天大2014-2015-01线性代数及其应用期末试题A卷(16开)

201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.本题满分15分 本题得分二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.本题满分15分 本题得分三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为 零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分本题满分21分本题得分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分本题满分16分 本题得分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分本题满分12分本题得分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ， 正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη， 单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分 本题满分14分本题 得分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 2 分，共 10 分）1311.若05x0，则。

122x1x2x302 ．若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C(c ij ) s n，满足AC CB，则A与B分别是阶矩阵。

a11a124．矩阵A a21a22的行向量组线性。

a31a325．n阶方阵A满足A23A E0，则A1。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×” 。

每小题 2 分，共10分）1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0。

（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3.向量组 a1， a2，， a m中，如果 a1与 a m对应的分量成比例，则向量组a1， a2，， a s线性相关。

（）01004.1000A 。

（A00，则A1）0100105.若为可逆矩阵 A 的特征值，则 A 1的特征值为。

( )三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2 分，共 10分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，则 A A T（）。

① 2n② 2 n 1③ 2n 1④ 42.n 维向量组1，2，，s（ 3 s n）线性无关的充要条件是（）。

①1，2，，s中任意两个向量都线性无关②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ 1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ()。

① 任意 n 个 n1维向量线性相关② 任意 n 个 n 1维向量线性无关③ 任意④ 任意 n 1个 n n 1个 n维向量线性相关维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是()。

① 若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆 ② 若 A ， B 均可逆，则 AB 可逆③ 若 A B 可逆，则 A B 可逆④ 若 AB 可逆，则A ，B 均可逆5. 若 1， 2，3，4 是线性方程组 A0 的基础解系，则1 2 34 是 A0 的（）① 解向量② 基础解系③ 通解④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9 分，共 63 分)x ab c d1. 计算行列式a xb cd 。