广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷八含解析202103011193

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.C.5D.255.直线3x+2y-6=0的斜率是()A. B.-C. D.-6.不等式x2-9<0的解集为()A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3}7.已知a>0,则=()A. B.C. D.8.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和B.8和C.7和1D.8和9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1=()A.1B.C.2D.10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,则=()A. B.- C. D.11.设x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为()A.-5B.-3C.1D.412.已知圆C与y轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C的标准方程是()A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2513.如图,△ABC中,=a,=b,=4,用a,b表示,正确的是()A.a+bB.a+bC.a+bD.a-b14.若数列{a n}的通项a n=2n-6,设b n=|a n|,则数列{b n}的前7项和为()A.14B.24C.26D.2815.已知函数f(x)=则不等式f(x)≤5的解集为()A.[-1,1]B.(-∞,-2]∪(0,4)C.[-2,4]D.(-∞,-2]∪[0,4]二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=.17.在等比数列{a n}中,a1=1,a2=2,则a4=.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是.19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=.三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,bc=5.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.21.如图,三棱锥P-ABC中,P A⊥PB,PB⊥PC,PC⊥P A,P A=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上.(1)求证:PB⊥AC;(2)若P A∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.答案：1.D【解析】由并集的定义,可得A∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.C【解析】②不正确,a,c的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.3.A【解析】要使y=log3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.4.C【解析】由a=(2,-2),b=(2,-1),可得a+b=(4,-3),则|a+b|==5.故选C.5.B【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-x+3,故斜率为-.故选B.6.D【解析】由x2-9<0,可得-3<x<3.故选D.7.D【解析】,则.故选D.8.A【解析】平均数×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s2=[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=.故选A.9.B【解析】在长方体中,B=AB2+AD2+A,则22=12+12+A,解得AA1=.故选B.10.A【解析】∵不等式-4<2x-3<4,∴-<x<.∵不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,∴不等式x2+px+q<0的解集为,∴-是方程x2+px+q=0的两个根,∴解得p=-3,q=-,∴.故选A.11.C【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y过点A(1,0)时,z取得最大值,z max=1-2×0=1.故选C.12.D【解析】由题意得圆C的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D.13.C【解析】由=4,可得=4(),则,即a+b.故选C.14.C【解析】当n≤3时,a n≤0,b n=|a n|=-a n=6-2n,即b1=4,b2=2,b3=0.当n>3时,a n>0,b n=|a n|=a n=2n-6,即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.所以数列{b n}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C.15.C【解析】由于f(x)=当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,解得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3.又x≤0,所以-2≤x≤0.综上不等式f(x)≤5的解集为[-2,4],故选C.16.【解析】由题意得x=4,y=-3,r==5,cos α=.17.8【解析】设等比数列{a n}的公比为q,由题意得q==2,则a4=a1q3=1×23=8.18.【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=.219.-x2-4x【解析】当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由奇函数可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x.20.【解】(1)∵A是△ABC的内角,即A∈(0,π),cos A=,∴sin A=.又bc=5,∴S△ABC=bc sin A=×5×=2.(2)由cos A=,bc=5,可得b2+c2-a2=6.由bc=5,b+c=6,可得b2+c2=(b+c)2-2bc=26.∴26-a2=6,解得a=2.21.【解】(1)∵P A⊥PB,PB⊥PC,P A⊂平面P AC,PC⊂平面P AC,P A∩PC=P,∴PB⊥平面P AC.又AC⊂平面P AC,∴PB⊥AC.(2)∵P A∥平面BEF,P A⊂平面P AC,平面BEF∩平面P AC=EF,∴P A∥EF.又E为AC的中点,∴F为PC的中点.∴S四边形APFE=S△P AC-S△FEC=S△P AC.∵PC⊥P A,P A=PC=2,∴S△P AC=×2×2=2.∴S四边形APFE=.由(1)得PB⊥平面P AC,∴PB=2是四棱锥B-APFE的高.∴S四边形APFE·PB=×2=1.22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30.(2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a1,a2;在[30,40)的有4人,分别记为b1,b2,b3,b4.现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率为P=.。

函数0812、科学研究说明：一般情况下 ,在一节40分钟的课中 ,学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化 .开始上课时 ,学生的注意力逐步增强 ,随后学生的注意力开始分散 .经过实验分析 ,得出学生的注意力指数y 随时间x (分钟 )的变化规律为：2268,08()1(32480),8408x x y f x x x x +≤<⎧⎪==⎨---≤≤⎪⎩ (1 )如果学生的注意力指数不低于80 ,称为 "理想听课状态〞 ,那么在一节40分钟的课中学生处于 "理想听课状态〞所持续的时间有多长 ? (精确到1分钟 )(2 )现有一道数学压轴题 ,教师必须持续讲解24分钟 ,为了使效果更好 ,要求学生的注意力指数在这24分钟内的最||低值到达最||大 ,那么 ,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题 ? (精确到1分钟 )【答案】 (1 )由于学生的注意力指数不低于80 ,即80y ≥当08x ≤<时 ,由26880x +≥得68x ≤<； …………2分当840x ≤≤时 ,由21(32480)808x x ---≥得816x ≤≤+；…………2分所以6,16x ⎡∈+⎣,1661020+=+≈ 故学生处于 "理想听课状态〞所持续的时间有20分钟 ……………3分(2 )设教师上课后从第t 分钟开始讲解这道题 ,由于1024+<所以[)0,6t ∈ …………………………………………………………2分要学生的注意力指数最||低值到达最||大 ,只需()(24)f t f t =+ 即21268[(24)32(24)480]8t t t +=-+-+- ……………………………2分解得164t =≈ ………………………………………2分所以 ,教师上课后从第4分钟开始讲解这道题 ,能使学生的注意力指数最||低值到达最||大 ………………………………………………………………………1分13、函数1()log (01)1a x f x a x-=<<+ (1 )求函数()f x 的定义域D ,并判断()f x 的奇偶性；(2 )用定义证明函数()f x 在D 上是增函数；(3 )如果当(,)x t a ∈时 ,函数()f x 的值域是(),1-∞ ,求a 与t 的值【答案】 (1 )令101x x->+ ,解得11x -<<,()1,1D =- ……………2分 对任意,x D ∈1111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x -+--⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数 ……………2分 另证：对任意,x D ∈11()()log log log 1011a a a x x f x f x x x +-⎛⎫-+=+== ⎪-+⎝⎭所以函数()f x 是奇函数 …………………………2分 (2 )设1212,(1,1),x x x x ∈-<且 ,12121221121212122111111()()()log log log ()log 11111()a a a a x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ---+-+--=-=⋅=+++----…………2分 ∴12211221211()[1()]2()0x x x x x x x x x x -+-----=->∴122112211()[1()]0x x x x x x x x -+->---> ∴122112211()11()x x x x x x x x -+->--- ∵01a << ∴122112211()log 01()a x x x x x x x x -+-<---………2分 ∴12()()0f x f x -< ,∴12()()f x f x <所以函数()f x 在D 上是增函数 ………………………………………………2分 (3 )由 (2 )知 ,函数()f x 在()1,1-上是增函数 ,又因为(,)x t a ∈时 ,()f x 的值域是(),1-∞ ,所以(,)(1,1)t a ⊆-且1()1x g x x -=+在(,)t a 的值域是(,)a +∞ , ……………2分 故1()1a g a a a-==+且1t =- (结合()g x 图像易得1t =- ) …………………2分21a a a +=-解得1a = (1舍去 )所以1a =,1t =- ………………………………………2分14、二次函数()()21f x ax a x a =+-+ .(1 )函数()f x 在(),1-∞-上单调递增 ,求实数a 的取值范围；(2 )关于x 的不等式()2f x x ≥在[]1,2x ∈上恒成立 ,求实数a 的取值范围；(3 )函数()()()211a x g x f x x --=+在()2,3上是增函数 ,求实数a 的取值范围 .【答案】解： (1 )当0=a 时 ,x x f -=)( ,不合题意；……………1分当0>a 时 ,()f x 在(),1-∞-上不可能单调递增；……………2分当0<a 时 ,图像对称轴为aa x 21--= ,由条件得121-≤--aa ,得.1-≤a ……………4分 (2 )设1)1()()(-++==a xx a x x f x h , ……………5分 当]2,1[∈x 时 ,]25,2[1∈+x x , ……………7分 因为不等式()2f x x ≥在[]1,2x ∈上恒成立 ,所以)(x h 在]2,1[∈x 时的最||小值大于或等于2 , 所以 ,⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥-+>21250a 2120a a a a a 或 , ……………9分 解得1≥a . ……………10分 (3 )a xax x g ++=1)(2在()2,3上是增函数 ,设3221<<<x x ,那么)()(21x g x g < , a x ax a x ax ++<++22212111 ,21212121))((x x x x x x x x a -<-+ ,……………12分 因为3221<<<x x ,所以)(12121x x x x a +>, ……………14分 而)161,541()(12121∈+x x x x , ……………16分 所以.161≥a ……………18分15、R ∈a ,函数||)(a x x x f -⋅=．(1 )当2=a 时 ,写出函数)(x f 的单调递增区间 (不必证明 )；(2 )当2>a 时 ,求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最||小值；(3 )设0≠a ,函数)(x f 在区间),(n m 上既有最||小值又有最||大值 ,请分别求出m 、n 的取值范围 (用a 表示 )．【答案】 (1 )当2=a 时 ,⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥--=-⋅=2,1)1(2,1)1(|2|)(22x x x x x x x f ,………… (2分 ) 所以 ,函数)(x f 的单调递增区间是]1,(-∞和),2[∞+．………… (4分 )(2 )因为2>a ,]2,1[∈x 时 ,42)()(222a a x ax x x a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-⋅=．………… (1分 ) 当2321≤<a ,即32≤<a 时 ,42)2()(min -==a f x f ．………… (3分 ) 当232>a ,即3>a 时 ,1)1()(min -==a f x f ．………… (5分 ) 所以 ,⎩⎨⎧>-≤<-=3,132,42)(min a a a a x f ．………… (6分 ) (3 )⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x a x a x x x f ,)(,)()(．………… (1分 ) ①当0>a 时 ,函数的图像如下列图 , 由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 解得a x 221+= ,…… (1分 )所以20a m <≤ ,a n a 221+≤<．…… (4分 ) ②当0<a 时 ,函数的图像如下列图 , 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 解得a x 221+= ,…… (5分 ) 所以 ,a m a <≤+221 ,02≤<n a ．…… (8分 )。

广东省2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·广东）下列实数中，最大的数是（ ）A. πB. √2C. |−2|D. 32.（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ） A. 0.510858×109 B. 51.0858×107 C. 5.10858×104 D. 5.10858×1083.（2021·广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ） A. 112 B. 16 C. 13 D. 124.（2021·广东）已知 9m =3,27n =4 ，则 32m+3n = （ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 125.（2021·广东）若 |a −√3|+√9a 2−12ab +4b 2=0 ，则 ab = （ ） A. √3 B. 92 C. 4√3 D. 9 6.（2021·广东）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.（2021·广东）如图， AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点， AC =3,∠ABC 的平分线交 AC 于点D ， CD =1 ，则⊙O 的直径为（ ）A. √3B. 2√3C. 1D. 28.（2021·广东）设 6−√10 的整数部分为a ， 小数部分为b ， 则 (2a +√10)b 的值是（ ） A. 6 B. 2√10 C. 12 D. 9√109.（2021·广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ， 记 p =a+b+c 2，则其面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c) ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 p =5,c =4 ，则此三角形面积的最大值为（ ）A. √5B. 4C. 2√5D. 510.（2021·广东）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线 y =x 2 上的两个动点，且 OA ⊥OB ．连接点A 、B ， 过O 作 OC ⊥AB 于点C ， 则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A. 12 B. √22C. √32D. 1二、填空题11.（2021·广东）二元一次方程组 {x +2y =−22x +y =2的解为________． 12.（2021·广东）把抛物线 y =2x 2+1 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．13.（2021·广东）如图，等腰直角三角形 ABC 中， ∠A =90°,BC =4 ．分别以点B 、点C 为圆心，线段 BC 长的一半为半径作圆弧，交 AB 、 BC 、 AC 于点D 、E 、F ， 则图中阴影部分的面积为________．14.（2021·广东）若一元二次方程 x 2+bx +c =0 （b ， c 为常数）的两根 x 1,x 2 满足 −3<x 1<−1,1<x 2<3 ，则符合条件的一个方程为________． 15.（2021·广东）若 x +1x =136 且 0<x <1 ，则 x 2−1x2= ________． 16.（2021·广东）如图，在 ▱ABCD 中， AD =5,AB =12,sinA =45 ．过点D 作 DE ⊥AB ，垂足为E ， 则 sin ∠BCE = ________．17.（2021·广东）在 △ABC 中， ∠ABC =90°,AB =2,BC =3 ．点D 为平面上一个动点， ∠ADB =45° ，则线段 CD 长度的最小值为________．三、解答题18.（2019·宿迁模拟）解不等式组 {2x −4≥3(x −2)4x >x−72. 19.（2021·广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．20.（2021·广东）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB．（1）若AE=1，求△ABD的周长；BD，求tan∠ABC的值．（2）若AD=1321.（2021·广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4图象的一个交点为P(1,m)．x（1）求m的值；（2）若PA=2AB，求k的值．22.（2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．23.（2021·广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE 折叠得到△FBE,BF交AC于点G，求CG的长．24.（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DF．（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．25.（2021·广东）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：π≈3.14，√2≈1.414，|-2|=2，3.14＞3＞2＞1.414π＞3＞|-2|＞√2故π最大。

A． B． C． D．1
二、填空题
11．二元一次方程组 的解为___．
12．把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．
13．如图，等腰直角三角形 中， ．分别以点B、点C为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．
【详解】
列表如下：
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6
7
8
9
10
11
12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：
故选：B．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
4．D
【分析】
利用同底数幂乘法逆用转换求 ，
∴故选：D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．
5．B
【分析】
根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
（1）求证： ；