定积分习题课

图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。

定积分几何应用及微分方程课外习题一． 选择（1）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （ ）（A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--= （C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（2）设()y y x =是二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →时，函数2ln(1)()x y x +的极限是 ( ) （A.）不存在 （B ）等于1 (C) 等于2 (D)等于3.（3）若连续函数()f x 满足关系式220()()ln 2xt f x f dt =+⎰，则()f x 等于（ ）.(A) ln 2x e (B) 2ln 2x e(C) ln 2x e + (D) 2ln 2x e +. （4）已知ln x x y =是微分方程()y y x x y ϕ'=+的解，则()y x ϕ的表达式是( )(A) 22y x - (B) 22y x (C) 22x y - (D) 22x y .(5)设,m n 均是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值有关 (D) 与,m n 的取值无关.（6）设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 (A) 11,22λμ== (B) 11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ==.二． 填空（1） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（2）微分方程2y y x ''+=-的通解为 .（3）设12(cos sin )x y eC x C x =+（12,C C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为： .（4）微分方程20yy y '''+=满足初始条件1002|1,|x x y y =='==的特解为 .（5）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .三．计算题（1）求微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解.（2）求微分方程4dyy dx x y +=的通解.（3）求微分方程323cos x y y y ex '''--=+的通解.（4）求微分方程21y y '''=+的通解.(5)求微分方程y ''=00|1,|2x x y y =='==的特解.四．利用代换cos u x y =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，求出原方程的通解.五．设连续函数()f x 满足0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x .六．设D 是位于曲线2(1,0)x a y a x -=><<+∞下方，x 轴上方的无界区域，（1） 求区域D 绕x 轴旋转一周所得体积()V a .（2） 当a 为何值时，()V a 最小，并求此值.七．设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''-+=。

第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。

古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。

直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。

定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。

因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。

定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。

二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。

3、理解积分上限函数及其求导定理。

熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。

四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。

求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。