线性规划
简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型。一.求目标函数的最值问题
例1.在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
x 2y s y x 0y 0x 下，当5s 3≤≤时，目标函数y 2x 3z +=的最大值
的变化范围是（
）
A.[6，15]
B.[7，15]
C.[6，8]
D.[7，8]
解：由⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧=+=+4s 2y s 4x 42x y s y x 则由题意知A（0，2），B（s 4-，4-s 2），C（0，
s），D（0，4）。
（1）当4s 3≤≤时可行域是四边形OABC，此时，8z 7≤≤；（2）当5s 4≤≤时可行域是OAD ∆，此时，8z max =。
由以上可知，正确答案为D。
点评：本题主要考查线性规划的基础知识，借助图形解题。
例2.已知平面区域D 由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m=（）
A.2
- B.1
- C.1
D.4
解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0y ,0x >>。当0m =时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当0m ≠时，由z=x+my 得m z x m 1y +-
=，它表示的直线的斜率为m
1
-。
（1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使
m
z
最小，此时需1
33
1k m 1AC --=
=-
，即m=1；（2）若m<0，则要使my x z +=取得最小值，必须使
m
z
最大，此时需,2m ,5
321k m 1BC =--==-
即与m<0矛盾。综上可知，m=1。
点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想
综合解决问题的能力。
二.求参数的取值问题
例3.已知变量x，y 满足约束条件2y -x 4,-2y x 1≤≤≤+≤。若目标函数
y ax z +=（其中0a >）仅在点（3，1）处取得最大值，则a
的取值范围为_________。
解：由已知变量满足约束条件4y x 1≤+≤，2y x 2≤-≤-。在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A （3，1），1k AD =，1k AB -=。目标函数y ax z +=（其中0a >）可转化为z ,z ax y +-=表示斜率为a -的直线系中的截距的大小，若仅在点A 处取得最大值，则斜率应小于1k AB -=，即1a -<-，所以a 的取值范围为（1，∞+）
三.求约束条件问题
例4.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（
）
A.⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0
y x B.
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y x C.⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00
y x 0y x D.⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00
y x 0y x
双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角
形区域时有⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故
选A。
点评：本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
四.求面积问题
例5.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+2x 02x-y 02y-x ，表示的平面区域的面积是
（
）
A.24
B.4
C.22
D.2
由题知可画出可行域为ABC ∆（如上图），42
2
|04|S ABC =⨯-=
∆，故选择B。点评：本题考查简单的线性规划的可行域（三角形）的面积，同时切记做线性规划的题目时，最关键的是不等号的处理，应考虑要求的区域是在直线的上方还是下方。练一练
1.已知点P（x，y）的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+1x x y 4y x 点O 为坐标原点，那么|PO|的
最小值等于_______，最大值等于_________。
2.某厂生产甲产品每千克需用原料A、原料B 分别为1a 千克、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A、原料B 分别为a 2千克、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1元、d 2元。月初一次性购进本月所需原料A、B 分别为c 1千克、c 2千克，则本月生产甲产品和乙产品分别为多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润y d x d z 21+=最大的数学模型中，约束条件为（
）
A.⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0
y ,0x ,c y b x b ,
c y a x a 221
121 B.⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0y ,0x ,c y b x a ,c y b x a 222
111C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
y ,0x ,c y b x b ,c y a x a 221
121 D.⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥=+=+0y ,0x ,c y b x b ,c y a x a 221
121参考答案：1.210
2.C
