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常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

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常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】
[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅=
（2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1
比较系数：b m km =- ∴
1-=k b
m ∴ }1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴
1)1(11--⋅-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知}{n a 满足11=a ，
)1(1
1+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解：
∵ 111)1(11+-=+=
-+n n n n a a n n
∴ n n a a n n 1111--=
-- 112121---=---n n a a n n 213132---=
---n n a a n n ……
对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1
∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：
1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列
∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a
∴ B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1）
等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q
a n n n n 111+⋅=++ 令
n n n q a C = 则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：
311=a ，11212-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。

解：1235375325212321212122332211+=⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
∴
1211231+=+⋅=n n a a n
[例4] 11
--+⋅⋅=n n n a m a m k a 型。

考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n
+=- ∴ m k a k a n n +⋅=-111 令
n n a C 1
= 则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

练习：
1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。

解：
设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ 1241-⋅=+n n a ∴ 121-=+n n a
2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*N n ∈）求通项公式。

解：
)3(232-=---n a a n n ……
∴
12--=n n a n 3. 已知}{n a 中，
n n a n n a 21+=+且21=a 求数列通项公式。

解： ∴ )1(21+=n n a a n ∴
)1(4+=n n a n
4. 数列}{n a 中，
n n n n n a a a +⋅=+++11122，21=a ，求}{n a 的通项。

解： n n n n n a a a 111221
++++= ∴ 112111+++=n n n a a 设n n a b 1=
∴ 1121+++=n n n b b ∴ n n n b b 211+=- ∴ n n n b b 21
1=--
23221---=-n n n b b ……
∴
n n n n b 212212121-=+-= ∴ 122-=n n
n a 5. 已知：11=a ，2≥n 时，
12211-+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

解： 设])1([211B n A a B An a n n +-+=++-
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-12121221B A A 解得：⎩⎨⎧=-=64B A ∴ 3641=+-a
∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21
为公比的等比数列
∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 64231-+=-n a n n
1. 已知}{n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求n a 。

2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

3. 已知}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。

4. 已知}{n a 中，41=a ，14
4--=n n a a （2≥n ）求n a 。

5. 已知}{n a 中，11=a ，其前n 项和n S 与n a 满足
1222-=n n n S S a （2≥n ） （1）求证：}1{
n S 为等差数列 （2）求}{n a 的通项公式 6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2)2(81+=n n a S
（1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的
最小值
1. 解：
由n n n a a 21+=+，得1
12--+=n n n a a
∴ 112-
-=-n n n a a
2212---=-n n n a a ……
∴ 2221)
21(21
1-=--=--n n n a a ∴ 12221+=+-=n
n n a a
2. 解：
由231+=-n n a a 得：)1(311+=+-n n a a
∴ 3
111=++-n n a a 即}1{+n a 是等比数列 113)1(1-⋅+=+n n a a ∴ 13213)1(11
1-⋅=-⋅+=--n n n a a
3. 解：
由n n n a a 221+=-得12211
=---n n n n a a
∴ }2{n n
a 成等差数列，)1(212-+=n a n n ∴ 122--⋅=n n n n a
4. 解：
n n n n a a a a )2(24221-=-=-+ ∴ 2121)2(221
1-+=-=-+n n n
n a a a a （1≥n ）
∴ 2121211=---+n n a a （1≥n ）设21-=
n n a b
即)1(211≥=-+n b b n n
∴ }{n b 是等差数列 ∴ 221)1(21211n n a a n =⋅-+-=- 22+=n a n
5. 解：
（1）12221-=--n n n n S S S S ∴ 112--=-n n n n S S S S 2111=--n n S S ∴ }1{n S 是首项为1，公差为2的等差数列
∴ 121-=n S n
（2）121-=n S n ∴ )2(384211212)121(
222≥+--=--⋅-=n n n n n a n 又 ∵ 11=a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--==)2(3842112n n n n a n
6. 解：
（1）2
111)2(81+==a S a ∴ 21=a
2≥n 时，2
121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a 整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a ∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a ∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n
（2）31230)24(21-=--=n n b n
∴ }{n b 为等差数列 ∴
n n S n 302-= ∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152-=⨯-。

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(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1【典型例题】 1] a n (1) 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题ka n b 型。

(2)比较系数:{a na n2] a n 1(1)k例: 已知 解:a n a na n a na n 1a n，设a n1 mm mb1｝是等比数列， (a 1b 、 ) k 1f (n)型。

a n 1a n满足a 111 1n(n 1) n1 1 n 1n 1 1mb公比为k n 2 n 1时1时 1时 {a n } 1 1 b k 1 f(n)a nn 3ka nk(a n a n 1a n 1k n1a n 1 a nb ｛an｝是等差数列,a nb n 佝 b) a 3 a 2a 2a 1 1对这（n 个式子求和得:m)ka nkma n (a 1a na n a 1代）k n1f（n）可求和，则可用累加消项的方法。

1n （n 1）求｛a n ｝的通项公式。

a n 2- n(2)k1时,当 f(n) anb则可设a n -i A(n 1)B k(a n An B)a n 1ka n (k 1)A n (k 1)B A(k 1)A aa b aAaB -2(k 1)BA b解得：k 1，k 1(k 1).{a nAn B}是以a iAB为首项，k 为公比的等比数列a nAn B (a 1 A B)k n1a n@1A B)八 An B 将 A、B 代入即可(3) f (n) q n ( q 0, 1)a n 1 k a n1n 1n 1n等式两边同时除以q 得q q qq［例3］冇1 f (n)办型。

(1 )若f (n)是常数时，可归为等比数列。

(2)若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：a 11 a n 3，2n 1 a n 1 (n 2)求数列｛an｝的通项。

2n 1a na n 1 a n 2a 3 a 2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 解:a n 1a n 2a n 3a 2a 1 2n1 2n 1 2n3 7 52 n 13 1a n a 12n 1 2n 1a n k1 nC n 1-C nq 则qqG} 可归为a n 1 ka n b型[例4]m a n 1 型。

常见递推数列通项的九种求解方法(1)

常见递推数列通项的九种求解方法(1)

常见递推数列通项的九种求解方法(1)高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：an1解决方法累加法af(n)（fn可以求和）n例1、在数列an中，已知a1=1，当n2时，有anan12n1n2，求数列的通项公式。

解析：anan12n1(n2)a2a11aa332a4a35上述n1个等式相加可得：anan12n1∴ana1n21ann2评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知a11，anan1n（n2），求an。

2、已知数列an，a1=2，an1=an+3n+2，求an。

，a11，求数列{an}的通项公式。

3、已知数列{an}满足an1an2n14、已知{an}中，a13,an1an2n，求an。

11某5、已知a1,an1an(nN),求数列an通项公式.226、已知数列an满足a11,an3n1nan1n2,求通项公式an？7、若数列的递推公式为a13,an1an23n1(nN某)，则求这个数列的通项公式8、已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

9、已知数列an满足a111，an1an2，求an。

2nn，2，3，）10、数列an 中，a12，an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求an的通项公式．11、设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)；当n4时，f(n)（用n表示）．n(n1）n(3n1)31答案:1.an2.an3.ann214.an2n15.an2222n1313n16.an7.an123n18.an3nn19.an10.(1)2(2)ann2n22n2n2n211.(1)5(2)2类型二：an1f(n)an（f(n)可以求积）累积法解决方法例1、在数列an中，已知a11,有nan1n1an，(n2)求数列an 的通项公式。

常见递推数列通项的九种求解方法

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常见递推数列通项的九种求解方法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，K K)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n+++-+-=-Λ即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：Θ 2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+-Λ.例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n , 证明213-=n n a 例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n a n 12-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。