整式同步教学讲义

第2讲 整式乘法1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.知识点01单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识拓展1】计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．知识精讲目标导航【即学即练1】 计算： （1）()()121232n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----．知识点02单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识拓展1】 计算： （1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【即学即练1】 224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【即学即练2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【知识拓展2】计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【知识拓展3】化简求值： （1）已知()2352122=-+-，求代数式a b ab a a b a b 的值（2）已知33202()48+=+++-，求a b a ab a b b 的值.（3）已知210+-=m m ，求3222010++m m 的值.【知识拓展4】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【知识拓展1】计算：（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-； （4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【知识拓展2】求方程(1)(21)(21)(2)x x x x -+=-+的解．【即学即练1】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【知识拓展3】若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【即学即练1】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6， 求a 、b ．1.已知(m - x )⋅ (-x ) + n (x + m ) = x 2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立， 求 m (n -1) + n (m +1) 的值．能力拓展2.已知a + 2b = 0 ，求a 3 + 2ab (a + b ) + 4b 3 - 8 的值．3.已知(x + ay )(x + by ) = x 2 - 4xy - 6y 2 ，求代数式3(a + b ) - 2ab 的值．4.(x + y + z )4的乘积展开式中，各项系数之和是．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·北京市第一六一中学分校七年级期中）化简8(21)x --的结果是（ ） A ．161x --B ．161x -+C ．168x -+D ．168x --2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中）如图所示，一块“L ”型菜地，小新在求菜地面积的面积时，列出了下列4个式子，其中错误的是（ ）A ．()ab a c a +-B ．()ac a b a +-C ．ab ac +D ．()()bc c a b a ---4．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）如图，阴影部分的面积是（ ）A ．112xy B ．132xy C ．6xy D ．3xy分层提分5．（2021·北京市第三十五中学七年级期中）规定新运算“ω”的运算规则为：aωb=3a－2b，则(x+y)ω(x－y)等于（）A．x+y B．x+2yC．2x+2y D．x+5y6．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2二、填空题7．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：23(66)32ab ab a b--+＝______．8．（2021·北京市三帆中学七年级期中）如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含x的式子表示），面积表达式是_____次三项式．9．（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的占地面积之和是______．（用含x、y的代数式表示）三、解答题10．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中）为庆祝六一儿童节，某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图（1）），推出了一系列优惠活动，购买此书籍则赠送如图（2）所示的精致矩形包书纸.在图（2）的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸正好可以包好图（1）中的《世界经典童话》这本书，该书的长为24 cm ，宽为17 cm ，厚度为2 cm ．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm ．（1）该包书纸的长为_____________cm ，宽为___________cm （用含a 的代数式表示）； （2）当a =2时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．11．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）填空：()()23a a ++= ；()()23a a +-= ； ()()35a a ++= ；()()35a a --= ；（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果：()()x a x b ++= ； （2）运用上述结果，写出下列各题结果： ①()()20121000x x +-= ； ②()()20122000x x --=题组B 能力提升练一、填空题1．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，我们知道（a+b ）n 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n +1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，照此规律，计算：65423262152202152621+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=__________；2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若22(4)(3)x mx x x n ++-+展开后不含3x 和x 项，则m n +的值为___．3．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：211(4)(2)42x x x ++-=__． 二、解答题4．（2022·全国·七年级）计算（1）232232213(-)334()a b ab a b （2）223-53()-6a ab a （3）()()223x x -+5．（2021·全国·七年级专题练习）已知28x px ++与23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求,p q 的值．6．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a +b ）n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a +b ）0＝1，它只有一项，系数为1；（a +b ）1＝a +b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．7.（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 ac bd =ad bc -，如 12 34=14232⨯-⨯=-．（1）若11x x +-11x x -+=4，求x 的值；（2）若1x m nx +-121x x -+的值与x 无关，求n m 值．8．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设123456788a =，那么2(1)(2)2x a a a a =+-=--2(1)y a a a a =-=-22(2)()20x y a a a a -=----=-<x y ∴<看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，20072008200720122007200920072011y =⨯-⨯，试比较x ，y 的大小．9．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．102．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律，写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042 3．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④二、填空题4．（2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中）数学兴趣小组发现：（x －1）（x ＋1）＝x 2－1（x －1）（x 2＋x ＋1）＝x 3－1（x －1）（x 3＋x 2＋x ＋1）＝x 4－1利用你发现的规律：求：20212020201977771+++⋯++＝__________5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．6．（2021·全国·七年级专题练习）若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则=a ___________． 7．（2021·浙江南浔·七年级期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a 的正方形EFGH 四周分别放置四个边长为b 的小正方形，构造了一个大正方形ABCD ，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作1S ，每一个边长为b 的小正方形面积记作2S ，若126S S =，则a b的值是______．三、解答题8．（2020·重庆文德中学校七年级期中）数学上，我们把a bc d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，例23=2534245⨯-⨯=-，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： （1）64132-=___________；（2）计算：12569798+++347899100（3）已知实数a b ，满足行列式2 15 1a a b a -=-+-，求代数式534222a b ab ab b --+-+的值．9．（2021·江苏锡山·七年级期中）（感悟数学方法）已知：2A ab a =-，2B ab a b =-++．（1）计算：52A B -；（2）若52A B -的值与字母b 的取值无关，求a 的值．（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m 元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m 的值．10．（2020·河南·七年级期中）已知x y 、为有理数，现规定一种新运算#，满足3#2x y xy x =-． ()1求(2)#4-的值；()2求()1#3#2⎡⎤⎣⎦-的值；()30a ≠，探索#)(a b c +与##a b a c +两个式子是否相等，说明理由．11．（2021·贵州织金·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．（1）填空：若某户居民2月份用水34m ，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水38m ，则3月份应收水费______元；（2）若该户居民4月份用水量3m a （a 在6至310m 之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为36m ，水费12元；另外一部分用水量为______3m ，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用a 的整式表示并化简）（3）若该户居民5月份用水3m (10)x x >，求该户居民5月份共交水费多少元？（用x 的整式表示并化简）12．（2021·全国·七年级单元测试）在长方形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b （a b >）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，当42AD AB -=时求21S S -的值（用含a 、b 的代数式表示）．13．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．。

《10.1 整式》讲义一、整式的概念在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的式子。

整式，就是其中一种非常重要的表达式。

整式是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做整式。

比如，5x、2y²、－3 等都是整式。

这里要注意的是，分母中含有字母的式子不是整式，因为它们不符合整式的定义。

二、整式的分类整式可以分为单项式和多项式。

（一）单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，单项式 5x 的系数是 5，次数是 1；单项式－2xy²的系数是－2，次数是 3。

（二）多项式几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

比如，多项式 2x²＋ 3x 1 中，有三项，分别是 2x²、3x 和－1，其中－1 是常数项，这个多项式的次数是 2。

三、整式的运算（一）整式的加减整式的加减其实就是合并同类项。

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如，5x²y 和－3x²y 是同类项，可以合并为 2x²y。

在进行整式加减运算时，先去括号，如果括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。

然后再合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

（二）整式的乘法1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如，2x·3y ＝ 6xy。

2、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

【答案】B
B．a
C．
ab 3a
D． x2 y2
【解析】
【分析】
根据单项式的定义判断即可得出答案．
【详解】
解：A、
5 x
不是单项式，不符合题意；
B、 a 是单项式，符合题意；
C、
ab 3a
不是单项式，不符合题意；
D、 x2 y2 是多项式，不是单项式，不符合题意，
故答案选 B． 【点睛】 本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字 或一个字母也是单项式，且单项式是整式．
D．3 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式的定义即可得出答案．
【详解】
代数式 a，－2ab，x+y，x2+y2，－1，5ab2c3，单项式有：a，－2ab，－1，5ab2c3，共 4 个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是单项式：①数字或字母的乘积；②单个的数字或字母，掌握单项式的定义是解题的关键．
题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查单项式的定义，解题的关键是熟记单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或
一个字母也是单项式．
4．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校七年级期中）下列各式中 a，－2ab，x+y，x2+y2 ，－1，5ab2c3，单
项式共有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．
（2）（2022·河南许昌·七年级期末）若单项式
3 5
xy3
的系数是
m，次数是
n，则
m
n

辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题整式的乘法（一）教学内容整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算：（1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★【答案】（1）620y ；（2）552x y -；（3）5636a b -． 【解析】（1）原式=()2464520y y +⨯=；（2）原式=()2314551623x y x y ++⎡⎤⨯-⋅=-⎢⎥⎣⎦；（3）原式=()2121235662336ab a b ++++⨯⨯-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子 相乘与两个式子相乘法则相同．【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★【答案】（1）623243x y z -；（2）14751372a x y ；（3）()54x y --． 【解析】（1）原式=()3326262333243z x y x y z -⋅=-；例题解析（2）原式=()()()()32212632121623474343a xy a x y a x y +++-⋅-=-⨯-=⎡⎤⎣⎦14751372a x y ；（3）原式=()()2322x y +⨯--=⎡⎤⎣⎦()54x y --【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．【例3】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★【答案】（1）75383x y z -；（2）444x y z -；（3）914275x y -．【解析】（1）原式=()3242333432332839327x y x y z x y z ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦75383x y z -；（2）原式=()22311263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦444x y z -；（3）原式=224636224326621321343259225x y x y x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-=⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦914275x y =-．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）57235x y ；（2）710320381x y z ．【解析】（1）原式=3324263575757953234425355x y x y x y x y x y x y x y ⋅+⋅=+=；（2）原式=442366937103710371038540203332738181x y z x y z x y z xy x y z x y z x y z ⎛⎫⋅+-⋅=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★【答案】()3336x y a b -+． 【解析】原式=()()2121332x y a b ++⨯-+=⎡⎤⎣⎦()3336x y a b -+．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=55783030m n x y x y ++-=-，由此可得5758m n +=+=，， 可解得23m n ==，，5m n +=【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．【例7】 先化简，后求值：233322221391233x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知，．【难度】★★【答案】化简结果是75x y ，代入求值结果是32-【解析】原式=7575754133x y x y x y -=，代入求值得()751232-⨯=-【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【难度】★★★【答案】化简结果是579a b c ，代入求值结果是1．【解析】原式=()33623357911824a b b c a b c a b c -⋅⋅⋅-=，代入计算得：()()5971111-⨯⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★【答案】当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【解析】对原式进行分析整理，原式=574657122xy x y xy x y xy x y xy -⋅=-⋅⋅=-⋅，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ．【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分 类讨论，准确解题．1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例 模块二：单项式与多项式相知识精讲如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅-；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）432113648x x x -+-；（2）322364a b a b -；（3）23238x y x y -+．【解析】（1）原式=2222111131322242x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭432113648x x x -+-；（2）原式=222322ab a b ab ab ⋅-⋅=322364a b a b -； （3）原式=()()212121243x xy x y xy ⋅--⋅-=23238x y x y -+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项．【例11】计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）433442a b a b -；（2）42332448315x y x y x y --+．【解析】（1）原式=322224334111264233a b ab a b ab a b a b ⋅-⋅=-；（2）原式=222222224344234335x y x x y xy x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332448315x y x y x y =--+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计 算时注意符号． 例题解析【例12】计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类 项运算．【例13】先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★【答案】化简结果是38x ，代入求值结果是1-．【解析】原式=()2222322222102x x x x x x x x x x x ⋅-⋅+-⋅-⋅--⋅ 4324322222102x x x x x x =-+-+-38x =将12x =-代入计算得：31812⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．【例14】先化简，后求值：()22322213344434xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中 133x y =-=，．【难度】★★【答案】化简结果是33x y -，代入求值结果是1．【解析】原式()22232211121133344434xy x y xy x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3344441212x y x y x y =-+-33x y =-．将133x y =-=，代入计算得：原式=()331313⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．【例15】已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值．【难度】★★ 【答案】174．【解析】原式36242a b a b ab =--()()32222ab ab ab =--32666=--174=．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．【例16】解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+．【难度】★★【答案】815x =．【解析】133538n n x x x x +⋅+⋅=+1131538n n x x x +++=+158x =815x = 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾． 【例17】已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．【难度】★★【答案】752-．【解析】根据题意，可得：25025200m m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：525m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．原式=2222221041815121524m mn m mn n mn n m mn --++--+=-，代入计算得：原式=25575245222⎛⎫⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值．【例18】对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x 均成立，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★【答案】5014a b c d ===-=，，，．【解析】根据题意，得2232364a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，现存在一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ， 代入即为ax bd cdx x ++=对任意x 恒成立，即关于x 的方程()1a cd x bd +-=-有无数解， 故可得10a cd bd +-=⎧⎨-=⎩，结合0d ≠和前面所得两个等式解方程可解得：5014a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．【总结】本题主要考查新定义运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式ax b =有无数解的情况进行讨论，此时00a b ==，． 模块三：多项式与多项式相1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2189338x x +-；（2）221194x y -． 【解析】（1）原式=2133364632432448x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2189338x x +-；（2）原式=2211111111113322329664x x y y x y x xy xy y ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221194x y -．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式()()22a b a b a b +-=-．【例20】计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 例题解析【答案】（1）33x y +；（2）3223412554x y x y xy -+． 【解析】（1）原式=()()2222322223x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y -++-+=-++-+=33x y +； （2）原式=2111555222xy x x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22212554xy x xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=3223412554x y x y xy -+．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例21】计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】（1）4218760x x x --+；（2）224x y -；（3）4223x x -+-【解析】（1）原式=()()2243232212555121260x x x x x x x x x x x x --+-=+---+--+4218760x x x =--+；（2）原式 =()()223223323103xy x xy y x y x y xy ++-++322332232236331034x y x y xy x y x y xy x y =++---=-；（3）原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++=42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．【例22】若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．【难度】★★【答案】63m n ==，．【解析】原式=()()()43233393x n x m n x mn x m +-+-++-+，因为两式乘积中不含2x 和3x 项，所以可得30330n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可．【例23】已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？【难度】★★【答案】2个，m 的值为16或8．【解析】()()()2215x a x b x a b x ab x mx ++=+++=++，由此可得15a b mab +=⎧⎨=⎩，a 、b 均为 正整数，可知a 、b 为15的因数，15=5×3，或15=15×1，由此可得15116m =+=或 538m =+=．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数．【例24】已知：多项式432221191112221222324x x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫++++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★【答案】1【解析】2243211111912121223246221234x mx x nx x m n x mn x m n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，原式=4321192222x x x x ++++，由此可得11262219342m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=-⎩．又()()()()334111112222222216n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎡⎤---+=-+⋅-+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，将62m n =⎧⎨=-⎩代入该 式中即得()4116221611616⨯+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若 两式相等，则对应项的系数也相等．【例25】某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【难度】★★【答案】223a ab b ++．【解析】()()22222222a b S a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-⨯+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222522a ab b a ab b ++-++=223a ab b ++【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算．【例26】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★【答案】85x =-．【解析】()()()()322322114232x x x x x x x x x x x x x +++++--+-+-=-+-2242456x x x +=--85x =-【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾．【例27】解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-．【难度】★★【答案】8221x >．【解析】()()221554871435x x x x x -+--+<- 7471435x x -+<- 2182x -<-8221x >【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾．【例28】学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（π取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★ 【答案】3.83m ．【解析】设第一道半径为r ，则第二道半径为()1.22r +，观察两道上运动员的位置，可知两条跑道上运动员起始距离应为()112 1.222 1.22 1.22 3.14 3.8322r r m πππ⨯+-⨯=≈⨯≈．【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想．【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅-；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★【答案】（1）310x y -；（2）762108a b c -；（3）5889x y ；（4）71432x y -．【解析】（1）原式=()2125x y +⨯-=⎡⎤⎣⎦310x y -；（2）原式=()()()234623436223427a b c a a b c +-⋅-=⨯-=⎡⎤⎣⎦762108a b c -；随堂检测师生总结1、你能熟练地说出整式乘法的类型有哪几种吗？2、你能将这几种类型的法则熟练地说出来吗？3、在理解和运用多项式与多项式相乘的法则时，应注意哪几点？（3）原式=2336223262112839x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5889x y ；（4）原式=()()32612162121146422xy x y x y ++⎡⎤⋅-=⨯-=⎢⎥⎣⎦71432x y -．【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化．【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）566x y ；（2）443a b -；（3）343x y ． 【解析】（1）原式=()2121323255x y ++++⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦566x y ；（2）原式=44444423a b a b a b --=-；（3）原式=22212313434343544353x y xy x y x y x y x y ++⎡⎤⎛⎫⋅+-⨯=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算．【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）0；（2）5444132x y z x y -．【解析】（1）原式=323233022a b a b -+=；（2）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅ 333233323432a b a b a b a b =+--()323334312a b a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题5】 计算： （1）()2133235n n n n n n ab a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）；（2）()222214322x xy y x xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）3224x y x y +；（3）3261587x x x --++； （4）311278m -． 【解析】（1）原式=23133352535n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b ++-++⋅-⋅+⋅ =()()()213133352535n n n n n n n n n n a b a b a b +++++-++++⨯-⨯+⨯ =22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）原式=()222221443322x xy x y x xy x x y -⋅--⋅-⋅+⋅=3222232436x y x y x y x y -+-+ =3224x y x y +；（3）原式=()()222367367x x x x x --++--+ =32261214367x x x x x --+--+=3261587x x x --++；（4）原式=221111111134692469m m m m m ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23211111112182781218m m m m m ++--- =311278m -． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式．【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】()()5538x y x y +-．【解析】原式=()()()()233255536312458x y x y x y x y ++⎛⎫⨯⨯+⋅-=+- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化．【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】4223x x -+-．【解析】原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++ =42423253x x x x +--- =4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想．【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】原式=()()()()32232222422222220x x y xy y x x y y x y x y x y +++=+++=++=． 【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用．【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★【答案】18-．【解析】原式=()()()()()()3222233x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y -++--=-++-=-， 将 112x y ==，代入计算得：原式=311128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用．【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★【答案】化简结果是29142a a +-，代入求值结果是7-．【解析】原式=()()33232254812229142a a a a a a a a a ------+=+-，将1a =-代入计算得：原式=()()29114127⨯-+⨯--=-．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★【答案】（1）()12h m n +；（2）77平方米．【解析】（1）梯形的面积公式，（2）()28147277s m =+⨯÷=． 【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算．【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★【答案】67x =【解析】2222526x x x x x ---=- 76x -=-67x =【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，同时对解方程的知识进行回顾．【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭．求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】36-．【解析】因为()()5233232261536102925134=182m n n m m n m n x y x y x y x y ax y ++++⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭，由此可得 261529361025m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩．将12m n =⎧⎨=⎩代入()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭， 可得：()()221121*********⎛⎫+⨯⨯-⨯⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算．【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5312x y ；（2）7634a b c ；（3）434x y z -． 【解析】（1）原式=322153311232x y x y ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式=2642361423763111616424a b ab c a b c a b c ++⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）原式=()22211263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦434x y z -． 【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同．【作业2】 计算：课后作业（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）53343531181612x y x y x y --+； （2）221517a b ab +． 【解析】（1）原式=22331213238x y y x y ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2333323311121382838x x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=53343531181612x y x y x y --+； （2）原式=33251712212443412ab a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221517a b ab +． 【总结】本题主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则．【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()233222x y x y x y -⋅-． 【难度】★ 【答案】（1）3223171144126x x y xy y +--；（2）43255234x y x y x y x y --+． 【解析】（1）原式=()2232231117112244124126x xy y x y x x y xy y ⎛⎫+-+=+-- ⎪⎝⎭； （2）原式=()()2322322243255234x y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+．【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）5444132x y z x y -；（2）6625220220a b a b ab -++．【解析】（1）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -； （2）原式=()()()()33625432218474542a ab ab a b ab ab ab -⋅--⋅-⋅--⋅- =6666252828220a b a b a b ab -++=6625220220a b a b ab -++．【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用．【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+． 【难度】★★【答案】（1）32284a a a +--；（2）54322778155x x x x x -+--+-．【解析】（1）原式=()()232421284a a a a a -+=+--；（2）原式=()()()3222223122315231x x x x x x x x --++-+--+=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+- =54322778155x x x x x -+--+-． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项的运算．【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★【答案】107128【解析】对代数式化简，结果为()322432187374628824t t t t t t t t ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，将14t =代入， 求值计算，得：原式=432187131787310728424446412864128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值．【难度】★★【答案】12m n =-=，【解析】因为()()()()()2243212322x mx x nx x m n x mn x m n x ++++=+++++++，又()()22432122x mx x nx x x x ++++=+++，所以可得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩． 【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同．【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★【答案】7420．【解析】因为()()2234510712x x x x +-=--+，又()()22345x x ax bx c +-=-+，所以可得：10712a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，对代数式()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---化简可得：原式=3223222222222222a a b a ab a b a bc ab a bc +-+-+=+， 将10a =-，7b =，12c =代入，则原式=()()222107107127420⨯-⨯+-⨯⨯=． 【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值．【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【难度】★★★【答案】23a b =⎧⎨=⎩． 【解析】()()()()()2243212312233231ax bx x x ax b a x a b x b x ++-+=+-+-++-+，因为多 项式的积不含3x的项，也不含x 的项，所以可得：23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0．【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？【难度】★★★【答案】（1）()()()()22332233a b a ab b a b a b a ab b a b -++=-+-+=+；；（2）338x y --． 【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式．（2）式变形即得原式=()()()32233322428x y x xy y x y x y ⎡⎤-+-+=-+=--⎣⎦． 【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律．。