解答】解：对于（1），函数f（x）=的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），不能用并集符号，故错；对于（2），当a=0，M={x|x=0}，N=∅，满足M∩N=N，故错；对于（3），y=x2﹣2|x|﹣3是偶函数，递增区间为[1，+∞），（﹣1，0），故错；对于（4），：∵A∪B=A，∴B⊆A．分两种情况考虑：（i）若B不为空集，可得k+1≤2k﹣1，解得：k≥2，∵B⊆A，A={x|﹣1≤x≤7}，B={x|k+1＜x＜2k﹣1}，∴k+1≥﹣1，且2k﹣1≤7，解得：﹣2≤k≤4，此时m的范围为2≤k≤4；（ii）若B为空集，符合题意，可得k+1＞2k﹣1，解得：k＜2，综上，实数m的范围为k≤4．故正确．故选：B12．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f（x）=+的定义域为[﹣2，4）∪（4，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x≥﹣2且x≠4．∴函数f（x）=+的定义域为[﹣2，4）∪（4，+∞）．故答案为：[﹣2，4）∪（4，+∞）．14．已知集合A={a，b}，B={a，b，c，d，e}，满足条件A⊆M⊆B的集合M的个数为8．【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用．【分析】列举出满足条件的集合M，从而判断其个数即可．【解答】解：∵A={a，b}，B={a，b，c，d，e}，A⊆M⊆B，∴M={a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，故答案为：8．15．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是a ≤﹣3．【考点】二次函数的性质．【分析】利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1﹣a≥4求出a的范围．【解答】解：二次函数的对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是减函数∴1﹣a≥4解得a≤﹣3故答案为：a≤﹣3．16．对任意x∈R，函数f（x）表示﹣x+3，x+，x2﹣4x+3中的较大者，则f（x）的最小值是2．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【分析】由题意比较三者之间的大小，从而可得f（x）=，从而求最小值．【解答】解：由x+﹣（﹣x+3）＞0得，x＞1；由x2﹣4x+3﹣（﹣x+3）＞0得，x＞3或x＜0；由x2﹣4x+3﹣（x+）＞0得，x＞5或x＜；则f（x）=；结合函数的图象如下，f min（x）=f（1）=﹣1+3=2；故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，（∁R A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】找出两集合中解集的公共部分，求出两集合的交集；找出既属于A又属于B的部分，求出两集合的并集；找出全集中不属于A的部分，求出A的补集，找出B与A补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B═{x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3，或x≥7}，∴（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．18．已知函数f（x）=，（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用函数单调性的定义来证明函数的单调性；（2）根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题．【解答】解：（1）f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==；∵﹣1＜x1＜x2⇒x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0；∴f（x1）﹣f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）；所以，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数．（2）：由（1）知f（x）[1，4]上单调递增，∴f（x）的最小值为f（1）=，最大值f（4）=．19．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x≥60），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件，列出y与x的函数关系式，注明定义域．（2）利用二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）由题意解得：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110）；（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75元时，y有最大值为2450元．20．已知奇函数f（x）=．（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数的图象．【分析】（1）由奇函数的定义，对应相等求出m的值；画出图象．（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的图象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，要使f（x）在[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤321．已知二次函数y=f（x）满足：f（0）=0且f（x+1）=f（x）+2x+5．求：（1）f（x）的表达式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+3]上的最小值．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）设出二次函数，利用已知条件求解即可．（2）求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，求解函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数∴设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（0）=0，∴c=0，∵f（x+1）=f（x）+2x+5∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+2x+5，∴2ax+a+b=2x+5，∴a=1，b=4∴f（x）=x2+4x．（2）对称轴x=﹣2，•当t+3＜﹣2，即t＜﹣5时，f（x）在[t，t+3]上单调递减，所以f（x）min=f（t+3）=（t+3）2+4（t+3）=t2+10t+21，‚当t＞﹣2时，f（x）在[t，t+3]上单调递增，所以f（x）min=f（t）=t2+4t，当t≤﹣2≤t+3即﹣5≤t≤﹣2时，所以，f（x）min=f（﹣2）=﹣4．综上的f（x）min=．22．设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．（2）当时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2）令，则且x=（t﹣1）2∴∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，t=2时的最大值为，∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4即f（x）的值域恰为时，所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．2016年12月28日。

湖北省宜昌金东方高级中学 2017—2018学年度上学期第三次月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则的元素的个数为 A.3 B.4 C.5D.62.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A. B. C. D. 3.下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 4.要得到函数的图像，只要将函数的图像A.向左平移个单位B.向右平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移个单位5.给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9;⑤其中符号为负的是A.①④B.②③C.③⑤D.④⑤ 6.已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x +4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）= A.﹣2 B.2 C.﹣98 D.98 7.已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图像A.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称B.关于直线x ＝π4对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 D.关于直线x ＝π3对称 8.的零点所在的区间是A. B. C. D. 9. 设0.80.461.214,8,()2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 10.若当时，函数始终满足，则函数1log ay x=的图象大致为A B CD 11.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是A.－5安B.5安C.53安D.10安 12.若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围是 A. 或 B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()21,12,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩则____________．14.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 cm 2． 15.已知，且，则的值是________． 16.设函数sin()(0,(,))22y x ππωϕωϕ=+>∈-的最小正周期为，且其图像关于直线对称，则在下面四个结论中：①图像关于点对称；②图像关于点对称；③在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．以上正确结论的编号为________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17（本小题满分10分）（1）已知，求)sin()tan()23sin()2cos()sin(αππαπααπαπ----+---的值；（2）已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中,求sin(105)cos(375)αα-+-的值．18、（本小题满分12分）已知函数2()21f x x ax =-+ （1）若在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的最大值．19、（本小题满分12分）设函数的定义域为R ，并且满足1()()(),()13f x y f x f y f +=+=，且当时，．（1）求f （0）的值； （2）判断函数的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数12()log )4f x x π=-．（1）求它的定义域，值域； （2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性． 21、（本小题满分12分）已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，其图象如图3所示（1）求函数在的表达式； （2）求方程的解． 22、（本小题满分12分）已知点1122(,()),(,())A x f x B x f x 是函数2sin(y ω=点，且角φ的终边经过点，若12()()4f x f x -=时，的最小值为 （1）求函数的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．x宜昌金东方高级中学2017年秋季学期12月月考高一数学答案命题人：张用玮 审题人：胡辉本试题卷共8页，四大题22小题。

2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（5&#215;12=60分，请将唯一正确的答案代号填涂到答题卡的相应位置）1．复数（2+i）2等于（）A．3+4i B．5+4i C．3+2i D．5+2i2．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A．6 B．4 C．3 D．23．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大4．如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣12，那么其输出的结果是（）A．9 B．3 C．D．5．下列命题中：①命题p：“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”，则¬p是假命题．②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题．③命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”，则¬p：“∃x，x2﹣2x+3＜0”．④命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若¬q，则p”．其中正确命题是（）A．②③B．①②C．①④D．②④6．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m ⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q7．若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣38．函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（）A．25 B．23 C．21 D．209．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．310．已知函数y=x f′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知a∈R，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1分别与圆E：（x﹣a）2+（y﹣1）2=4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．812．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）A．87 B．88 C．89 D．90二、填空题（5&#215;4=20分，请将答案填写到答题卡的相应位置）13．命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是．14．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为．15．椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有个．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：（请在答题卡的相应位置写出解答过程）17．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．（Ⅰ）求证：BB1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1DC的体积．19．已知抛物线C：y2=4x．点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点．（1）当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求△FAB的面积．20．已知命题P：函数y=lg（x2+2x+a）的定义域为R；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．22．已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数），g（x）=x+b（a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣且a=﹣4，求h（x）在[0，1]上的最大值；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．（2.71＜e＜2.72）2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（5&#215;12=60分，请将唯一正确的答案代号填涂到答题卡的相应位置）1．复数（2+i）2等于（）A．3+4i B．5+4i C．3+2i D．5+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=﹣1可求出所求．【解答】解：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i故选A．2．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义直接计算即可．【解答】解：∵男生36人，女生18人，∴男生和女生人数比为36：18=2：1，∴抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为，故选：C．3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大【考点】茎叶图．【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A正确；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出B错误，根据众数的定义判断C正确；根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出D正确；【解答】解：由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为×（22+24）=23，B错误；乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间，所以甲的平均数大，D正确．故选：B．4．如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣12，那么其输出的结果是（）A．9 B．3 C．D．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是当x≤0计算y的值，并输出y值．【解答】解：先看程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环x第一圈是﹣9第二圈是﹣6第三圈是﹣3第四圈是0第五圈是3退出循环，此时输出的x值为3y=，那么其输出的结果是故选C．5．下列命题中：①命题p：“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”，则¬p是假命题．②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题．③命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”，则¬p：“∃x，x2﹣2x+3＜0”．④命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若¬q，则p”．其中正确命题是（）A．②③B．①②C．①④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①通过直接找x值说明命题p：“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”是真命题；命题②先写出原命题的逆命题，然后判断真假；命题③是全称命题，其否定是特称命题，写出特称命题加以判断；命题④直接写出原命题的逆否命题得答案．【解答】解：∵x=0时，2x2﹣1＜0，∴命题p：“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”为真命题，则¬p是假命题正确，即命题①正确；“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题，∴命题②错误；命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”为全称命题，其否定为：¬p：“∃x，x2﹣2x+3≤0”．命题③错误；命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若¬q，则p”．命题④正确．∴其中正确的命题是①④．6．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m ⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．7．若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3【考点】两条直线垂直的判定．【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值．【解答】解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选D．8．函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（）A．25 B．23 C．21 D．20【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出a的值，最小值即可求得．【解答】解：求导函数可得f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x+1）（x﹣3）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3∵x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，函数单调减，x∈（﹣1，2]时，f′（x）＞0，函数单调增，∴函数在x=﹣1时，取得最小值，在x=﹣2或x=2时，函数取得最大值，∵f（﹣1）=﹣5+a=﹣2，∴a=3，∴f（﹣2）=2+a=5，f（2）=22+a=25，函数的最大值为25，故选：A．9．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出A，B的坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式代入即可求得直线l的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在双曲线上，∴，，两式作差可得：，即（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），∴，∵线段AB的中点为C（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2，∴．即直线l的斜率为2．故选：C．10．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【解答】解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选C．11．已知a∈R，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1分别与圆E：（x﹣a）2+（y﹣1）2=4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，可得四边形ABCD是正方形，即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4×=8，故选：D．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）A．87 B．88 C．89 D．90【考点】棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可．【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，则HM⊥PM，∴HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，过P作PN⊥CC′，垂足为N，设P（x，8，z），则F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z），且0≤x≤8，0≤z≤8，∵PN=PF，∴=x，化简得4x﹣4=（z﹣6）2，∴MP2=（x﹣8）2+（z﹣6）2=（x﹣8）2+4x﹣4=x2﹣12x+60=（x﹣6）2+24≥24，当x=6时，MP2取得最小值，此时HP2=HM2+MP2=82+24=88为最小值．故选：B．二、填空题（5&#215;4=20分，请将答案填写到答题卡的相应位置）13．命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是若xy≠0，则x≠0且y≠0．【考点】四种命题．【分析】本题主要考察否命题的写法．首先要找准命题的条件和结论，：“若A，则B”型的命题的否命题，条件和结论都要否定．【解答】解：“若A，则B”型的命题的否命题为：“若￢A，则￢B”，条件和结论都要否定．本题中的条件为xy=0，结论为：x=0或y=0．故答案为：若xy≠0，则x≠0且≠014．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为 1.5．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵=54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a∴54=10.5×5+a，∴a=1.5故答案为：1.5．15．椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有6个．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点B i（0，）对F1、F2张开的角θ最大，可得θ=90°．当PF1⊥x轴或PF2⊥x轴时，也满足题意．即可得出．【解答】解：由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点B i（0，）对F1、F2张开的角θ最大，∵b=，a=2，c=，此时θ=90°．当PF1⊥x轴或PF2⊥x轴时，也满足题意．因此△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有6个．故答案为：6．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）三、解答题：（请在答题卡的相应位置写出解答过程）17．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）由测得身高情况的统计图知抽到的男生人数为40人，由此能估计该校男生的人数．（2）样本中身高在180～190cm之间的男生有6人，其中4人身高在身高在180～185cm之间，2人身高在185～190cm之间，从身高在180～190cm之间的男生任选2人，至少有1人身高在185～190cm之间的对立事件是2人的身高都在180～185cm之间，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人身高在185～190cm之间的概率．【解答】解：（1）某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，由测得身高情况的统计图知抽到的男生人数为：2+5+14+13+4+2=40人，∴估计该校男生的人数为：40÷10%=400人．（2）样本中身高在180～190cm之间的男生有6人，其中4人身高在身高在180～185cm之间，2人身高在185～190cm之间，从身高在180～190cm之间的男生任选2人，基本事件总数n=，至少有1人身高在185～190cm之间的对立事件是2人的身高都在180～185cm之间，∴至少有1人身高在185～190cm之间的概率为p=1﹣=．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．（Ⅰ）求证：BB1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1DC的体积．【考点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）要证BB1⊥平面ABC，必须证明BB1⊥平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可．（Ⅱ）要证BC1∥平面CA1D，必须证明BC1∥平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可．（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1DC的体积，就是求C﹣A1B1D的体积，求出底面面积和高即可．【解答】解：（1）∵AC=BC，D为AB的中点．∴CD⊥AB又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1∴CD⊥BB1又BB1⊥AB，AB∩CD=D∴BB1⊥面ABC．（2）连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，E是AC1中点，D是AB中点，则DE∥BC1，又DE⊂面CA1D1BC1∉面CA1D1∴BC1∥面CA1D（3）由（1）知CD⊥平面AA1B1B故CD是三棱锥C﹣A1B1D的高在Rt△ACB中，AC=BC=2，∴AB=2，CD=又BB1=2∴V B1﹣A1DC=V C﹣A1B1D=S△A1B1D CD=A1B1×B1B×CD=．19．已知抛物线C：y2=4x．点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点．（1）当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求△FAB的面积．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0．（1）∵线段AB的中点在直线x=7上，∴⇒k（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PA⇒y2=2y1⇒，【解答】解：设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0．（1）∵线段AB的中点在直线x=7上，∴⇒k=±，∴直线L的方程：y=±（x+1）（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PA⇒y2=2y1⇒，20．已知命题P：函数y=lg（x2+2x+a）的定义域为R；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当P真：f（x）=lg（x2+2x+a）的定义域为R，有△=4﹣4a＜0，解得a命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．当a=2时成立，当a≠2时，可得，解得a范围．由于P∨Q是真命题，求出上述并集即可．【解答】解：当P真：f（x）=lg（x2+2x+a）的定义域为R，有△=4﹣4a＜0，解得a＞1；当命题Q真：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．当a=2时成立，当a≠2时，可得，解得﹣2＜a≤2．若P∨Q是真命题，则0＜a＜1或﹣2＜a≤2．因此实数a的取值范围是﹣2＜a≤2．∵P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，∴P真Q假，或P假Q真．，即a＞2或﹣2＜a≤1．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0由题意得=，①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t2=1时，∴又∴∴22．已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数），g（x）=x+b（a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣且a=﹣4，求h（x）在[0，1]上的最大值；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．（2.71＜e＜2.72）【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用导数求得函数h（x）的单调性，再求最值；（2）方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根⇔F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上恰有两个相异实根⇔F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上与横轴有两个交点，利用导数求其单调性，利用图象即可，（3）使f（x）的图象恒在g（x）图象上方⇔恒成立，求出p（x）的最小值即可．【解答】解：（1）时，，∴h'（x）=e x（﹣2x+1），当x时，h'（x）＞0，当x（，1）时，h'（x）＜0，∴h（x）在[0，]上递增，在（）减，；（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣b，F'（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；…∴F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上恰有两个相异实根，，∴实数m的取值范围是m∈（2﹣2ln2，1]；…（3）由题设：，（*）∵，故p（x）在上单调递减；在上单调递增，∴（*），设，则，∴q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，…而q（2e2）=2e2﹣2e2lne2+15=15﹣2e2＞0，且，故存在使q（x0）=0，且x∈[2，x0）时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵，，∴a∈N*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=14．…2017年2月18日。

宜昌金东方高级中学2017年春季学期5月月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1、在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142、下列命题中，正确的是（ ）A. 若,a b c d >>，则ac bd >B. 若ac bc >，则a b >C. 若22a bc c<，则a b < D. 若,a b c d >>，则a c b d ->- 3、设集合M ＝{x |511x >+ }，N ＝{x |(5)0x x -≥}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，40，4) C ．4、在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 5、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. 10,45,70a A C ==︒=︒ B. 30,25,150a B A ===︒ C. 7,8,98a B A ===︒ D ．14,16,45a B A ===︒6、若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27、若向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=1，|c |=3，则|a +b +c |等于（ ） A ．2B ．5C ．2或5D ．2或58、设集合{|01}A a a =<<，2{|440}B a R ax ax x =∈+-<对任意实数恒成立，则下列关系成立的是（ ）A ．AB ≠⊂ B. B A ≠⊂ C ．A B = D ．AB =∅9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,n S OP n n⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,m S OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2,k S OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表示μ=（ ） A ．k m k n -- B.k n k m -- C.n m k m -- D.n mn k-- 10、已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线（ ）A ．65π=x B.34π=x C ．3π=x D ．3π-=x 11、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题：①0d <；②110S >；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是（ ） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④12、已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A. 12B. 23C. 56D. 712二.选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卡中的横线上）13、如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角 分别为67°、30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， 3≈1.73)14、若数列{a n }为递增数列，且a n ＝n 2－2λn ，则λ的取值范围为________.15、已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()+()+()=0f x f x f x f x +，则2013=x ________.16、已知数列{}n a 的前n 项和)34()1( (139511)--++-+-=-n S n n ，则312215S S S -+= ____ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．(本题满分10分) 已知△AB C 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)计算m ·n 的值并求角A 的大小； (2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S .18、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？19．(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对n N *∈均有3121123nn nc c c c a b b b b +++++=成立，求1232016c c c c ++++.20．(本题满分12分)设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2336S S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）令20n n b a =-，求数列{}||n b 的前n 项和n T ； （3）证明：123111112n S S S S n++++≤-21、(本题满分12分)已知函数2()(3)22f x x a x a b =+-+++，a b R ∈、 （1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为{|42}x x x <->或，求实数a b 、的值； （2）若关于x 的不等式()f x b ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围.22．(本题满分12分)已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设2n b += 143log n a ()n N *∈，数列{}n c 满足n n n c a b =，（1） 求数列{}n c 的前n 项和n S ； （2） 若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.5月月考数学答案一、选择题：CCBB DCCA CDBC二、填空题：13. 60； 14.32λ<； 15. 4007； 16. -76三、解答题17、解：(1)∵|m|＝cos2A＋sin2A＝1，|n|＝cos 2A＋（－sin A）2＝1，∴m·n＝1·1·cos π3＝12.∵m·n＝cos2A－sin2A＝cos 2A，∴cos 2A＝1 2.∵0<A<π2，∴0<2A<π，∴2A＝π3，∴A＝π6.(2)∵a＝7，c＝3，A＝π6，且a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴7＝b2＋3－3b，解得b＝－1(舍去)或b＝4，故S＝12bc sin A＝ 3.18、解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，则5735,10440,0,0,x yx yx y+≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为z=3x+2y，作出可行域如图.把z=3x+2y变形为y=-32x+2z，得到斜率为-32纵截距为2z，随z变化的一族平行直线.由图可知，当直线y=-32x+2z经过可行域上的点A时，截距2z最小，即z最小.由10440,5735,x yx y+=⎧⎨+=⎩得A14,35⎛⎫⎪⎝⎭，∴z min=3×145+2×3=14.4.∴选用甲种原料145×10=28（g），乙种原料3×10=30（g）时，费用最省.19、解：(1)由已知得，，，∴，解得或．又∵ ，所以 ．∴ ．又 ，，∴等比数列{}n b 的公比323b q b == ， ∴．(2)由题3121123nn nc c c c a b b b b +++++= ①， 当时，121c a b = ，∴当时，31121231n n n c c c c a b b b b --++++= ②， ①-②，得122nn nc a a b +=-=，∴ 2)．∴13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⨯≥⎩ ． ∴20151232015201612320163(13)32323232332313c c c c -++++=+⨯+⨯+⨯++⨯=+=-20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵11a =，∴23(2)(33)362S S d d d =++=⇒=或5d =- ∵{}n a 为正项等差数列的，∴0d > ∴2d =，21n a n =- （2）20212n n b a n =-=-，令2102n b n >⇒<， ∴当10n ≤时，123123||||||||n n n T b b b b b b b b =++++=++++2(19212)202n n n n +-==-当11n ≥时，12101111011||||||||||()()n n n T b b b b b b b b b =+++++=++-++11012()()n b b b b =++-++210(1921210)(19212)22020022n n n n +-⨯+-=⨯-=-+∴2220,1020200,11n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩ ()n N *∈(3) 由（1）知2(121)2n n n S n +-== 当时，11121S ==- ，成立当 时，21111(1)1n S n n n n n=<=---∴12311111111111(1)()()22231n S S S S n n n++++<+-+-++-=-- 综上：123111112n S S S S n++++≤-21、解:(1)由题-4,2方程2(3)220x a x a b +-+++=的两根,∴42(3)1422212a a a b b -+=--=⎧⎧⇒⎨⎨-⨯=++=-⎩⎩； (2) 由2()(3)22f x x a x a b b =+-+++≤得：2(3)220x a x a +-++≤ 令2()(3)22g x x a x a =+-++，则()0g x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立∴(1)06(1)0g a g -≤⎧⇒≤-⎨≤⎩(3) 由2()(3)2212f x x a x a b b =+-+++≤+得：2(3)2100x a x a +-+-≤ 即：(2)[(5)]0x x a ---≤①当52a ->，即7a >时， 25x a <<-，解集中的3个整数是3,4,5,∴5561011a a <-≤⇒<≤；②当52a -=，即7a =时，不等式无解，舍去；③当52a -<，即7a <时， 52a x -<<，解集中的3个整数是-1,0,1,∴25134a a -≤-<-⇒≤<综上：实数a 的取值范围为34a ≤<或1011a <≤22、(1)由题意知， ，∴，故，∴∴于是两式相减得∴1 (2)因为∴当时，, 当, ∴max 11()4n c c == 又, ∴即。

湖北省宜昌金东方高级中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知三个集合U ，A ，B 及元素间的关系如图所示，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8}2.若a ,b 不共线,且λa +μb =0(λ,μ∈R ),则 ( )A. a =b =0B. λ=μ=0C. λ=0, b =0D. a =0,μ=03.已知四边形ABCD 为正方形,点E 是CD 的中点,若=a,=b ,则= ( )A. b +aB. b -aC. a +bD. a -b4. 函数x x x f 3log 82)(+-=的零点一定位于区间（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6) 5．已知31)3sin(=+πα， 则=-)6cos(απ（ ）A.13-B.13C.3D.3- 6.已知函数)(1)62sin(2)(R x x x f ∈-+=π则)(x f 在区间[0,2π]上的最大值与最小值分别是( ) A. 1, -2 B .2 , -1 C. 1, -1 D.2, -27. 若将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )8. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．x y 2.0=B ．)2(1012x x y += C ．102x y = D ．x x y 16log 2.0+= 9. ．在同一直角坐标系中，函数f （x ）=x a （x ＞0），g （x ）=log a x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 函数 (21)72,1(),1x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0,1）B.（0,21） C.[21,83) D.[1,83) 11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0. 若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]12 .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2(x ≤0)2ax －1 (x >0) (a 是常数且a >0).对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是( )A ． ①②B ．①③C ．③④D ．②④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．） 13. 设扇形的半径长为2，圆心角为4π，则扇形的面积是______________；14. 化简3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+=_____________；15. 已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数)(log )(3a x x f +=的图象上. 则实数a = ________；16．关于函数))(62sin()(R x x x f ∈-=π，给出下列三个结论：①对于任意的R x ∈，都有)322cos()(π-=x x f ； ②对于任意的R x ∈，都有)2()2(ππ-=+x f x f ；③对于任意的R x ∈，都有)3()3(x f x f +=-ππ．其中，全部正确结论的序号是________．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）计算（1）（2）已知tan 3α=，求18（本题满分12分）已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<， （1）若21=a ，求B A ； （2）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围。

宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高一数学（全卷满分：150分考试时间：120分钟)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的相关信息填写在规定的位置，并检查所持试卷是否有破损和印刷等问题。

若试卷有问题请立即向监考教师请求更换。

2．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上的无效。

3．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1）A.（-2，1）B.（-2,0〕C.（0,1）D.（-∞，1）2＝（）3、下列命题正确个数为的是（）①②③④A、B、C、D四点一定共线A. 4个B. 3个C. 2个D.0个4、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）5= 3= 5）B. 3C. 4D. 56）A.向左平移3个单位B.C.向右平移3个单位D.7）8 ）93(,(3,10 ）A BD11、R 上是奇函数，当x ∈（0，2）（ ） A.﹣2B.2C.﹣98D.9812a≥b 则函数x ∈－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13P，则P点坐标是______ ．14，则这扇形的面积为cm2．1516、如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、计算下列各式：（1（2）18（1（2a的取值范围．19（1k满足的条件；（2C为直角的RtΔ，求实数k的值．20（1（2-∞，+∞）上的单调性(不需证明)；（32125 b=（1222（1）求函数解析式；（2（3宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高一数学参考答案一、选择题（60分）二、填空题（20分）13、(1,5) 14、、18三、解答题17、（1）原式5分）（25分）18、（15分）（2）若7分）若分)12分）195分）7分）9分）3；（11分）综上可得k的值为：．………………（12分）20R的奇函数，故满足题意分R9分）故k21（3分）5分）（6分）（8分）（10分）（12分）22、解：(1))(2))(3)) （以上答案仅供参考，有其他解法参照给分）。

宜昌市一中2016年秋季学期高一年级期末考试试题 数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）B DC C AD A C B A D D二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

）13．4 14.－8915．﹣3 16．①③④三、解答题17. 解：（1）10212x x x x +≥⇒>≤--或，22(21)01x a x a a x a x a -+++≥⇒≥+≤或),1[],(),,2(]1,(+∞+-∞=+∞--∞=a a B A（2）11211≤≤-⇒⎩⎨⎧≤+-≥⇒⊆⇔=a a a B A A B A18．解：（Ⅰ）∵∥， =（sinx ，），=（cosx ，﹣1），∴sinx •（﹣1）﹣•cosx=0，即sinx +cosx=0，得sinx=﹣cosx ，由此可得tanx==﹣，∴tan2x==；（Ⅱ）∵=（sinx ，），=（cosx ，﹣1），∴•=sinxcosx ﹣， =cos 2x +（﹣1）2=cos 2x +1，f （x ）=（+）•=•+=sinxcosx ﹣+cos 2x +1=sin2x +（1+cos2x ）﹣=sin （2x +），∵x ∈[﹣，0]，可得2x +∈[﹣，]，∴sin （2x +）∈[﹣1，]，f （x ）=sin （2x +）∈[﹣，]．即函数f （x ）=（+）•在[﹣，0]上的值域为[﹣，]．19. 解：（1）f （x ）=k 1x ，g （x ）=k 2，f （1）=0.25=k 1，g （4）=2k 2=2.5，∴f （x ）=0.25x （x ≥0），g （x ）=1.25（x ≥0），（2）设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为10﹣x 万元．y=f （10﹣x ）+g （x ）=0.25（10﹣x ）+1.25（0≤x ≤10），令t=，则y=﹣0.25t 2+1.25t +2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，y max =65/16万元．答：投资B 产品6.25万元，A 产品2.75万元是，利润最大为65/16万元。

2015-2016学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}2．已知点M（5，﹣6）和向量=，则点N的坐标为（）A．（2，0）B．（﹣3，6）C．（6，2）D．（﹣2，0）3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=log2x B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x4．已知函数，则=（）A．B．C．D．5．已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5 D．6．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定7．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）（﹣）=0，则△ABC 的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或10．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则Aω=（）A．B．C．D．12．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，] B．（0，] C．（1，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的定义域为．14．化简： = ．15．若且，则与的夹角是．16．对于函数的图象：①关于直线对称；②关于点对称；③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算下列各式：（1）；（2）．18．A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．19．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．20．已知函数的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣6，2]时，求函数g（x）=f（x）+f（x+2）的单调递增区间．21．现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x为4（万元）时Q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．（Ⅰ）分别求出P，Q与x的函数关系式；（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？22．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x∈[，3]的最小值为3，求实数m的值；（3）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知点M（5，﹣6）和向量=，则点N的坐标为（）A．（2，0）B．（﹣3，6）C．（6，2）D．（﹣2，0）【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】设点N的坐标为（x，y），可得的坐标，由题意可得，解之即可．【解答】解：设点N的坐标为（x，y），故=（x﹣5，y+6）=﹣3=（﹣3，6）故，解得所以点N的坐标为（2，0），故选A【点评】本题考查向量的坐标运算，以及向量的几何意义，属基础题．3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=log2x B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可判断得出结论．【解答】解：由于函数：y=log2x与y=2x是非奇非偶函数，y=x﹣1在在（0，+∞）上单调递减，y=x3是奇函数又在（0，+∞）上单调递增．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知函数，则=（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．【解答】解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．【点评】本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可．5．已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5 D．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】利用共线向量的关系，求出正弦函数与余弦函数的关系，代入所求表达式求解即可．【解答】解：向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，可得：sinθ=﹣2cosθ．==5．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，向量共线定理的应用，考查计算能力．6．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．7．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）（﹣）=0，则△ABC 的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】由已知可得，即整理可得【解答】解：∵（ +﹣2）（﹣）=0，∴（+）（﹣）=0，∴AB2﹣AC2=0，即||=||．△ABC的形状是等腰三角形，故选B．【点评】本题主要考查了向量的加法、减法的三角形法则的应用，向量数量积的运算，属于对基础知识的考查，试题难度不大．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化；函数图象的作法．【专题】计算题．【分析】根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9．设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】依题意，可求得cos α=﹣，sin β=，利用两角和的余弦可求得cos （α+β）的值，从而可得答案．【解答】解：∵α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，∴cos α=﹣，sin β=，∴cos（α+β）=cos αcos β﹣sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C ．【点评】本题考查两角和的余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．10．函数f （x ）=log a （6﹣ax ）在[0，2]上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，3）C ．（1，3]D ．[3，+∞） 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中f （x ）=log a （6﹣ax ）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a 的取值范围．【解答】解：若函数f （x ）=log a （6﹣ax ）在[0，2]上为减函数，则解得a ∈（1，3） 故选B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键．11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则Aω=（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出Aω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴Aω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．12．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，] B．（0，] C．（1，）D．（0，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a b的范围．【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，则有=，即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，又∵a≠﹣2，∴a=2；则函数f（x）=lg，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤∴a b=2b∈（1，]，故选：A．【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的定义域为（1，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴1＜x≤4．即函数f（x）的定义域为（1，4]．故答案为：（1，4]．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．14．化简： = 1 ．【考点】诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式利用诱导公式化简，约分后再利用同角三角函数间的基本关系变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式====1．故答案为：1【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15．若且，则与的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直得数量积为零，求出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵，∴（）=0，∴﹣=0，∴ =2．∴cos＜＞==．∴＜＞=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于基础题．16．对于函数的图象：①关于直线对称；②关于点对称；③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的序号是②④．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的图象的周期性、最值、以及图象的对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于函数，①当x=﹣时，求得f（x）=0，不是函数的最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故排除①．②当x=时，求得f（x）=0，故f（x）的图象关于点对称，故②正确．③把y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故③不正确．④把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故④正确，故答案为：②④．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的周期性、最值、以及图象的对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算下列各式：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）=1+×（）﹣=﹣，（2）原式==lg2+lg5﹣3×（﹣3）=1+9=10．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．18．A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）根据角θ的终边与单位交点为（cosθ，sinθ），结合同角三角函数关系和sinθ=，可得B点坐标；（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案．【解答】解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．x=﹣=﹣，即B点坐标为：（2）∵===．【点评】本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用，诱导公式，难度不大，属于基础题．19．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．【考点】平面向量的综合题．【专题】综合题．【分析】（1）先设P（14，y），分别表示，然后由，建立关于y的方程可求y．（2）先设点Q（a，b），则可表示向量，由，可得3a=4b，再由点Q在边AB上可得①②，从而可解a，b，进而可得Q的坐标．（3）由R为线段OQ上的一个动点可设R（4t，3t），且0≤t≤1，则有分别表示，，由向量的数量积整理可得，利用二次函数的知识可求取值范围．【解答】解：（1）设P （14，y ），则，由，得（14，y ）=λ（﹣8，﹣3﹣y ），解得，所以点P （14，﹣7）．（2）设点Q （a ，b ），则，又，则由，得3a=4b①又点Q 在边AB 上，所以，即3a+b ﹣15=0②联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q （4，3）．（3）因为R 为线段OQ 上的一个动点，故设R （4t ，3t ），且0≤t≤1，则，，，，则=，故的取值范围为．【点评】平面向量与函数的综合问题中，向量的数量积、向量的平行一般是作为转化的基本工具，最后转化为函数的问题，二次函数在闭区间上的最值是求解是函数性质应用中容易出现错误的地方．20．已知函数的图象的一部分如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣6，2]时，求函数g （x ）=f （x ）+f （x+2）的单调递增区间．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；复合三角函数的单调性． 【专题】计算题．【分析】（1）由图象知A=2，由可求得ω，又图象经过点（﹣1，0），可求得φ；（2）由f（x）=2sin（x+），可得f（x+2）=2cos（x+），于是g（x）=f（x）+f（x+2）=，从而可求g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由图象知A=2，，∴T=8，∴，得．…又图象经过点（﹣1，0），∴．∵，∴由，得，故函数f（x）的解析式为．…（2）∵g（x）=f（x）+f（x+2）====…由，得8k﹣4≤x≤8k（k∈Z）．又x∈[﹣6，2]，故g（x）的单调递增区间为[﹣4，0]．…【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，A、ω、φ的确定是关键，化简g（x）=是难点．属于中档题．21．现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x为4（万元）时Q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．（Ⅰ）分别求出P，Q与x的函数关系式；（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）设P，Q与x的比例系数分别是k1，k2，则，Q=k2x，根据当x为4（万元）时，P、Q为1（万元），可求出P，Q与x的函数关系式；（Ⅱ）甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3﹣x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元，根据（I）可得利润函数，利用配方法可求最大利润．【解答】解：（I）设P，Q与x的比例系数分别是k1，k2，则，Q=k2x且都过（4，1）…所以：…，…（Ⅱ）设甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3﹣x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元…由题意知： =…所以当=1，即x=1时，y max=1…答：甲在A，B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元..【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确确定函数解析式是关键．22．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（log3x+m），x∈[，3]的最小值为3，求实数m的值；（3）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求得结果；（2）令t=log3x，（﹣1≤t≤1），则y=（t+m﹣1）2+2，由题意可得最小值只能在端点处取得，分别求得m的值，加以检验即可得到所求值；（3）判断f（x）在（2，4）递增，设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为f（x1）﹣f（x2）＜k（x1﹣x2），即有f（x1）﹣kx1＜f（x2）﹣kx2，由题意可得g（x）=f（x）﹣kx在（2，4）递减．由g（x）=x2﹣（2+k）x+3，求得对称轴，由二次函数的单调区间，即可得到所求范围．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0）由f（0）=3得c=3，故f（x）=ax2+bx+3．因为f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，所以a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=2x﹣1．即2ax+a+b=2x﹣1，根据系数对应相等，解得，，所以f（x）=x2﹣2x+3；（2）由于f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，函数y=f（log3x+m）=（log3x+m﹣1）2+2，令t=log3x，（﹣1≤t≤1），则y=（t+m﹣1）2+2，由题意可知最小值只能在端点处取得，若t=1时，取得最小值3，即有m2+2=3，解得m=±1，当m=1时，函数y=t2+2在区间[﹣1，1]的最小值为2，则m=1舍去；当m=﹣1时，函数y=（t﹣2）2+2在区间[﹣1，1]递减，可得t=1时取得最小值且为3；21若t=﹣1时，取得最小值3，即有（m ﹣2）2+2=3，解得m=3或1， 当m=1时，函数y=t 2+2在区间[﹣1，1]的最小值为2，则m=1舍去；当m=3时，函数y=（t+2）2+2在区间[﹣1，1]递增，可得t=﹣1时取得最小值且为3． 综上可得，m 的值为﹣1或3；（3）由于f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2+2， 即有f （x ）在（2，4）递增， 设x 1＞x 2，则f （x 1）＞f （x 2），|f （x 1）﹣f （x 2）|＜k|x 1﹣x 2|即为f （x 1）﹣f （x 2）＜k （x 1﹣x 2），即有f （x 1）﹣kx 1＜f （x 2）﹣kx 2，由题意可得g （x ）=f （x ）﹣kx 在（2，4）递减． 由g （x ）=x 2﹣（2+k ）x+3，对称轴为x=，即有≥4，解得k≥6，则实数k 的取值范围为[6，+∞）．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法和恒等式的结论，考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造法，属于中档题．。

2016-2017学年湖北省部分重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）若集合A={x|x＜3}，B={x|x＞0}，则A∪B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＞0}C．{x|x＜3}D．R2．（5.00分）已知α为锐角，则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角3．（5.00分）对于任意两个向量，，下列说法正确的是（）A．若，满足||＞||，且与同向，则＞B．当实数λ=0时，λ=0C．|•|≤||||D．|﹣|≤||﹣||4．（5.00分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或45．（5.00分）设a=20.3，b=0.32，c=log23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b6．（5.00分）已知=+5，=﹣2+8，=λ（﹣），且A、B、D三点共线，则λ的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣27．（5.00分）某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离．则较符合该同学走法的图是（）A．B．C．D．8．（5.00分）把函数f（x）=sin（﹣3x+）的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A．y=sin（﹣6x）B．y=cos6x C．y=sin（﹣）D．y=sin（﹣﹣x）9．（5.00分）若，是夹角为60°的单位向量，=2+，=﹣3+2，则，的夹角为（）A．120°B．30°C．60°D．150°10．（5.00分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为1 D．K的最小值为111．（5.00分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则•等于（）A．B．C．2 D．312．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，当x∈[π，2π]时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，1]B．（﹣∞，﹣2）C．[﹣，4]D．[﹣2，]二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）点C在线段AB上，且=，=λ，=μ，则λ+μ=．14．（5.00分）某班共有50名学生，通过调查发现有30人同时在张老师和王老师的朋友圈，只有1人不在任何一个老师的朋友圈，且张老师的朋友圈比王老师的朋友圈多7人，则张老师的朋友圈有人．15．（ 5.00分）化简：已知α是第四象限角，则=．16．（5.00分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有五个不同的零点x1，x2，…，x5，则f（x1+x2+…+x5）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求A∩（∁R B）；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C，求实数a的取值集合．18．（12.00分）已知f（a）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且＜α＜，求cosα﹣sinα的值；（3）若α=﹣，求f（α）的值．19．（12.00分）已知=（sin（2x﹣），1），=（，﹣1），f（x）=•．（1）求f（x）的周期及单调减区间．（2）已知x∈[0，]，求f（x）的值域．20．（12.00分）设a是实数，f（x）=a﹣（x∈R）．（1）证明：f（x）是增函数；（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？21．（12.00分）某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R（t）=6t﹣t2（万元），（0＜t≤5），其中t是产品售出的数量（单位：百台）．（说明：①利润=销售收入﹣成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．）（1）把年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？22．（12.00分）如图，在△OAB中，=，=，AD与BC交于点M，设=，=．（1）用，表示；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设=p，=q，求证：+=1．2016-2017学年湖北省部分重点中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）若集合A={x|x＜3}，B={x|x＞0}，则A∪B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＞0}C．{x|x＜3}D．R【分析】作出图象，利用数轴结合并集定义能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜3}，B={x|x＞0}，作出图象，如图：∴结合图象知A∪B=R．故选：D．2．（5.00分）已知α为锐角，则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【解答】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D．3．（5.00分）对于任意两个向量，，下列说法正确的是（）A．若，满足||＞||，且与同向，则＞B．当实数λ=0时，λ=0C．|•|≤||||D．|﹣|≤||﹣||【分析】A，向量不能比较大小；B，当实数λ=0时，λ=；C，|•|=|||cosθ|≤||||；D，|﹣|≥||﹣||；【解答】解：对于A，向量不能比较大小，故错；对于B，当实数λ=0时，λ=，故错；对于C，|•|=|||cosθ|≤||||，故正确；对于D，|﹣|≥||﹣||，故错；故选：C．4．（5.00分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】首先，设扇形的半径为r，弧长为l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圆心角即可．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=6，S=lr=2，∴解得r=2，l=2或r=1，l=4，∴α==1或4，故选：C．5．（5.00分）设a=20.3，b=0.32，c=log23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＜a=20.3＜20.5=，0＜b=0.32＜1，c=log 23＞=，∴c＞a＞b．故选：C．6．（5.00分）已知=+5，=﹣2+8，=λ（﹣），且A、B、D三点共线，则λ的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】由题意，=（λ﹣2）+（8﹣λ），利用A、B、D三点共线，可得方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，=（λ﹣2）+（8﹣λ），∵A、B、D三点共线，∴1×（8﹣λ）=5×（λ﹣2），∴λ=3，故选：A．7．（5.00分）某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离．则较符合该同学走法的图是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，将该同学上学的过程分为四个时间段：第一时间段刚出发，随时间增长他到学校距离越来越近；第二时间段，他返回家里，随时间增长到学校距离越来越远；第三时间段，他呆在家里找作业本，随时间增长他到学校距离不变；第四时间段，他急速往学校跑，随时间增长他到学校距离越来越近，并且图象呈现“直线下降”的锐减趋势．由此可得正确答案．【解答】解：坐标系中，横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离．据此，将该同学上学的过程分为四个时间段：①第一时间段，该同学从家出发往学校走，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，图象呈现减函数的趋势；②第二时间段，该同学在中途返回家里，随时间的增长，他到学校的距离越来越大，图象呈现增函数的趋势；③第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到学校的距离不变是一个常数，图象呈现水平的线段；④第四时间段，该同学从家出发，急速往学校跑，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于他跑的速度很快，故图象呈现“直线下降”的锐减趋势；由以上分析，可知符合题意的图象是D．故选：D．8．（5.00分）把函数f（x）=sin（﹣3x+）的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A．y=sin（﹣6x）B．y=cos6x C．y=sin（﹣）D．y=sin（﹣﹣x）【分析】先根据周期变为原来的2倍时ω的值变为原来的倍得到y=sin（﹣x+），然后根据左加右减的平移原则可得答案．【解答】解：将函数f（x）=sin（﹣3x+）的周期变为为原来的2倍得到y=sin （﹣x+），向右平移个单位长度，得到y=sin[﹣（x﹣）+]=sin（﹣x+）．故选：C．9．（5.00分）若，是夹角为60°的单位向量，=2+，=﹣3+2，则，的夹角为（）A．120°B．30°C．60°D．150°【分析】由已知求出及，，代入数量积求夹角公式得答案．【解答】解：由题意，，且＜＞=60°，且=2+，=﹣3+2，∴==，=．=（2+）（﹣3+2）==．∴cos＜＞=．则，的夹角为120°．故选：A．10．（5.00分）设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为1 D．K的最小值为1【分析】由已知中函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），则f（x）的最大值小于等于M，求出函数的值域，即可确定满足条件的M的范围，进而得到答案．【解答】解：∵函数的值域为（0，2]由已知中函数，结合对于函数定义域内的任意x，恒有f K（x）=f（x），故M≥2即K的最小值为故选：B．11．（5.00分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则•等于（）A．B．C．2 D．3【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义•=||||，•=||2，即可得到答案．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，因此，•=||||=||2=2，同理可得•=||2=，∴•=•﹣•=﹣2=．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，当x∈[π，2π]时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，1]B．（﹣∞，﹣2）C．[﹣，4]D．[﹣2，]【分析】由x=时f（x）取得最大值1，从而有8ω=12k+4，k∈Z，又由题意可得≥且≥，可得0＜ω≤，从而可求ω的值；令t=x﹣，可求f（x ）的值域为[，1]，由题意可得，从而解得实数m 的取值范围．【解答】解：由已知条件知，x=时f （x ）取得最大值1，从而有ω•﹣=2kπ+，k ∈Z ，即8ω=12k +4，k ∈Z ，又由题意可得该函数的最小正周期T 满足：≥且≥，于是有T ≥，0＜ω≤，满足0＜12k +4≤6的正整数k 的值为0，于是ω=， 令t=x ﹣，因为x ∈[π，2π]，得t ∈[，]，由y=sint ，t ∈[，]，得y ∈[，1]，即f （x ）的值域为[，1]，由于x ∈[π，2π]时，不等式m ﹣3≤f （x ）≤m +3恒成立， 故有，解得﹣2≤m ，即m 的取值范围是[﹣2，]． 故选：D ．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）点C 在线段AB 上，且=，=λ，=μ，则λ+μ=．【分析】分别表示出=，=﹣，求出λ，μ的值，作和即可． 【解答】解：点C 在线段AB 上，且=，故可设|AB |=7，则|AC |=5，|CB |=2，则=，=﹣，故λ=，μ=﹣， 故λ+μ=，故答案为：．14．（5.00分）某班共有50名学生，通过调查发现有30人同时在张老师和王老师的朋友圈，只有1人不在任何一个老师的朋友圈，且张老师的朋友圈比王老师的朋友圈多7人，则张老师的朋友圈有43人．【分析】设张老师的朋友圈有x人，王老师的朋友圈有x﹣7人，由题意，x+x﹣7﹣30+1=50，即可得出结论．【解答】解：设张老师的朋友圈有x人，王老师的朋友圈有x﹣7人，由题意，x+x﹣7﹣30+1=50，∴x=43，故答案为43．15．（5.00分）化简：已知α是第四象限角，则= cosα﹣sinα．【分析】根据同角三角函数关系式以及角象限符号的判断化简即可．【解答】解：由=cosα+sinα=cosα+，∵α是第四象限角，∴|cosα|=cosα，|sinα|=﹣sinα，故得=cosα﹣sinα，故答案为：cosα﹣sinα，16．（5.00分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有五个不同的零点x1，x2，…，x5，则f（x1+x2+…+x5）=log512．【分析】由函数的解析式可得，函数f（x）的图象关于直线x=3对称，再由题意可得，五个不等实根x1，x2，…，x5，有一个是3，其余4个关于直线x=3对称，故有x1+x2+…+x5=15，再根据f（x1+x2+…+x5）=f（15），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）=，故有f（3）=3．根据当x＞3时，f（x）=log5（x﹣3），当x＜3时，f（x）=log5（3﹣x），画出函数图象，如图所示，可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称．再根据关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x1，x2， (x5)f（x）=3时，方程f（x）=3有3个根，当f（x）=t，（t≠3）时，方程有2个不同的根，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）﹣3=0有五个不等实根x1，x2，…，x5，有一个是3，其余4个关于直线x=3对称∴x1+x2+…+x5 =15，∴f（x1+x2+…+x5）=f（15）=log512故答案为log512．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求A∩（∁R B）；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C，求实数a的取值集合．【分析】（1）由指数函数、对数函数的单调性分别求出集合A、B，由补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出A∩（∁R B）；（2）由C∩A=C得C⊆A，根据条件对a分类讨论，分别由子集的定义求出a的范围，最后并在一起求出实数a的取值集合．【解答】解：（1）集合A={x|3≤3x≤27}={x|3≤3x≤33}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|log2x＞}={x|x＞2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}；（2）∵C∩A=C，∴C⊆A，①当a≤1时，C=∅，此时C⊆A；②当a＞1时，集合C={x|1＜x＜a}，C⊆A，则1＜a≤3，综上可得，实数a的取值集合是（﹣∞，3]．18．（12.00分）已知f（a）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且＜α＜，求cosα﹣sinα的值；（3）若α=﹣，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式即可化简得解．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求（cosα﹣sinα）2=．结合范围＜α＜，可求cosα﹣sinα＜0，开方即可得解．（3）利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（a）===sinα•cosα (4)分（2）∵若f（α）=sinα•cosα=，可知，（cosα﹣sinα）2=cos2α﹣2s inαcosα+sin2α=1﹣2cosαsinα=1﹣2×=…6分又∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，∴cosα﹣sinα=﹣…8分（3）∵α=﹣=﹣6×，∴f（﹣）=cos（﹣）sin（﹣）=cos（﹣6×）sin（﹣6×）=cos sin==﹣…12分19．（12.00分）已知=（sin（2x﹣），1），=（，﹣1），f（x）=•．（1）求f（x）的周期及单调减区间．（2）已知x∈[0，]，求f（x）的值域．【分析】（1）根据平面向量的数量积求出f（x），再求f（x）的周期和单调减区间；（2）根据x∈[0，]时2x﹣的范围，求出f（x）的最值即得值域．【解答】解：（1）=（sin（2x﹣），1），=（，﹣1），∴f（x）=•=sin（2x﹣）﹣1；∴f（x）的周期为T==π，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）x∈[0，]时，0≤2x≤π，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最小值为×（﹣）﹣1=﹣，最大值为×1﹣1=﹣1，∴f（x）的值域为[﹣，﹣1]．20．（12.00分）设a是实数，f（x）=a﹣（x∈R）．（1）证明：f（x）是增函数；（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？【分析】（1）运用单调性的定义，设值、作差、变形和定符号、下结论等；（2）运用定义法，若f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，化简整理，解方程即可得到a的值．【解答】解：（1）证明：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a﹣﹣（a﹣）=，由m＜n，可得2m＜2n，则（2m+1）（2n+1）＞0，2m﹣2n＜0．即有f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则f（x）在R上为增函数；（2）存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数．若f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，即有a﹣+a﹣=2a﹣（+）=2a﹣2=0，解得a=1．21．（12.00分）某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R（t）=6t﹣t2（万元），（0＜t≤5），其中t是产品售出的数量（单位：百台）．（说明：①利润=销售收入﹣成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．）（1）把年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？【分析】（1）利润函数y=销售收入函数R（x）﹣成本函数，讨论x的大小，利用分段函数表示出年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；（2）由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，比较两段的最大值即可求出所求．【解答】解：（1）当0＜x≤5时f（x）=6x﹣x2﹣0.5﹣2.5x=﹣x2+3.5x﹣0.5（3分）当x＞5时f（x）=6×5﹣×52﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x（5分）即f（x）=（6分）（2）当0＜x≤5时f（x）=﹣（x2﹣7x+1）=﹣（x﹣）2+（9分）∴当x=3.5∈（0，5]时，f（x）max==5.625当x＞5时，f（x）为（5，+∞）上的减函数f（x）＜f（5）=17﹣2.5×5=4.5又5.625＞4.5（11分）∴f（x）max=f（3.5）=5.625故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．（12分）22．（12.00分）如图，在△OAB中，=，=，AD与BC交于点M，设=，=．（1）用，表示；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设=p，=q，求证：+=1．【分析】（1）设设=x+y，根据三点共线原理和平面向量的基本定理，列方程求出x，y即可得出答案；（2）由=p ，=q 可得：=，=，结合（1）中=+，即可得出结论．【解答】解：（1）设=x+y，由=得：=4x+y，∵C，M，B三点共线，∴4x+y=1，由=，得：=x+2y，∵A，M，D三点共线，∴x+2y=1，解得：，∴=+．证明（2）∵=p ，=q，∴=，=，∴=+．∵E，M，F三点共线，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴+=1．。