一元二次不等式及其解法

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3.2一元二次不等式及其解法

知识要点梳理

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：250xx.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集可以联系二次函数2yaxbxc(0)a的图象，图象在x轴上方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集，图象在x轴下方部分对应的横坐标x值的集合为不等式20axbxc的解集.

设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，acb42，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

24bac 0 0 0

二次函数

cbxaxy2（0a）的图象

20(0)axbxca的根 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx  

注意：

（1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集。

一元二次不等式及其解法

基础知识

1．一元二次不等式的解法步骤

(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0). 在不等式ax2＋bx＋c>0a≠0中，如果二次项系数a<0，可根据不等式的性质，将其转化为正数.

(2)求出相应的一元二次方程的根．

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1

二、常用结论

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；

(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；

(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．

2．简单分式不等式

(1)fxgx≥0⇔ fxgx≥0，gx≠0；(2)fxgx>0⇔f(x)g(x)>0.

考点一 一元二次不等式的解法

考法(一) 不含参数的一元二次不等式

[典例] 解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；

[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，

所以原不等式的解集为}342|{xx. (2)原不等式等价于 x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔ x2－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔ x－2x＋1＞0，x－3x＋2≤0⇔ x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.

一元二次不等式及其解法

1．一元二次不等式(20(0)axbxca)与相应的二次函数（2(0)yaxbxca）及一元二次方程（20(0)axbxca）的关系(简称三个二次之间的关系)

学校向

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根

有两相异实根1212,()xxxx

有两相等实根

122bxxa

没有实数根

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集

R

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集



注：（1）若0a时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式

(1)()0()fxgx______________； （2）()0()fxgx____________

(3)()0()fxgx ___________ （4）()0()fxgx_____________

3.二次不等式恒成立的条件

（1）ax2＋bx＋c>0 (a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________

（2）ax2＋bx＋c<0 (a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )

A．(－12，1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)

2．不等式x－12x＋1≤0的解集为( )

A．(－12，1] B．{x|x≥1或x＜－12}

C．[－12，1] D．{x|x≥1或x≤－12}

3．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

第 1 页 共 4 页 3.2一元二次不等式的解法（1）

一、选择题

1．已知2{|320}Axxx，2{|(1)0}Bxxaxa，当AB时,a的取值范围是( )

A.1a B.12a C.2a D.2a

2．集合23100,AxxxxZ，2260,BxxxxZ，则AB的子集有（ ）

A．15个 B．16个 C．7个 D．8个

3．若不等式022bxax的解集是}3121|{xx，则ba（ ）

(A)4 (B)14 (C)10 (D)10

4．若关于x的不等式axbxc20的解是x2或x12，则关于x的不等式cxbxa20的解是（ ）

（A）x2或x12 （B）212x （C）122x （D）x2或x12

5．设1a，则关于x的不等式0)1)((axaxa的解集是（ ）

(A)axx|{或}1ax (B)}|{axx (C)axx|{或}1ax (D)}1|{axx

6．若不等式22463122xkxkxx对xR恒成立，则实数k的取值范围是（ ）

（A）(,+) （B）(1,3) （C）(,1) （D）(,1)∪(3,+)

7．若不等式x2＋ax＋1  0对于一切x（0，12〕成立，则实数a的最小值是（ ）

A．0 B. –2 C.-52 D.-3

8．当,1x时，不等式21240xxaa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A、12,4 B、13,22 C、1,4 D、,6