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版权所有翻版必究考研数学：利用拉格朗日定理求极限【前言】拉格朗日中值定理在微分中值定理中占据非常重要的地位，在考研证明题中也是重要考点，但考研学子们容易忽略一个问题是该定理不仅在证明题中可以用到，在一些极限计算的题目中也可以应用，使极限计算变得简单。
【定理】拉格朗日中值定理：()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，有()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。
【应用】拉格朗日中值定理在极限计算中的应用，一般处理同一个函数在两点处的差，根据该定理的结论将其进行变形再进算。
使用过程中需要检查该函数是否满足拉格朗日中值定理的条件。
【例题】【例1】2lim [ln arctan(1)ln arctan ]x x x x →+∞+-【解析】设函数()ln arctan f x x =，且0x >，易知()f x 在[,1]x x +满足拉格朗日中值定理的条件，且211()arctan 1f x x x '=⋅+，故有，222112lim [ln arctan(1)ln arctan ]lim(1)arctan 1x x x x x x x x ξξπ→+∞→+∞+-=⋅⋅+-⋅=+，其中(,1)x x ξ∈+，当x →+∞，自然也有ξ→+∞，所以极限可求，下面的例题也是一样的，如ξ介于a 与x 之间，若x a →，则有a ξ→，因此下面不再赘述。
【注】这种形式是同一函数()f x 相减的形式求极限，如lim[()()]x af x f a →-，设函数()f x 在a 与x 区间内使用拉格朗日中值定理得，()()()(),f x f a f x a ξξ'-=-介于,a x 间。
版权所有翻版必究【例2】2lim [arctan arctan ]1n a a n n n →∞-+【解析】数列极限同样也可以处理，设()arctana f x x =，则0x >，()f x 在[,1]n n +上满足拉格朗日中值定理的条件，且22221()1a a f x x x a a x ⎛⎫'=⋅-=- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故有，2222222lim [arctan arctan ]lim (1)lim 1n n n a a a a n n n n n a n n a n a ξ→∞→∞→∞⎛⎫-=-+-=-⋅= ⎪+++⎝⎭。
2017考研数学(二)中如何应用柯西中值定理？在2017考研的数学（二）考试大纲中，明确要求考生“了解并会用柯西（Cauchy ）中值定理”。
文都教育认为，由于过去有些年份出现了应用柯西中值定理的证明题，故在2017考研的数学（二）科目中有可能出现同类型的题目，因此巩固这个知识点是有意义的。
（一）柯西中值定理及应用方法柯西中值定理如下所述：设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上连续，在(),a b 上可导，并且满足条件'()0, x (a, b)g x ≠∀∈，则存在(),a b ξ∈，使得几何直观上看，对平面曲线的参数方程应用拉格朗日中值定理，就可以得到上述形式的柯西中值定理；从另一个角度看，若令柯西中值定理中的()g x x =，则获得拉格朗日中值定理。
故柯西中值是拉格朗日中值的一种推广。
通过构造辅助函数，应用罗尔定理可以证明柯西中值定理；该证明是应用罗尔定理的一个很好的例子，详见高等数学的同济版教材。
在应用柯西中值定理时，关键是找到合适的辅助函数()f x 和()g x 。
可以考虑用倒推法，从结论入手，找出这两个辅助函数，即对要证明的等式进行恒等变换，使它的形式向柯西中值定理中的等式形式靠拢（左边是两个辅助函数在区间端点上变化量的比值，右边是两个辅助函数的导函数在同一个点上的比值）。
中值性命题（即命题在区间(),a b 中某一个点或几个点上成立）一般可以考虑应用罗尔定理，拉格朗日中值定理或者柯西中值定理来证明。
若涉及到高阶导数，则可能要多次应用微分中值定理，或者可能要应用泰勒公式进行分析讨论。
（二）例题解析 下面请随文都教育看一下应用柯西中值定理的几道例题及解析，体会解题方法和技()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-(), a t b ()x g t y f t =⎧≤≤⎨=⎩巧，以便牢固掌握该知识点。
例题1（2003年，数学（二），三，（10）,10分）设函数()f x 在闭区间[, b]a 上连续，在开区间(, b)a 上可导，且'()0f x >。
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线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩GAGGAGAGGAFFFFAFAF第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四 06,07年考题GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无GAGGAGAGGAFFFFAFAF穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1 A= a21 a22… a2n 和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………GAGGAGAGGAFFFFAFAFa m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成GAGGAGAGGAFFFFAFAFa1(a1,a2, ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置GAGGAGAGGAFFFFAFAF线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A =0 c=0 或A=0.转置:把一个m n的矩阵A行和列互换,得到的n m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.GAGGAGAGGAFFFFAFAF② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)GAGGAGAGGAFFFFAFAF下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.GAGGAGAGGAFFFFAFAF②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单GAGGAGAGGAFFFFAFAF阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.GAGGAGAGGAFFFFAFAF线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A |),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |).(2)用(B |)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.GAGGAGAGGAFFFFAFAF(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n 时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A 是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A 是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A 是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D)A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.GAGGAGAGGAFFFFAFAF(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.BGAGGAGAGGAFFFFAFAF第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n,则此行列式可表示为|1,2, … ,n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.GAGGAGAGGAFFFFAFAF行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13a2122a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32-a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的nGAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.GAGGAGAGGAFFFFAFAF逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:002323215634,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑… … …a n1 a n2 … a nn 这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij.称A ij=(-1)i+j M ij为元素a ij的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行GAGGAGAGGAFFFFAFAF列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B * B范德蒙行列式：形如GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n2… … … …a 1n-ia 2n-ia 3n-i… a nn-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏<因此范德蒙行列式不等于0a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:(A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1GAGGAGAGGAFFFFAFAF2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 1GAGGAGAGGAFFFFAFAF1 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4GAGGAGAGGAFFFFAFAFf(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1,A| =2, |B|=3 ,求|A+B| .2 ,3),|例9 a b c d已知行列式x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n阶行列式两类爪形行列式及其值:GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0GAGGAGAGGAFFFFAFAF证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n… 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a b时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b 提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题 例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.GAGGAGAGGAFFFFAFAF例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..GAGGAGAGGAFFFFAFAF第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设a11a12...a1n b11b12 (1)c11 c12 (1)A= a21 a22… a2n B= b21 b22… b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1a m2…a mn ,b n1b n2…b ns ,GAGGAGAGGAFFFFAFAFc m1 c m2… c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.GAGGAGAGGAFFFFAFAF2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:|AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k 个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF但是一般地(AB )k和A k B k不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m+a m-1Am-1+…+ a 1A+a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB)2=A22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: BAC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求A ij的列数B jk和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A1 0 0A= 0 A2 0………0 0 …A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A1 0 ... 0 B1 0 0GAGGAGAGGAFFFFAFAFA= 0 A2 ... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B1 0 0AB = 0 A2B2 … 0 .………00 …A k B kGAGGAGAGGAFFFFAFAF(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m n矩阵B是n s矩阵. A的列向量组为B的列向量组为1,2,…,s, AB的列向1,2,…,n,量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).②=(b1,b2,…,b n)T,则A= b11+b22+…+b n n.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则A I=b1i1+b2i2+…+b ni n.i=即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组B的第i个列向1,2,…,n的线性组合,组合系数就是量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用GAGGAGAGGAFFFFAFAF的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个AGAGGAGAGGAFFFFAFAF的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A =(,,),C =(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.GAGGAGAGGAFFFFAFAF命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B =(1,2,…,s),则X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i =i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变GAGGAGAGGAFFFFAFAF为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=AC B =C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CA B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号GAGGAGAGGAFFFFAFAF另一边):AB=C B=A-1C. BA=C B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II)XA=B的解X=BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A 可逆|A |0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A |0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A |0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.GAGGAGAGGAFFFFAFAF可逆矩阵有以下性质:GAGGAGAGGAFFFFAFAF①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k. (规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c))-1=E(i(c-1)),E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时,A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E )(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随GAGGAGAGGAFFFFAFAF矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… A n1A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.………A1n A2n… A mn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bGAGGAGAGGAFFFFAFAFc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.GAGGAGAGGAFFFFAFAF二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3)T,=(1,-1/2,1/3)T, A=T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A =T,则A k =(T)k-1A=(tr A )k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T 的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0,A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T,A=E-T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知GAGGAGAGGAFFFFAFAFA2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3,A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)GAGGAGAGGAFFFFAFAF例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+4B|.(05)2+93),求|例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+ 3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B 满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1GAGGAGAGGAFFFFAFAF设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X. -1 0 2GAGGAGAGGAFFFFAFAF。
中值定理在考研数学中占的比例
在考研数学中，中值定理是一项非常基础且重要的数学知识，涉
及到微积分和函数论等多个领域，因此在考试中占据了相当重要的比例。
中值定理是一类函数性质定理的统称，包括拉格朗日中值定理、
柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理通常表达的是函数在某个区
间的某些特定性质，例如函数在该区间取到最大值、最小值、增、减
等等。
在考研数学中，通常会涉及到如何证明这些定理，并利用这些
定理进行计算题目。
具体来说，考研数学中的中值定理的比例主要表现在以下几个方面：
第一，纵向比较。
在历年的考研试题中，中值定理几乎每年都会
出现，占据了数分考试内容的相当比例。
例如2019年的数学一考试，
考生需要利用拉格朗日中值定理证明某个函数在一个区间内的某个性质，相对来说这道题并不算很难，但如果不掌握这一定理，将难以得分。
第二，横向比较。
除了在数学一试卷中出现之外，中值定理也会
在数学二试卷中出现。
尽管数学二考试内容上相对于数学一来说更为
复杂，但占据中值定理比例仍然相当重要。
第三，考试方式。
中值定理在考研数学中占据比例的另一个重要
原因是，它们往往是表达题和计算题的重要考点，并且这种题型的难
度不高，求解过程通常是基于中值定理推导而成的。
因此，在考试中，能否熟练地掌握中值定理，深度理解定理的具体推导过程，对于拿高
分来说是至关重要的。
总而言之，中值定理在考研数学中占据非常重要的比例，考生需
要认真掌握这些定理的具体内容和各种应用，深刻理解它们在微积分
和函数论领域的意义，以此提升自己的数学水平并取得优异的成绩。
第一节中值定理中值定理是一元微分学的理论基础，在这个基础上，将使微分学在更广的范围内应用，这也是研究生考试的重点之一[大纲内容与要求] 理解并使用罗尔定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。
[考点分析] 由于中值定理都有一个共同特点，它们都是在这样或那样的条件下，得出在指定的区间内至少存在一点，使得我们研究的函数在这点具有这样或那样的性质，因此我们的重点应放在掌握每个中值本身特点上，学会分析问题的基本方法和掌握这类问题（定理）的基本解题技巧。
一、罗尔定理（请列出罗尔定理）如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）内至少有一点，使得[考点一] 通过对罗尔定理的分析，我们可以得到这样的推广即在上有n阶导数，在n+1个点上函数值相等，，则至少存在一点使【例1·证明题】若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数且其中证明：在内至少有一点使得【答疑编号981030101：针对该题提问】分析：f（x）在[x1,x2], [x2,x3]上满足罗尔定理条件，因此存在f’（ξ1）=0, f’（ξ2）=0在[ξ1,ξ2]上对于f’（x）再用罗尔定理，即有f”（ξ）=0证明：f（x）在（a,b）上有二阶导数，因此f’（x）,f（x）都存在且连续，又有f （x1）= f（x2）=f（x3）因此f（x）在[x1, x2] , [x2, x3]上满足罗尔定理条件故,使f’（ξ1）=0，f’（ξ2）=0于是f’（x）在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理条件故使得f’’（ξ）=0【例2·证明题】（07年数学一（19）题）设函数,在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，且存在相等的最大值，证明：存在使得【答疑编号981030102：针对该题提问】分析：证明f”（ξ）= g”（ξ），即证f”（ξ）- g”（ξ）=0考虑函数φ（x）=f（x）-g（x）,也就是证明φ”（ξ）=0根据已知φ（a）= φ（b）=0,那么由推广的罗尔定理只要再找到一点η∈（a,b）, 使φ（η）=0即得结论。
谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.1罗尔()Rolle中值定理如果函数()xf满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b faf=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()xfy=在点BA,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理教材证法证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=--显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=a b a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'. 用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=a b a f b f f ζζϕ，即 ()()()ab a f b f f --=ζ'推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()a b a f b f K K AB OT --==，OT 的直线方程为：()()x ab a f b f y --=，于是引入的辅助函数为：()()()()x ab a f b f x f x ---=ϕ. （证明略） 推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线''B A 的方程为：()()()a x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()a x a b a f b f x f x ----=ϕ. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为()()()b x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()b x ab a f b f x f x ----=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作//B A ∥AB 得直线为()()m x ab a f b f y +--=，从而利用()x f 与直线的''B A 函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如下： ⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x a b a f b f x ---=ϕ⑶ ()()()()()x f a x a b a f b f x ----=ϕ ⑷ ()()()()()x f b x ab a f b f x ----=ϕ 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数()x ϕ满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；()3()()()()ab a bf b af b a --==ϕϕ.由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ζζϕf ab a f b f ，从而有()()()ab a f b f f --=ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明. 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α，得新直角坐标系XOY ，若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明 作转轴变换ααsin cos Y X x -=，ααcos sin Y X y +=，为求出α，解出Y X ,得()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由()()b Y a Y =得 ()()ααααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而()()ab a f b f --=αtan ，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b Y a Y =，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()0cos sin '=+-=αζαζf Y ，即()()()ab a f b f f --==αζtan ' 用迭加法引入辅助函数法让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=，例如令()()()m kx x f x +-=ϕ或()()m kx x f x ++-=ϕ，通过使()()b a ϕϕ=，确定出m k ,，即可得到所需的辅助函数.例如由 ()()()m kx x f x +-=ϕ，令()()b a ϕϕ=得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()ab a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x ab a f b f x ---=ϕ，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ϕ，关键是满足()()b a ϕϕ=.我们从行列式的性质想到行列式()()()111x f x af a bf b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0，因此可设易证()()()()111xf x x af a bf b ϕ=，展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ϕ=++---.因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，所以()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0a b ϕϕ==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()0'=ζϕ. 因为()()()()()0''=---=ζζϕf b a b f a f即： ()()()ab a f b f f --=ζ' 数形相结合法引理 在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ，()(),C c f c ，则ABC ∆面积为()()()1112ABC af a S b f b a cf c ∆=， 这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设()(),c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点，则构造()()()()211141af a x c f c x f x ϕ=， 易验证()x ϕ满足罗尔中值定理的条件：在闭区间[],a c 上连续，在开区间(),a c 内可导，而且()()b a ϕϕ=，则至少存在一点()b a ,∈ζ，使()/0ϕζ=，即：()()()()()()01111111'=ζζζf c f c a f a f c f c a f a 但是()()()1101af a cf c f ζζ≠，这是因为，如果 ()()()1101a f a c f c f ζζ=， 则()()()()f f c f c f a c c aζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A 点的第一个交点，与已知矛盾）.故()()()0111=ζζf c f ca f a，即()()()()()ac a f c f a b a f b f f --=--=ζ'. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()()()111af a x bf b xf x ϕ=来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()()()()111g a f a x g b f b g x f x ϕ=来证明柯西中值定理.区间套定理证法证明 将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=，它与曲线()y f x = 相交于1M ，过1M 作直线11L M ∥弦b a M M . 此时，有如下两种可能:⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ，则曲线必在直线11M L 的一侧.否则，直线11M L 不平行于直线a b M M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而()()()ab a f b f f --=1ζ.由作法知，1ζ在区间(),a b 内部，取ζζ=1于是有 ()()()ab a f b f f --=ζ⑵ 若直线11M L 与曲线()y f x =还有除1M 外的其他交点，设()111,N x y 为另外一个交点，这时选取以11,x ξ为端点的区间，记作[]111,I a b =，有1,112b a l I b a -⊇-<,()()()()1111f b f a f b f a b a b a--=--，把1I 作为新的“选用区间”，将1I 二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点ζ，要么又得到一个新“选用区间”2I .如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ζ，作直线k x ζ=它与曲线()y f x =交于k M ，过点k M 作直线k k L M ∥弦b MM , 它与曲线()y f x =只有一个交点k M ，此时取ζζ=k 即为所求.(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{n I }，满足:① 12I I I ⊇⊇⊇ []n n n b a I ,=② ()02n n n b ab a n --<→→∞ ③()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=-- 由①②知，{n I }构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点() 3,2,1=∈n I n ζ，此点ζ即为所求. 事实上ζ==∞→∞→n n n n b a lim lim ，()f ξ存在()()()ζf a b a f b f n n n n n =--∞→lim ，由③lim n →∞()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a --=--，所以()()()ab a f b f f --=ζ，从“选用区间”的取法可知，ζ确在(),a b 的内部. 旋转变换法证明 引入坐标旋转变换A : cos sin x X Y αα=- ⑴ ααcos sin Y X y += ⑵因为 22cos sin cos sin 10sin cos αααααα-∆==+=≠所以A 有逆变换/A :()()cos sin cos sin X x y x f x X x αααα=+=+= ⑶()()sin cos sin cos Y x y x f x Y x αααα=-+=-+= ⑷ 由于()x f 满足条件: ()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导，因此⑷式中函数()Y x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导.为使()Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角α，使()()Y a Y b =, 即()()sin cos sin cos a f a b f b αααα-+=-+，也即()()tan f b f a b a α-=-. 这样，函数()Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点()b a <<ζζ，使()()0cos sin =+=αζαζf Y 即()αζtan =f . 由于所选取旋转角α满足()()a b a f b f --=αtan ，所以()()()ab a f b f f --=ζ.结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1991：153-161[2] 吉林大学数学系. 数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社.1979：194-196[3] 同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社（第五版）.2004：143-153[4] 周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津：南开大学出版社.1986：113-124[5] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社.2003：58-67[6] 孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技大学出版社.2003：98-106[7] 洪毅. 数学分析（上册）[M].广州：华南理工大学出版社.2001：111-113[8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报.2001,1：15-18[9] 王爱云. 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].西安：数学通报.2002,2：84-88[10] 谢惠民等. 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考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=a处连续，且=2，则f(x)在x=a处A．不可导．B．可导且f’(a)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：D解析：由f(x)在x=a连续=f(a)．又根据极限的保号性，即f(x)-f(a)＞0．因此f(a)为极小值．故选(D)．知识模块：微分中值定理及其应用2．若xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1-ex且f’(0)=0，f’’(x)在x=0连续，则下列正确的是A．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．B．f(0)是f(x)的极小值．C．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．D．f(0)是f(x)的极大值．正确答案：D解析：由f’(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f’’(0)，把方程改写为f’’(x)+3[f’(x)]2=令x→0，得f’’(0)=为极大值．故选(D)．知识模块：微分中值定理及其应用3．设f(x))在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是A．若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．B．若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x0)=0．C．若f’(x0)=0，f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．D．若f(x)在x=x0处取极值，则f’(x0)=0．正确答案：C解析：(A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实．若f(x)在(a，b)可导且单调增加f’(x)≥0(x∈(a，b))．若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x0)可能不存在．若x=x0是f(x)的极值点，则f’(x0)可能不存在．因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)．知识模块：微分中值定理及其应用4．设f(x)可导，恒正，且0＜a＜x＜b时恒有f(x)＜xf’(x)，则A．bf(a)＞af(b)．B．abf(x)＞x2f(b)．C．af(a)＜xf(x)．D．abf(x)＜x2f(a)．正确答案：C解析：(A)，(B)，(D)分别改写为因此要考察的单调性．因为又在[a，b]连续在[a，b]单调上升(A)，(B)，(D)均不对．选(C)．或由正值函数在[a，b]单调上升.x2在[a，b]单调上升(C)对．选(C)．知识模块：微分中值定理及其应用5．若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f’(x)≥k ＞0，则在(0，+∞)内f(x)A．没有零点．B．至少有一个零点．C．只有一个零点．D．有无零点不能确定．正确答案：C解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f’(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)．知识模块：微分中值定理及其应用6．曲线y=arctan渐近线的条数是A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：令f(x)=arctan，f(x)的定义域是(-∞，-2)∪(-2，1)∪(1，+∞)，因｜f(x)｜＜，从而x=1与x=-2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故y=是曲线y=f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选(A)．知识模块：微分中值定理及其应用7．曲线y=f(x)=(x+1)ln｜x+1｜+(x-1)ln｜x-1｜的拐点有A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：B解析：f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由f’(x)=-x+ln｜x+1｜+ln｜x-1｜，令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=-1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，f(x)在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选(B)．知识模块：微分中值定理及其应用填空题8．f(x)=的极大值点是x=________，极小值点是x=________．正确答案：0；解析：0＜｜x｜＜1时f(x)＜0，按定义x=0是极大值点，x＞0时．f’(x)=2xlnx+x=x(lnx2+1)是极小值点．由于f(x)是偶函数，x=也是极小值点．知识模块：微分中值定理及其应用9．曲线y=3x++1的渐近线方程为________．正确答案：y=3x+1解析：只有间断点x=0，为垂直渐近线．又有斜渐近线y=3x+1．知识模块：微分中值定理及其应用10．曲线y=(x2-7)(-∞＜x＜+∞)的拐点是________．正确答案：(0，0)解析：这里y(x)在(-∞，+∞)连续，(y’(0)，y’’(0)均不)，y(x)在x=0两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点．知识模块：微分中值定理及其应用11．数列的最大项为________．正确答案：解析：考察函数f(x)=(x≥1)，求f(x)在[1，+∞)上的最大值．由f(x)在[1，e]单调上升，在[e，+∞)单调下降，f(x)=在x=e取最大值，它的相邻两点是x=2，3．现比较f(2)=，因此，最大项是：. 知识模块：微分中值定理及其应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。
