反复荷载作用下的混凝土损伤本构模型

（5）其 中 ： A1 = E0α d ， B1 = (1− 2α d )E0ε c ，
其中 P(ε ) 、 Q(ε ) 均为多项式，
lim
x→ x0
P(x)
=
P(x0
)
，
lim
x→ x0
Q(x)
=
Q(x0
)
≠
0，
则
lim
x → x0
F ( x)
=
lim
x→ x0
P(x) Q(x)
=
F(x0 ) 。
Dc
=
23716.143ε 23716.143ε
2 2
− −
39.091ε 39.091ε
+ +
0.0317 0.0577
Dc = 318.3948ε − 5494.618ε 2
Dc
=
33836.634ε 33836.634ε
2 2
− −
70.181ε 70.181ε
+ +
0.0580 0.0910
图 1 混凝土受力状态
根据Najar损伤理论[9]，定义损伤变量
裂化程度。由于混凝土材料力学性能的特殊 性决定了其受压、受拉损伤程度的差异性，
Dc 的值为：
为此本文建立了混凝土受压和受拉损伤变
量模型，分别以 Dc 代表混凝土受压损伤变
Dc
= Wperf − WPE W perf
=
1 2
E0ε
2
−
1 2
σ = ε ⋅ E0 (1 − Dt ) ε > ε f （13）
式中： E0 —材料无损时的弹性模量， Dt —
混凝土受拉损伤变量，假定材料的初始损伤
•
•
D = ( A + 2Bε ) ×ε
0≤ε ≤εc
（10）D0 = 0 。
•
D
=
( A1B2
−
A2
B1 )ε
2
+
2( A1C2
−
A2 C1
)ε
+
( B1C 2
−
C1 B 2
)
•
×ε
按文献[10]给出的值选取计算，确定峰
( A2ε 2 + B2ε + C2 ) 2
值应力以后的损伤演变方程为：
ε c < ε ≤ ε cu
（11）
由式（8）、（9）、（10）及式（11）给出
的损伤变量方程以及损伤演化方程，能过很
•
Dt
=
1.7α t ( ε ε t − 1)0.7 + 1
理论对此不能予以很好的解释。作为固体力 前为止，针对混凝土材料在反复荷载作用下
学的一个分支——损伤力学，是在连续介质 损伤本构模型的研究还未见文献报道。
力学和热力学的基础上，用固体力学的方法
本文根据Najar损伤理论[9]，建立新的分
研究材料或构件宏观力学性能的演变直至 段曲线混凝土受压损伤变量方程以及混凝
损伤程度，将损伤变量耦合到混凝土材料本
1. 引言
构模型当中，用含损伤的本构模型代替不含 损伤的本构模型，不仅可以动态追踪由于混
混凝土结构是当今土木工程中应用最 凝土的损伤造成其强度劣化，还可以量化混
为广泛的结构形式之一，该结构在外荷载、 凝土结构的损伤程度，对评价混凝土结构的
温度、徐变等因素作用下都将产生损伤劣 累积损伤将具有积极的意义。
损伤变量 Dc 是一个在区间[0，1]上的单
调有界函数，所以在外载荷作用下混凝土的 变形值在逐步增大的过程当中，损伤变量函
凝土，其系数差异较大。为此，根据已有的 单轴受压混凝土应力—应变全曲线来反演
计算描述混凝土的损伤变量 Dc 方程，同时
推导出不同强度等级下混凝土的损伤变量 方程及其演化方程。
混凝土受压含损伤变量的本构关系由 （1）式变为：
αtεt
⎢⎣⎡( ε
εt
− 1)1.7
+
ε
εt
⎤2 ⎥⎦
•
ε
（14）
3.对比混凝土受压应力—应变全曲线
好的描述单轴受压混凝土全过程损伤状况。
3.1 不同混凝土强度的损伤对比
为定量分析混凝土结构或构件损伤程度提
根据损伤力学原理建立的损伤变量方
供了另一个有效途径。
程，分别对不同强度等级的混凝土随压应变
2.2 混凝土受拉损伤模型的建立
的Wperf = WPE ，损伤值 Dc = 0 ；而对于损伤结
构，0 ≤ WPE ≤ W perf ，且当结构处于损伤的极
OA，即σ = E0ε ，则混凝土无损伤状态下所
限状态时，Wperf >> WPE ，那么 Dc = 1，则 Dc 值
作的功为：
W perf
=
1 2
E0ε
2
应介于 0 和 1 之间。
破坏的全过程，可以动态跟踪描述损伤破坏 土受拉应力—应变全曲线软化段损伤变量
的全过程，对于材料或结构的破坏程度给出 方程，并给出了不同强度等级的混凝土损伤
具体的判据。
演变方程。在此基础上，根据已有的混凝土
混凝土结构损伤评价强烈的依靠混凝 反复荷载作用下的滞回规则，建立了在某一
土损伤模型，建立在材料层面上的混凝土损 循环荷载下的加载、再加载、卸载路径下的
为了描述混凝土由于累积损伤而导致 结构性能的逐步裂化直至最终破坏的整个 发展历程，本文提出采用分段曲线损伤变量 方程来描述单轴受压混凝土全过程损伤状
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态。根据图 1 所示的应力—应变全曲线，在 压应力作用下受压区原有微裂缝有闭合的 趋势，可认为受压区无损伤，即不考虑初始 损伤。由于 Najar 的损伤理论是从宏观的耗 能角度来反映混凝土这种材料的损伤状态， 但实际上用该方法量化混凝土的损伤程度 难度较大。为此本文在 Najar 损伤理论基础 之上，将损伤变量值转化为以变形作为变量 来描述其损伤程度。
（2） 2.2.2
损伤变量方程及其演变方程的建立
式中：E0 —混凝土初始弹性模量；ε —混凝
土压应变。
混凝土的损伤劣化宏观上表现为其力 学性能的劣化和裂纹的扩展，混凝土材料内 部损伤是随外界因素（如荷载）作用的变化 而变化。为了动态跟踪描述损伤的发展，除 了要建立损伤变量方程外还应建立描述损 伤发展的方向，即损伤演变方程。
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反复荷载作用下的混凝土损伤本构模型
李淑春，刁波，叶英华
（北京航空航天大学 土木工程系，北京，100083）
摘 要：混凝土损伤模型的研究，实际上是研究混凝土材料的本构行为。在外界因素作用下，
材料的累积变形引起结构内部损伤发展，最终的损伤将产生宏观裂缝直至整个结构破坏。本
σ = (1 − Dc )E0ε
（7）
选取典型的混凝土应力—应变全曲线
（《混凝土结构设计规范》50010-2002）[10]，
数 Dc 应具有收敛性。
得到混凝土受压损伤变量方程为：
设多项式：
D = Aε + Bε 2
0≤ε ≤εc
（8）
f (x) = a0 x n + a1x n−1 + L + an
大量的试验研究表明，混凝土受拉累积
Dc = 274.066ε + 6927.859ε 2
Dc
=
43997.441ε 43997.441ε
2 2
− 105.487ε − 105.487ε
+ +
0.0897 0.1302
除了定量的反映混凝土的损伤状况，还 应能很好的描述损伤发展方向。根据损伤变 量方程可以直接推算混凝土损伤演化方程， 根据式（8）、（9）的损伤变量方程可以直接 推算混凝土损伤演化方程。
伤模型可以真实的反应实际结构或构件的 损伤本构模型。该方法的优点是参数少，不
本课题得到国家自然科学基金（50342015）、北京市自然科学基金资助项目（8052014）和国家教育振兴行 动计划（BHB985-1-04）资助。
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同的混凝土强度有确定的损伤演变方程，可 以动态分析混凝土的累积损伤程度。
力学过程作简要分析。在应变为 ε 的过程
中，外力功可以转化为弹性应变能、塑性耗 散和损伤扩展三部分。假设混凝土处于无损 的理想状态下，其应力—应变关系为直线
的损伤变量很好地反映了混凝土结构的微 观裂缝发展和宏观力学性能的劣化过程，避 开对混凝土结构的细观裂纹的研究，这有助 于对混凝土结构的损伤分析。从（3）式可 以看出，对于理想无损状态下的混凝土结构
根据已有的混凝土反复荷载作用下的滞回规则，建立了在某一循环荷载下的加载、再加载、
卸载路径下的损伤本构模型，该模型考虑了混凝土在反复荷载作用下的应力跌落、裂面效应、
强度下降、刚度退化等力学性能。为混凝土结构损伤仿真分析提出了另一个解决新途径。
关键词：混凝土；受压损伤；受拉损伤；反复荷载；损伤本构模型
中图分类号：TU528.01
为此，本文建立的损伤变量 D 与应变 ε
之间的函数关系式为分子与分母均为多项
C1
=
E
0α
d
ε
2 c
−
f ck ε c
，
A2 = E0α d
，
B2
=
(1− 2α d
)E0ε c ，C2
=
α
d
ε
2 c
E
0
，E0
、ε
c
、
f ck —分别为初始弹性模量、峰值应变和抗 压强度标准值；α a 、α d —为材料参数，可
2. 混凝土损伤本构模型
根据热力学原理和等应变假设得到的
σ
无损状态
A
σ = E0ε
σ = f (ε )
WD C
损伤状态
混凝土损伤本构关系为：
σ c = (1 − D)E 0ε
（1）
式中，D 为混凝土损伤变量。在这个方程式
E
WP
WE
B
ε
0
D
ε
ε p εe
当中，关键是如何确定损伤变量 D 值，因为 该值将直接反映能否客观评价混凝土损伤
化。尤其在地震作用下，损伤劣化程度最为
从上个世纪 80 年代开始，国内外学者
明显破坏也最为严重。历次大地震表明，在 展开了对混凝土材料损伤模型的研究，混凝
地震作用下，混凝土结构都将经历不同程度 土材料损伤模型研究，主要从其材料的本构
的损伤、断裂甚至倒塌破坏，造成惨重的人 关系入手，考虑在本构模型中加入损伤变量
材料有关的参数，它们仅与材料本身的性质 有关，而与外在的加载工况无关。但是，由 于混凝土材料的离散性，针对不同等级的混
表 1 不同等级混凝土损伤变量方程
强度等级
混凝土损伤变量方程
C20
0
<
ε
≤
ε 0
Dc = 411.3273ε − 32286.288ε 2
-3-
ε 0
<
ε
≤
ε u
0
<
ε
≤
ε 0
C25
员伤亡和经济损失，因此展开对混凝土结构 来反映材料的损伤演变过程。比较典型的损
在地震激励下的损伤评价分析将具有积极 伤模型主要有：Loland损伤模型[1]，Mazar
的意义。
损伤模型[2]以及分段线性损伤模型[3]、分段
混凝土结构中的材料在各个不同受力 曲线损伤模型[4]，Sidoroff损伤模型[5]，而假
阶段都将不同程度地受到损伤，伴随着外荷 定 混 凝 土 为 各 向 异 性 损 伤 模 型 有
载的作用混凝土材料的强度、结构的刚度将 Krajcnovi[6]、高路彬[7]模型、余天庆[8]模型
随累积损伤而衰减，最终导致结构性能劣 等。其他的还有考虑混凝土疲劳破坏、随机
化、寿命降低甚至发生破坏，而传统的破坏 性、徐变、温度等影响的损伤模型。而到目
式的有理分式形式，即
查阅 50010-2002。表 1 给出了根据式（8）、
Dc (ε )
=
P(ε ) Q(ε )
=
a0ε n + a1ε n−1 + L + an b0ε n + b1ε n−1 + Lbn
（6）（9）计算得到的不同混凝土等级损伤变量 方程。
式中： a0 、 a1 、 an 及 b0 、 b1 、 bn 等为与
ε 0
<
ε
≤
ε u
0
<
ε
≤
ε 0
C30
ε 0
<
ε
≤
ε u
0
<
ε
≤
ε 0
C35
ε 0
<
ε
≤
ε u
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Dc
=
14502.9936ε 2 14502.9936ε 2
− 13.829ε − 13.829ε
+ +
0.0116 0.0313
Dc = 361.9187ε −17694.854ε 2
σε
1 2
E0ε
2
（3）
量、Dt 代表混凝土受拉损伤变量以示区别。
式中，WPE
=
1 σε 2
见图
1
中的 S
= ∆OCB ，（3）
2.1 混凝土受压损伤变量模型的建立
式实际上反映了损伤混凝土材料的应力跌 落现象。从能量耗散不可逆的基本思想建立
2.1.1 受压损伤变量 Dc 的确定
混凝土受压的力学全过程等价与热力 学过程，其损伤实质是能量耗散过程或不可 逆的热力学过程。图 1 对混凝土单轴受压的
文根据 Najar 损伤理论，提出了新的分段曲线混凝土受压损伤变量模型和混凝土受拉软化段
损伤变量模型，给出了不同强度等级的混凝土损伤变量方程和损伤演化方程。通过计算对比
分析认为，建议的损伤模型与已有的混凝土本构模型吻合较好。该方法的优点是参数少，不
同的混凝土强度有确定的损伤演变方程，可以动态分析混凝土的累积损伤程度。在此基础上，
且
lim
x → x0
f (x) =
f (x0 )
又设有理分式函数为
（4）其中：A
=
f ck
E0
ε
2 c
(2α a
− 3) ；B
=
f ck
E
0ε
2 c
(2 Hale Waihona Puke Baiduα a )
D = A1ε 2 + B1ε + C1 A2ε 2 + B2ε + C2
ε c < ε ≤ ε cu
（9）
F(x) = P(x) Q(x)