2018届高考数学分类练习 第15练 函数中的易错题 含答案

函数的应用（有解析2018年高考理科数学易错点）1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.【答案】；2.【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.【答案】写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且：，据此x的取值范围是：.3.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.4．(2016天津)已知函数f(x)＝sin2ωx2＋12sinωx－12(ω0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A.0，18B.0，14∪58，1C.0，58D.0，18∪14，58答案D解析f(x)＝1－cosωx2＋12sinωx－12＝12(sinωx－cosωx)＝22sinωx－π4.因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以T22π－π，所以πωπ，所以0ω1.当x∈(π，2π)时，ωx－π4∈ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4kπ2ωπ－π4(k∈Z)，即k2＋18ωk＋14(k∈Z)．当k＝0时，18ω14；当k＝1时，58ω54.所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0ω≤18或14≤ω≤58.5．(2016天津)已知函数f(x)＝x2＋4a－3x＋3a，x0，logax＋1＋1，x≥0(a0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.0，23B.23，34C.13，23∪34D.13，23∪34答案C解析由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0a1. 又由f(x)在R上单调递减，则02＋4a－30＋3a≥f0＝1，3－4a2≥0，⇒13≤a≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x同样有且仅有一个解．当3a2，即a23时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝34或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a∈13，23∪34.故选C.6．(2016山东)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，xm，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)7．(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案33解析由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝13Sh＝13×12×23×1×1＝33.8.【2016高考上海理数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．（3）．【解析】（1）由，得，解得．（2），，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．于是满足题意的．综上，的取值范围为．（3）当时，，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．9.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）、①和②均为真命题、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例,,②前两式作差，可得结合第三式，可得,也有∴②正确故选D.易错起源1、函数的零点例1(1)已知实数a1,0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)(2)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．2B．3C．4D．5答案(1)B(2)A解析(1)因为a1,0b1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝1a－1－b0，f(0)＝1－b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．当x0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝－1－52或x＝－1＋52(舍去)．所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.【变式探究】(1)函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,10)(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案(1)C(2)B解析(1)∵f(2)＝lg2－120，f(3)＝lg3－130，∴f(2)f(3)0，故f(x)的零点在区间(2,3)内．(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝12x的解，作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝12x的图象．由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．【名师点睛】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．【锦囊妙计，战胜自我】1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．易错起源2、函数的零点与参数的范围例2、(1)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝b，a－b≥1，a，a－b1.设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是()A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0)D．[－2,1)答案D解析解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，所以f(x)＝x＋4，x∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x2－1，x∈－2，3.函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．如图，所以－1－k≤2，故－2≤k1.(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．①若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；②确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解①∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e(x0)，当且仅当x＝e2x时取等号，∴当x＝e时，g(x)有最小值2e.∴g(x)＝m有零点，只需m≥2e.∴当m∈[2e，＋∞)时，g(x)＝m有零点．②若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．如图，作出函数g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其对称轴为x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，则m－1＋e22e，即当m－e2＋2e＋1时，g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_________________．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(1)(－∞，2ln2－2](2)(0,2)解析(1)f′(x)＝ex－2，当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)0；当x∈(ln2，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a.由于所以f(x)有零点当且仅当2－2ln2＋a≤0，所以a≤2ln2－2.(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．【名师点睛】(1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y ＝f(x)的值域．【锦囊妙计，战胜自我】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．易错起源3、函数的实际应用问题例3、某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝1260x＋1；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)＝a－bx(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解(1)当20x180时，由a－b20＝60，a－b180＝0，得a＝90，b＝35.故q(x)＝1260x＋1，0x≤20，90－35x，20x180，0，x≥180.(2)设总利润f(x)＝xq(x)，由(1)得，f(x)＝126000xx＋1，0x≤20，9000x－3005xx，20x180，0，x≥180.当0x≤20时，f(x)＝126000xx＋1＝126000－126000x＋1，f(x)在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.当20x180时，f(x)＝9000x－3005xx，f′(x)＝9000－4505x，令f′(x)＝0，得x＝80.当20x80时，f′(x)0，f(x)单调递增，当80x180时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有最大值240000.当x180时，f(x)＝0.答当x等于80元时，总利润取得最大值240000元．【变式探究】(1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为() A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．答案(1)B(2)4050解析(1)假设个人稿费为x元，所缴纳税费为y元，由已知条件可知y为x的函数，且满足y＝0，x≤800，y＝0，0.14x－800，800x≤4000，y∈0，448]，0.11x，x4000，y∈440，＋∞，共纳税420元，所以有0.14(x－800)＝420⇒x＝3800，故选B.【名师点睛】(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【锦囊妙计，战胜自我】解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．。

笔记二函数与导数易错点7求函数定义域时忽视细节典例7若2x2-6x+y2=0,则x2+2x+y2的最大值是.【错因分析】考生在解题过程中,容易忽视x的取值范围,从而出现错误结果.【正确解答】因为2x2-6x+y2=0,所以y2=6x-2x2,x2+2x+y2=-(x-4)2+16,又因为y2=6x-2x2≥0,所以0≤x≤3,所以当x=3时,所求式子取得最大值15.故填15.易错点8判断函数单调性时忽视定义域(x2-5x+6)的单调增区间为() 典例8函数y=lo g12,+∞B.(3,+∞)A.52D.(-∞,2)C.-∞,52【错因分析】因为函数y=lo g1u为减函数,故只需找函数u=x2-5x+6的单调递减区间,所以选C.该解法没有考虑到函数的定义域,从而导致函数的单调区间范围扩大.【正确解答】由定义域为(-∞,2)∪(3,+∞),排除A,C,因为函数y=lo g1u为减函数,故只需找函数u=x2-5x+6的单调递减区间,故函数y=lo g1(x2-5x+6)的单调递增区间为(-∞,2).故选D.易错点9判断函数奇偶性时忽视定义域的对称性的奇偶性.典例9判断函数f(x)=(x-1)1+x1-x【错因分析】因为f(-x)=f(x),所以得出函数f(x)是偶函数,此解法忽视了对函数定义域的讨论.≥0,得函数定义域为[-1,1),关于原点不对称,故函数f(x)为【正确解答】由1+x1-x非奇非偶函数.易错点10错误利用零点存在性定理典例10试判断函数f(x)=x-1(x<1),1+ln x(x≥1)在区间(0,2)内是否有零点?【错因分析】本题考生易由f(0)=0-1<0,f(2)=1+ln2>0得出函数f(x)在(0,2)内存在零点的错误结果.产生错误的原因是分段函数f(x)在x=1处是“断开”的,其图象在(0,2)内不是连续不断的一条曲线,错误利用了零点存在性定理.【正确解答】画出函数f(x)=x-1(x<1)1+ln x(x≥1)的图象如图所示,由图象知函数f(x)在(0,2)内不存在零点.易错点11导数的几何意义不明确典例11已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).(1)求证:x1,x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根;(2)设|MN|=g(t),求函数g(t)的表达式.【错因分析】本题易出现的错误为:(1)不理解导数的几何意义,致使求错切线方程;(2)利用两点间的距离公式求g(t)时,易在化简和利用(1)中结果整体带入时出错.【正确解答】(1)∵M,N两点的横坐标分别为x1,x2,f'(x)=1-tx2,∴切线PM的方程为:y- x1+tx1=1-tx12(x-x1).又∵切线PM过点P(1,0),∴0- x1+tx1=1-tx12(1-x1),即x12+2tx1-t=0.①同理,由切线PN也过点(1,0),得x22+2tx2-t=0.②由①②可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根.(2)由(1)知x1+x2=-2t,x1x2=-t,∴g(t)=|MN|=(x1-x2)2+ x1+tx1-x2-tx22=[(x1+x2)2-4x1x2]1+1-tx1x22=20t2+20t(t>0).易错点12混淆导数与单调性的关系典例12已知函数f(x)=x 33-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上是增函数,求实数m的取值范围.【错因分析】研究函数的单调性与其导函数的关系时要注意f'(x)>0(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件,实际上,可导函数f(x)在(a,b)内为单调递增(减)函数的充要条件为:对于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零,否则极易出错,使得m的取值范围为(2,4).【正确解答】f'(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,依题意,知f'(x)在R上恒大于或等于0,所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,解得2≤m≤4.易错点13导数与极值关系运用不当典例13已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其中g(x)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.求函数g(x)的单调区间和极大值.【错因分析】f'(x0)=0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件,即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑是否满足f'(x)在x0两侧异号.处理好导数与极值的关系是避免错误的关键.【正确解答】∵g(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,∴对任意x∈R,g(-x)=-g(x),即a(-x)3+b(-x)2+c(-x)+d=-(ax3+bx2+cx+d),∴bx2+d=0对任意x∈R都成立,∴b=d=0,∴g(x)=ax3+cx,g'(x)=3ax2+c.又当x=1时,g(x)取得极值-2,∴g(1)=a+c=-2,g'(1)=3a+c=0,解得a=1,c=-3.∴g(x)=x3-3x,g'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在区间(-∞,-1],[1,+∞)上是增函数;当x∈(-1,1)时,g'(x)<0,故g(x)在区间[-1,1]上是减函数.∴当x=-1时,g(x)取得极大值2.易错点14忽视对参数进行讨论典例14已知函数f(x)=1+x1-xe-ax.(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围.【错因分析】本题考生容易忽视对参数a的讨论.比如该题在(1)中,确定导函数f'(x)=ax 2+2-a(1-x)2e-ax的正负时,关键是要确定ax2+2-a的正负,而2-a的正负不确定就无法判定导函数f'(x)=ax 2+2-a(1-x)2e-ax的正负,所以需分0<a<2,a=2,a>2三种情况讨论.【正确解答】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),导数为f'(x)=ax 2+2-a(1-x)2e-ax.①当0<a<2时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)在区间(-∞,1)∪(1,+∞)为增函数.②当a=2时,f'(x)>0(x≠0,x≠1),故函数f(x)在区间(-∞,1)∪(1,+∞)仍为增函数.③当a>2时,解f'(x)=0得x=±a-2,所以函数f(x)在区间-∞,-a-2a ,a-2a,1,(1,+∞)上为增函数,f(x)在区间-a-2a ,a-2a内为减函数.(2)参数a的变化范围和(Ⅰ)不同,但由(Ⅰ)知仍分三种情形讨论.①当0<a≤2时,由(Ⅰ)知f(x)在区间(-∞,1)为增函数,故对于任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1,因而这时a满足要求.②当a>2时,由(Ⅰ)知f(x)在区间-a-2a ,a-2a为减函数,故在区间0,a-2a内任取一点,比如取x0=12a-2a,就有x0∈(0,1)且f(x0)<f(0)=1,因而这时a不满足要求.③当a≤0时,对于任意x∈(0,1)恒有f(x)=1+x1-x e-ax≥1+x1-x>1,这时a满足要求.综上可知,a的取值范围为(-∞,2].。

专题02 函数易错点1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知3f x -＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f 用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1f x ＝，求()f x ．(11)t t ≥-＝，则x =（t +1）2，所以f （t ）＝（t ＋1）2，故f （x ）＝（x ＋1）2（x ≥－1）．易错点2 分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A. 2[,1]3B ．[0,1] C. 2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122a f a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝，方程恒成立，故选D.【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若()()2f f x ＝，则x 的取值范围是________.【解析】设f （x ）＝t ，∴f （t ）＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f （t ）＝2，此时－1≤f （x ）≤1，无解，当t ＝2时，满足f （t ）＝2，此时f （x ）＝2,即－1≤x ≤1或x ＝2. 【答案】{2}∪[－1,1]易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________. 【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈（－2，＋∞）时是增函数，当x ∈（－∞，－2）时是减函数，则f （1）等于 A ．－3B ．13C ．7D ．由m 决定的常数【解析】由f （x ）＝2x 2－mx ＋3，得对称轴x ＝m 4，∴m4＝－2，即m ＝－8，代入f （x ）＝2x 2－mx ＋3，有f （x ）＝2x 2＋8x ＋3.将x ＝1代入f （x ）＝2x 2＋8x ＋3，得f （1）＝13. 【答案】B易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） ()f x -， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ）， ∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性．∵()()f x f x =--，∴f （x ）为奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋b 是定义在区间[－2b,3b －1]上的偶函数，则函数f （x ）的值域为_________．【答案】[1,5]易错点5 因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ] 12＝________. 【错解】 （1－a ）[（a －1）－2·（－a ）12 ]12＝（1－a ）（a －1）－1·（－a ）14 ＝－（－a ）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a ）12 ，即相当于告知－a ≥0，故a ≤0，这样，[（a －1）－2]12 ≠（a －1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a ）12 知－a ≥0，故a －1<0.∴（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ]12＝（1－a ）（1－a ）－1·（－a ）14 ＝（－a ）14 .在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a -，则必须有－a ≥0，即a ≤0.5A ．－4a －1 B ．4a －1 C ．（a －1）4D ．14a －1【答案】B易错点6 忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log （a －2）（5－a ）＝b 中，实数a 的取值范围是 A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A.【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．使对数log a （－2a ＋1）有意义的a 的取值范围为A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12【解析】由对数概念知使对log a （－2a ＋1）有意义须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ≠1－2a ＋1>0解得0＜a ＜12，故选B.【答案】B易错点7 复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2（x2－x－a）值域为R的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y＝log2（x2－x－a）的值域才为R.而当Δ<0时，f（x）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R）．1．求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数y＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解析】由已知，知u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0.解得a ＞1，故a 的取值范围是a ＞1.注意y ＝lg （ax 2＋2x ＋1）的值域为R 与u ＝ax 2＋2x ＋1恒为正不一样．前者要求函数u ＝ax 2＋2x ＋1能取遍一切正实数，后者只要求u ＝ax 2＋2x ＋1取正时，对应的x ∈R 即可．易错点8 函数与方程函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B.【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭与3y x =图象的交点坐标为（00,x y ），则0x 所在的大致区间为A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4()1,2，故选B.【答案】B一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A→非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．[2017新课标I 卷理]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 2．[2017新课标I 卷理]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3．[2017北京卷理]已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A【解析】()()113333x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.4．[2017北京卷理]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 【答案】D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 5．[2017天津卷理]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ． 【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．6．[2017山东卷理]设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（−2,1）D ．[−2,1） 【答案】D【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7．[2017山东卷理]已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()23,⎡+∞⎣D ．([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．已知函数2log ,0()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f = A ．19 B ．9 C ．19-D ．9-【答案】A 【解析】211()log 244f ==-,所以211[()](2)349f f f -=-==，故选A ．9．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【答案】A【名师点睛】不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.10．若函数ln ()e (0)axxf x a a=->存在零点，则a 的取值范围是 A ．1(0,]e B ．21(0,]eC ．211[,]e eD ．1[,)e+∞【答案】A【解析】因为这两个函数互为反函数，图象关于直线x y =对称，本题又可转化为e ax y =的图象与直线x y =存在公共点.当e axy =的图象与直线x y =有一个公共点时，满足(e )1ax'=，11ln x a ∴=，1y a ∴=，y x =，111ln ∴=当e ax y =的图象与直线x y =a A.11．[2016上海卷理]设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是 A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 【答案】D12．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是_________.【答案】1【解析】由幂函数的定义及幂函数的图象不过原点，可得2233=120m m m m ⎧-+⎪⎨--<⎪⎩，解得1m =.13．[2017新课标III 卷理]设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()()12g x f x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，当0x ≤时，()()13222g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭；函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)001111,201,22142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 14．[2017浙江卷]已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．15．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝_______.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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笔记三三角函数易错点15忽视“隐含条件”典例15设0<α<π,sin α+cos α=12,求cos2α-sin2α的值.【错因分析】本题产生错误的原因是易忽视题干中的隐含条件“sinα,cosα”异号,而根据(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα得到cosα-sinα可取两个值的错误结论.【正确解答】因为sin α+cos α=12,所以(sin α+cos α)2=14,2sin α cos α=-34.又因为0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0.因为(cos α-sin α)2=1-2sin α cos α=1+34=74,所以cos α-sin α=-72.故cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=-74.易错点16忽视对字母的分类讨论典例16设函数f(x)=a sin2x+π3+b(x∈R)的最大值为5,最小值为-1,求实数a,b的值.【错因分析】这里误认为a sin2x+π3的最大值是a,最小值是-a,忽视了对字母a取值的分类讨论,从而得出错误的结果:a=3,b=2.【正确解答】由题意可知a≠0.当a>0时,由题意,得a+b=5且-a+b=-1,解得a=3,b=2;当a<0时,应有-a+b=5且a+b=-1,解得a=-3,b=2.综上,a=3,b=2或a=-3,b=2.易错点17忽视函数定义域的限制典例17函数y=tan x1-tan2x的最小正周期为.【错因分析】化简三角函数式之前,忽略了函数的定义域,直接根据化简结果y=12tan2x得出函数y=tan x1-tan2x的最小正周期为π2的错误结果.【正确解答】要使函数有意义,需满足x≠kπ±π4(k∈Z),x≠kπ+π2(k∈Z).化简函数得y=tan x1-tan x =12tan 2x,画出y=tan 2x,x≠kπ±π4且x≠kπ+π2,k∈Z的图象.根据图象可得y=tan x1-tan2x的最小正周期为π.故填π.易错点18忽视正、余弦函数的有界性典例18求函数y=(sin x-2)(cos x-2)的最大值和最小值.【错因分析】许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时易忽略正、余弦函数的有界性,该题容易出现的问题是令sin x+cos x=t时,忽略了|t|≤2.【正确解答】原函数可化为y=sin x cos x-2(sin x+cos x)+4.令sin x+cos x=t(|t|≤则sin x cos x=t 2-1 2 ,∴y=t2-12-2t+4=12(t-2)2+32.∵t∈[-2,2],且函数在[-2,2]上为减函数,∴当t=2,即x=2kπ+π4(k∈Z)时,y min=92-22;当t=-2,即x=2kπ-3π4(k∈Z)时,y max=92+22.易错点19忽视复合函数的单调性典例19求函数y=cosπ6-x 的单调递增区间.【错因分析】令z=π6-x,则y=cos z.由于z=π6-x是减函数,所以y=cos z的单调递增区间是复合函数y=cosπ6-x 的单调递减区间.该题容易出现的问题是由y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,得出y=cosπ6-x 的单调递增区间为2kπ-π≤π6-x≤2kπ,从而得出-2kπ+π6≤x≤-2kπ+7π6,k∈Z的错误结果.这里因忽视复合函数的单调性致错,这种错误常常出现,要引起注意.【正确解答】因为y=cosπ6-x =cos x-π6,所以y=cos x-π6的单调递增区间即为y=cosπ6-x 的单调递增区间,即2kπ-π≤x-π6≤2kπ,解得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6.因此函数y=cosπ6-x 的单调递增区间是2kπ-5π6,2kπ+π6,k∈Z.易错点20图象平移变换的方向与距离把握不准典例20若将函数y=tan ωx+π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,与函数y=tan ωx+π6(ω>0)的图象重合,则ω的最小值为.【错因分析】在对图象进行平移或伸缩时,都是只针对x本身而言的,平移只是在x本身加上(或减去)某个值,伸缩只是给x本身乘以某个值,与其他量无关.本题我们容易在ωx上减去π6,而正确的方法是在x上减去π6.【正确解答】y=tan ωx+π4y=tan ω x-π6+π4=tan ωx+π6,因此π4−π6ω=π6+kπ(k∈Z),解得ω=12-6k(k∈Z),又∵ω>0,∴ωmin=12.易错点21三角恒等变换忽视角的范围典例21在△ABC中,如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=33,则∠C的大小是()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°或120°【错因分析】造成错解的原因是对于三角形这个条件的忽视,此题若没有“在△ABC中”这个条件,则选项C是正确的,但多了这个条件就有了限制,如从第一个等式4sin A+2cos B=1中可得,cos B<12,那么∠B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.【正确解答】对上面两式进行平方相加可得16+4+16 sin(A+B)=28,所以sin(A+B)=12,所以A+B=30°或150°,所以∠C的大小是30°或150°,但从第一个等式4 sin A+2 cos B=1中可得cos B<12,那么B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.因此∠C的大小是30°.故选A.易错点22解三角形时忽视对解的讨论典例22在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=3.(1)若∠C=π3,求∠A;(2)若∠A=π6,求b的值.【错因分析】第(1)问易出现多解的错误,由已知条件求得sin A=a sin Cc =12,即可得出∠A=π6或∠A=5π6,没有考虑c>a;第(2)问易出现漏解的错误,由sin C=c sin Aa=32,只得出∠C=π3,漏了∠C=2π3.【正确解答】(1)由正弦定理得asin A =csin C,所以sin A=a sin Cc =12,即∠A=π6或∠A=5π6.又c>a,所以∠A<∠C,故∠A=π6.(2)由正弦定理得asin A =csin C,所以sin C=c sin Aa =32,所以∠C=π3或∠C=2π3.当∠C=π3时,∠B=π2,可得b=2;当∠C=2π3时,∠B=π6,可得b=1.。