关于二阶半线性微分方程新的振动结果

西南民族大学学报·自然科学版第36卷第6期Journal of Southwest University for Nationalities ⋅Natural Science Edition Nov.2010______________________________________________________________________________________________收稿日期：2010-10-16作者简介：费玉田(1960-), 男, 西藏大学理学院数学系副教授, 西藏数学会秘书长.文章编号: 1003-2843(2010)05-0890-07关于二阶半线性微分方程新的振动结果费玉田(西藏大学理学院数学系, 拉萨 850000)摘 要：在本文中, 得到了二阶半线性微分方程11()|()|()()|()|()0,0p t x t x t q t x t x t ααα−−′⎡⎤′′+=>⎢⎥⎣⎦的一些新的振动结果.去掉以前得到的相关结果的一些假设条件, 得到的结果推广和提升了许多新的结论, 并给出了一些例子说明本文的结果的重要性.关键词：振动判据; 半线性; 微分方程; Kamenev 型 中图分类号: O175.2 文献标志码: A1 引言本文处理下面二阶半线性微分方程的振动性问题11()|()|()()|()|()0,0p t x t x t q t x t x t ααα−−′⎡⎤′′+=>⎢⎥⎣⎦, (1)其中[)()[)()100,;(0,),,;,0p C t q C t R α∈∞∞∈∞>是常数.方程(1)的解, 指的是函数[)()1(),;x x t CT R ∈∞对于某个0x T t ≥有属性[)()11()|()|(),;x p t x t x t C T R α−′′∈∞.并且在区间[),x T ∞上满足方程(1). 它的一个非平凡解若总是大于零的, 则称其为振动的, 否则称为非振动的. 如果方程(1)的所有解都是振动的, 则称该方程为振动的[1-4].为了证明结论,使用在某个函数类的一般权重函数. 函数H 属于函数类X ,如果(),H C D R +∈, 其中(){}0,:D s t t s t ≤≤=<∞, 当t s >时, 满足(,)0,(,)0H t t H t s =>, 并且有偏导数, 使得(,Hh t s s∂=−∂ (2) 这里(,)h t s 是D 上的非负连续函数[5-10].如果()1,1p t α==, 则方程(1)可化为0()()()0,x t q t x t t t ≥′′+=. (3)如果1α=, 则方程(1)可化为0()()()()0,p t x t q t x t t t ≥′⎡⎤′+=⎣⎦. (4) 最近, 在文献[1-14], 建立了一系列对于微分方程振动的判据. 对于二阶线性与非线性的微分方程, 很多学者已经研究了一些非常重要振动判据.1989年Philos [11]证明了方程(3)的振动判据：第6期 定理1[11] 设H X ∈, 若有()010(,)0inf liminf (,)s t t H t s C H t t ≤≥→∞⎧⎫⎪⎪⎪⎪<∞⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭; ()02201limsup (,)(,)t t t C h t s ds H t t →∞<∞∫, 若存在连续函数[)()0,;A C t R ∈∞满足0T t ≥; ()023()t C A s ds ∞+=∞∫; ()24011limsup (,)()(,)()(,)4t T t C H t s a s h t s ds A T H t t ≥→∞⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎣⎦∫. 这里{}()max (),0A s A s +=, 则方程(4)是振动的.在文献[12]中, Li 给出了方程(4)相应的一些结论. 1999年J.V .Manovic [13]扩展了该结果, 建立了方程(1)的判据.前不久, Yu.V .Rogovchenko 和F.Tuncay [14]对于下面带有阻尼项的二阶非线性微分方程建立了振动判据()()()()()()(())0r t x t p t x t q t f x t ′′′++=. (5)这个判据不需要最近二十年来文献中相关结果所需要的假设. 本文的目的是利用Yu.V .Rogovchenko 和F.Tuncay [14]相似的方法进一步提升定理1.2 主要结论首先给出以下引理：引理1[13] 设,X Y 非负, 则1(1)0,1X Y XY ≥λλλλλλ−+−−>,当且仅当X Y =时等式成立.定理2 设函数H X ∈, 若存在一个正的不减的函数[)()10(),;(0,)t Ct ρ∈∞∞, 使得对某些1≥β, 有01110()()(,)1limsup (,)()()(,)(1)(,)t t t s p s h t s H t s s q s ds H t t H t s ααααβρρα++→∞⎡⎤⎢⎥−=∞⎢⎥+⎣⎦∫, (6) 其中1()(,)(,(,)()s h t s h t s H t s s ρρ′=, 则方程(1)是振动的.证明 假设方程(1)有一个非振动的解()x t , 设当0t t ≥时()0x t ≠, 令101()|()|()()(),|()|()p t x t x t t t t t x t x t ≥ααωρ−−′′=, (7) 则对每个0t t ≥, 可以得到()11()|()|()()()()()()()t t t t q t t t t p t αααρωωρωαρρ+′′=−+−. (8) 对(8)式乘以(,)H t s , 并对s 从T 到t 积分, 得(,)()()tTH t s s q s ds ρ∫()111|()|(,)()(,)|()|(,)()()ttTTt H t T T h t s s ds H t s ds t p t ≤αααωωωαρ++−∫∫西南民族大学学报·自然科学版 ()111|()|(,)()(,)|()|(,)()()tT t H t T T h t s s H t s ds t p t ααααωωωβρ+⎡⎤⎢⎥=+−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫ ()11(1)|()|(,)()()t T t H t s ds t p t ααααβωβρ+−∫. (9) 取()/(1)1/(1)|()|(,)()()s X H t s s p s ααααωβρ++⎛⎞⎟⎜=⎟⎜⎟⎜⎝⎠.()22/(1)/(1)/(1)1/(1)()()(,)1,(1)(,)s p s h t s Y Ht s ααααααααααραβαλαα+++++==+. 根据引理1, 当0t s t ≥>时, 得到()(1)11111()()(,)|()|(,)|()|(,)(1)(,)()()s p s h t s t h t s t H t s H t s s p s ≤αααααβραωωβαρ++−+. 因此, 由(9)推出(,)()()(,)()tTH t s s q s ds H t T T ≤ρω+∫()(1)1111()(,)(1)|()|(,)(1)(,)()()ttTT s h t s t ds H t s ds H t s s p s αααααααβραβωαβρ+++−−+∫∫. (10) 应用(,)H t s 的性质, 由(10)式, 对所有0t T t ≥≥,1101()(,)(,)()()(,)|()|(,)|()|(1)(,)t Ts h t s H t s s q s ds H t T s H t t s H t s ≤≤ααααβρρωωα++⎡⎤⎢−⎢+⎣⎦∫. 且对所有0t t ≥,0111()()(,)(,)()()(1)(,)tt s p s h t s H t s s q s ds H t s ααααβρρα++⎡⎤⎢−⎢+⎣⎦∫0(,)|()()||()|T t H t T s q s ds T ≤ρω⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫. (11)这表明0111()()(,)1limsup (,)()()(,)(1)(,)t t t s p s h t s H t s s q s ds H t s H t s ααααβρρα++→∞⎡⎤⎢−⎢+⎣⎦∫ 0|()()||()|Tt s q s ds T ≤ρω+<+∞∫.这与(6)式矛盾, 从而定理2得证.推论1 若方程(1)的每个解是振动的, 则可以得到001limsup(,)()(),(,)t t t H t s p s q s ds H t t →∞=∞∫ 和011()()(,)1limsup ,(,)(,)t t t s p s h t s ds H t t H t s ααρ+→∞<∞∫第6期 其中1(,),(,),()H t s h t s t ρ和定理2中相同.注 若()1,1,t ρβ==则定理2减弱为文献[13]中的定理1.适当选择函数H 和ρ, 可以由定理2得到方程(6)的许多振动标准. 例如, 考虑一个由(,)(),1,(,)H t s t s t s D µµ=−>∈定义的Kamenev 型方程(,)H t s , 取()t t µρ=, 则11()(,).t s t h t s sµµ−−=在以上结论的基础上, 可以得到下面的结论.推论2 若方程(1)的每个解是振动的, 则当1β≥时, 可以得到0111111limsup ()()()().(1)tt t t s s q s p s t s t s ds t ααµµαµαµαµαβµα++−−−−+→∞⎡⎤−−−=∞⎢⎥+⎣⎦∫ 推论3 设1limsup()(),tt t s t s q s ds t µµµ→∞−=∞∫和11111limsup()().tt t p s t s t s ds tαµαµαµα+−−−−−−→∞−<∞∫成立, 则方程(1)的每个解是振动的.例1 考虑方程110()()()()()0,v t x t x t q t x t x t t t αα−−−′⎡⎤′′+=⎣⎦≥ (12) 其中v 是任意正常数, 且0.α>这里, [)0(),(),.vp t t q t C t −=∈∞根据[11]中定理41得到10(),.t s t st t s t µµµµ−−−≥≥≥如果1(),0,c q s c sµ+>≥我们有111limsup ()()limsup ()(),ttt t t t s t s q s ds s t st q s ds t t µµµµµµµµ−→∞→∞−−=∞∫∫≥又当1,v ≥ 令1µα=+,1111limsup()()limsup ,ttv t t t t p s st s ds s ds tµαµαµα−−−−−−−→∞→∞−=<∞∫∫则根据推论3, 方程(12)是振动的.定理3 令方程H 和ρ与定理2中相同, 并假设00(,)inf liminf 0(,)s t t H t s H t t ≥→∞⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. (13) 如果存在一个函数[)0(,,)C t R ϕ∈∞使得对所有0T t ≥, 且对某些1β>,111()()(,)1limsup (,)()()()(,)(1)(,)t T t s p s h t s H t s s q s ds T H t T H t s ααααβρρϕα++→∞⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦∫≥. (14) 和110()1limsup,(,)(()())tt t s ds H t T p s s ααϕρ++→∞=∞∫ (15)其中{}()max (),0s s ϕϕ+=, 则方程(1)的每个解是振动的.西南民族大学学报·自然科学版 证明 与定理2的证明类似, 通过(7)引入函数()t ω, 对所有0t T t >≥和任意1β>, 不等式(10)成立. 因此得到111()()(,)1limsup (,)()()(,)(1)(,)t T t s p s h t s H t s s q s ds H t T H t s ααααβρρα++→∞⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦∫11()(1)1()liminf (,)(,)(()())tT t s T H t s ds H t T p s s ααωαβωβρ+→∞−−∫≤. (16) 由(14), 对所有0T t ≥和某些1β>得11()(1)1()()liminf (,)(,)(()())t T t s T T H t s ds H t T p s s ααωαβωϕβρ+→∞−+∫≥. (17) 因此()()T T ϕω≤, (18)和110000()1liminf(,)(()())(,)(1)(()())t t t s H t s ds t t H t t p s s ααωβωϕαβρ+→∞−<∞−∫≤. (19) 现在证明11()(,)(()())t s H t s ds p s s ααωρ+∞<∞∫. (20)假设11()(,)(()())t s H t s ds p s s αααωρ+∞=∞∫. (21)根据条件(13)知存在一个0ρ>使得0(,)liminf0,(,)t H t s H t t ρ→∞>> (22)且存在一个10T t >, 使得对所有1t T >, 有10(,)(,)H t T H t t ρ≥. 另一方面, 根据(21), 对任意正数K 存在一个21T T >使得对所有2t T >有11()(,)(()())t s KH t s ds p s s αααωρρ+∞∫≥.通过积分, 对所有2t T >有1100()1(,)(,)(()())t t s H t s ds H t t p s s ααωρ+∫11000()1(,)(,)(()())t s t t H t s d ds H t t s p ααωτττρτ+⎡⎤∂⎢⎥=−∂⎢⎥⎣⎦∫∫ 1100(,)1(,)(,)(,)t T H t T K H t s K ds H t t s H t t ρρ∂⎡⎤−=⎢⎥∂⎣⎦∫≥. (23) 由(23), 对所有2t T ≥有1100()1(,)(,)(()())tt s H t s ds K H t t p s s ααωρ+∫≥.第6期 由于K 是任意常数,1100()1liminf(,)(,)(()())t t t s H t s ds H t t p s s αααωρ+→∞=∞∫. 这与(19)式矛盾. 因此(20)成立, 并且由(18)1111()()(()())(()())t t s s ds ds p s s p s s ααααωϕρρ++∞∞+<∞∫∫≤.这与(15)矛盾, 因此方程(1)是振动的.取(,)(),()H t s t s s s µµρ=−=, 不难看出条件(13)成立. 因此由定理3可以立即得到下面关于方程(1)振动性的判定.推论4 如果存在一个函数[)0(,,)C t R ϕ∈∞使得对所有0T t ≥和某些1β>,111111limsup ()()()()()(1)tT t t s s q s p s t s t s ds T t ααµµαµαµαµαβµϕα++−−−−+→∞⎡⎤−−−⎢⎥+⎣⎦∫≥, (24) 和11()limsup ()tt t s ds p s sααµϕ++→∞=∞∫, (25)成立, 则方程(1)是振动的.定理4 设函数,H ρ和()s ϕ与定理3中相同, 并假设条件(13)满足. 若对某些1β>和所有0t T t >≥,111()()(,)1liminf (,)()()()(,)(1)(,)t T t s p s h t s H t s s q s ds T H t T H t s ααααβρρϕα++→∞⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦∫≥, (26) 和(15)成立, 则方程(1)的每个解是振动的.证明 定理的结论可以由极限111()()(,)1()liminf (,)()()(,)(1)(,)t T t s p s h t s T H t s s q s ds H t T H t s ααααβρϕρα++→∞⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦∫≤ 111()()(,)1limsup (,)()()(,)(1)(,)t T t s p s h t s H t s s q s ds H t T H t s ααααβρρα++→∞⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦∫≤,的性质和定理3立即得到.例2 当1t ≥时, 考虑方程211212(1)(2cos )()()(21)cos ()()0233t t x t x t t t t x t x t αα−−′⎡⎤⎡⎤′′+++−++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, (27) 其中2212()(1)(2cos ),()(21)cos ,0.233t p t t q t t t t α=++=−++>令2,1,2,µαβ===则1111limsup ()()(1)()()(1)tT t t s q s p s t s ds t ααµαµαµαβµα+−−+→∞⎡⎤−+−−⎢⎥+⎣⎦∫ 222212limsup ()(21)cos (1)(2cos )33t T t s t s s s s s ds t →∞⎧⎫⎡⎤=−−++−++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∫西南民族大学学报·自然科学版 252()sin 2cos 3sin 2cos 2sin ,33TT T T T T T T T T ϕ==−++−−−且11222211()()()limsup limsup 2limsup 13()(1)(2cos )23tttt t t t s s s ds ds ds ss p s s ααϕϕϕ++++→∞→∞→∞==∞+++∫∫∫≥. 则方程(27)是振动的. 不过, 注意到2211limsup (1)(2cos )3tt s s ds t →∞++=∞∫.和222112limsup()(21)cos 3tt t s t t t ds t →∞−−++=∞∫. 即0201(,)limsup ()(,)(,)t t t h t s p s ds H t t H t s →∞=∞∫. 和01limsup()(,)(,)t t t q s H t s ds H t t →∞=∞∫.时, 条件2C 不能满足, 因此方程(27)不能应用定理1. 参考文献:[1] AGARWAL R P, GRACE S R, REGAN D O. 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