2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷及答案

上海市杨浦区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）计算的结果是 ．

2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= ．

3．（4分）已知，则= ．

4．（4分）若行列式，则x= ．

5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= ．

6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于 ．

7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是

．

8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an= ．

9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为 ．

10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 ．

11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为 ．

12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为 ．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（ ）

A． B．2 C．4 D．8

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．

（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点． （1）求圆锥的体积；

（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．

20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．

（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；

（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；

（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．

21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．

（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；

（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；

（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．

2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）计算的结果是 1 ．

【解答】解：当n→+∞，→0，∴=1，

故答案为：1．

2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．

【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，

∴实数m=3．

故答案为：3．

3．（4分）已知，则= ﹣ ．

【解答】解：∵，

∴=．

故答案为：﹣．

4．（4分）若行列式，则x= 2 ．

【解答】解：∵，

∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1

∴x=2

故答案为：2

5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=

6 ．

【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，

∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ，

解得 x=4，y=2，

∴x+y=6．

故答案为：6．

6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于 ﹣160 ．

【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r

令6﹣2r=0可得r=3

常数项为（﹣2）3=﹣160

故答案为：﹣160

7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是

．

【解答】解：基本事件共6×6个，

点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，

故P==．

故答案为：．

8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an= 2n﹣1 ．

【解答】解：由题意得n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1．

n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1， 当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，

∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1；

故答案为：2n﹣1

9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为 ．

【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，

∴sin2B=sinAsinC，

利用正弦定理化简得：b2=ac，

由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c时取等号），

则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．

故答案为：．

10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 ．

【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，

∴a2+1=4，解得a=，

∴双曲线的渐近线方程为y=，

∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，

故答案为：．

11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为 ． 【解答】解：函数，

=，

=s，

函数g（x）=f（x+α）=为奇函数，

则：（k∈Z），

解得：，

故答案为：

12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为

．

【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，

联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，

设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，

x1+x2=﹣，x1x2=，（*）

由，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得==，

由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，

当M和N点重合时，λ=1，

当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=或λ=3

∴实数λ的取值范围．

故答案为：．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵=，

∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．

故选：C．

14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；

②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．

③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．

④y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，

故选：B．

15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【解答】解：t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，

函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4．

∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．

故选：A．

16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，