第五章三角函数5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

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教学重点任意角的三角函数的定义及定义域
教学难点判断三角函数在各象限的正负号，求任意角的三角函数值教学方法讨论、启发、设问
教学手段
教具
教案、板书
主要教学内容及步骤时间分配（分钟）
一、组织教学
二、导入新课
三、讲授新课
四、课堂小结
五、布置作业1＇2＇74＇2＇1＇
板书设计
第五章三角函数
5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、三角函数
二、定义域
三、练习
四、正负号
五、练习
讨论
思考题
作业
P114 练习1、3、4T
教学
后记
教学
过程
教学内容旁注
组织教学
导入新课
学生回答
讲授新课
板书阐述
板书阐述
上课准备，师生互相问好。

问题
在Rt ABC
中，
sinα=、cosα=、tanα=．
拓展
将Rt ABC
放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合，AC边在x轴
的正半轴上．三角函数的定义可以写作
sinα=、cosα=、tanα=．
第五章三角函数
5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
一、三角函数
设α是任意大小的角，点(,)
P x y为角α的终
边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的
距离为22
r x y
=+，那么角α的正弦、余弦、正
切分别定义为
sin
y
r
α=；cos
x
r
α=；tan
y
x
α=．
说明
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，
角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为
自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
A
B
C
a
b
c
α
(A)
(B)
M
x
P r
=
横坐标
到原点的距离
α
O
P(x,y)
(C)
y
r
x
x
y
αx
y
P(x,y)
O
r
M
学生分析
板书
板书分析
板书
由定义可以看出：当角α的终边在y轴上时，
π
π()
2
k k
α=+∈Z，终边上任意一点的横坐标x的值都等于0，此时tan
y
x
α=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义．
二、定义域
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
三角函数定义域
sinαR
cosαR
tanα｛α︱π
π,
2
k k
α≠+∈Z｝
当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α为自变量的函数．
三、练习
例1 已知角α的终边经过点(2,3)
P-，求角α的正弦、余弦、正切值．
分析已知角α终边上一点P的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据关系式22
r x y
=+，求出点P到坐标原点的距离r，然后根据三角函数定义进行计算．
解因为2
x=，3
y=-，所以22
2(3)13
r=+-=，因此
333
sin
13
13
y
r
α
-
===-，
2213
cos
13
13
x
r
α===，
3
tan
2
y
x
α==-．
四、正负号
由于0
r>，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．当角α的终边在第一象限时，点P在第一象限，0,0
x y
>>，所以，sin0,cos0,tan0
ααα
>>>；
当角α的终边在第二象限时，点P在第二象限，0,0
x y
<>，所以，sin0,cos0,tan0
ααα
><<；
当角α的终边在第三象限时，点P在第三象限，0,0
x y
<<，所以，sin0,cos0,tan0
ααα
<<>；
归纳
板书分析
分析
课堂小结
作业布置
当角α的终边在第四象限时，点P在第四象限，0,0
x y
><，所以，sin0,cos0,tan0
ααα
<><．
归纳
任意角的三角函数值的正负号如下图所示．
五、练习
例2判定下列角的各三角函数正负号：
（1）4327º；（2）
27
5
π
．
分析判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所在的象限．
解（1）因为4327123607
=⨯+
，所以，4327º角为第一象限角，故sin43270
>
，cos43270
>
，tan43270
>
．
（2）因为
27
22
5
ππ
=⨯π
7
+
5
，所以，
27
5
π
角为第三象限角，故
27
sin0
π
<
5
，
27
cos0
π
<
5
，
27
tan0
π
>
5
．
例3根据条件sin0
θ<且tan0
θ<，确定θ是第几象限的角．
分析sin0
θ<时，θ是第三象限的角、第四象限的角或θ的终边在y轴的负半轴上的界限角)；tan0
θ<时，θ是第二或第四象限的角．同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．
解θ取角的公共范围得θ为第四象限的角．
通过本次课程理解任意角的三角函数的定义及定义域，理解三角函数在各象限的正负号，掌握界限角的三角函数值，会利用定义求任意角的三角函数值，培养学生的观察能力。

P114 练习1、3、4T
+
+
--
x
y
+
+
-
-+
+
-
-
x x
y y
sinαcosαtanα。

《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)

象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )

安徽省对口高考复习第五章三角函数

第五章三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边角的终边角的顶点正角负角零角第几象限角界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角弧度制角度与弧度的换算公式特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆平方关系商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象周期函数周期最小正周期正弦曲线有界性有界函数无界函数正弦函数性质五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角阅读与欣赏光周期现象及其应用第一章三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期正弦型函数计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律正弦型曲线五点规律振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量三角函数角概念推广弧度制终边相同角定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。

任意角的正弦函数、余弦函数的定义

周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数，它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数呈现出波形变化的特点，即随着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用，例如在信号处理和振动分析等领域。