考研数学二真题解析

2005年考研数学二真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设xxy)sin1(，则xdy = dx .

【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】 方法一： xxy)sin1(=)sin1ln(xxe，于是

]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx，

从而 xdy=.)(dxdxy

方法二： 两边取对数，)sin1ln(lnxxy，对x求导，得

xxxxyysin1cos)sin1ln(1，

于是 ]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx，故

xdy=.)(dxdxy

（2） 曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为23xy.

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx

23)1(lim)(lim2323xxxaxxfbxx，

于是所求斜渐近线方程为.23xy

（3）10221)2(xxxdx 4 .

【分析】 作三角代换求积分即可.

【详解】 令txsin，则

=.4)arctan(coscos1cos20202tttd

（4） 微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.

【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：

])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

xyxyln2， 于是通解为 ]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx

=2191ln31xCxxx，

由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy

（5）当0x时，2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k= 43 .

【分析】 题设相当于已知1)()(lim0xxx，由此确定k即可.

【详解】 由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx

=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx

=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k

（6）设321,,均为3维列向量，记矩阵

),,(321A，)93,42,(321321321B，

如果1A，那么B 2 .

【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有 =941321111),,(321，

于是有 .221941321111AB

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.

[ C ]

【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.

【详解】 当1x时，11lim)(3nnnxxf；

当1x时，111lim)(nnxf；

当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn

即.1,11,1,,1,)(33xxxxxxf 可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.

（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数.

[ A ]

【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF

当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即 )()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x, 排除(D); 故应选(A).

（9）设函数y=y(x)由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

(A) 32ln81. (B) 32ln81.

(C) 32ln8. (D) 32ln8. [ A ] 【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.

【详解】 当x=3时，有322tt，得3,1tt（舍去，此时y无意义），于是

81221111ttttdxdy，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：

)3(82lnxy，

令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：32ln81, 故应(A).

（10）设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()(

(A) ab. (B) 2ab. (C) )(ba. (D) 2ba . [ D ]

【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.

【详解】 由轮换对称性，有

=dxfyfxfbyfayfxfyfbxfaD])()()()()()()()([21

=.2241222babadbaD 应选(D).

（11）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有

(A) 2222yuxu. （B） 2222yuxu.

(C) 222yuyxu. (D) 222xuyxu. [ B ]

【分析】 先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比较答案即可.

【详解】 因为)()()()(yxyxyxyxxu，

)()()()(yxyxyxyxyu，

于是 )()()()(22yxyxyxyxxu，

)()()()(2yxyxyxyxyxu，

)()()()(22yxyxyxyxyu，

可见有2222yuxu，应选(B).

（12）设函数,11)(1xxexf则

(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]

【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.

且 )(lim0xfx，所以x=0为第二类间断点；

0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).

（13）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是

(A) 01. (B) 02. (C) 01. (D) 02. [ B ]

【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.

【详解】 方法一：令 0)(21211Akk，则

022211211kkk， 0)(2221121kkk.

由于21,线性无关，于是有

当02时，显然有0,021kk，此时1，)(21A线性无关；反过来，若1，)(21A线性无关，则必然有02(,否则，1与)(21A=11线性相关)，故应选(B). 方法二： 由于 21212211121101],[],[)](,[A，

可见1，)(21A线性无关的充要条件是.001221故应选(B).

（14）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, **,BA分别为A,B的伴随矩阵，则

(A) 交换*A的第1列与第2列得*B. (B) 交换*A的第1行与第2行得*B.

(C) 交换*A的第1列与第2列得*B. (D) 交换*A的第1行与第2行得*B.

[ C ]