最新精编 山西省四校2016届高三上学期第二次联考数学(理)试题及答案

12016年第二次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知2,{|lg(2)},{|UA x y x xB x y ===-=R ，则()U A B ð表示的集合为( )A ．{|2}x x ≥B ．{|0}x x ≤C ．{|01}x x ≤<D ．{|1}x x ≤ 2．复数z 满足i izz =-，则z 在复平面上对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．高考在即，某学校对2016届高三学生进行考前心理辅导，在高三甲班50名学生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列说法： （1）男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系统抽样； （3）不是分层抽样；（4）每个学生被抽取的概率相同. 以上说法正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（4） 4．执行如图所示的程序框图，若输出S =55-，则k 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．115．某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的侧面积是（ ）A． B．．．86．已知函数f (x )的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都 在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为（ ）A .0 B.1 C. -1 D. 20167．已知,[0,2],x y ∈满足对于任意的,{1,2,3}m n ∈，||m -n > 成立的概率为（ ）A ．14B ．14π-C ．4πD ．16π8．已知变量,x y 满足约束条件2303010x y x y k y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．1 9．定积分1(2e )d e x ax x +=⎰，则6()a x x+展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．1- C ．20 D ．20-10．双曲线2213x y -=的右焦点F ，过点F 的直线l 与圆C ：22450x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)(1)2x y -+-= 11．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，201620151201620152S S =+，设nT 是数列{}n b 的前n 项和，1lgn n na b a +=，则99T 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．4俯视图侧（左）视图正（主）视图212.已知抛物线C 的顶点为原点，对称轴为x 轴，与椭圆22128x y +=交于M ，N 两点，M ，N 两点关于x 轴对称，其中M （1,2），过抛物线C 焦点F 的直线与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点，且||3||AF BF =．则OAB △的面积为（ ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设43log ,0()12,03x x x f x x a x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，若11((4))3f f =，则a = . 14．已知,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，若向量c 满足=1⋅=⋅a c b c ，则++c a b = .15．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球O的球面上，2,AB BC ===若球心O 恰好在侧棱DA 上，且DC=___________．16．已知函数()h x 是定义在（2-,2）上，满足()()h x h x -=-，且(0,2)x ∈时，()2xh x =-，当(2,0)x ∈-时，不等式[]2()2()1h x h x m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos a B b A c B ⋅+⋅=⋅． （1）若3a =，b =，求c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．18. （本小题满分12分）国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x ）和化学成绩（y ）进行回归分析，求得回归直线方程为 1.535y x =-．由于某种原因，成绩表（如下表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．（1）请设法还原乙的物理成绩m 和化学成绩n ；（2）在全市物理、化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD △为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点..（1）求证：BCE DCE ⊥面面； （2）求二面角C BE F --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的一焦点与2y =的焦点重合，3点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 满足AM MB =,点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2ln ()x f x x bx a=++(,)a b ∈R . （1）若()f x 在点(1,f(1))的切线为1y x =+，求)(x f 的单调性与极值； （2）若1-=b ，函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. （本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲如图，ABC △内接于⊙O ，弦AE 交BC 于D ，已知2AD BD DC =⋅，60ADC ∠=，OD=1，BC OE ⊥.（1）求ODG ∠；（2）求ABC △中BC 边上的高．23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：221512cos ρθ=+，直线l为2sin()3πρθ+=（1）判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求||AB 的值.24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设()|1||2|f x x x =-+-．（1）求函数()lg(()2)g x f x =-的定义域；（2）若()f x 的最小值为m ，,,,a b c a b c m ∈++=R ，证明：22213a b c ++≥．。

山西太原市2016届四校联考高三(上)期末(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝P B ．P ∪M C ．M ∩PD ．∁U (M ∪P )＝∅2．条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ≥2，则⌝ p 是⌝ q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．将函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π4B ．x ＝－π2C ．x ＝π8D ．x ＝π44．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．121B ．132C ．142D ．1545．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(－9)的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝64－4n5，设A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12|(n ∈N *)，当A n取得最小值时，n 的取值是( ) A ．16 B ．14 C ．12D ．108．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C ．1D ．49．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为2053π，则这个直三棱柱的体积等于( )A. 2B. 3 C ．2D. 510．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.12C.65D ．211．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若离心率e ＝5－12(e ≈0.618)，则称椭圆C 为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是( ) ①在黄金椭圆C 中，a ，b ，c 成等比数列；②在黄金椭圆C 中，若上顶点，右顶点分别为E ，B ，则∠F 1EB ＝90°；③在黄金椭圆C 中，以A (－a,0)，B (a,0)，D (0，－b )，E (0，b )为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点F 1，F 2.12．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，[－2]＝－2；若f ′(x )是函数f (x )＝ln|x |导函数，设g (x )＝f (x )·f ′(x )，则函数y ＝[g (x )]＋[g (－x )]的值域是( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{0}D ．{偶数}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z ＝3＋i 1－3i 2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝______.14．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6的展开式中含有x 2的项为______． 15．从甲，乙，丙，丁四个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为______． 16．已知数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0，若ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n 成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝5，则数列{k n }的通项公式k n ＝________.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分)设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值，并化简f (x )；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .18．(12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2 000]，(2 000,4 000]，(4 000,6 000]，(6 000,8 000]，(8 000,10 000]五组，并作出如下频率分布直方图(如图)：(1)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6 000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；(2)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关？附：临界值表参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.19.(12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．20．(12分)在空间中，取直线l 为轴，直线l 与l ′相交于O 点，夹角为30°，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面．已知直线l ∥平面α，l 与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y 轴，建立直角坐标系． (1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为22的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P ，过点P 作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M ，N ，试证明线段MN 的长为定值，并求出这个定值．21．(12分)设f (x )＝1＋a x 1－a x(a ＞0且a ≠1)，g (x )是f (x )的反函数．(1)设关于x 的方程log a t（x 2－1）（7－x ）＝g (x )在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；(2)当a ＝e(e 为自然对数的底数)时，证明：∑nk ＝2g (k )＞2－n －n 22n （n ＋1）；(3)当0＜a ≤12时，试比较|∑nk ＝1f (k )－n |与4的大小，并说明理由．四、选作题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (选修4－1：几何证明选讲)22．(10分)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点 E ，AD 交BC 于点F . (1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且A C ＝B C ，求∠BAC .(选修4－4：坐标系与参数方程)23．(10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N .(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．(选修4－5：不等式选讲)24．(10分)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C [P ＝{x |x ＞1或x ＜－1}，M ＝{x |x ＞1}， ∴M ∩P .]2．A [根据题意，|x ＋1|＞2⇔x ＜－3或x ＞1，则⌝ p ：－3≤x ≤1，又由题意，⌝ q ：x ≥2，则⌝ q 为x ＜2，所以⌝ p 是⌝ q 的充分不必要条件．]3．B [将函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin(2x ＋π6)的图象，再向右平移π3个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x ＝k π，即 x ＝kπ2，k ∈Z ，结合所给的选项可得只有B 满足条件．]4．B [由已知，程序的功能是利用循环结构，计算S ＝12×11的结果，并输出． 所以S ＝12×11＝132.]5．C [根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的锥体， ∴该几何体的体积为V 几何体＝13S 底面h＝13×12×π×(42)2×3 ＝2π.]6．A [设f －1(－9)＝x ，则f (x )＝－9，设x ＞0，则－x ＜0. 当x ＜0时，f (x )＝(13)x ，∴f (－x )＝(13)－x ＝3x .∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－3x . ∴－3x ＝－9， ∴x ＝2.]7．D [由a n ＝64－4n 5，可得等差数列的首项为a 1＝12，公差d ＝－45，则数列{a n }为递减数列，由a n ＝64－4n5＝0，解得n ＝16.∴数列{a n }的前15项大于0，第16项等于0，第17及以后项均小于0. 而a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12|最小，此时n ＝10.] 8．B [不等式表示的平面区域阴影部分(图略)，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8,10)时， 目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大40， 即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝54＋(5b 4a ＋a 5b )≥54＋1＝94.]9．B [设△ABC 和△A 1B 1C 1的外心分别为O 1，O 2，连接O 1O 2， 可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点，连接OA ，OB ，OC ，O 1A ，O 1B ，O 1C ，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3，根据正弦定理，得△ABC 外接圆半径O 1A ＝BC2sin A ＝1.∵球O 的体积为V ＝4πR 33＝2053π，∴OA ＝R ＝5，在Rt △O 1OA 中，O 1O ＝OA 2－O 1A 2＝2， 可得O 1O 2＝2O 1O ＝4，∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面积S △ABC ＝12AB ·AC sin 2π3＝34，∴直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为S △ABC ×O 1O 2＝ 3.]10．C [如图，延长AG 交BC 于点F ， ∵BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →， ∴AF 为边BC 上的中线， ∴AF →＝12AB →＋12AC →，又∵CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，且CD →∥AG →， ∴15∶(λ－1)＝12∶12， ∴15＝λ－1， ∴λ＝65.]11．D [对于①，由e ＝5－12，可得e 2＋e －1＝0，由e ＝ca，a 2－c 2＝b 2，可得c 2＋ac －a 2＝0，即ac ＝b 2，则a ，b ，c 成等比数列，故①正确；对于②，在黄金椭圆C 中，上顶点，右顶点分别为E (0，b )，B (a,0)，即有EF 1→＝(－c ，－b )，EB →＝(a ，－b )，由①知有EF 1→·EB →＝－ac ＋b 2＝0，则∠F 1EB ＝90°，故②正确；对于③，设内切圆的半径为r ，由四边形ADEB 的面积可为四个三角形的面积，可得12·2a ·2b＝4·12r ·a 2＋b 2，解得r ＝ab a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b 2＝ a 3ca 2＋ac＝a 2ca 2c＝c ，则内切圆过焦点， 故③正确．] 12．A [由题意可知g (x )＝f (x )·f ′(x )＝⎩⎨⎧ln xx，x ＞0，ln （－x ）x ，x ＜0，不妨设x ＞0，则y ＝[g (x )]＋[g (－x )]＝[ln x x ]＋[ln x－x]，当ln x x ∈(0,1)时，则ln x －x∈(－1,0)，[ln x x ]＝0，[ln x－x ]＝－1，y ＝[g(x)]＋[g(－x)]＝－1， 当ln x x ＝0时，则ln x －x ＝0，[ln x x ]＝0，[ln x －x ]＝0，y ＝[g(x)]＋[g(－x)]＝0，依此类推可得y ＝[g(x)]＋[g(－x)]的值域是{－1,0}．] 13.14解析 化简得z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i1－23i ＋（3i ）2 ＝3＋i －2－23i ＝ 3＋i （－2＋23i ）（－2－23i ）（－2＋23i ）＝－43＋4i （－2）2－（23i ）2＝－43＋4i16＝－34＋14i ，故z ＝－34－14i ， 所以z·z ＝(－34－14i )(－34＋14i )＝(－34)2－(14i )2＝14. 14．－192x 2解析 ∵a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－(cos π－cos 0)＝2，∴二项式(a x －1x )6＝(2x －1x)6的通项公式为 T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·(－1)k ·x －k 2＝(－1)k ·C k 6·26－k ·x 3－k ， 令3－k ＝2，求得 k ＝1， ∴展开式中含有x 2的项为－192x 2. 15.23解析 从甲，乙，丙，丁四个人中随机选取两人，共有(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，(丙丁)共六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，共四种， 故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为46＝23.16.3n －1＋12解析 ∵数列{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差d ≠0，ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n 成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝5， ∴a 22＝a 1·a 5， 即(1＋d )2＝1·(1＋4d )， 解得d ＝2， 即a n ＝2n －1， ∴ak n ＝2k n －1，又∵等比数列a 1，a 2，a 5的公比为q ＝a 2a 1＝3，∴ak n ＝2k n －1＝3n －1，即k n ＝3n －1＋12.17．解 (1)f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sinx cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)， 因为函数f (x )在x ＝π处取最小值， 所以sin(π＋φ)＝－1，由诱导公式知sin φ＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝π2，所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)因为f (A )＝32，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6. 又因为a ＝1，b ＝2，所以由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，也就是sin B ＝b sin A a ＝2×12＝22，因为b ＞a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－π6－3π4＝π12.18．解 (1)由频率分布直方图可得，损失不少于6 000元的居民共有(0.000 03＋0.000 03)×2 000×50＝6(户)，损失为6 000～8 000元的居民共有0.000 03×2 000×50＝3(户)， 损失不少于8 000元的居民共有0.000 03×2 000×50＝3(户)，因此，这两户在同一分组的概率为 P ＝C 23＋C 23C 26＝25. (2)如表：K 2＝50× 30×6－9×5 39×11×35×15＝4 0501 001＝4.046＞3.841. 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关．19．(1)证明 在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC ·cos 60°＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴BC ⊥AC ，∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .(2)解 由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，M (λ，0,1)， ∴AB →＝(－3，1,0)，BM →＝(λ，－1,1)， 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n1＝(1，3，3－λ)． ∵n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量 ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1 ＝1（λ－3）2＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.∴cos θ∈[77，12]．20．(1)解 如图，O ′为双曲线的中心，OO ′为轴l 与平面α的距离|OO ′|＝2，A 为双曲线的顶点，∠AOO ′＝60°，∴|O ′A |＝2 3.在轴l 上取点C ，使得|OC |＝43，过C 作与轴l 垂直的平面， 交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D ，E ，DE 的中点为B ，由题意知，|CB |＝2，|CD |＝4，得|BD |＝23， 从而双曲线的半实轴长为23，且过点(23，43)．设双曲线的标准方程为y 212－x 2b 2＝1，将点(23，43)代入方程得b 2＝4，∴双曲线的标准方程为y 212－x 24＝1.(2)证明 在条件(1)下，双曲线Γ的两切线PM ，PN 都不垂直x 轴，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －x 0）＋y 0，y 212－x 24＝1消去y 得(k 2－3)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－12＝0，由Δ＝0，化简得(x 20＋4)k 2－2x 0y 0k ＋(y 20－12)＝0，令PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，由根与系数的关系得k 1k 2＝y 20－12x 20＋4，∵点P (x 0，y 0)在圆Γ′上，则有x 20＋y 20＝8，得y 20－12x 20＋4＝－1，∴k 1k 2＝－1，知PM ⊥PN ，线段MN 是圆O 的直径，|MN |＝4 2. 21．(1)解 由题意，得a x ＝y －1y ＋1＞0， 故g (x )＝log a x －1x ＋1，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，由log a t（x 2－1）（7－x ）＝log a x －1x ＋1得t ＝(x －1)2(7－x )，x ∈[2,6]，则t ′＝－3x 2＋18x －15＝－3(x －1)(x －5)． 列表如下：所以t 最小值＝5最大值所以t 的取值范围为[5,32]．(2)证明 ∑nk ＝2g (k )＝ln 13＋ln 24＋ln 35＋…＋ln n －1n ＋1＝ln(13×24×35×…×n －1n ＋1)＝－ln n n ＋1 2.令u (z )＝－ln z 2－1－z 2z ＝－2ln z ＋z －1z，z ＞0，则u ′(z )＝－2z ＋1＋1z 2＝(1－1z )2≥0，所以u (z )在(0，＋∞)上是增函数， 又因为n （n ＋1）2＞1＞0，所以u ( n （n ＋1）2)＞u (1)＝0， 即ln 2n （n ＋1）－1－n （n ＋1）2n （n ＋1）2＞0，即∑nk ＝2g (k )＞2－n －n 22n （n ＋1）.(3)解 设a ＝11＋p ，则p ≥1,1＜f (1)＝1＋a 1－a＝1＋2p ≤3，当n ＝1时，|f (1)－1|＝2p ≤2＜4，当n ≥2时，设k ≥2，k ∈N *，则f (k )＝（1＋p ）k ＋1（1＋p ）k －1＝1＋2（1＋p ）k －1＝1＋2C 1k p ＋C 2k p 2＋…＋C k k p k ， 所以1＜f (k )≤1＋2C 1k ＋C 2k ＝1＋4k （k ＋1）＝1＋4k －4k ＋1， 从而n －1＜∑nk ＝2f (k )≤n －1＋42－4n ＋1＝n ＋1－4n ＋1＜n ＋1，所以n ＜∑nk ＝1f (k )＜f (1)＋n ＋1≤n ＋4， 综上所述，总有|∑nk ＝1f (k )－n |＜4. 四、选作题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(选修4－1：几何证明选讲)22．(1)证明 因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠EDC ＝∠DCB ， 所以BC ∥DE .(2)解 因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ， 由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF . 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为A C ＝B C ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.(选修4－4：坐标系与参数方程)23．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，方程ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，两边同乘以ρ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0)， 直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2ax ，x －y －2＝0， 消去y 并整理，得t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0，(*) Δ＝8a (4＋a )＞0.设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 则|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|. 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|， 即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，则有 (4＋a )2－5(4＋a )＝0，得a ＝1或a ＝－4. ∵a ＞0， ∴a ＝1.(选修4－5：不等式选讲)24．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －3|－|x －2|，当x ≥3时，f (x )≤－12，即(x －3)－(x －2)≤－12，即－1≤－12成立，则有x ≥3；当x ≤2时，f (x )≤－12，即(3－x )－(2－x )≤－12，即1≤－12，解得x ∈∅；当2＜x ＜3时，f (x )≤－12，即3－x －(x －2)≤－12，解得x ≥114，则有114≤x ＜3.则原不等式的解集为[114，3)∪[3，＋∞)，即[114，＋∞)．(2)由绝对值不等式的性质可得||x －3|－|x －a ||≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， 即有f (x )的最大值为|a －3|.若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则有|a －3|≥a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，a －3≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，3－a ≥a ，解得a ∈∅或a ≤32.则a 的取值范围是(－∞，32]．。

山西省四校2016届高三年级第二次联考语文试题（临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中）第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1－3题。

在世界文明对话史上，公元2世纪到7世纪期间最重要的历史事件当属佛教的东传及其与中华文明的对话。

这一文明对话产生了重要的历史后果，它不仅使佛教融入中华文明，与儒家、道教一起成为中国思想文化的结构性力量，而且也使得佛教获得持续的发展活力，从一个地方性宗教上升为世界性宗教，直到今天仍然发挥其重要的精神作用。

两汉时期，是佛教东传的发生期。

佛教进入中国大地是一个因地域关系自然而然地发生的过程，“其教因西域使臣商贾以及热诚传教之人，渐布中夏，流行于民间”。

（汤用彤）它不是像后来基督教教团派出大量传教士有组织地传教活动。

这一点决定佛教进入中国是和平的、非强制性的。

佛教最初传入中国是与当时道家的黄老之术和方士之术互相影响、相得益彰的。

魏晋南北朝时期是佛教东传的扎根期，隋唐时期是佛教东传的开花结果期，这两个时期是佛教文明与中华文明对话的最重要时期。

唐以后，随着三教合流，随着中国化佛教禅宗的盛行，融入中华文明的佛教已经成为中华文明的有机组成部分，佛教已经不是在异族异质文明意义上与中华文明展开对话了。

魏晋时期佛教文明与中华文明的对话主要体现在佛学与玄学的对话上，两种文明对话呈现出佛学的玄学化和玄学的佛学化。

南北朝时期佛教文明与中华文明对话的一个突出特征是皇帝亲自参与对话，如宋文帝曾与僧人论究佛理，宋武帝亲自到寺庙听讲，梁武帝甚至亲制发愿文，皈依佛教，大兴寺庙。

魏晋时期，中外学者合译佛经取得了突出的成绩。

东晋是佛典合译的高峰期。

不仅小乘佛教的基本经典《阿含经》系列被创译，而且大乘佛教的重要经论、密教经典、律典等都被译出。

当时在佛经的翻译解释中大量采用“格义”的方法，即用中国原有经典中的精义与典故来比配佛经中的道理，以便中国信徒的理解与接受。

显然这是一种聪明的文明对话与融合方式。

山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{6}B x a x =<<，且{2}AB x x b =<<，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】A考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-的共轭复数是（ ） A ．i B ．i - C ．35i D ．35i -【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，i z +=2，所以()()()()i ii i i i i i i z -=-=---+=-+=-552212221221，故其共轭复数为i ，选项为A.考点：（1）复数的几何意义；（2）复数的运算.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ） A ．1y x=- B ．33x x y -=- C ．y x x = D ．3y x x =- 【答案】C 【解析】试题分析：对于1y x=-，在其定义域内不具有单调性，故A 错误；对于33x x y -=-为减函数，故B 错误；对于y x x =即为增函数又为奇函数，故C 正确；对于3y x x =-不满足增函数，故D 错误.故选项为C.考点：函数的奇偶性与单调性.4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．30B ．24C ．12D ．4【答案】B考点：几何体的体积.5.若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos 2f x x x =+C ．()sin()8f x x π=+ D ．3()cos(2)4f x x π=+【答案】B考点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式.6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,4,5,6}C ．{2,3,4,5}D ．{2,3,4,5,6}【答案】C考点：程序框图.7.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]- 【答案】A 【解析】试题分析：由z ax y =+得z ax y +-=，直线z ax y +-=是斜率为a -，y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域如图，则()11，A ，()42，B ，∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点B 时，取得最大值为24a +，经过点A 时取得最小值为1a +，若0=a ，则z y =，此时满足条件，若0>a ，则目标函数斜率0<-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足1-=≥-BC k a ，即10≤<a ，若0<a ，则目标函数斜率0>-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足2=≥-AC k a ，即02<≤-a ，综上12≤≤-a -2≤a ≤1，故选：A ．考点：简单的线性规划.8.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，1SA =， 那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．5π 【答案】D考点：球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径22d r R +=是解答的关键．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r ，和球心距d ，代入22d r R +=，可得球的半径R ，即可求出三棱锥ABCS -的外接球的表面积．9.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与函数y =(0)x ≥的图象交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A B C D ．32【答案】B考点：（1）利用导数研究曲线上某点的切线方程；（2）双曲线的简单性质.【方法点睛】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求，难度中档.设出切点坐标()00,y x P ，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程121000+=x x x ，即可求出切点坐标，代入双曲线方程，结合222b a c +=然后求解双曲线的离心率．10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则100S=（ ）A ．50B ．100C ．1500D ．2500 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 和的公差都为d ，则d a a d a S ++=+=1112，两边平方可得，d a d d a a +=++121122，同理可得d a d d a a 33441211+=++，联立消1a 可得：()012=-d d ，故0=d 或21=d ，故0=d 时，01=a ，故不成立；当21=d 时，411=a ，成立；故2500499411002991001001100=⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯++=d a S ，故选：D ． 考点：等差数列的前n 项和.11.已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两 个不同的点,A B ，使OA OB OP +=，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13 B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12【答案】A考点：平面向量的基本定理及其意义.【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；根据条件可画出图形，根据图形便可看出OP 的中点在圆内，从而可得到圆心到直线的距离小于半径即12220<+y x ，这样联立042300=-+y x ，转化为关于0x 的一元二次不等式，即可得出0x 的取值范围． 12.已知函数1()ln22x f x =+，2()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ．ln 2C ．3D ．23e - 【答案】B考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数的值.【方法点晴】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．根据()()t n f m g ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数t e m n t ln 2221--⋅=--，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知6)ax的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a =____________.【答案】5-考点：二项式定理.14.在区间[]0,1上随机抽取两个数,x y ，则事件“12xy ≥”发生的概率为_____________. 【答案】22ln 1- 【解析】试题分析：设()y x P ,，∵x ≤0，1≤y ，∴P 点落在正方形OABC 内部（含边界）．作曲线xy 21=，交正方形OABC 于D ，E 两点，则满足条件12xy ≥的点P 落在区域BDE 内（含边界）．由于2ln 212121121121-=-⨯=⎰dx xS 阴影．∴“12xy ≥”发生的概率为2ln 2121-=ABCD S S 正方形阴影．故答案为：22ln 1-．考点：几何概型.【方法点睛】本题考查了几何概型的概率计算，作出符合条件的区域是解决几何概型的方法，属于中档题．设()y x P ,，P 点落在正方形OABC 内部（含边界）．作曲线x y 21=则满足条件12xy ≥的点P 落在曲线与正方形OABC 所围成的区域内．使用定积分求出封闭区域的面积，则“12xy ≥”发生的概率为2ln 2121-=ABCDS S 正方形阴影． 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a bc B A+=，则C ∠的大小是 __________.【答案】2π考点：正弦定理.16.已知关于x的函数()f x =a ，最小值为b ，若2a b +=， 则实数t 的值为_________. 【答案】1 【解析】试题分析：函数()f x =x x xx x t tx cos 2cos 22sin 222222++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()()x x x x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++=++++=令()x x x x t x g cos 2sin 2++=，则()xx xx t x g cos 2sin 2++-=-，设()x g 的最大值为M ，最小值为N ，则0=+N M ，即有a M t =+，b N t =+，222==++=+t N M t b a ，解得1=t ．故答案为：1． 考点：函数与方程的综合运用.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，且14n n n S a a +=∙，数列{}n b 中，114b =，且1(1)n n nnb b n b +=+-， *n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12332n n n b a c +=（*n N ∈），求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =*()n N ∈；（2）222n n n T +=-. 试题解析：（1）1n =时，可得24a =，2n ≥时，14n n n S a a +=∙，114n n n S a a --=∙，两式相减，得114()n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=，∴{}n a 的奇数项和偶数项分别以4为公差的等差数列， 当*21,n k k N =-∈时，21422n k a a k n -==-=； 当2n k =，*k N ∈时，242n k a a k n ===. ∴2n a n =*()n N ∈. （2）∵1111n n n b nb n ++=-，1111(1)(1)n n n b nb n n +=-++， ∴11111()(1)1n n nb n b n n--=----， 121111()(1)(2)21n n n b n b n n ---=------，…21111(1)22b b -=--，∴131n n nb n+=， ∴1(2)31n b n n =≥+，1n =也适合，*1()31n b n N n =∈+， ∴2n n nc =，再由错位相减得222n n n T +=-. 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和. 18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥，且15A B AC ==，113AA BC ==，12AB =. （1）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A BB C --的正切值的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）1213. 【解析】试题分析：（1）推导出AC AB ⊥，1A B AC ⊥，从而AC ⊥平面11ABB A ，由此能证明平面11ABB A ⊥平面11ACC A ；（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABC 中过B 作BA 的垂线为y 轴，1BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BB C --的正切值．（2）在1A BA ∆中，∵22211A B AB AA +=， ∴1A B AB ⊥，∵1A B AC ⊥，且,AB AC 是平面ABC 内的两条相交直线， ∴1A B ⊥面ABC ，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)B ，(12,0,0)A ，(12,5,0)C ，1(0,0,5)A ，1(12,0,5)B -， 取平面11ABB A 的一个法向量1(0,1,0)n =， 设平面11BCC B 的一个法向量2(,,)n x y z =，由21200n BB n BC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得12501250x z x y -+=⎧⎨+=⎩，取5x =，则2(5,12,12)n =-，∴121212cos ,n n n n n n ∙==-∙，设二面角1A BB C --的大小为θ，则cos θ= ∴13tan 12θ=，二面角1A BB C --的正切值为1312.考点：（1）平面与平面垂直的判定；（2）平面与平面垂直的判定. 19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课 间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从 周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾 与否是相互独立的.（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数2()1f x x x η=--在区间(3,5)上有 且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. 【答案】（1）200199；（2）分布列见解析；（3）200129.试题解析：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是32111()()25200P ==， 则至少有一天停止组织集体活动的概率是1991200P -=. （2）X 的取值是0，1，2，3，4，5， 则2(0)25P X ==， 311322314114567(1)()()()2552520025P X C C ==⨯⨯⨯+==， 23213132332141141173(2)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 13223132332111141443(3)()()()()()2525525200P X C C C ==+⨯⨯⨯+=， 23231321111411(4)()()()25255200P X C C ==+⨯⨯⨯=， 32111(5)()()25200P X ===， ∴不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是X 0 1 2 3 4 5Y225 725 73200 43200 11200 1200考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）离散型随机变量及其分布列． 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>.（1）已知点,A B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC ∆的重心恰好是椭圆的右焦点F ，求,A B 所 在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点F 作直线12,l l ，直线1l 与椭圆分别交于点,M N ，直线2l 与椭圆分别交于点,P Q ， 且2222MP NQ NP MQ +=+，求四边形MPNQ 的面积S 最小时直线1l 的方程. 【答案】（1）23；（2）10x y --=或10x y +-=. 【解析】试题分析：（1，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆方程为2212x y +=，由重心公式得123x x +=，121y y +=-，由此结合点差法能求出直线AB 的斜率；（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，由题意推导出12l l ⊥，若直线12l l ⊥中有一条斜率不存在，求出四边形MPNQ 的面积为2；若直线1l ，2l 的斜率存在，设直线1l 的方程为()1-=x k y ，()0≠k ，与椭圆方程联立，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理、弦长公式求出()1212222++=k k MN ，同理可求得()222122kk PQ ++=，由此能求出四边形MPNQ 的面积S 的最小值及此时直线1l 的方程．（2）设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 则由题意：2222MP NQ NP MQ +=+， 即22222222()()()()()()()()M P M P N Q N Q N P N P M Q M Q x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-+-+-整理得：0N P M Q M P N Q N P M Q M P N Q x x x x x x x x y y y y y y y y +--++--=， 即()()()()0N M P Q N M P Q x x x x y y y y--+--=，所以12l l ⊥.②若直线12,l l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)(0)y k x k =-≠，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4220k x k x k +-+-=，则22421M N k x x k +=+，222221M N k x x k -=+，N x -==，故四边形MPNQ 的面积：22114161229212S PQ MN k k===≥+++ （当1k =±取“=”），此时，四边形MPNQ 面积S 的最小值为1629<， 所以直线1l 方程为：10x y --=或10x y +-=. 考点：椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用，难度较大.在直线与圆锥曲线相交的过程中，当涉及到弦的中点及直线的斜率时，主要利用点差法及整体代换的思想构造直线的斜率求解；把已知条件转化为12l l ⊥，分为斜率存在和不存在两种情况进行讨论. 21.（本小题满分12分）已知函数2()1xf x e ax bx =---（,a b R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若对于任意[]0,1a ∈，总存在[1,2]x ∈，使得()0f x ≤成立，求b 的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）1e -；（2）(2,1)e -.试题解析：（1）设2()1x g a e ax bx =---，则[1,2]x ∈时，()g a 在[]0,1上为减函数， 所以只要(0)10xg e bx =--≤，所以只要10x e bx --≤在[1,2]上有解即可.即1x e b x -≥在[1,2]上有解，设1()x e h x x-=，因为'2(1)1()0x e x h x x -+=>，所以()h x 在[1,2]上为增函数，只要(1)1b h e ≥=-，所以b 的最小值是1e -. （2）2()1x f x e ax bx =---，'()2xf x e ax b =--， 由(1)0f =，得10e a b ---=，∴1b e a =--， ∴'()21xf x e ax e a =--++，又(0)0f =.若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点， 则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 内不可能单调， 则'()f x 在区间0(0,)x 内不可能恒为正，也不可能恒为负，故'()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，同理'()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 故函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，'()f x 在区间(0,1)内至少有两个零点.设'()()2xu x f x e ax b ==--，∴'()2xu x e a =-.当12a ≤或2ea ≥时，函数'()f x 在区间(0,1)内单调， 不满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”； 当122ea <<时，'()f x 在区间(0,ln(2))a 内单调递减，在区间(ln(2),1)a 内单调递增， 因此1(0,ln(2))x a ∈，2(ln(2),1)x a ∈，又'min ()(ln(2))22ln(2)132ln(2)1f x g a a a a e a a a a e ==--++=--+， 令()32ln(2)1v x x x x e =--+1()22ex <<，则'()12ln(2)v x x =-， 令'()0v x =，得x =，列表如下：1(2)2e '()h x+- ()h x增1e -+减依表格知：当122ex <<时，max ()10v x e =-+<， ∴'min ()32ln(2)10f x a a a e =--+<恒成立，于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足122(0)0(1)0e a u u ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1222010e a e a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩，解得21e a -<<，综上所述，a 的取值范围为(2,1)e -.考点：（1）导数在最大值、最小值问题中的应用；（2）函数的零点.【方法点睛】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．当遇到存在a 成立时，把a 看作自变量，当设计到任意x 恒成立时，把x 看作自变量，转化为最大或最小值问题；对于零点的个数转化为图象与x 轴交点的个数，在本题中利用数形结合的思想，得到函数单调区间的个数，在转化为导函数零点的个数进行讨论求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，1O 与2O 相交于,A B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O ，2O 交于,C D 两点.（1）求证：PA PD PE PC ∙=∙； （2）求证：AD AE =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（2）连结,AC ED ，∵BC 是1O 的直径，∴090CAB ∠=， ∴AC 是2O 的切线， 由（1）知PA PC PE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O 的切线，∴CAD AED ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O 的直径，由垂径定理得，AD DE =,∴AD AE =.）考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相 交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP ∙=，其中P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12(,13；（2.试题解析：（1）曲线C 的普通方程是2214x y +=, 当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）， 代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=， 设直线C 上的点,A B 对应参数分别为12,t t ，则12028213t t t +==-， 所以点M的坐标为12(,13. （2）将2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=， 因为122212cos 4sin PA PB t t αα∙==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+， 解得25tan 16α=，由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α=， 所以直线l. 考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化成普通方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x a =++-，a R ∈.（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{11}x x -<<；（2）4a ≤-.试题解析：（1）令210x +=，得12x =-；令20x -=，得2x =. ①当2x ≥时，原不等式化为2124x x ++-<，即53x <，无解； ②当122x -<<时，原不等式化为2124x x ++-<，即1x <，得112x -<<. ③当12x ≤-时，原不等式化为2124x x --+-<，即1x >-，得112x -<≤-， 所以原不等式的解集为{11}x x -<<.（2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---， 由12a <-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩， 对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可， 作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--，∴13a --≥，得4a ≤-考点：绝对值不等式的解法.：。