初一数学解方程“行程问题”

七年级数学：12道经典一元一次方程解行程问题专项大演练

近段时间很多初一的同学都正在学习一元一次方程，很多家长和同学评论留言说，方老师多讲一些一元一次方程的题目咯。方老师觉得应该尽量满足大家的需求。方程是数学学习里的重要组成部分，方程思想是解数学题最总要的思想，而一元一次方程又是数学学得基础。假如一元一次方程没有学好，整个初中的数学学习就会变得特别吃力特别艰难。一元一次方程其实很简单，但还是有很多同学觉得摸不着方向。方老师之前在文章里和同学说过，一元一次方程题目一般有形成问题，工程问题，销售打折利润问题，配套问题，蓄水池蓄水问题，利息问题等等。今天先讲行程问题，行程问题也包括相遇问题，追及问题，环形跑道问题三大类，还有其它几大类。方老师今天从一些考试真题里挑选以下12道行程问题题目，希望可以抛砖引玉，给同学们一个解题思路。

1、相遇问题，就是两人从两地相向而行，然后遇见。那么很简单，就是甲走的路程+乙走的路程=总路程。一般这种题型求什么就可以设什么。通过画线段图和列表格的形式把数量关系列出来。甲先出发2小时，乙再出发10小时后相遇。那么就是甲2小时走的路程+甲10小时走的路程+乙10小时走的路程=总路程。

2，火车过桥问题，火车过隧道问题。一般车头上桥，车尾离桥，那么走过的总路程就是桥长+车长。同学们这个应该很好理解吧。我们把车头上的一个点的移动距离是不是就是桥长+车长的距离。那么这个题目就是非常简单了。速度x时间=距离，也就是火车的速度x时间3分钟=桥长+车长。还有同学们要注意，火车过桥或者过隧道问题，要看清楚题意。比如，火车上桥车头出桥，则距离就是桥长。比如火车过隧道问题，车头进隧道车尾离隧道，路程就是隧道长+火车长。那么请注意，再比如隧道这边看到车尾，隧道那边看到车头，也就是说车尾隧道口，车头刚出隧道口的情形，这种题型的路程就是隧道长-火车长。 3，甲乙两人相向而行，第一相遇相当于共走了一个全程。然后继续前进，各自到终点后立即返回再次相遇，那么这个过程里就是每人走了一个全程。所以两人在这整个两次相遇的过程中，总共走了3个全程。所以，数量关系就是甲走的路程+乙走的路程=3倍两地间的距离。非常简单而又常见的题型。方老师列的这个方程是：速度和x时间=总路程。 4、上坡下坡问题。一定要搞清楚的是，去的时候是上坡，那么回来的时候就是下坡。去的时候是下坡，那么回来的时候这段路就是上坡。根据题意，设去时上坡路为x千米，则下坡路为(2x-14)千米。然后根据路程除以速度分别得到去的总时间和回来的总时间，然后返回是比去的时间多12分钟，也就等于五分之一小时。同学可以根据这个意思，在草稿本上画一个示意线段图，非常简单了。 5、狗来回跑问题。其实，要问狗来回跑的总路程是多少，而且已知狗的速度，那我们只要求出狗在这个过程中跑了多少时间即可。那么狗在这整个过程中跑了多久？就是甲乙两人的相遇时间。这是解狗来回跑问题的关键所在。所以，设两人相遇时间为x，根据相遇问题列方程解得相遇时间，然后狗的速度x时间=狗跑的总路程。 6，行军问题。一般是队伍尾的人去追队伍前头的人。其实这就是一个追及问题。追及的距离就是队伍的长度。那么设队伍的长度为x，看作为车尾的人在追车头的人，追及距离就是队伍的长度。所以得队伍的长度除以速度差=追的时间。这是第一部分，那么第二部分就是这个人又以同样的速度返回到队伍尾，其实就相当于他和队伍尾在做相遇问题，相遇路程就是队伍的长度，队伍的长除以速度和=返回队尾的时间。然后两个时间加在一起等于20分钟，也就是三分之一小时。 7，这是一个追及问题，就是快车走的路程-慢车走的路程=追及路程。快车x小时走了120x，慢车其实只走了（x-1/6)的时间，因为他中途停留了10分钟，所以，慢车走的路程是100（x-1/6)，然后两个数量相减等于追及距离80千米。解方程即可。凡是追及问题，就是快的路程-慢的路程=追及路程。 8 、环形跑道问题，背向而行就是相遇问题，一次相遇就是环形跑道的周长。那么这个题目有三个人分别相遇一次，方老师，怎么办？其实不难，甲和乙相遇时间为x分钟，则甲和丙的相遇时间为（x+3)分钟。然后他们甲和乙相遇问题的路程和甲和丙相遇问题的路程相等。即可得到方程。解得甲和乙相遇时的时间，所以速度x时间=花圃的周长。 9、这个就非常简单了。第8题做会了。这个题自然不是问题，背向而行就是相遇问题。方老师教过大家一个方法，如何理解环形跑道问题的背向而行就是相遇问题，就是我们可以把环形跑道看着一根绳子，我们从背向而行的出发点用剪刀剪开，然后把绳子拉直，就是一个两点之间的相遇问题。那么甲走的路程+乙走的路程=总路程。也就是速度和x时间=总路程。

初一数学一元一次方程的应用——行程问题

行程问题与一元一次方程的联系

行程问题，属于一类所谓的“线性优化问题”，是一元一次方程的一种特殊应用。基本的行程问题涉及求解一趟行程的最短时间，最短路径或者最少的花费，有时候它还要考虑动态的变化因素。一元一次方程系统也可以用来求解行程问题，例如每一段路径的路程量，行驶时间和费用等信息。

行程问题是一类让人们在最短的时间内从一个地方到达另外一个地方的问题。使用一元一次方程为基础，可以寻求一条比较理想的行程，并且它的路程总耗费也最少。例如，有一位旅行者从广州出发，要到深圳终点，当用一元一次方程来研究其中的路途，就会发现它可以比较快地确定一条比较最优的行程。 因此，一元一次方程可以应用在行程问题上，可以让游客比较容易地求得一条有效最优行程。接下来就看到一元一次方程在行程问题上有什么具体的应用案例：

首先，当有一个普通的行程问题时，比如，要求从一个地点去往另一个地点的最短路程，可以将信息用一元一次方程来表达，再建立一个诸如“最大效益函数”之类的函数表达式，对于代价和时间权衡，求出一个最优目标点，以期获得最小耗费（或者各项费用权衡）和最短时间，使得游客可以以最快的时间内到达终点。

其次，在遇到一些动态变化的问题时，也可以利用一元一次方程来解决，比如，要在一段固定的时间里走最短的路径，可以先计算出各个路径的距离所花的费用，然后根据当前时速求解出走每一条路径所花的时间，再综合考虑各种因素，推算出一条最短的行程。

总而言之，一元一次方程可以用来求解行程问题，这样可以使游客更快地到达目的地，节省时间和金钱，也增加了出行的便利性。希望大家再出游时多多利用一元一次方程来搜索最优行程，让出行更有效率，轻松愉快。

一元一次方程（四）——行程问题

【基本关系式】

（1） 行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（2） 基本类型

① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

② 追及问题：快行距－慢行距＝原距

【经典例题】

例题1.

甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车

此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。

（1）分析：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480

解这个方程，230x=390 ,23161x

答：快车开出23161小时两车相遇

（2）分析：相背而行，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。

解：设x小时后两车相距600公里，

由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x= 2312

答：2312小时后两车相距600公里。

（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120 ∴

x=

答：小时后两车相距600公里。

（4）分析：追及问题，画图表示为：

初中列方程解应用题（行程问题）专题

行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。我们常用的基本公 式是：

路程=速度X时间；速度=路程÷时间；时间=路程m速度.

行程问题是个非常庞大的类型，多年来在考试中屡用不爽，所占比例居高不 下。原因就是行程问题可以融入多种练习，熟悉了行程问题的学生,在多种类型的 习题面前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类，山易到难，逐步剖析。

1.单人单程：

例1：屮，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速

度从SOkm/h提高到1 OOkm/h,运行时间缩短了 3爪 屮，乙两城市间的路程是多 少

【分析】如果设屮，乙两城市间的路程为X km,那么列车在两城市间提速前 的运行时间为—h,提速后的运行时间为 —/?.

80 100

【等量关系式】提速前的运行时间一提速后的运行时间二缩短的时间.

例2：某铁路桥长1000,现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上 桥到完全过桥共用了 Imin,整列火车完全在桥上的时间共40s。求火车的速度 和长度。

【分析】如果设火车的速度为X m/s ,火车的长度为y ∕π ,用线段表示大桥

和火车的长度，根据题意可画岀如下示意图:

1000 【列出方程】二- X Γy ----------------- 40x ------------ Ik 【等量关系式】火车Imin行驶的路程二桥长+火车长; 火车405行驶的路程二桥长-火车长

举一反三：

1. 小感和学校相距15^/0小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车 站，步行的速度为60∕∏∕mm ,再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了 20min ,已知公共汽车的速度为40W/1,求小明从家到学校用了多长时间。【列出方程组】 60x = 1000 +

y

40x = 1000-y 2. 根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项Ll建成后，连 云港至徐州的最短客运时间山现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小 时将提高260Qn求提速后的火车速度。（精确到∖km∕h ）3. 徐州至上海的铁路里程为650km,从徐州乘” C “字头列车A, ” D”字 头列车B都可直达上海，已知A车的速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少 2・5力•求A车的速度及行驶时间。（同学们可能会认为这是双人行程问题，其实这 题的类型可归结于例1的类型，把B车的速度看成是A提速后的速度，是不是也 可看成单人单程的问题呀！）