经济博弈论案例
第－部分 完全信息静态博弈
一、两厂商生产同质产品的产量博弈
在现实的市场结构中，完全竞争与垄断是两种极端的市场状态，处于这两种极端情况下厂商的决策相对而言是简单的。在完全竞争市场上，由于有无穷多个竞争者，个别厂商的行为对市场价格的影响是微乎其微的，故厂商的决策是在均衡价格下各自选择自己的产量。在垄断市场上，由于只存在一个厂商，这个厂商是在均衡需求下决定价格。而现实中更多见的是有若干个厂商之间进行竞争，在生产同质产品的条件下，他们之间的战略选择是相互影响的，而且对市场价格的形成有重要的影响，这样的市场结构称为“寡头”。处于寡头竞争市场下，若干厂商博弈的变量选择无非是产量或价格。下面先介绍以产量为博弈变量的古诺模型。
奥古斯汀.古诺（Augustin Cournot ）是19世纪著名的法国经济学家。他在1838年提出的寡头竞争模型是纳什均衡应用的最早版本，是研究产业组织理论的重要基础。
在古诺模型中，是假设某一市场只有厂商1，厂商2两个厂商。他们生产完全相同的产品（产品间有完全的替代性），每个厂商的战略是同时选择产量，支付是利润，它是两个厂商产量的函数。若令q i 代表第i 个厂商的产量，i=1、2，即厂商1选择产量q 1，厂商2选择产量q 2，则总产量为∶Q = q 1+ q 2 ，设P 为市场的出清价格（可以将产品全部卖出去的价格），则P 是市场总产量的函数，P=P （Q ）=P （ q 1+ q 2 ），为简化起见，令P 取如下的 线性形式∶P = a - （ q 1+ q 2 ），a 可理解为该产品的市场最大的需求量，为常数。C i （q i ）为成本函数。假定两厂商均无固定成本，单位边际成本分别为C 1，C 2 。则两厂商的利润函数分别为∶
该例中两参与人有无限多种产量战略，但纳什均衡的概念对此仍然适用，即找到战略组合,使其利润最大，这就是数学中求极大值的问题。因此，分别对u 1 ,u 2求偏导数并令其为零，则有∶
若令C 1=C 2=C ，解此方程组，得纳什均衡产量∶
纳什均衡产量下的利润为∶
212111112111111)()]([)(q q q q c a q c q q a q q c Q p q u ---=-+-=-=222122222122222)()]([)(q q q q c a q c q q a q q c Q p q u ---=-+-=-=02)(*1*21=---q q c a 0
2*2*12=---q q c a ）（)(31*2*1c a q q -==221)(91c a u u -==
为让该问题有个更直观的概念，令a=100，两厂商的边际成本C 1 = C 2 = C = 10，代入则有∶
即两厂商在无固定成本，且边际成本相同时，各自选择生产30个单位的产量，且每个厂商得到900个单位的利润，这就是古诺纳什均衡。古诺纳什均衡下的市场总产量和总利润为∶
若市场上只有一家厂商，这时市场结构为垄断市场，这个厂商的产量（q i ）就是市场的总产量（即垄断产量Q ）。垄断利润为∶
对U 求导，并令其为零，则有∶
解之可得到垄断产量和垄断利润∶
当a = 100 ，c = 10时，可得到 Q = 45 ， U = 2025
可见，与纳什均衡比较，垄断企业的总产量较小，而总利润较高。
该问题也可以这样理解，如果两厂商能进行合作，生产利润最高的产量，即各自生产垄断产量的一半（q 1 = q 2 =22.5），而各自的利润却均能得到提高，这时u 1 = u 2 =1012.5。但在独自决策时，这种合作是不容易的，即使达成协议，由于不是纳什均衡的协议，也往往由于缺乏足够的强制力而很难真正执行。这是典型的囚徒困境问题。前几年中国十几个家电企业价格联盟的瓦解也充分证实了这一点
但从另一个方面看，个人理性与集体理性的冲突，有时对参与人是坏事，但对全社会可能是好事（该例是消费者可购买到更便宜的商品）。可见，个人理性与集体理性的冲突究竟是好事还是坏事，一般不宜进行抽象的议论，要具体问题具体分析。
值得注意的是，两厂商生产同质产品的产量博弈中，决策的变量是产量，这时的价格高于边际成本。在上例中，两厂商的价格均为P=40（P = a - （ q 1+ q 2 ）=100-30-30=40），高于边际成本C=10。在后面的论述中可以看到，随着厂家的增加，n 个厂家各自的产量会逐渐减少，价格也会逐渐降低，当n 趋于无穷时，各个厂家的产量会接近于0，价格等于边际成本，各厂家的利润趋近于0。在应用二中，当两厂商生产同质产品的价格博弈时，决策的变量是价格，伯川德证明，即使只有两个厂家时，它们的价格也会等于边际成本，各厂家的利润趋近于0。
在前面的分析中，为了分析的简便，我们是假定两厂商没有固定成本，且边际成本也相同，这与实际不太相符。但这并不影响我们分析的结论，即纳什均衡均衡的总产量比垄断的总产量高，而总利润却比垄断利润低。现仍假定两厂商没有固定成本，但厂商1的边际成本C 1=8，厂商2的边际成本C 2=12，a=100。则厂商1的纳什均衡产量为∶
900)10100(9
130)10100(3
1221*2*1=-===-==u u q q 2
)()(Q Q c a CQ Q a Q U --=--=0081;6021*2*1=+==+=u u U q q Q 02=--Q c a 2*)(41);(21c a U c a Q -=-=
32)1282100(3
1)2(3121*1=+⨯-=+-=c c a q 厂商2的纳什均衡产量为∶ 28)8122100(31)c 2c a (31q 12*
2=+⨯-=+-= 厂商1和厂商2的利润分别为∶
若我们采用两厂商平均边际成本10 [（8+12）/2] 来计算垄断时的产量和利润，则可得到与前面相同的数值。可见，不同边际成本的纳什均衡均衡的总产量（60）仍然比垄断的总产量（45）高，而总利润（1808）仍然比垄断利润（2025）低。若加入固定成本的因素，其结论也是成立的。
前面是以市场上只存在两个寡头企业来寻找纳什均衡的。当市场上存在n 个寡头企业时，仍然可以求得n 个厂商的古诺均衡产量和利润。
若n 个厂商生产完全同质的产品，均无固定成本，且边际成本均为c ，P=P(Q)=a-Q ，Q=q 1+q 2++ q n ，各厂家独自选择自己的产量。 则各个厂家博弈的利润函数为∶ ∑≠=--
-=-=n i j i j i i i i n i cq q q a cq pq u ),,2,1()(
将利润函数对q i 求导并令其为0，则有∶
∑≠=---=∂∂n i j i j i i q c q a q u 02 从上式中可求得各厂商对其他厂商产量的反应函数为∶
∑≠--=n i j j i c q
a q 2/)(
根据其对称性，则有**2*1N q q q === ，将此代入反应函数中，可得∶
),,2,1(1*n i n c
a q i =+-=
则得到n 个厂商的古诺均衡的产量，即每个厂商的最优产量是都生产（a-c ）/（n+）。
各厂商的利润为∶
),,2,1()1()(22
n i n c a u i =+-=
则市场的总产量和总利润为∶
若令a=100，c=10。当n=1时，即市场上只有一个垄断企业，得到垄断产量q 1=Q=45{（100-10）/（1+1）}，垄断利润为u 1=U=2025；当n=2时，得到双寡头时的产量，即q 1=q 2=30，总产量Q=60，每个厂商的利润u 1=u 2=900，总利润为U=1800；当n=5时，每1024
328)2832100(32)]([112111=⨯---=-+-=q c q q a q u 7842812)2832100(28)]([222122=⨯---=-+-=q c q q a q u )(1c a n n Q -+=22)()1(c a n n U -+=
