一类具阻尼项的二阶半线性泛函微分方程的振动性

第３６卷第３期　Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．３　２０１５年５月　Ｍａｙ．２０１５　井冈山大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２１　

文章编号：１６７４—８０８５（２０１５）０３－００２１－０４　

一类具阻尼项的二阶半线性泛函微分方程的振动性　

林文贤，郑伟珊　

（韩山师范学院数学与统计学院，广东，潮州５２１０４１）　

摘要：通过利用Ｒｉｃｃａｔｉ变换，获得了具连续分布时滞和阻尼项的二阶半线性中立型泛函微分方程的区间振动准　则，推广和改进了最近文献的结果。　关键词：二阶半线性微分方程；振动准则；阻尼项　中图分类号：Ｏ１７５．１３　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８０８５．２０１５．０３．００５　

ｏＳＣＩＬＬＡＴＩｏＮ　ＦｏＲ　ＳＥＣｏＮＤ　ｏＲＤＥＲ　ＨＡＬＦ．ＬＩＮＥＡＲ　ＤＩＦＦＥＲＥＮＴＩＡＬ　ＥＱＵＡＴＩｏＮＳ　ＷＩＴＨ　ＤＡＭＰＩＮＧ　ＴＥＲＭＳ　

ＬＩＮ　Ｗｅｎ－ｘｉａｎ，ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｉ－ｓｈａｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＨａｎｓｈａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ，Ｏｕａｎｇｄｏｎｇ　５２１０４１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｒｉｃｃａｔｉ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｈａｌｆ－ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｄｅｌａｙｓ　ａｎｄ　ｄａｍｐｉｎｇ　ｔｅｒｍｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｓｏｍｅ　ｋｎｏｗｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｈａｌ￣ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ；ｄａｍｐｉｎｇ　ｔｅｒｍｓ　

讨论一类具阻尼项的二阶半线性中立型分布　时滞泛函微分方程　

［ｒ　）　（　（ｆ））　＋，　（，）　（　（ｆ））＋　

￣ｂｑ（ｔ，　）　（　ｇ　，　）］））　（　）＝０，　

（１）　其中，　（　）＝Ｉ　Ｏｒ－１　，　＞０且　

（ｆ）＝　（ｆ）＋ｃ（ｔ）ｘ（ｔ－ｒ）　（２）　（Ｈ１）ｒ＞Ｏ，ｃ（ｆ）∈ｃ（ｉ，１０，１＝［ｔｏ，斗。。），０　ｃＯ）　１；　

（Ｈ２）ｒ（ｔ）∈Ｃ　（，，Ｒ　），Ｒ　＝（０，ｏｏ），ｍ（ｔ）∈Ｃ（Ｉ，Ｒ），　

＝　［　ｅ　，　

ｌｉｍＲ（ｔ）＝００，，．　（ｆ）＞０；　

（Ｈ。）ｑ（ｔ，　），ｇ（ｔ，　）∈Ｃ（Ｉｘ［ａ，６］，Ｒ　），存在　ｇ（ｔ）　ｇ（ｔ，考），　∈［口，ｂ】，使得　

ｇ（ｆ）≤ｔ，ｇ　（ｆ）＞０，ｌｉｍ　ｇ（ｆ）＝Ｏ０；　

（Ｈ　）　（　）∈Ｃ（［口，６】，Ｒ）为非减函数，方程（１）　

中的积分为Ｓｔｉｅｌｔｊｅｓ积分。　当ｍ（ｔ）＝０时，方程（１）就是文献［１】所研究的　

方程。本文的目的是建立方程（１）的Ｌｅｉｇｈｔｏｎ—　Ｗｉｎｔｎｅｒｔｎｅｒ型和Ｐｈｉｌｏｓ型振动准则，使得文［１—３］成　为本文结果的特例，并且推广其他近期文献的一些　振动结果。关于本文中的函数不等式，如果没有特　别说明，都是对一切充分大的ｔ成立。　

１　主要结果　

首先给出以下著名不等式。　

收稿日期：２０１５－０１－２７；修改日期：２０１５－０３－２８　基金项目：广东省高等教育教学改革项目（ＧＤＪＧ２０１４２３９６），２０１４年度广东省高等学校特色创新（教育科研类）项Ｉ￣（２０１４ＧＸＪＫ１２５）　作者简介：林文贤（１９６６一），男，广东潮州人，教授，主要从事泛函微分方程理论及其应用研究　．ｍａｉｌ：ｌｉｎｗｘ６６＠１６３．ｃｏｒｎ）；　郑伟珊（１９８３一），女，广东揭阳人，讲师，博士，主要从事偏微分方程的数值方法研究（Ｅ．ｍａｉｌ：ｗｅｉｓｈａｎｚｈｅｎｇ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ）．

　井冈山大学学报（自然科学版）　

一　≤南等（　＞０）　

（３）　考　虑　集合Ｄｏ＝｛（ｆ，Ｓ）Ｉ　ｔ＞　ｔｏ）　和　

Ｄ：｛（ｆ，　）Ｉｔ　ｔｏ｝，如果函数Ｈ　Ｃ（Ｄ，Ｒ）满足下　

列条件：　（ｉ）Ｈ（ｔ，ｆ）＝０，ｔ≥ｔｏ；Ｈ（ｔ，　）＞０，（ｆ，　）∈Ｄｏ；　

若ｈｍｓｕｐ　１　Ｈ（ｔ，ｓ）ｐ（ｓ）Ｑ（ｓ）－Ｉ　ｈ（ｓ，ａ）Ｉ）“　（ｉｉ）＿ａＨ　０，（ｆ，　）∈Ｄｏ．　

则称日是性质Ｐ。　首先，我们给出方程（１）的Ｐｈｉｌｏｓ型振动准则。　定理１　假设存在函数ｐ（ｆ）∈Ｃ‘（，，Ｒ　），　

Ｈ（ｔ，　）具有性质Ｐ，Ｈ（ｔ，　）∈Ｃ（Ｄｏ，　）使得　

一　

（　“ＪＤ（　）ｒ（　）［ｇ（　）】　【ｇ　）ｒ　］　ｌｄｓ＝∞，　ｊ　

其中Ｑ（ｆ）＝　ｇ（ｆ，考）［１＿ｃ（ｇ（ｆ，考））】　（考），则方程（１）是振动的。　

证明：设　ｆ）是方程（１）的非振动解，不失一般　令ｆ　ｏＤ，Ｆｈ（Ｉ－Ｉ１），有　），（，）＝　，　这与　

性，可设　（ｆ）＞０，ｔ　ｔ。。　（ｆ）＞０，ｆ　＾矛盾，所以ｙ　（ｆ）＞０，ｆ　ｆ１。　由定理条件及（２）知，存在ｔｌ　ｔｏ，使得　因而，由，．，（ｆ）＞０可得　（ｆ）　Ｏ，ｔ＞－ｔＩ，　因此，　

）＞０，ｘｔｇ（ｔ，　Ｊｊ＞０，ｔ之ｔｌ，与∈Ｌａ，Ｄ　Ｊ。　由（１）有　

［，．（ｆ）Ｉ　（ｆ）Ｉ　一　Ｙ　（ｆ）］ｒ＋ｍ（ｔ）ｌｙ　（ｆ）Ｉ　一　（ｆ）≤０，ｔ＞ｔ１　

于是　

［ｅＸｐ（　－　］＜０　

下证ｙ　（ｆ）＞Ｏ，ｔ　ｆｌ。事实上，若存在ｆ２　，　

使　（　）＜０，注意到　

ｅ　出　ｙ　一ａ－Ｉ　ｙｔ∽　

是ｔ的减函数，从而有　

唧　出ｊｒ（ｆ）Ｉ　，（ｆ）ｒ　，（ｆ）　

ｅｘｐ　）Ｊａ－Ｉ　ｙ，（ｔ２）＝：　ｆ２　

因而可得　

≤『　ｅ　（一　凼）ｒ＜０　

然后从　到ｆ积分得　

啼唧　］　Ｙ　（ｆ）≤Ｙ　（　（ｆ））。　进而，结合ｘ（ｔ）　ｙ（ｔ）可得　（ｆ）＝ｙ（ｔ）－ｃ（ｔ）ｘ（ｔ－ｚ）　ｙ（Ｏ—ｃ（ｔ）ｙ（ｔ—ｆ）　［１－ｃ（ｔ）］ｙ（ｔ），ｔ　ｔｌ　于是，由（１）和上式有　

０＝Ｉ　ｒ（ｆ）（　（ｆ））ａ　Ｉ＋，，ｌ（Ｄ（　（ｆ）　＋　

（ｆ，　）（　ｇ（ｆ，　）　（　）　

（　（ｆ））　卜ｍ（　（ｆ））“＋　

９（ｆ，　一ｃ（ｇ（ｆ，　））ｒ（　ｇ（ｆ，㈣）　（　），ｔ＞ｔ１　

（５）　由于（Ｈ　）　ｙ（ｔ）是增函数，因而有　

ｙ［ｇ（ｔ，考）】　Ｊ，［ｇ（ｒ）】，ｔ≥＾，考∈［口，ｂ】　

于是，由（５）有　

）（　（ｆ））　ｉ＋　（ｆ）（　（ｆ））　＋　

（　【ｇ（ｆ）　ｒｇ（ｆ，　）【ｌ＿ｃ（ｇ（ｆ，考））ｒ　（考）　０，ｆ　

令　

＝　’ｆ＞ｆ１　（６）　

则　ｆ）　０，ｔ　ｔ．。

　井冈山大学学报（自然科学版）　

∽：　一　～　ｙ　ｇ（ｆ）】　ａｐ（ｔ）ｒ（ｔ）［ｙ　（ｆ）ｒ　ｙ　【　（ｆ）　【ｇ　）】ｇ　（ｆ）．　Ｙ　［ｇ（ｆ）】　２　２　：　：　【ｇ（，）］　

侧　一　一　

（　ｌ　ｐ（ｆ），Ｉ［ｇ（ｆ）】ｒ一　其中Ｑ（ｆ）＝ｆ：ｑ（ｔ，考）［１一ｃ（ｇ（ｆ，髻））】　（　），因而得　

∽　∽＋（　一　一　

（　））　

（７）　将（７）中的ｆ换为　并两边同乘以Ｈ（ｆ，　），在　

【‘，ｔ］Ｙ－Ｙ￣Ｔ－ｓ积分，得　

一　（　一　一　

ＳｔｌＨ（ｔ　凼＝　

＋　｛［　＋（　一　）刖］ｗ（ｓ）－Ｈ（ｔ，　

“　（ｆ１）＋ｆｔ．　（ｆ，　）＿　）　

）＋　Ｊ　洲一　）　

利用不等式（３），可得　

∽　）　

于是　、　

（　）”　

因此　

一州（　

（　）　咖∽肿　（　）　

Ｈ（ｔ，ｆ０）　ｐ（　）Ｑ　）ｄｓ＋Ｈ（ｔ，ｔｏ）Ｗ（ｔ１）　“ｐ（　）　ｇ（　）】　（ｇ　（　））　

故　

・ｔｍｓｕＰｔ．．￣ｏｏ　Ｈ（ｔ１

，ｔｏ）・啦　一（　）　

矛盾。所以方程（１）是振动的。定理１证毕。　这就是方程（１）的Ｐｈｉｌｏｓ型振动准则，下面再　“ｐ（　），．（　）【ｇ（　）】　【ｇ　（　）ｒ　∽凼州　

给出方程（１）的Ｌｅｉｇｈｔｏｎ－Ｗｉｎｔｎｅｒｔｎｅｒ型振动准则。　定理２设Ｊ９（ｆ）∈Ｃ　（，，

Ｒ　），使得　２４　井冈山大学学报（自然科学版）　

ｎｍ…ｓｕｐ　Ｊ＇￣ｌ　ｐ（ｓ）Ｑ（ｓ）－（　一　・　

！ｊ．Ｉ　：。。　（ｃｃ＋１）”　（　）ｒＪ　

（８）　，０　Ｑ（ｓ）＝Ｉ　ｇ（　，　）［１一ｐ（ｇ（ｓ，　））］　ｄ　（考），（ｇ　，　）　ｇ（ｆ））　４　则方程（１）振动。　证明：设　（ｆ）是方程（１）的非振动解，不失一般　

性，可设　（ｆ）＞０，ｔ　ｔ。。由定理１的证明有　

）＜＿　Ｑ（ｆ）＋（　一　ｒ（ｔ）Ｊ　一　Ｊ９　Ｊ　

（　）　【Ｊ９（ｆ）ｒ　（ｆ）　利用不等式（３），得到　

一　（　一　Ｈ　］　

（９）　］，Ｊｋ．ｔＩ到ｆ对（９）积分得　

ｗ（ｔ）≤ｗ（　）一　（　一　卜　令ｔ　００，对上式取上极限，注意到条件（９），　有ｗ（ｆ）　，这与ｗ（ｔ）＞０矛盾。所以方程（１）是　振动的。定理２证毕。　推论１若定理１中条件（８）改为　

Ｉ．ｐ（ｓ）Ｑ（ｓ）ｄｓ＝Ｏ０，　

［（　一　）　］…　

则方程（１）振动。　

参考文献：　

【１】　田学全，王洪珂，俞元洪．一类二阶半线性泛函微分方程　的振动性【Ｊ】．数学的实践与认识，２０１４，４４（４）：２８６－２９０．　［２］Ｘｕ　Ｒ　Ｍｅｎｇ　Ｆ．Ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｑｕａｓｉ－ｌｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００６，１８２（１）：　７９７．８０３．　［３】Ｙａｎｇ　Ｘ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ【Ｊ］．　Ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００４，１５３（１）：２２５－２２９．　［４】　林文贤．具非线性扩散系数的偶数阶中立型偏泛函微分　方程的振动性［Ｊ】＿井冈山大学学报：自然科学版，２０１４，　３５（４）：１８－２２．　［５】林文贤，俞元洪．高阶中立型时滞微分方程的振动准　则［Ｊ］．应用数学学报，２０１４，３７（６）：１０１８．１０２４．