定积分习题课

1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ;
dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5) 0 3x4 3x2 1dx; 1 1 x2
(6) 4 tan2 xdx; 0
(3) 4 3 xdx; 1
x
1 1
arctan1 arctan(1)
4
( ) 4
. 2
3. 1 cos2 x
2sin2 x
2 | sin x |
2
1 cos 2xdx
2
0
0
2
2 sin xdx 2 0
2 sin xdx 2 cos x 2 cos x |02 2 2. 2
习 题 6-2
0
2
解 因为 d x sin t2dt sin x2,
dx 0
故
(0) sin 02 0;
( ) sin 2 .
2
42
例2 求下列函数旳导数：
（１）(x) x ln(1 t3)dt,（a 0); （２）(x) 1 sin d（, x 0).
a
x2
解 ⑴ (x) ln(1 x3);
ln
x)
|1e
e dx x 1x
e
e
dx e (e 1) 1.
1
例2 求 2 x cos xdx. 0
(1)分割 任取分点, 把[T1，T2 ]分成n个小区间
(2)取近似 si v(i )ti
(3)求和 (4)取极限

通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
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微积分
第三章 一元函数积分学
3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2 3) 1) 2
d
t

原式
t
t
2
3

1
1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2

3) 1)2
dt

1 2
ln
t2
1

C

1 2
ln
(x
y)2
1
C
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微积分
第三章 一元函数积分学
例5. 求
解: 原式 arctan exdex
ex arctan ex
x
d
x
.
解:
原式


(2

sin x cos x)sin2
x
dx
(令 u cos x)
1
(2 u)(u2 1) du
1 (2u)(u2 1)

A 2u
B C
u 1 u 1
A

1 3
B

1 6
C


1 2
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微积分
第三章 一元函数积分学
例14. 求 I
dx
(a b k )
微积分
第三章 一元函数积分学
例2. 求

图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。

2 a a a
t为实数
2 2
a [ f ( x ) 2tf ( x ) g ( x ) t g ( x )]dx 0 a f ( x )dx 2t a f ( x ) g( x )dx t
b 2 b 2
2
2a f ( x ) g( x )dx 4a f ( x )dx a g 2 ( x )dx 0
1 x
1
当x 1时,
x3 x 1 3 2 3

x 1 t | t x | dt t ( x t )dt 2 3 0 0
1

1
习题 5 2(12) 设f ( x ) : [a , b]连续， , b )可导，f ( x ) 0 (a x 1 F ( x) a f ( t )dt xa 证明 : (a , b )内，F ( x ) 0.
( 3 2 f ( x )dx f (0), 证明在 0,1)内存在一点 ,
3
1
使f ( ) 0.
证 由积分中值定理得
2 1 1 [ ,1] f (1 ) 2 f ( x )dx 3 3 3 f (1 ) f (0), 在[0, 1 ]上 用罗尔定理得,
1
存在 (0, 1 ) (0,1), 使得 f ( ) 0.
证明
( x a )2 x a f ( t )dt f ( )( x a ) a x f ( x )( x a ) f ( )( x a ) f ( x ) f ( ) F ( x ) 2 ( x a) xa
F ( x )
f ( x )( x a ) a f ( t )dt
总习题五 3.(1)下面运算是否正确? 指出原因. 1 如令x 1 1 dt dx t 1 1 1 1 1 x 2 1 1 d t 1 1 t 2 1

定积分几何应用及微分方程课外习题一． 选择（1）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （ ）（A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--= （C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（2）设()y y x =是二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →时，函数2ln(1)()x y x +的极限是 ( ) （A.）不存在 （B ）等于1 (C) 等于2 (D)等于3.（3）若连续函数()f x 满足关系式220()()ln 2xt f x f dt =+⎰，则()f x 等于（ ）.(A) ln 2x e (B) 2ln 2x e(C) ln 2x e + (D) 2ln 2x e +. （4）已知ln x x y =是微分方程()y y x x y ϕ'=+的解，则()y x ϕ的表达式是( )(A) 22y x - (B) 22y x (C) 22x y - (D) 22x y .(5)设,m n 均是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值有关 (D) 与,m n 的取值无关.（6）设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 (A) 11,22λμ== (B) 11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ==.二． 填空（1） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（2）微分方程2y y x ''+=-的通解为 .（3）设12(cos sin )x y eC x C x =+（12,C C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为： .（4）微分方程20yy y '''+=满足初始条件1002|1,|x x y y =='==的特解为 .（5）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .三．计算题（1）求微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解.（2）求微分方程4dyy dx x y +=的通解.（3）求微分方程323cos x y y y ex '''--=+的通解.（4）求微分方程21y y '''=+的通解.(5)求微分方程y ''=00|1,|2x x y y =='==的特解.四．利用代换cos u x y =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，求出原方程的通解.五．设连续函数()f x 满足0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x .六．设D 是位于曲线2(1,0)x a y a x -=><<+∞下方，x 轴上方的无界区域，（1） 求区域D 绕x 轴旋转一周所得体积()V a .（2） 当a 为何值时，()V a 最小，并求此值.七．设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''-+=。

第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。

古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。

直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。

定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。

因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。

定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。

二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。

3、理解积分上限函数及其求导定理。

熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。

四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。

求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。

解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9) 3 32 2 由公式 A ( 2 x 3 x )dx 1 3
1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2 问:若选x为积分变量如何？
4
mathsoft
二.参数方程情况 例3. 求椭圆 x a cos t , y b sin t 所围成的面积。 第 解: 由对称性 二
若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a, b]分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
作乘积 f ( i )x i 一点 i （ i x i ），
解: 1 选取变量 [ , ];
。
[ , d ]; 2 取微区间
3 面积A
。

。
1 2 d 2

mathsoft
例5.
计算心形线（或心脏线 ）r a (1 cos ) (a 0)所围图形面积. 第 二 节 解: 0,2 2 1 2 平 A a 1 cos d 面 2 0 图 2 2 对称性 ( 1 2 cos cos )d 形 a 0 的 sin 2 3 2 2 面 a 2 sin a 积 2 4 0 2
错误！为什么？
mathsoft
三、存在定理
第 一 节 定 积 分 的 概 念
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
则 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界， 且只有有限个间断点 （第一类间断点），

2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 凑微分不换限
3) 换元公式也可反过来使用
微积分基本公式
设 f ( x)在[a, b]上连续, 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理
b
牛顿 – 莱布尼兹公式 变限积分求导公式
( x)
d x a f (t ) d t f ( x) dx
练习题 2 1 2 1. 设 f ( x) x x f ( x) d x 2 f ( x) d x , 求 f ( x).
0 0
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
f ( x) d x a ,
0
2
f ( x) d x b , 则
f ( x) x 2 bx 2a
x 3 bx 2 1 b 1 a f ( x) d x 2ax 2a 0 0 3 2 3 2 2 x 3 bx 2 8 2 b f ( x) d x 2ax 2b 4a 0 0 3 3 2 1 4 2 2 4 a , b f ( x) x x 3 3 3 3
一、本章提要
1.基本概念 定积分 2.基本公式 牛顿 – 莱布尼兹公式 ３.基本方法
定积分的换元积分法 定积分的分步积分法
二、要点解析
问题1 解析 应用定积分的换元积分法应注意什么问题？
a f ( x)dx
b

f [ (t )] (t ) d t
1) 当 < , 即区间换为 [ , ] 时， 仍成立 .

一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

2
2
故 sin x 1 0
2 2


例5
e 计算极限 lim
x 0
1
-t 2
cos x
dt
x2
0 0
练习
计算极限 lim
x 0
sin2 x
0
ln( 1 t )dt 0 4 0 1 x 1
解
原式 lim
x a
F ( x )
f ( x ) f (t ) f (t ) f ( x ) 2 dt 0
所以, F ( x ) 单调递增.
又 F (a ) 0,
即
F (b) F (a ) 0
b

b
a
f ( x )dx
a
dx (b a ) 2 . f ( x)
4 (cos x sin x )dx 2 (sin x cos x )dx
0
4 (sin x cos x ) 2 (sin x cos x ) 0 4


4

2 22
例4 估计 sin 2 x 1dx 的值.
3 2
解
1 f ( x ) 0
a x
x
b
则 F ( x ) 在[a, b]上连续, 且
F (a ) f ( x )dx 0, F (b) a f ( x )dx 0
a
b
b
利用零点定理, 即得所证命题.
例11 设 f ( x ) 在[0,1]上连续, 在 (0,1)内可导, 且
32 f ( x )dx f (0), 证明存在 (0,1), 使得

f ( x) sin tdt
3 a
x3
( x) [ sin tdt ] sin3 ( x3 ) ( x3 ) f
3 a
x3
3x sin ( x )
2 3 3
[
( x)
a
f (t )dt ] f [ ( x)] ( x)
四川大学数学学院 徐小湛 November 27,2012
习题册 92页
四川大学数学学院 徐小湛
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定积分 14
定积分不等式
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定积分 15
几个积分不等式 性质 5
f ( x) 0
( a x b) ( a b)

b
a
f ( x)dx 0
四川大学数学学院 徐小湛

证 思路


2 0
f (sin x )dx 2 f (cos t )dt
0

sin x sin( t ) cos t 2

令x

2
t
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定积分 42


2 0

2 0
f (sin x)dx 2 f (cos x )dx
定积分 33
定积分等式
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定积分 34
习题册96页
证明：

b
a
f ( x)dx f (a b x)dx
a
b
b
a
f ( x)dx f (a b t学数学学院 徐小湛

利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01 ex
dx
0
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练习:
1.求极限 lim ( n
n
n 2
1
n2
n 22
n2
n n2
).
解：原式
lim
n
1 n
n1
i1
1
(
i n
)2
1 0
1 1 x2
d
x
4
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例3. 估计下列积分值
t d t (0 x )
0
0
4
2
sin2 x
cos2 x
证: 令 f (x)
arcsin t d t
arccos t dt
0
0
则 f (x) 2 x sin x cos x 2 x sin x cos x 0
因此 f (x) C
(0
x
2
)
,
又
1
1
f
(4 )
2arcsin
0
1
u
eu
d
u
0
e (u 1) eu 6
1 0
1 (e 2) 6
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例13. 若 f (x) C[0, 1] , 试证 :
x f (sin x) dx
f (sin x) dx
0
20
2 f (sin x) dx 0
解: 令 t x, 则
x f (sin x) dx
a
a
a
a
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证明: 令

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。

例6. 求由曲面 y2 + z2 = e−2x与平面 x = 0 x =1 所围成的立体体积 解: 曲面 y + z = e
2 2
−x
−2x
是由xoy平面上的曲线
y = e 绕 x 轴旋转而生成的。
故所求旋转体体积为
Vx = π ∫ y2 (x) d x
0 1
=π ∫ e
0
1
−2x
dx =
π
2
(1− e−2 )
1
π
x =1 y =1
8 = + = π 5 3 15
π
π
3
圆锥体体积 y
y=x
2
(11) ,
y = 2− x
2 1
Vy = 2π[∫ x dx + ∫ (2 − x)x dx]
3
1
x = 2π[ 4
0 4
0
1
2
x
1
x = 2π +x − 0 31
2
3
2 ]
6
2π β 3 旋转而成的体积为 Vox = ∫α r (θ)sinθ dθ. 3 r = r(θ ) 证: 先求 上微曲边扇形 dθ dr 绕极轴旋转而成的体积
o y θ y x x+ dx
l
x
dP 3 = 0, 得 θ0 = arccos 令 dθ 3
由实际意义可知 最大值存在, 故此唯一 驻点 θ0 即 为所求.
17
例6. 求由 y = 2x 与 y = 4x − x2 所围区域绕 y = 2x 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2, 4),曲线上任一点 u P(x, 4x − x2) 到直线 y = 2x的距离为

第5章定积分及其应用
习题课
【教学目的】：
1.掌握本章所学习的有关概念；
2.掌握定积分的综合运算；
3.学会应用定积分微元法计算平面图形面积。

【教学重点】：
1.定积分的概念及几何意义；
2.定积分的性质；
3.变上限积分函数及其导数；
4.牛顿—莱布尼兹公式；
5.定积分的综合运算；
6.应用定积分微元法求平面面积；
7.广义积分。

【教学难点】：
1.变上限积分函数及其导数；
2.定积分的综合运算；
3.应用定积分微元法求平面面积；
4.广义积分。

【教学时数】：2学时
【教学过程】：
复习本章的基本概念。

明确定积分概念、性质和几何意义。

理解变上限积分函数以及牛顿—莱布尼兹公式，掌握定积分的综合运算，并进一步学会应用定积分微元法解决平面面积问题。

理解并掌握广义积分的概念及简单计算。

通过讲解课后能力训练和综合练习，带领学生一起练习：
1.有关变上限积分函数的题目；
2.定积分的综合运算；
3.应用定积分微元法求平面面积；
4.广义积分敛散性的讨论。

【教学小节】：
通过本节的学习，复习本章学习的基本知识及运算方法，能够熟练运用本章学习的运算方法综合计算定积分，并能够应用定积分解决简单几何问题。

【课后作业】：
综合训练5 三（2、4、8、12）。

4ab
1
ab .
0
22
2 0
sinn
xdx
n
n
n
n
1 1
n n n n
3 2 3 2
3 4 4 5
1 2 2 3
, n为正偶数
2
, n为大于1的奇数
19
例4 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积. 解 两曲线的交点
y
y2 2x
(8, 4)
2
Vy 2
1 x 2x2dx .
0
o 1x
35
例12 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图
形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积.
解
Vy 2
2
x( x 1)( x 2)dx
.
1
2
y
y
a
b
12
o
xo
x
y f (x)
“套筒法”推广：
由平面图形 0 a x b, f ( x) y 0 绕 y 轴
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
t
2
)
dx
0
t
y
1
y = x2
[t 2 x
x3 3
]
t 0
x3 [
3
t
2
x]
1 t
4t 3 t 2 1 ， 0 t 1
3
3
t2
S2
S1
o
t1 x
S 4t 2 2t
令
2t(2t 1)
0 ，得驻点:
t
0, t
1，
2
经比较，当t 1 时两面积和最小.

2010.12
D6_all
21
二、典型例题
例1
y
1.已知星形线
x y
a cos3 t (a
a sin 3 t
0)
求 10 它所围成的面积 ;
a
o
ax
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转 体体积.
2010.12
D6_all
22
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
P y 4x x2 du
1 5
(x2
2x)2
5d x
o dx 2
故所求旋转体体积为
2010.12
V
2 0
15( x 2
2x)2 5d
D6_all
x
16 75
5
du 2dx d x33
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
2010.12
D6_all
2
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
k m a
x
l 2
a2 a2 x2 0
2k m l 1
l 2
a
4a2 l 2
y a M d Fx d Fay
dF
xdx O x lx
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a