三角函数相关几何计算训练(附参考答案)

三角函数关系练习题计算与证明三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些实例来练习三角函数的相关计算和证明。

一、例题一：计算题1. 计算 $\sin(\frac{\pi}{3})$解析：根据三角函数的定义，$\sin(\frac{\pi}{3}) =\frac{\sqrt{3}}{2}$2. 计算 $\cos(\frac{\pi}{6})$解析：根据三角函数的定义，$\cos(\frac{\pi}{6}) =\frac{\sqrt{3}}{2}$3. 计算 $\tan(\frac{\pi}{4})$解析：根据三角函数的定义，$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$二、例题二：证明题证明：$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$证明：根据三角函数的定义，$\sin(x) = \frac{y}{r}$，$\cos(x) =\frac{x}{r}$，其中$r$为半径，$x$和$y$分别为直角三角形中的邻边和对边。

将$\sin(x)$和$\cos(x)$代入上述等式，得到：$\sin^2(x) + \cos^2(x) = (\frac{y}{r})^2 + (\frac{x}{r})^2$根据直角三角形中勾股定理可得，$x^2 + y^2 = r^2$，将其代入上述等式，得到：$\sin^2(x) + \cos^2(x) = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{r^2}{r^2} = 1$所以，$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$成立。

三、例题三：求解三角方程解方程 $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据三角函数的定义，可以得出 $\sin(x) =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的解为 $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ 和 $x =\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。

第五章三角函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．终边和始边都相同的角一定相等B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．小于90︒的角一定是锐角D ．大于或等于0︒且小于90︒的角一定是锐角【答案】B 【分析】根据任意角的定义判断．【详解】终边和始边都相同的角不一定相等，可以是终边相同角，故A 错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，B 正确；小于90︒的角包括锐角、零角和负角，故C 错误；零角不是锐角，故D 错误；只有B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查任意角的定义，终边相同角的定义，掌握任意角的定义是解题关键．2．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（）A ．253πcm B ．556πcm C ．403πcm D ．553πcm 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的转化、弧长与圆心角的关系，即可求得结果.【详解】165°＝180π×165rad ＝1112πrad ，所以l ＝1112π×10＝556π(cm)．故选：B 【点睛】本题考查了角度制和弧度制的转化和求弧长，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.3．已知tan 2α=，则2222sin cos 12sin cos αααα-++等于（）A ．89B ．119C ．67D ．47【答案】A 【分析】对齐次式，先弦化切，再代入求值.【详解】tan 2α=，22sin cos 1αα+=，∴22222222222sin cos 12sin α2tan α2282sin cos 2sin αcos α2tan α12219αααα-+⨯====+++⨯+.故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．若点P 在角23π的终边上，且||4OP =，则点P 的坐标是（）A．(2,-B．C．(2--,D．(2)--【答案】A 【分析】设出坐标，根据三角函数的定义建立关系即可求出.【详解】点P 在角23π的终边上，设(),P x y ，0,0x y <>，则可得42tan3yx π===⎪⎩，解得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点P的坐标是(2,-.故选：A.5．已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++=⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【分析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．6．已知tan()3α-=-，则22sin sin()cos 3cos αααα--+的值为（）A ．B ．1C ．32D ．32【答案】D 【分析】由题可得tan 3α=，再将所求式化为齐次式即可求出．【详解】由题可得tan 3α=，222222sin sin cos 3cos sin sin()cos 3cos sin cos αααααααααα++--+=+22tan tan 39333tan 1912ααα++++===++．故选：D ．7．已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 2,cos 2)-，则角α的一个弧度数为（）A ．π2+B ．π22+C ．3π22-D ．π22-【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式可求α.【详解】因为P 的坐标为(sin 2,cos 2)-且P 在角α的终边上，故cos sin 2α==，同理sin cos 2α==-，而cos sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故α与22π-的终边重合，又0222ππ<-<，α锐角，故22πα=-，故选：D.8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，π2ϕ<），若()f x 的图象经过点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻对称轴的距离为π2，则()f x 的解析式可能为（）A ．()πcos 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()π4cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】先求得2ω=，排除B 、D ，然后把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，C ，排除C.【详解】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，又2T ππω==，所以2ω=，故选项B ，D 错误；把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，2π43cos cos 03362f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 成立，而把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项C ，2π43cos 3cos 30333f πππ⎛⎫⎛⎫=-==-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 不成立.故选：A.9．1tan15tan15︒-=︒（）A．B．C．-D ．4【答案】C 【分析】切化弦，然后利用倍角公式求解即可.【详解】221sin15cos1515cos 15cos30tan1521tan15cos15sin15cos15sin15sin 302sin ︒︒︒-︒-︒︒-=-==-︒︒︒︒︒︒故选：C10．将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】将各选项所给函数按条件平移，判断平移后的函数奇偶性，即得出结果.【详解】A 选项，将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2sin 2sin 2333y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭显然不是奇函数，故A 错；B 选项，将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到sin cos 36y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos y x =-显然是偶函数，故B 错；C 选项，将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2cos233y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos 2x y =-显然是偶函数，故C 错；D 选项，将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2sin 236y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，函数sin 2y x =显然是奇函数，故D 正确.故选：D.二、多选题11．(多选)若函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的图象关于直线83x π=对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在区间(,)2ππ上单调递减【答案】ABC 【分析】由三角函数周期的计算公式，可判定A 正确；由三角函数对称轴的性质，可判定B 正确；求得()cos(3f x x ππ+=-+，令()0f x π+=，得到,6x k k Z ππ=+∈，可判定C 正确；由三角函数单调性的判定方法，可判定D 不正确.【详解】由题意，函数()cos(3f x x π=+，可得()f x 的最小正周期为221T ππ==，所以A 正确；当83x π=时，可得88()cos(cos31333f ππππ=+==-，所以83x π=是函数()f x 的其中一条对称轴，所以B 正确；由()cos()3f x x π=+，可得()cos()cos(33f x x x ππππ+=++=-+，令()0f x π+=，即cos()03x π+=，解得,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，可得6x π=，即6x π=是函数()f x π+的一个零点，所以C 正确；由(,)2x ππ∈，可得54(,)363x πππ+∈，当5(,]36x πππ+∈时，即2(,)23x ππ∈时，函数()f x 单调递减；当4(,)33x πππ+∈时，即2(,)3x ππ∈时，函数()f x 单调递增，所以D 不正确.故选：ABC.12．下列四个选项正确的有（）A ．75-︒角是第四象限角B ．225︒角是第三象限角C ．475︒角是第二象限角D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD 【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案.【详解】对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角.故选：ABCD .【点睛】本题考查对象限角的掌握，是对角的定义的考查，属于基础题.13．下列化简正确的是A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-【答案】AB 【分析】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=，依次分析即得解【详解】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos oαααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.14．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 说法中不正确．．．的是（）A ．最小正周期为T π=B ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图象关于直线6x π=对称【答案】CD 【分析】根据正弦函数的周期性求出()f x 的周期判断A ；代入法判断B 、D ；根据正弦函数的周期性求出函数()f x 的单调区间判断C.【详解】最小正周期为22T ππ==，A 正确；因为22sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 在5[,],1212k k k Z ππππ-++∈上单调递增，所以函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错；2sin 633f πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线6x π=对称，D错误.故选：CD 三、填空题15．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b －a 的最大值是________．【答案】43π【分析】由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为1-和12的x 值，结合周期性性可得结论．【详解】因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12.不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知51sin sin662ππ==，3sin 12π=-，由正弦函数的周期性可知(b －a )min ＝352263πππ-=，(b －a )max ＝1354=663πππ-.故答案为：43π．16．sin15cos75︒︒=__________．【分析】由诱导公式和二倍角公式求解．【详解】211cos3022sin15cos75sin15sin15sin 15224-︒︒︒=︒⋅︒=︒===．故答案为：24．17．应用五点法作函数y ＝32sin 1(33x π-的图象时，图象的最高点的坐标是________．【答案】53(,)22π【分析】由正弦型三角函数图像性质求解即可.【详解】由sin 1()33x π-＝1可得x ＝52π，所以图象的最高点的坐标是53(,)22π.故答案为：53(,)22π【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图像的性质，属于简单题.18．有下列命题：①若α是第二象限角，且sin =,cos m n αα=，则tan mnα=-；②无论α为何值，都有22sin cos 1αα+=；③一定存在角α，使得22sin cos 1αα+=；④总存在一个角α，使得1sin cos 2αα==．其中正确的有_____．【答案】②③【分析】由同角三角函数的平方关系，商数关系，可判断①、②、③的真假，根据三角函数的性质判断④的真假.【详解】①由sin tan cos mnααα==，错误；②对任意角α，都有22sin cos 1αα+=，正确；同理，③正确；④不存在一个角α，使得1sin cos 2αα==成立，错误；故答案为：②③.四、解答题19．已知角α＝2010°.（1）将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；（2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．【答案】（1）752+6ππ⨯，第三象限的角；（2）答案见解析.【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；（2）利用代入法进行求解即可.【详解】（1）6772010=2010rad==(52+)rad 18066rad ππππ︒⨯⨯，又73<62πππ<，∴α与76π终边相同，是第三象限的角．（2）与α终边相同的角可以写成72()6k k Z πγπ=+∈，又50πγ-≤<，∴当k ＝－3时，296πγ=-；当k ＝－2时，176πγ=-；当k ＝－1时，56πγ=-.20．若cos130a ︒=，则tan 50︒=__________．【答案】a【分析】利用诱导公式求出cos50︒，然后求出sin 50︒，再求tan 50︒的值．【详解】解：cos130a ︒=即：cos50a ︒=-，所以sin 50︒所以sin 50tan 50cos50︒︒==︒故答案为：a．21．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）210；（2）13．【分析】(1)由3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求得4sin 5α=，结合两角差的余弦公式，即可求解；(2)由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得3tan()24πα-=，再结合二倍角的正切公式，即可求解．【详解】(1)由题意知，3cos 5α=-，(,)2παπ∈，所以4sin 5α=，则34cos()cos cos sin sin 444525210πππααα-=+=-⨯+⨯=(2)由三角函数的基本关系式，可得sin tan s 43co ααα==-，则3tan()cot 24παα-=-=又由22tan()324tan()tan 2()22441tan ()24αππαπααπ-⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦--，解得1tan(243απ-=或tan()324απ-=-，又因为(,)2παπ∈，可得(0,)244a ππ-∈，所以1tan(243απ-=．【点睛】利用诱导公式、两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及三角函数的基本关系求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形，并且注意角的范围对三角函数符号的影响．22．已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（1）求tan α，sin 2α的值；（2）求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）43-，2425-；（2）410【分析】（1）首先利用同角三角函数关系求出4sin 5α=-，从而得到4tan 3α=-，再利用正弦二倍角公式计算sin2α即可.（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.【详解】（1）因为3cos5α=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以4sin5α=-，所以4sin45tan3cos35ααα-===-，24sin22sin cos25ααα==-.（2）314 sin sin cos cos sin333525πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.。

1．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．2.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，a =tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c4.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）求函数()g x 的值域.(本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）)5.已知函数2()2sincos 444x x xf x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．6.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.(本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.)7.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △的面a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．(本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分)．8、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．10、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值．12、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．1．解：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.2.解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ············ 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ·················· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． 10分 3.解：由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin 224sin cos 22C C C C += ∴14sin cos22C C =,∴1sin 2C =，又(0,)C π∈,∴566C C ππ==，或 由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+即sin()0B C -= ∴B C =,6B C π==,2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得1sin 2sin Bb c a A ==== 4.解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x xg x x x x x--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xx x x--=+ 1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+--sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)2344x x ππ-≤+≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣5.解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．6.解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得,.663A A πππ-== （Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.7.解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ··············· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =，3b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==················· 12分 8、解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.9、解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.10、解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.11、解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝232712解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

三角函数专题练习(带答案详解)一、单选题1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若222c a ab b =++，则C =（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．302．如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45D ．45-3．下列函数为偶函数的是（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．sin 2y x =4．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为（ ）A ．1B C D ．25．函数()sin cos f x x x =的最大值是（ ）A ．14B ．12C D ．16．直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．25-B ．15-C ．15 D ．257．将函数sin2y x π=的图象向右平移2个单位后,得到函数()f x 的图象,则函数()f x 的单调递减区间是( ) A ．[]12,12,k k k Z -++∈ B ．[]14,34,k k k Z ++∈ C ．[]14,14,k k k Z -++∈D ．4414,14,k k k Z ππ⎡⎤-++++∈⎢⎥⎣⎦8．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈9．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．210．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点(1,3)P -，则cos2α的值为( ) A ．45-B ．45C ．35D ．3511．已知2sin()4πα+=sin 2α=（ ）A ．12B C ．12-D ．二、多选题12．已知向量()()2sin 3,cos ,cos m x n x x =-=，，函数()231f x m n =⋅++，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>三、解答题13．如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 14．如图，在四边形ABCD 中，45,105,2,3ADB BAD AD BC AC ∠=︒∠=︒===（1）求cos ABC ∠的值；（2）若记ABC α∠=，求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.四、填空题16．若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为1⎡-⎢⎣⎦，则w 的取值范围是______17．如果tan 2,α=则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________ 18．若α的终边在射线()20y x x =<上,则sin cos αα-=_____,tan2α=_____．19．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为______．20．如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=________参考答案1．B直接利用余弦定理即可得出结果. 【详解】在ABC 中，∵222c a ab b =++，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∵()0,A π∈，∴120A =， 故选：B . 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 2．B由题意设出M 的坐标，由M 到原点的距离为1求得M 的横坐标，再由任意角的三角函数定义得答案. 【详解】 由已知可设()4,05M x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 再由22415x ⎛⎫+ ⎪⎭=⎝，得35x =-，∴3cos 5α=-， 故选：B . 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题. 3．B根据偶函数的定义逐个选项判断即可. 【详解】对于A ，函数定义域为R ，()sin f x y x ==，()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，即sin y x =为奇函数，故A 错误；对于B ，函数定义域为R ，()cos f x y x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，即cos y x =为偶函数，故B 正确；对于C ，函数定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()tan f x y x ==，()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，即tan y x =为奇函数，故C 错误；对于D ，函数定义域为R ，()sin 2f x y x ==，()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-，即sin 2y x =为奇函数，故D 错误； 故选：B . 【点睛】本题主要考查了利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 4．D由题设可得2145 16T ππ=-，由公式可求得ω. 【详解】 由题设可得5 126441T πππ=-=，所以周期T π=， 则22Tπω==， 故选：D . 【点睛】本题考查由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题. 5．B由二倍角公式可得()1sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果. 【详解】∵()1sin cos sin 22f x x x x ==， ∴函数()sin cos f x x x =的最大值是12， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，正弦型函数的最值问题，属于基础题. 6．D先由倾斜角和斜率的关系得到tan 2α=，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系将原式变形为2tan tan 1αα+，代入tan 2α=计算即可. 【详解】解：由已知得tan 2α=，则()2222sin cos tan 22sin sin sin cos 2sin cos tan 1215ααααααααααπ⎛⎫π-+===== ⎪+++⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，是基础题. 7．C根据三角函数图像变换方法,得到()sin 2f x x π=-,令22,222k x k k Z πππππ-+≤≤+∈即可求单调减区间. 【详解】解:由题意知: ()sin(2)sin22f x x x ππ=-=-令22,222k x k k Z πππππ-+≤≤+∈,解得[]14,14,x k k k Z ∈-++∈故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数图像变换,考查了三角函数的增减区间的求法.对于()sin y A ωx φ=+ 型函数在求单调区间时:当0A ω> 时,令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈ 可求增区间, 令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈ 可求减区间; 当0A ω< 时,令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈ 可求减区间, 令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈ 可求增区间.本题的易错点在于,一是无k Z ∈,二是增减区间未写成集合的形式. 8．C利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.9．B根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解． 【详解】sin133cos197cos 47cos73sin 47(cos17)cos 47sin17+=-+()sin 47cos17cos 47sin17=-- sin(4717)=--1sin 302=-=-所以选B 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题． 10．A利用任意角的三角函数的定义，求得cos α的值，再利用二倍角公式即可求得cos2α的值． 【详解】角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点()1,3P -.由三角函数的定义有：cos10x OP α===214cos 22cos 121105αα=-=⨯-=- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题． 11．A将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题. 12．BD首先根据条件可得()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质，通过代入验证，整体运算，逐一判断即可. 【详解】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， A ：当0x =时，166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2201f x f -=-=+A 错； B ：()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，当4x π=时，对应的函数值取得最小值为1-，所以B 正确； C ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错；D ：因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦，，又)213>，即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦，恒成立，故D 对；故选：BD.【点睛】本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是中档题.13．(1)当α＝6π，即D 为BC（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值． （2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故当α＝6π，即D 为BC（2）由cos β＝17 ，得sin β， 故sin α＝sin 3πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD=∠∠， 故AB ＝sin sin βα BD1＝83 ，故S △ABD ＝12AB·BD·sin B＝1812323⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．14．（1）6-；（2）12.（1）通过正弦定理sin sin AB AD ADB ABD =∠∠求出AB =ABC 中由余弦定理可得cos ABC ∠；（2）由()1可得cos 6α=-，sin 6α=，再利用两角和的正弦公式及倍角公式可求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】（1）由题意，因为45ADB ∠=，105BAD ∠=，30ABD ∴∠=， 62AD =2BC =，ABD △中，由正弦定理可得，2sin 45sin 30AB =，AB ∴=， 3AC =.ABC 中由余弦定理可得，222cos26AB BC AC ABC AB BC ∠+-===-⋅；（2）由()1可得cos α=，sin α∴=，sin 22sin cos ααα∴==，25cos 22cos 16αα=-=-1sin 2sin 2232212πααα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查倍角公式与和角公式的灵活应用，是中档题.15．(1) 2a =(2) ABM S ∆= （1）先求sin 4A =，sin sin 28B A ==结合正弦定理求解a 即可；（2）先求1cos 8B =，再利用余弦定理得c，进而得1sin 216ABC S bc A ∆==，再利用||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====求解ABM ∆的面积即可 【详解】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=， 解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 216ABC S bc A ∆==， 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以551111ABM ABC S S ∆∆===【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题16．3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 先根据题意计算出4wx π+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得.【详解】因为[]0,x π∈，且0w >， 故可得1,444wx w πππ⎡⎤⎛⎫+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且7cos cos 424ππ==，1cos π=-， 故要满足题意，只需1744w πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 解得33,42w ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.17．3-因为tan 2α=，所以tan 121tan 341tan 12πααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭.18．- 在终边所在的射线上,任取一点,可求出sin α 和cos α 的值,即得到sin cos αα-的值.由半角公式可求1tan2cos sin ααα-=,代入后可求出. 【详解】解:在α的终边在射线()20y x x =<上,任意取一点()1,2--则sin α==,cos α==则sin cos αα-==1tan 2cos sin ααα-==故答案为5-12+-. 【点睛】 本题考查了任意角的三角函数值,考查了三角恒等变换.当题目已知角终边上一点坐标时,可利用sin cos tan y r x r y x ααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,其中r =,将角的三角函数值求出.求半角的三角函数值时,可根据半角公式进行求解,即sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+. 19．34试题分析：由正弦定理得,即,则,当时,.考点：正弦定理及运用．20．12π或512π 设CG x =，FC y =，用x ，y 表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出x y ． 【详解】设()CG x FC y x y ==<,，则FG BC x y ==+．∵花坛面积为正方形草地面积的23， ∴ ()22223x y x y +=+，即2240x y xy +-=．∴2410x x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得 2x y = 2x y =+，即tan 2θ=2+ ∴12πθ=或512π． 故答案为：12π或512π． 【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．。