圆的方程复习教案

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

圆的方程的数学教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的标准方程和一般方程的概念；（2）学会用圆的方程解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解圆的方程的内涵。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、合作学习的精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的标准方程和一般方程的表示方法；（2）圆的方程在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）圆的方程的推导过程；（2）圆的方程解决实际问题的方法。

三、教学准备1. 教师准备：（1）圆的方程的相关理论知识；（2）实际问题案例。

2. 学生准备：（1）掌握基本的代数知识；（2）具备一定的几何知识。

四、教学过程1. 导入新课（1）利用圆的模型引入圆的概念；（2）引导学生思考如何用数学语言表示圆。

2. 知识讲解（1）讲解圆的标准方程和一般方程的定义；（2）引导学生理解圆的方程的推导过程。

3. 案例分析（1）给出实际问题案例，让学生运用圆的方程解决；（2）引导学生总结解决实际问题的方法。

4. 课堂练习（1）布置有关圆的方程的练习题；（2）让学生独立完成，教师批改并及时反馈。

5. 总结拓展（1）总结本节课的主要内容和知识点；（2）提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

五、课后作业1. 完成课后练习题；2. 搜集生活中的圆的实例，尝试用圆的方程表示。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对圆的方程的理解程度；2. 练习题：通过课后练习题的完成情况，评估学生对圆的方程的掌握情况；3. 生活实例：收集学生在生活中找到的圆的实例，评估学生对圆的方程的实际应用能力。

七、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对圆的方程的理解程度；2. 教学方法的适用性；3. 学生的学习兴趣和参与度；4. 教学内容的难易程度；5. 针对教学反思的结果，对教学进行调整和改进。

初中圆的方程教案
教学目标：
1. 了解圆的方程的概念和意义。

2. 学会用圆的标准方程和一般方程表示圆。

3. 能够熟练地运用圆的方程解决实际问题。

教学重点：
1. 圆的方程的概念和意义。

2. 圆的标准方程和一般方程的表示方法。

3. 运用圆的方程解决实际问题。

教学准备：
1. 教学课件或黑板。

2. 圆的模型或图片。

3. 练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 向学生介绍圆的概念，引导学生回顾圆的性质。

2. 提问：圆有什么特殊的性质？我们可以用什么方式来表示圆？
二、新课讲解（15分钟）
1. 介绍圆的方程的概念和意义。

2. 讲解圆的标准方程和一般方程的表示方法。

3. 通过示例，让学生理解圆的方程的含义和运用。

三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固对圆的方程的理解。

2. 引导学生运用圆的方程解决实际问题。

四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握圆的方程的概念和表示方法。

2. 引导学生思考圆的方程在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

教学反思：
本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展环节，让学生了解了圆的方程的概念和意义，学会了用圆的标准方程和一般方程表示圆，并能够运用圆的方程解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生积极参与，通过示例和练习题让学生充分理解和掌握圆的方程的表示方法。

同时，也要注重培养学生的思维能力和实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。

圆的标准方程教案圆的标准方程教案1教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论________于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点圆的标准方程的应用。

教学方法选用引导?探究式的教学方法。

教学手段借助多媒体进行辅助教学。

教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。

请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。

⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。

［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。

用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。

［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。

即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得即：（x-a）2+(y-b)2= r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

第三节 圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素． (2)掌握圆的标准方程与一般方程．知识点一 圆的方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心C (a ，b ) 半径为r一般,x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径r ＝12D 2＋E 2－4F易误提醒 (1)标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)中易忽视右端为半径r 的平方，而不是半径．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F >0这一成立条件． 必备方法 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[自测练习]1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：B2．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． 解析：法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 知识点二 点与圆的位置关系1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． 2．三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．易误提醒 若圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，点M (x 0，y 0)．注意点M 与圆的位置关系满足条件．[自测练习]3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1解析：因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1. 答案：A考点一 圆的方程|1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10解析：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.答案：C3．(2015·广州测试)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．考点二 与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：1．斜率型最值问题． 2．截距型最值问题． 3．距离型最值问题． 4．距离和(差)的最值问题． 5．利用目标函数求最值． 探究一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.探究二 截距型最值问题2．在[探究一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 探究三 距离型最值问题3．在[探究一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.探究四 距离和(差)最值问题4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′2C 2与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C ′2C 2|－1－3＝52－4.答案：A探究五 利用目标函数求最值5．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析：将x 2＋y 2－2y －5＝0化为x 2＋(y －1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax ＋by ＋c －1＝0得b ＋c ＝1.∴4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ·bc＝9. 答案：A求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三 与圆有关的轨迹问题|已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程． (2)定义法：根据圆的定义写出方程． (3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(2016·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A25.方程思想在圆中的应用【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[思维点拨] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．[解] 法一：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D ×(3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D ×(3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.[方法点评] (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．[跟踪练习] 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43A 组 考点能力演练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：B2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，选C.答案：C3．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.答案：A4．(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2.答案：C6．(2016·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：27．若圆C ：x 2－2mx ＋y 2－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －m )2＝m 2＋m －2，依题意有⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，m ≤m 2＋m －2，得m ≥ 2.m ≥0.答案：[2，＋∞)8．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.9．(2016·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上． (1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解：(1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)， 圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<O ，则x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}． 10．(2016·唐山一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解：(1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN (图略)，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23.则k OB＝±2 2，kAB＝∓2，则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.B组高考题型专练1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1，∴△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：B3．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝14．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254。

圆的一般方程教案一、教学目标知识与技能1、在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能由已知条件用待定系数法求圆的方程。

过程与方法通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

二、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；根据已知条件确定方程中的系数：D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、理解和运用.三、教学过程（一）复习回顾复习回顾上节课所学的圆的标准方程，由标准方程指出圆的圆心坐标与半径。

然后引导学生在草稿纸上，将圆的标准方程展开，通过动手实践，观察展开后的方程特征，引入本节课内容——圆的一般方程.（二）新知探究1、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0在什么条件下表示的圆？（1）当2240D E F +->时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （2）当时 ，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 （3）当 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示 2、方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆 只有当2240D E F +->时，2240D E F +-=2240D E F +-<它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？3、当D=0，E=0或F=0时，圆 的位置分别有什么特点？ 设计意图：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究, 理解并掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．（三）巩固练习总结出圆的一般方程的特点之后，利用5个巩固练习来强化学生对圆的一般方程的理解，然后归纳圆的标准方程与一般方程各自特点，进行对比记忆。

圆的方程教案圆的方程教案一、教学目标1. 理解圆的定义和性质。

2. 掌握圆的标准方程和一般方程的求解方法。

3. 运用圆的方程解决相关问题。

二、教学重点1. 圆的标准方程的推导过程。

2. 圆的一般方程和标准方程之间的转化。

三、教学内容1. 圆的定义和性质（1）定义：平面上到定点的距离等于一个定值的点的轨迹叫做圆。

（2）性质：所有到圆心距离相等的点，都在圆上；圆心到圆上任何一点的距离都相等；过圆心的直径为直径的两个端点都在圆上。

2. 圆的方程（1）圆的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦。

（2）圆的标准方程：已知圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。

（3）圆的一般方程：圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

四、教学方法1. 示范教学法：通过示例讲解圆的标准方程和一般方程的推导过程，引导学生理解和掌握。

2. 合作探究法：让学生自主探究圆的性质和方程推导的过程，在小组合作中进行讨论和总结。

3. 实践运用法：通过解决具体问题和应用题，培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。

五、教学步骤1. 引入新知识：介绍圆的定义和性质，激发学生的兴趣。

2. 学习圆的标准方程：通过示例演示，引导学生理解圆的标准方程，并进行练习。

3. 学习圆的一般方程：通过讲解和练习，引导学生掌握圆的一般方程和标准方程之间的转化。

4. 小组探究：让学生自主分组，通过观察和讨论，总结圆的性质和方程的特点。

5. 巩固练习：组织学生进行练习题，巩固所学的知识和技能。

6. 拓展应用：通过一些实际问题和应用题，培养学生的综合应用能力。

7. 总结归纳：对所学的知识进行总结归纳，做重点概括和提醒。

六、教学评价1. 观察学生的学习状态，了解学生对课堂内容的理解和掌握程度。

2. 收集学生的练习和作业，对学生的答题能力和解题思路进行评价。

圆的标准方程教案一、引言在平面几何中，圆是常见的几何形状之一。

掌握圆的性质和常用的表示方法对于学生的几何学习至关重要。

本教案旨在介绍圆的标准方程的概念、推导过程和应用方法，以帮助学生深入理解圆的方程。

二、背景知识在开始讲解圆的标准方程之前，学生需要掌握一些基本的几何概念和公式，包括：1. 圆的定义：圆是由到圆心距离等于半径的所有点构成的集合。

2. 圆的半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，长度为圆的半径。

3. 圆的直径：连接圆上任意两点并经过圆心的线段，长度为圆的直径，是半径的两倍。

4. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

5. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

三、圆的标准方程的定义圆的标准方程是指用代数表达式表示圆的方程。

对于圆而言，标准方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

四、圆的标准方程的推导过程我们可以通过几何推导和代数运算来得到圆的标准方程。

1. 推导过程：（详细推导过程省略）2. 圆的标准方程的一般形式：(x - h)² + (y - k)² = r²五、应用方法圆的标准方程可以用于解决各类与圆相关的问题。

下面以几个例子来说明：例1：已知圆心坐标为(2, -1)，半径为3，求圆的标准方程。

解：根据圆的标准方程的一般形式，代入已知条件得：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9例2：已知圆的标准方程为(x + 1)² + (y - 3)² = 25，求圆心坐标和半径。

解：根据圆的标准方程的一般形式可得：圆心坐标为(-1, 3)，半径r为√25 = 5。

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义和圆的方程2. 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内．高频考点一 求圆的方程例1、(1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)根据下列条件，求圆的方程．①经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； ②圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．②方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．【变式探究】(1)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．(2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________． 答案 (1)x 2＋(y －1)2＝1 (2)(x －3)2＋y 2＝2解析 (1)由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)， 半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 高频考点二 与圆有关的最值问题例2、已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________． 答案3 － 3【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 【变式探究】(1)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.(2)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． ①求|MQ |的最大值和最小值； ②若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．变式探究三 与圆有关的轨迹问题例3、设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．【感悟提升】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【变式探究】已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．1.已知直线l：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4【解析】由60x -+=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．1.【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=，故选D.2.【2015高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=，故填：250x y +-=.3.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y-+-=；（Ⅱ）1--令0x=得：1)B.设圆C在点B处的切线方程为1)kxy-=，则圆心C到其距离为：d==1k=.即圆C在点B处的切线方程为x1)y=+，于是令0y=可得x1=，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为1-故应填22(1)(2x y-+-=和1-3.【2015高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650x y x+-+=相交于不同的两点A，B．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L:()4y k x=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫⎝⎛-yx⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x；（3）存在，752752≤≤-k或34k=±．即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x .结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当07k ≤≤或34k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 1．（2014·福建卷）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20，∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52， 则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ， P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－9故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163. 4．(2013年高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2541．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4答案 A2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 ( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即＋a2＋＋2＞2a，所以原点在圆外．3．已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为 ( )A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4答案 B4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为 ( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25答案 A解析 由圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a ，a ＞0.又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PO →·PA →的最小值为________．答案 4解析 圆心O 到直线x －2y ＋5＝0的距离为55＝5， 即|PO →|min ＝ 5.∵PA 与圆O 相切，∴PA ⊥OA ，即PA →·AO →＝0，∴PO →·PA →＝(PA →＋AO →)·PA →＝PA →2＝|PO →|2－|AO →|2≥5－1＝4.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则：(1)b ＝________；(2)λ＝________.答案 (1)－12 (2)12解析 (1)因为点M 为圆O 上任意一点，所以不妨取圆O 与x 轴的两个交点(－1,0)和(1,0)．当M 点取(－1,0)时，由|MB |＝λ|MA |，得|b ＋1|＝λ；当M 点取(1,0)时，由|MB |＝λ|MA |，得|b －1|＝3λ.消去λ，得|b －1|＝3|b ＋1|.两边平方，化简得2b 2＋5b ＋2＝0， 解得b ＝－12或b ＝－2(舍去)．(2)由|b ＋1|＝λ，得λ＝12.9．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.。