证明(二)(三)学案

初三数学内需式学案34—第一章图形的证明（二）期中复习( )班姓名一、知识梳理直角三角形：1. 判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 （ ） ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等 （ ） ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （ ） ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的 角相等.（简称“ ”）②等腰三角形的 、 、 、互相重合.（简称“ ”）③等腰三角形是 对称图形，它的对称轴是： .1. 的四边形是平行四边形2.平行四边形的性质①对．边 ； ②对．角 ； 邻角 ； ③对．角线 ；④ 对．称性 . 3、平行四边形的性质和判定：问题一 :你能证明“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”吗？问题二: 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（口答）问题三:下面三个命题正确吗？如果正确，你能证明吗？如果错误，请你举出反例. ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形. ②一组对边平行，另一组邻角相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形. ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.4、矩形的性质和判定：（一）知识梳理1：矩形的定义： ．矩形的性质： （边）（角）（对角线）的四边形是平行四边形 对边．． 对角线．．． 对角．．归纳矩形的判定：1．2．3．5、菱形的性质和判定：知识梳理1：菱形的定义：菱形的性质： （边）（角）（对角线）（对称性）菱形的面积等于 ．归纳：二、课堂反馈：直角三角形课堂反馈：：1．已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是角平分线，BE =CF ，则下列说法正确的（ ）个（1）AD 平分∠EDF ； （2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD =CD ； （4）AD ⊥BC ．A .1个B .2个C .3个D .4个2．如图，有一个直角△ABC ，∠C =90°，AC =10，BC =5，一条线段PQ =AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线Ax 上运动，当AP = 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA ..3．如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为等腰三角形课堂反馈：1．若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 .2．若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为 .3．若等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为 .的平行四边形是菱形 的四边形是菱形 第1题图 第3题图4．若等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为 .★5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，那么这个等腰三角形的顶角为 .★6．若等腰三角形的周长等于12cm ，那么腰长x 的取值范围是 .7.在△AB C 中，∠A ＝40°，当∠B 等于多少度数时，△ABC 是等腰三角形？平行四边形课堂反馈：1.(10 荆州)如图，在□ABCD 中，∠A =130°，在AD 上取DE =DC ，则∠ECB 的度数是 .2.(10 西宁)如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC =14，BD =8，AB =x ，那么x 的取值范围是 .3. 如图，在□ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为 .矩形反馈练习：1. 在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC =10cm ，•边BC =•8cm ，•则△ABO 的周长为________．2．若矩形的两条对角线的夹角是120°，对角线上为10，则矩形的短边为_____；长边为_____．3．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是 （ ）A. 16B. 22C. 26D. 22或264．如图1，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A. 98B. 196C. 280D. 2845. 如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．6. (10 聊城)如图3，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ）A ．75B ．125C ．135D ．145第3题图 第4题图 第5题图 图1 图2 图3菱形课堂反馈：1. 如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则：①此菱形的边长为 ．(10 盐城)周长为 ．(10 北京)②此菱形的面积为 ．(10 株洲)③此菱形对角线的交点O 到AB 的距离为 ．(11 昆明)④菱形内部(包括边界)任取一点P ，使△ACP 的面积大于6 cm 2的概率为 ．(10 淮安)2. 已知菱形的边长是5cm ，一条对角线长为8cm ，则另一条对角线长为___ ___cm ．3． 菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线AC :BD =4:3，那么对角线AC =_____cm ，BD =_____cm ．4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为 ． 正方形课堂反馈：2. (11 永州)探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证DE +BF =EF ．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：如图②，将ABC Rt 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，F 分别为DC ,BC 上的点，满足∠EAF =12∠DAB ，试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．图③ 图② 图①。

证明（2）教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址11.3证明教学目标：.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.一、预习展示、下列命题中不成立的是A.两直线平行，同位角相等；B.两直线平行，内错角相等；c两直线平行，同旁内角互补D.两直线平行，同旁内角相等。

2、如图，已知AB∥cD，∠B=∠D，求证：AD∥Bc。

3、如图，∠BED＋∠B=1800，∠ADE=800，则∠c=____。

4、如图，AD平分∠BAc，点E在Bc上，点G在cA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证：AF=AG。

二、探究学习探究.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论?2.我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平行”的?3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可以证明那些结论？探究：从基本事实“两直线平行，同位角相等”出发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？.画出图形，并根据图形写出已知、求证；2.说出你的证题思路；3.完成证明，并与同学交流.结论：定理：两直线平行，内错角相等.、例题讲解例1、已知：如图，直线AB、cD被直线EF所截，AB∥cD.求证：∠1＋∠2＝180°.例2.已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°。

求证：∠2=130°。

分析：思考方法一：思考方法二：说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程。

三、小结与思考小结本节课你有什么收获？四、课堂练习：如图，AB∥cD，∠A=25°，∠c=45°，则∠E的度数是A.60°B.70°c.80°D.65°五、拓展延伸已知：如图，AD∥Bc，∠ABc=∠c，求证：AD平分∠EAc。

§13.3 数学归纳法基本知识一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．基本能力1．判断题(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( )(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )2．填空题(1)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________. (2)若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)为________． (3)用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝ k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．全析考法考点一 用数学归纳法证明等式例1 已知等差数列{a n }的公差为3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为2，且a 1＝b 1＝2.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．方法技巧用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．考点2 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.方法技巧用数学归纳法证明不等式的策略(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝ 成立，推证n ＝ ＋1时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．考点三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．方法技巧归纳—猜想—证明类问题的解题步骤利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性． 全练题点1.求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．2.用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *，n ≥2)．3.设a ＞0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．参考答案基本知识(2) k ＋11．【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√2．(1)【答案】3【解析】三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n ＝3.(2)【答案】1＋12＋13＋14＋15【解析】当n ＝1时，f (1)＝1＋12＋13＋14＋15. (3)【答案】2【解析】由n ＝k (k >1)到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加(2 k ＋1－1)－(2 －1)＝2 (项)．全析考法考点一 用数学归纳法证明等式例1 (1)解：由a 1＝2，公差d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －1.在等比数列{b n }中，公比q ＝2，首项b 1＝2，∴b n ＝2·2n －1＝2n .(2)证明：①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T ＋12＝－2a ＋10b ，当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a b 2＋a －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a b 1＋a －1b 2＋…＋a 1b )＝a k ＋1b 1＋qT＝a k ＋1b 1＋q (－2a ＋10b －12)＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12，即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1.因此n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立． 考点2 用数学归纳法证明不等式例2 (1)解：由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a 26. 又f (x )max ≤16，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝a 26≤16.又x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18， 所以⎩⎨⎧ f ⎝⎛⎭⎫12≥18，f ⎝⎛⎭⎫14≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18， 解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立． 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13. 故n ＝2时，原不等式也成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a <1k ＋1成立． 因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13， 所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a <1k ＋1≤13， 得0<f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1k ＋1. 于是，0<a k ＋1＝f (a )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立． 考点三 归纳—猜想—证明例3 (1)解：当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1， 即a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0.∴a 2＝5－3(a 2＞0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，通项公式成立，即a ＝2k ＋1－2k －1.由于a k ＋1＝S k ＋1－S ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a ＋1－2＝0，∴a ＋1＝2k ＋3－2k ＋1，即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立． 全练题点1.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．2.证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．3. (1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a；a 3＝f (a 2)＝a ·a 1＋a a ＋a 1＋a ＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a ·a 2＋a a ＋a 2＋a ＝a 3＋a . 猜想a n ＝a (n －1)＋a(n ∈N *)． (2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时猜想正确，即a ＝a (k －1)＋a， 则a k ＋1＝f (a )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a . 这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a (n －1)＋a.。

九年级数学证明（二）、（三）学案 姓名：一、复习准备内容分析证明（二）（三）是在八年级学习证明（一）的基础上的延续和深化，也是后续学习的重要基础，更是中考的必考内容，本部分的重点是要求会用分析法、综合法、两头凑发证明与全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊平行四边形、等腰梯形等有关的问题。

复习目标1、 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明的意识和能力。

2、 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和格式。

3、 结合实例体会反证法的意义，了解逆命题的概念，会识别互逆的两个命题。

4、 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，已知底边和底边上的高会作等腰三角形。

5、 能够利用综合法证明与全等三角形、等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理、判定定理及相关的结论。

6、 熟练掌握平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等有关的性质定理与判定定理，并会用这些定理进行有关的证明与计算。

知识结构二、复习过程 专题一、全等三角形知识整理1、 全等三角形的判定公理①：三边 的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角 的两个三角形全等；公理③： 的两个三角形全等；推论： 的两个三角形全等。

2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边 、对应角 。

典例分析例：（2010年吉林）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF ，垂足为D ，且AD 平分∠FAC ，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。

FCAEBD公理等腰（边）三角形的结论直角三角形的结论一般三角形的结论掌握证明的方法逆命题、命题的真假尺规作图三角形的中位线定理 梯形等腰梯形的性质和判定平行四边形矩形、菱形、正方形性质、判定练习11、（2010年同仁）如图2，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是 （ ） （A ）5（B ）4（C ）3（Ｄ）2图2DEFA BC图3D ABCEF2、（2010年金华市）如图3，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE 。