二次根式辅导资料

的加减乘除运算以及混合运算考查形知识梳理 一、二次根式 1．概念形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a ≥0. 二、二次根式的性质 1．(a )2＝a (______)．2．a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ≥0)， (a <0).3．ab ＝______(a ≥0，b ≥0)．4．a b＝______(a ≥0，b ＞0)．三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a ≥0，b ≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a ≥0，b ＞0)．自主测试1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A ．18B ．27C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝65．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间6．化简：27－12＋43.考点一、二次根式有意义的条件【例1】若使x ＋12－x有意义，则x 的取值范围是________．解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x >0，解得－1≤x ＜2.答案：－1≤x ＜2方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．触类旁通1 要使式子a ＋2a有意义，则a 的取值范围为__________．考点二、二次根式的性质【例2】把二次根式a －1a化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a解析：要使a －1a 有意义，必须－1a＞0，即a ＜0.所以a －1a ＝a －a a 2＝a －a－a＝－－a .答案：B方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．触类旁通2 如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12考点三、最简二次根式与同类二次根式【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．2x 2B ．b 2＋1C ．4aD ．1x(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( ) A ．2a B ．3a 2 C ．a 3 D ．a 4解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2，结合同类二次根式的概念，可得出a 3与a 是同类二次根式．答案：(1)B (2)C方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．触类旁通3 若最简二次根式a ＋b3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算【例4】计算：(50－8)÷ 2.解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤22．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)，则有( )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－54．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 012的值是__________． 5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)1．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 52．估计8×12＋3的运算结果在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间3．若a ＜1，化简(a －1)2－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( ) A ．2 011 B ．2 010 C ．2 012 D ．2 0095．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－ 2C ．5－ 3D ．2 26．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.7．当－1＜x ＜3时，化简：(x －3)2＋x 2＋2x ＋1＝__________.8．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．9．计算：(－3)0＋12×3＝__________.10．计算：⎝⎛⎭⎫13－1－23－(π－2)0＋|－1|.11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案导学必备知识 自主测试1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62.4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间．6．解：原式＝33－23＋233＝⎝⎛⎭⎫3－2＋233＝533. 探究考点方法触类旁通1．a ≥－2且a ≠0 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a ≠0，解得a ≥－2且a ≠0.触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，所以1－2a ≥0，解得a ≤12，故选B.触类旁通3．1 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＝a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. ∴ab ＝1.品鉴经典考题1．C 因为二次根式有意义，则2x －4≥0，所以x ≥2.2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间．3．A m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)＝233×21＝23×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5＜28＜6，即5＜m ＜6，故选A.4．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝⎛⎭⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 5．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．研习预测试题 1．C A 项中2与3不是同类二次根式，B 项中2与2不是同类二次根式，C 项中32－2＝(3－1)2＝22，D 项中原式＝124－104＝3－52＝3－102.2．C原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4.3．D(a－1)2－1＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a.4．C由算术平方根的意义知，a≥2 012，则2 011－a＜0，∴a－2 011＋a－2 012＝a.∴a－2 012＝2 011.∴a－2 012＝2 0112，∴a－2 0112＝2 012.5．A原式＝2×22－6×33＋22＝2－23＋22＝32－2 3.6．1因为由题意得x＋1＝0，y－2 012＝0，所以x＝－1，y＝2 012，所以x y＝(－1)2 012＝1.7．4原式＝(x－3)2＋(x＋1)2＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4.8．x＞39．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7.10．解：原式＝3－23－1＋1＝－ 3.11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2.12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.。